Определяне на перпендикулярността на равнините. Лекция по математика на тема "признак за перпендикулярност на две равнини". Перпендикулярност на линиите в пространството. накратко за основното

Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава дадените равнини са перпендикулярни () (фиг. 28)

α – равнина, V– права, перпендикулярна на нея, β – равнина, минаваща през правата V, И с– правата, по която се пресичат равнините α и β.

Последица.Ако една равнина е перпендикулярна на пресечната линия на две дадени равнини, то тя е перпендикулярна на всяка от тези равнини

Проблем 1. Докажете, че през всяка точка от една права в пространството могат да се прекарат две различни прави, перпендикулярни на нея.

Доказателство:

Според аксиомата азима точка извън правата А.По теорема 2.1, през точката INи директно Аможем да начертаем равнината α. (фиг. 29) По теорема 2.3 през точката Ав равнината α можем да начертаем права линия А.Съгласно аксиома C 1 има точка СЪС, непринадлежащи на α. По теорема 15.1 през точката СЪСи директно Аможем да начертаем равнината β. В равнината β, съгласно теорема 2.3, през точка a можем да начертаем права линия с А.По построение правите b и c имат само една обща точка Аи двете са перпендикулярни


Задача 2.Горните краища на два вертикално стоящи стълба, разделени на разстояние 3,4 m, са свързани с напречна греда. Височината на единия стълб е 5,8 м, а на другия 3,9 м. Намерете дължината на напречната греда.

AC= 5,8 м, ВD= 3,9 м, AB- ? (фиг. 30)


AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)

По Питагоровата теорема от ∆ AEVполучаваме:

AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)

AB= = 3,9 (m)

Задачи

Мишена. Научете се да анализирате в най-простите случаи взаимно споразумениеобекти в пространството, използват планиметрични факти и методи при решаване на стереометрични задачи.


1. Докажете, че през всяка точка от права в пространството можете да прекарате права, перпендикулярна на нея.

2. Правите AB, AC и AD са перпендикулярни по две. Намерете сегмент CD, ако:

1) AB = 3см , слънце= 7 см, AD= 1,5 cm;

2) VD= 9 см, AD= 5 см, слънце= 16см;

3) AB = b, BC = a, AD = d;

4) ВD = с, ВС = а, АД = d

3. Точка А е на разстояние аот върховете на равностранен триъгълник със страна А.Намерете разстоянието от точка А до равнината на триъгълника.

4. Докажете, че ако една права е успоредна на равнина, то всички нейни точки са на еднакво разстояние от равнината.

5. Телефонен проводник с дължина 15 м е опънат от телефонен стълб, където е закрепен на височина 8 м от повърхността на земята, до къща, където е закрепен на височина 20 м. Намерете разстоянието между къщата и стълба, като приемем, че жицата не провисва.

6. От точка към равнина са начертани две наклонени, равни на 10 см и 17 см. Разликата в проекциите на тези наклонени е 9 см. Намерете проекциите на наклонените.


7. От точка към равнина са начертани две наклонени, едната от които е с 26 см по-голяма от другата. Наклонените проекции са 12 см и 40 см. Намерете наклонените.



8. От точка към равнина са начертани две наклонени прави. Намерете дължините на косите мускули, ако те са в отношение 1:2 и проекциите на косите мускули са 1 cm и 7 cm.

9. От точка към равнина са начертани две наклонени склонове, равни на 23 cm и 33 cm.

разстоянието от тази точка до равнината, ако наклонените проекции са в съотношение 2:3.

10. Намерете разстоянието от средата на отсечката AB до равнина, която не пресича тази отсечка, ако разстоянията от точки a и B до равнината са: 1) 3,2 cm и 5,3 cm;7,4 cm и 6,1 cm; 3) a и c.

11. Решете предходната задача при положение, че отсечката AB пресича равнината.

12. Отсечка с дължина 1 м пресича равнина, като краищата й са отдалечени от равнината на разстояние 0,5 м и 0,3 м. Намерете дължината на проекцията на отсечката върху равнината.

13. От точки A и B са пуснати перпендикуляри върху равнината. Намерете разстоянието между точките A и B, ако перпендикулярите са 3 m и 2 m, разстоянието между основите им е 2,4 m и отсечката AB не пресича равнината.

14. От точки A и B, лежащи в две перпендикулярни равнини, перпендикулярите AC и BD се пускат върху пресечната линия на равнините. Намерете дължината на отсечката AB, ако: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. От върховете A и B на равностранния триъгълник ABC са възстановени перпендикуляри AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на отсечката A 1 B 1, ако AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m и отсечката A 1 B 1 не пресича равнината на триъгълника

16. От върховете A и B остри ъглина правоъгълен триъгълник ABC са възстановени перпендикуляри AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на отсечката A 1 B 1, ако A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m и отсечката A 1 B 1 не се пресича равнината на триъгълника.

Перпендикулярност на равнините Определение. Две равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако линейният ъгъл на ръба на двустенния ъгъл между тези равнини е права линия.
Знакперпендикулярност на равнините.Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
Доказателство. Позволявам аИ ? - две пресичащи се равнини, с- линията на тяхното пресичане и А- прав перпендикулярна на равнината? и лежи в самолета. A - точка на пресичане на линиитеаИ с.В самолет? от точка И ние ще възстановимперпендикулярна и нека бъде права линия b. Направо Аперпендикуляренсамолети? , което означава, че е перпендикулярна на всяка права линия в тази равнина, тоест прави линии bИ сперпендикулярен . Ъгъл между прави АИ б -линейни равнини аИ ? и е равно на 90°, така чекак прав Аперпендикулярно на права линияb(доказано).По дефиницията на равнинааИ ? перпендикулярен.

Теорема 1. Ако от точка, принадлежаща на една от две перпендикулярни равнини, изчертаемперпендикулярна на друга равнина, тогава този перпендикуляр лежи изцяло в първата равнина.
Доказателство. Позволявам аИ ? - перпендикулярни равнини и с -правата линия на тяхното пресичане, A - точкалежи плоско аи не принадлежат пряко на с.Нека перпендикулярно на равнината? изтеглен от точка А не лежи в равнината а, тогава точка C е основата този перпендикуляр лежи всамолети? и не принадлежи на линията с.От точка А спускаме перпендикуляра АВ директно с.Правата AB е перпендикулярнаравнина (използвам теорема 2).През права AB и точка CДа нарисуваме самолет? (права линия и точка определят равнина и то само една). Виждаме това всамолет ? от една точка A до правата BC са прекарани два перпендикуляра, което няма как да стане, което означава права ACсъвпада с правата AB, а правата AB от своя страна лежи изцяло в равнината а.

Теорема 2. Ако в една от двете перпендикулярни равнини начертаем перпендикуляр на тяхната правапресичане, тогава този перпендикуляр ще бъде перпендикулярен на втората равнина.
Доказателство. Позволявам аИ ? - две перпендикулярни равнини, с -линията на тяхното пресичане и А -прав перпендикулярно на права линия си лежи в самолета. A - точка на пресичане на линиите АИ с.В самолета? от точка А възстановяваме перпендикуляра и нека е права линия b.Ъгъл между прави АИb- линеен ъгъл при ръба на двустенния ъгъл междусамолети аИ ? и е равен на 90°, тъй като равнинатааИ ? перпендикулярен. Направо Аперпендикулярно на права линияb(по доказани) и пряк спо условие.Така че е направо Аперпендикулярна на равнината? (

Лекция на тема „Тест за перпендикулярност на две равнини“

Идеята за равнина в пространството ни позволява да получим например повърхността на маса или стена. Масата или стената обаче има крайни размери и равнината се простира отвъд нейните граници до безкрайност.

Да разгледаме две пресичащи се равнини. Когато се пресичат, те образуват четири двустенни ъгъла с общ ръб.

Нека си припомним какво е двустенен ъгъл.

В действителност се сблъскваме с предмети, които имат формата на двустенен ъгъл: например леко отворена врата или полуотворена папка.

Когато две равнини алфа и бета се пресичат, получаваме четири двустенни ъгъла. Нека един от двустенните ъгли е равен на (phi), тогава вторият е равен на (180 0 –), трети, четвърти (180 0 -).

α Иβ, 0°< 90 °

Разгледайте случая, когато един от двустенните ъгли е 90 0 .

Тогава всички двустенни ъгли в този случай са равни на 90 0 .

двустенен ъгъл между равнинитеα Иβ,

90º

Нека въведем определението за перпендикулярни равнини:

Две равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако двустенният ъгъл между тях е 90°.

Ъгълът между равнините сигма и епсилон е 90 градуса, което означава, че равнините са перпендикулярни

защото =90°

Нека дадем примери за перпендикулярни равнини.

Стена и таван.

Странична стена и плот за маса.

Стена и таван

Нека формулираме знак за перпендикулярност на две равнини:

ТЕОРЕМА:Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

Нека докажем този знак.

По условие е известно, че правата линияAM лежи в равнината α, правата AM е перпендикулярна на равнината β,

Докажете: равнините α и β са перпендикулярни.

Доказателство:

1) Равнини α иβ се пресичат по правата AR и AM AR, тъй като AM β по условие, тоест AM е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в равнината β.

2) Нека начертаем права линия в равнината βАТ перпендикулярноАР.

Получаваме ъгъл ТАM е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. Но ъгъл ТАM = 90°, тъй като MA е β. Така че α β.

Q.E.D.

ТЕОРЕМА:Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

дадени:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A

Докажете: αβ.

Доказателство:

1) α∩β = AR, докато AM ​​AR, тъй като AM β по условие, т.е. AM е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в равнината β.

2) ATβ,АTАР.

TAM е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. TAM = 90°, защото MA β. Така че α β.

Q.E.D

От знака за перпендикулярност на две равнини имаме важно следствие:

ВЪЗДЕЙСТВИЕ:Равнина, перпендикулярна на права, по която се пресичат две равнини, е перпендикулярна на всяка от тези равнини.

Нека докажем това следствие: ако гама равнината е перпендикулярна на правата c, тогава, въз основа на успоредността на двете равнини, гама е перпендикулярна на алфа. По същия начин гама е перпендикулярна на бета

Тоест: ако α∩β=с и γс, то γα и γβ.

защотоγс и сα от знака за перпендикулярност γα.

Подобно на γ ​​β

Нека преформулираме това следствие за двустенен ъгъл:

Равнината, минаваща през линейния ъгъл на двустенния ъгъл, е перпендикулярна на ръба и стените на този двустенен ъгъл. С други думи, ако сме построили линеен ъгъл на двустенен ъгъл, тогава равнината, минаваща през него, е перпендикулярна на ръба и лицата на този двустенен ъгъл.

Задача.

Дадено е: ΔАВС, С = 90°, АС лежи в равнината α, ъгълът между равнините α иABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Намерете: разстоянието от точка B до равнината α.

Решение:

1) Нека построим VC α. Тогава KS е проекцията на слънцето върху тази равнина.

2) BC AC (по условие), което означава, според теоремата за трите перпендикуляра (TPP), KS AC. Следователно VSK е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнината α и равнината на триъгълника ABC. Тоест VSK = 60°.

3) От ΔBCA според Питагоровата теорема:

От ΔVKS:

Разгледана е връзката на перпендикулярност на равнините – една от най-важните и най-използваните в геометрията на пространството и нейните приложения.

От цялото многообразие на взаимно подреждане

две равнини, тази, в която равнините са перпендикулярни една на друга, заслужава специално внимание и изучаване (например равнините на съседни стени на стая,

ограда и парцел, врата и под и т.н. (фиг. 417, a-c).

Горните примери ни позволяват да видим едно от основните свойства на връзката, която ще изучаваме - симетрията на разположението на всяка равнина спрямо другата. Симетрията се осигурява от факта, че равнините изглеждат "изтъкани" от перпендикуляри. Нека се опитаме да изясним тези наблюдения.

Нека имаме равнина α и права c върху нея (фиг. 418, а). Нека прекараме през всяка точка от правата c прави линии, перпендикулярни на равнината α. Всички тези прави са успоредни една на друга (защо?) и въз основа на задача 1 § 8 образуват определена равнина β (фиг. 418, b). Естествено е равнината да се нарича β перпендикуляренравнина α.

От своя страна всички линии, лежащи в равнината α и перпендикулярни на линиите, образуват равнината α и са перпендикулярни на равнината β (фиг. 418, c). Наистина, ако a е произволна права, тогава тя пресича правата c в някаква точка M. През точката M в равнината β минава права b, перпендикулярна на α, следователно b a . Следователно a c, a b, следователно a β. Така равнината α е перпендикулярна на равнината β, а правата е линията на тяхното пресичане.

Две равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако всяка от тях е образувана от прави линии, перпендикулярни на втората равнина и минаващи през пресечните точки на тези равнини.

Перпендикулярността на равнините α и β се обозначава с познатия знак: α β.

Една илюстрация на това определение може да си представим, ако разгледаме фрагмент от стая в селска къща (фиг. 419). При него подът и стената са направени от дъски, перпендикулярни съответно на стената и пода. Следователно те са перпендикулярни. На практика

това означава, че подът е хоризонтален, а стената е вертикална.

Горната дефиниция е трудна за използване при реална проверка на перпендикулярността на равнините. Но ако внимателно анализираме разсъжденията, довели до това определение, виждаме, че перпендикулярността на равнините α и β се осигурява от наличието в равнината β на права линия b, перпендикулярна на равнината α (фиг. 418, c) . Стигнахме до критерия за перпендикулярност на две равнини, който най-често се използва в практиката.

406 Перпендикулярност на прави и равнини

Теорема 1 (тест за перпендикулярност на равнините).

Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на втората равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

 Нека равнината β минава през права b, перпендикулярна на равнината α и е пресечната линия на равнините α и β (фиг. 420, а). Всички прави от равнината β, успоредни на правата b и пресичащи правата c, заедно с правата b образуват равнината β. По теоремата за две успоредни прави, едната от които е перпендикулярна на равнината (теорема 1 § 19), всички те заедно с правата b са перпендикулярни на равнината α. Тоест, равнината β се състои от прави линии, минаващи през линията на пресичане на равнините α и β и перпендикулярни на равнината α (фиг. 420, b).

Сега в равнината α през точката A на пресечната точка на линии b и начертаваме линия, перпендикулярна на линия c (фиг. 420, c). Правата линия е перпендикулярна на равнината β въз основа на перпендикулярността на правата линия и равнината (a c, по конструкция, и b, тъй като b α). Повтаряйки предишните аргументи, откриваме, че равнината α се състои от прави, перпендикулярни на равнината β, минаващи през линията на пресичане на равнините. Според определението равнините α и β са перпендикулярни.■

Тази функция позволява да се установи перпендикулярността на равнините или да се гарантира.

Пример 1. Прикрепете щита към стълба, така че да е разположен вертикално.

 Ако стълбът стои вертикално, тогава е достатъчно да прикрепите щит произволно към стълба и да го закрепите (фиг. 421, а). Съгласно характеристиката, обсъдена по-горе, равнината на щита ще бъде перпендикулярна на повърхността на земята. В този случай проблемът има безкраен брой решения.

Перпендикулярност на равнините

Ако стълбът стои наклонено към земята, тогава е достатъчно да прикрепите вертикална релса към стълба (фиг. 421, b) и след това да прикрепите щита както към релсата, така и към стълба. В този случай позицията на щита ще бъде съвсем определена, тъй като стълбът и релсата определят една равнина.■

В предишния пример „техническата“ задача беше сведена до математическа задача за начертаване на равнина, перпендикулярна на друга равнина през дадена права линия.

Пример 2. От върха A на квадрат ABCD е начертана отсечка AK, перпендикулярна на неговата равнина, AB = AK = a.

1) Определете взаимното положение на равнините AKC и ABD,

AKD и ABK.

2) Построете равнина, минаваща през правата BD перпендикулярно на равнината ABC.

3) Начертайте равнина, перпендикулярна на равнината KAC през средата F на отсечката KC.

4) Намерете площта на триъгълника BDF.

 Да построим чертеж, който отговаря на условията на примера (фиг. 422).

1) Равнините AKC и ABD са перпендикулярни, съгласно свойството за перпендикулярност на равнините (теорема 1): AK ABD, съгласно условието. Равнините AKD и ABK също са перпендикулярни

са полярни, въз основа на перпендикулярността на равнините (теорема 1). Наистина, правата AB, през която минава равнината ABK, е перпендикулярна на равнината AKD, според знака на перпендикулярността на правата и равнината (теорема 1 § 18): AB AD като съседни страни на квадрат; AB AK, тъй като

AK ABD.

2) Въз основа на перпендикулярността на равнините, за желаната конструкция е достатъчно да начертаете права линия BD през някои точки

408 Перпендикулярност на прави и равнини

права, перпендикулярна на равнината ABC. И за да направите това, достатъчно е да начертаете права през тази точка, успоредна на правата AK.

Наистина, по условие правата AK е перпендикулярна на равнината ABC и следователно, съгласно теоремата за две успоредни прави линии,

нашата, една от които е перпендикулярна на равнината (теорема 1§19),

построената права ще бъде перпендикулярна на равнината ABC.

Строителство.

През точката

B провеждаме

БЪДА,

паралелен

(фиг. 423). Самолетът BDE е търсеният.

3) Нека F е средата на отсечката KC. про-

водим през точката

перпендикулярно-

самолет

Тази права линия

деца насочват

FO, къде

O - център на квадрата

ABCD (фиг. 424). Наистина, FO ||AK ,

като средно

триъгълна линия

Тъй като

перпендикулярно-

на повърхността

директен FO

бу-

det е перпендикулярна на него, съгласно теоремата за

две успоредни прави, едната от които

ry перпендикулярна на равнината (теорема 1

§ 19). Ето защо

FO DB. И тъй като AC DB, тогава DB AOF (или

KAC). Самолет

BDF минава през права, перпендикулярна на

крайна равнина KAC, т.е. тя е желаната.

4) В триъгълник

BDF сегментFO

Начертана височина до

страна BD (виж Фиг. 424). Имаме: BD =

2 a като диагонал на четириъгълника

рата; FO =1

AK =

1 а, по свойството на средната линия на триъгълник.

Така S =2 BD FO =

2 2 а

2 а =

. ■

Отговор: 4)

а 2.

Изследване на свойствата на перпендикуляра-

на самолети и техните приложения, нека започнем с най-простото

тази, но много полезна теорема.

Теорема 2 (за перпендикуляра към пресечната линия на перпендикулярни равнини).

Ако две равнини са перпендикулярни, тогава права линия, принадлежаща на една равнина и перпендикулярна на пресечната точка на тези равнини, е перпендикулярна на втората равнина.

 Нека перпендикулярни равнини

α и β се пресичат по правата c, а правата b в равнината β е перпендикулярна на правата c и я пресича в точка B (фиг. 425). По дефиниция

разделяйки перпендикулярността на равнините, в равнината β права линия минава през точка B

b 1, перпендикулярна на равнината α. Ясно е, че тя е перпендикулярна на правата. Но какво-

Ако изрежете точка на права линия в равнина, можете да начертаете само една права линия, перпендикулярна на дадената права линия. Ето защо

правите b и b 1 съвпадат. Това означава, че права линия на една равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на две перпендикулярни равнини, е перпендикулярна на втората равнина. ■

Нека приложим разглежданата теорема към обосноваването на друг знак за перпендикулярност на равнините, който е важен от гледна точка на последващото изследване на взаимното разположение на две равнини.

Нека равнините α и β са перпендикулярни, правата c е линията на тяхното пресичане. През произволна точка A прекарваме права c

в равнини α и β, прави линии a и b, перпендикулярни на прави линии c (фиг. 426). Според теорията

Me 2, правите a и b са перпендикулярни съответно на равнините β и α, така че те са перпендикулярни една на друга: a b . Направо

дефинираните a и b определят определена равнина γ. Линия на пресичане с равнини α и β

перпендикулярна на равнината γ, въз основа на перпендикулярността на правата и равнината (теорема 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Ако вземем предвид произволността на избора на точка A на правата c и факта, че единствената равнина, перпендикулярна на нея, минава през точката A на правата линия, тогава можем да направим следния извод.

Теорема 3 (за равнината, перпендикулярна на пресечната линия на перпендикулярни равнини).

Равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на две перпендикулярни равнини, пресича тези равнини по перпендикулярни прави линии.

По този начин е установено още едно свойство на перпендикулярните равнини. Това свойство е характерно, тоест ако е вярно за някакви две равнини, то равнините са перпендикулярни една на друга. Имаме още един знак за перпендикулярност на равнините.

Теорема 4 (втори критерий за перпендикулярност на равнините).

Ако преките пресечни точки на две равнини с трета равнина, перпендикулярна на линията на тяхното пресичане, са перпендикулярни, тогава тези равнини също са перпендикулярни.

 Нека равнините α и β се пресичат по правата с, а равнината γ, перпендикулярна на правата с, пресича съответно равнините α и β

съответно по прави линии a и b (фиг. 427). По условие, a b . Тъй като γc, тогава c. И следователно правата е перпендикулярна на равнината β, според знака за перпендикулярност на правата и равнината (теорема 1 § 18). Това е-

да, от това следва, че равнините α и β са перпендикулярни, според знака за перпендикулярност на равнините (теорема 1).■

Заслужават внимание и теореми за връзките между перпендикулярността на две равнини на трета равнина и тяхното взаимно положение.

Теорема 5 (за пресечната линия на две равнини, перпендикулярни на третата равнина).

Ако две равнини, перпендикулярни на трета равнина, се пресичат, тогава линията на тяхното пресичане е перпендикулярна на тази равнина.

 Нека равнините α и β, перпендикулярни на равнината γ, се пресичат по права линия (a || γ), а A е пресечната точка на правата с

Перпендикулярност на равнините

равнина γ (фиг. 428). Точка А принадлежи на

живее по пресечните линии на равнините γ и α, γ

и β, и по условие α γ и β γ. Следователно, според

определяне на перпендикулярността на равнината

Тей, през точка А можете да начертаете прави линии,

лежащи в равнините α

и β и перпендикулярно

полярни равнини γ. Защото през точката

възможно е да се начертае само една права линия, по-

перпендикулярна на равнината, то конструираната

правите линии съвпадат и съвпадат с правата

пресечни точки на равнини α и β. Така правата a е линия

пресечната точка на равнините α и β е перпендикулярна на равнината γ. ■

Нека разгледаме теорема, описваща връзката между успоредността и перпендикулярността на равнините. Вече имахме съответния резултат за прави линии и равнини.

Теорема 6 (за успоредни равнини, перпендикулярни на третата равнина).

Ако една от двете успоредни равнини е перпендикулярна на третата, то втората равнина е перпендикулярна на нея.

 Нека равнините α и β са успоредни, а равнината γ перпендикулярна на равнината α. Тъй като равнината γ

пресича равнината α, то трябва да пресича и успоредната й равнина β. Нека вземем про-

произволна права линия m, перпендикулярна на равнината γ, и начертайте през нея, както и през произволна точка от равнината β, равнината δ (фиг. 429).

Равнините δ и β се пресичат по права n и тъй като α║ β, то ║ n (теорема 2 §18). От теорема 1 следва, че n γ и следователно равнината β, минаваща през правата n, също ще бъде перпендикулярна на равнината γ. ■

Доказаната теорема дава още един знак за перпендикулярност на равнините.

Чрез за тази точкаМожете да начертаете равнина, перпендикулярна на дадена, като използвате знака за перпендикулярност на равнините (теорема 1). Достатъчно е през тази точка да се прекара права, перпендикулярна на дадената равнина (виж задача 1 § 19). След това през построената права начертайте равнина, която ще бъде перпендикулярна на дадената равнина по посочения критерий. Ясно е, че могат да се начертаят безкрайно много такива равнини.

По-смислена е задачата за построяване на равнина, перпендикулярна на дадена, при условие че тя минава през дадена права. Ясно е, че ако дадена права е перпендикулярна на дадена равнина, тогава могат да се построят безкраен брой такива равнини. Остава да разгледаме случая, когато дадената права не е перпендикулярна на дадената равнина. Възможността за такава конструкция е обоснована на ниво физически модели на прави линии и равнини в пример 1.

Задача 1. Докажете, че през произволна права, която не е перпендикулярна на равнина, може да се прекара равнина, перпендикулярна на дадената равнина.

 Нека са дадени равнина α и права l, l B\ a. Да вземем произволна точка M на права линия и да начертаем права през нея, перпендикулярна на равнината α (фиг. 430, а). Тъй като по условие l не е перпендикулярна на α, то правите l се пресичат. Чрез тези прави линии е възможно да се начертае равнина β (фиг. 430, b), която според теста за перпендикулярност на равнините (теорема 1) ще бъде перпендикулярна на равнината α. ■

Пример 3. През връх A на правилна пирамида SABC с основа ABC начертайте права, перпендикулярна на равнината на страничното лице SBC.

 За да решим този проблем, използваме теоремата за перпендикуляра към пресечната линия на перпендикулярни равнини

(Теорема 2). Нека K е средата на ръба BC (фиг. 431). Равнините AKS и BCS са перпендикулярни, според знака за перпендикулярност на равнините (теорема 1). Наистина, BC SK и BC AK са като медиани, начертани към основите в равнобедрени триъгълници. Следователно, съгласно критерия за перпендикулярност на права и равнина (теорема 1 §18), правата BC е перпендикулярна на равнината AKS. Равнината BCS минава през права, перпендикулярна на равнината AKS.

Строителство. Нека начертаем права AL в равнината AKS от точка A, перпендикулярна на правата KS - линията на пресичане на равнините AKS и BCS (фиг. 432). Според теоремата за перпендикуляра към пресечната линия на перпендикулярни равнини (теорема 2), правата AL е перпендикулярна на равнината BCS. ■

Контролни въпроси

На фиг. 433 показва квадрата ABCD,

правата MD е перпендикулярна на равнината

ABCD. Кои от двойките самолети не са

са перпендикулярни:

MAD и MDC;

MBC и MAV;

ABC и MDC;

MAD и MAV?

2. На фиг. 434 е показано правилно- нова четириъгълна пирамида

SABCD, точки P, M, N - средна -

Имаме ръбове AB, BC, BS, O - центъра на основата ABCD. Кои от двойките са плоски- костите са перпендикулярни:

1) ACS и BDS 2) MOS и POS;

3) COS и MNP; 4) MNP и SOB;

5) CND и ABS?

Перпендикулярност на прави и равнини

3. На фиг. 435

изобразен правоъгълен

триъгълник

с прав ъгъл C и

права BP, перпендикулярна на равнината

ty ABC . Кои от следните двойки са плоски?

костите са перпендикулярни:

1) CBP и ABC;

2) ABP и ABC;

3) PAC и PBC; 4) PAC и PAB?

4. Двете равнини са перпендикулярни. Възможно ли е чрез произволна точка на един оттрябва ли да начертаят права линия в тази равнина, втората равнина?

5. Невъзможно е да се начертае права линия в равнината α, но не и в равнината β. Може ли тези самолети да са ми?

6. През определена точка от равнината α минава ли права в тази равнина и е перпендикулярна на равнината, така че равнините α и β са перпендикулярни?

Секция от ограда е прикрепена към вертикален стълб, възможно ли е да се твърди, че равнината на оградата е вертикална?

Как да прикрепите щит вертикално към релса, успоредна на повърхността на земята?

Защо повърхностите на вратите, независимо дали са затворени или отворени, са вертикални спрямо пода?

Защо отвесът приляга плътно към вертикална стена, но не непременно към наклонена?

Възможно ли е да се прикрепи щит към наклонен стълб, така че да е перпендикулярен на повърхността на земята?

Как на практика да определим дали една равнина е перпендикулярна

стени равнина под? перпендикуляренперпендикуляренперпендикулярен- прав, легнал - β. Вярно 7. . Възможно 8.9.10.11.12.

Графични упражнения

1. На фиг. 436 показва куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

1) Посочете равнини, перпендикулярни на равнината BDD 1.

2) Как са самолетите и

A1 B1 CAB 1 C 1

Перпендикулярност на равнините

437 равнинни квадратчета ABCD и

ABC1 D1

перпендикулярен. Разстояние

CC1

е равно на b. Намерете дължината на отсечката:

AB;

D1 C;

D1 D;

C1 D.

Дан-

Постройте чертеж по даденото

1) Равнини на равностранни триъгълници

ABC и ABC са перпендикулярни.

Равнината ABC е перпендикулярна на равнините BDC и BEA.

Равнините α и β са перпендикулярни на равнината γ и се пресичат

по правата a, линиите на тяхното пресичане с равнината γ

са прави линии b е.

В правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равнина

костите AB 1 C 1 и BCA 1 са перпендикулярни.

421. От центъра O на квадрата ABCD е прекарана отсечката OS перпендикулярно на равнината му.

1°) Определете взаимното положение на равнините на ACS

и ABC.

2°) Определете взаимното положение на равнините на ACS

и БДС.

3) Построете равнина, минаваща през правата OS, перпендикулярна на равнината ABS.

4) Построете равнина, перпендикулярна на равнината ABC и минаваща през средите на страните AD и CD.

422. От пресечната точка O на диагоналите на ромба ABCD е прекарана отсечка OS, перпендикулярна на равнината на ромба, AB = DB =

1°) Определете взаимното положение на SDB и

ABC, SDB и ACS.

2°) Построете равнина, минаваща през права BC перпендикулярно на равнина ABD.

3) Начертайте равнина, перпендикулярна на равнината ABC през средата F на отсечката CS.

4) Намерете площта на триъгълника BDF.

423. Даден е куб ABCDA1 B1 C1 D1.

1°) Определете взаимното разположение на равнините AB 1 C 1

и CDD1.

2°) Определете взаимното разположение на равнините AB 1 C 1

и CD1 A1.

3°) Построете равнина, минаваща през точка A, перпендикулярна на равнината BB 1 D 1.

4) Построете сечение на куба с равнина, минаваща през средите на ръбовете A 1 D 1 и B 1 C 1, перпендикулярни на равнината ABC. 5) Определете взаимното положение на равнината AA 1 B и равнината, минаваща през средата на ребрата A 1 B 1, C 1 D 1, CD.

6) Намерете площта на напречното сечение на куба от равнина, минаваща през ръб BB 1 и средата на ръба A 1 D 1 (BB ​​​​1 = a).

7) Построете точка, симетрична на точка A спрямо равнината A 1 B 1 C.

424. В правилен тетраедър ABCD с ребро 2 cm точка M е средата на DB, а точка N е средата на AC.

1°) Докажете, че правата DB е перпендикулярна на равнината

2°) Докажете, че равнината BDM е перпендикулярна на равнината AMC.

3) През точка O от пресечната точка на медианите на триъгълник ADC начертайте права линия, перпендикулярна на равнината AMC.

4) Намерете дължината на тази отсечка вътре в тетраедъра. 5) В какво съотношение AMC равнината разделя този сегмент?

425. Два равностранни триъгълника ABC и ADC лежат в перпендикулярни равнини.

1°) Намерете дължината на отсечката BD, ако AC = 1 cm.

2) Докажете, че равнината BKD (K лежи на правата AC) е перпендикулярна на равнината на всеки от триъгълниците тогава и само тогава, когато K е средата на страната AC.

426. Правоъгълник ABCD, чиито страни са 3 cm и 4 cm, беше огънат по диагонала AC, така че триъгълниците ABC и ADC бяха разположени в перпендикулярни равнини. Определете разстоянието между точки B и D след огъване на правоъгълника ABCD.

427. През тази точка начертайте равнина, перпендикулярна на всяка от двете дадени равнини.

428°. Докажете, че равнините на съседните страни на куб са перпендикулярни.

429. Равнините α и β са перпендикулярни една на друга. От точка A на равнината α е прекарана права AB, перпендикулярна на равнината β. Докажете, че правата AB лежи в равнината α.

430. Докажете, че ако равнина и права, която не лежи в тази равнина, са перпендикулярни на една и съща равнина, то те са успоредни една на друга.

431. През точки A и B, лежащи на пресечната линия на перпендикулярни една на друга равнини α и β, са прекарани перпендикулярни прави: AA 1 в α, BB 1 в β. Точка X лежи на права AA 1, а точка Y лежи на BB 1. Да се ​​докаже, че правата ВB 1 е перпендикулярна на правата ВХ, а правата АА 1 е перпендикулярна на правата АY.

432*. През средата на всяка страна на триъгълника е начертана равнина, перпендикулярна на тази страна. Докажете, че и трите начертани равнини се пресичат по една права, перпендикулярна на равнината на триъгълника.

Упражнения за повторение

433. В равностранен триъгълник със страна b определи: 1) височина; 2) радиуси на вписаната и описаната окръжност.

434. От една точка към дадена права се провеждат перпендикулярна и две наклонени. Определете дължината на перпендикуляра, ако наклонените са 41 cm и 50 cm, а проекциите им върху тази права са в отношение 3:10.

435. Определете катетите на правоъгълен триъгълник, ако bis- секстрикс прав ъгълразделя хипотенузата на сегменти от 15 cm и

Основна дефиниция

Двата самолета се наричат

са перпендикулярни , ако всяка от тях е образувана от прави линии- mi, перпендикулярно- mi на втората равнина и минаваща през пресечните точки на тези равнини.

Основни твърдения

Перпендикулярен знак

Ако сам

яснота

самолети

пас-

самолети

промъквам се

перпендикулярен

тогава вторият самолет

b α, b β α β

тези самолети са пер-

пендикулярен.

съпричастен-

два самолета

отвор

са перпендикулярни, тогава

кръстовищаsperpen

пряк, принадлежащ на

дикуларен

апартамент

споделяне на един самолет

и перпендикулярно

кръстовища

тези самолети, по-

α β, b β, c = α ∩β,

перпендикулярно на втория

b c b α

самолет.

Концепцията за перпендикулярни равнини

Когато две равнини се пресичат, получаваме $4$ двустенни ъгли. Два ъгъла са равни на $\varphi $, а другите два са равни на $(180)^0-\varphi $.

Определение 1

Ъгълът между равнините е минималният от двустенните ъгли, образувани от тези равнини.

Определение 2

Две пресичащи се равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тези равнини е $90^\circ$ (фиг. 1).

Фигура 1. Перпендикулярни равнини

Знак за перпендикулярност на две равнини

Теорема 1

Ако една права линия на една равнина е перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни една на друга.

Доказателство.

Нека са ни дадени равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $AC$. Нека правата $AB$, лежаща в равнината $\alpha $, е перпендикулярна на равнината $\beta $ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като правата $AB$ е перпендикулярна на равнината $\beta$, тя е перпендикулярна и на правата $AC$. Нека допълнително начертаем права $AD$ в равнината $\beta$, перпендикулярна на правата $AC$.

Откриваме, че ъгълът $BAD$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, равен на $90^\circ$. Тоест, по дефиниция 1, ъгълът между равнините е $90^\circ$, което означава, че тези равнини са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

От тази теорема следва следната теорема.

Теорема 2

Ако една равнина е перпендикулярна на правата, по която се пресичат две други равнини, тогава тя също е перпендикулярна на тези равнини.

Доказателство.

Нека са ни дадени две равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. Равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$ (фиг. 3)

Фигура 3.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\alpha $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\alpha $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\beta $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\beta $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

За всяка от тези теореми са верни и обратните твърдения.

Примерни проблеми

Пример 1

Нека ни е даден правоъгълен паралелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Намерете всички двойки перпендикулярни равнини (фиг. 5).

Фигура 4.

Решение.

А-приори правоъгълен паралелепипеди перпендикулярни равнини виждаме следните осем двойки равнини, перпендикулярни една на друга: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1) $, $( ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1) $ и $(ABC)$.

Пример 2

Нека са ни дадени две взаимно перпендикулярни равнини. От точка на една равнина се тегли перпендикуляр към друга равнина. Докажете, че тази права лежи в дадената равнина.

Доказателство.

Нека са ни дадени перпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. От точка $A$ на равнината $\beta $ е прекаран перпендикуляр $AC$ към равнината $\alpha $. Да приемем, че $AC$ не лежи в равнината $\beta$ (фиг. 6).

Фигура 5.

Да разгледаме триъгълник $ABC$. Тя е правоъгълна с прав ъгъл $ACB$. Следователно, $\ъгъл ABC\ne (90)^0$.

Но от друга страна, $\angle ABC$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от тези равнини. Тоест, двустенният ъгъл, образуван от тези равнини, не е равен на 90 градуса. Откриваме, че ъгълът между равнините не е равен на $90^\circ$. Противоречие. Следователно $AC$ лежи в равнината $\beta$.