Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълен паралелепипед е прав паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
Достатъчно е да се огледаме около нас и ще видим, че обектите около нас имат форма, подобна на паралелепипед. Те могат да бъдат разграничени по цвят, имат много допълнителни детайли, но ако тези тънкости се изхвърлят, тогава можем да кажем, че например шкаф, кутия и т.н., имат приблизително еднаква форма.
С концепцията правоъгълен паралелепипедсрещаме почти всеки ден! Огледайте се и ми кажете къде виждате правоъгълен паралелепипед? Погледнете книгата, тя е точно същата форма! Тухлите имат еднаква форма, Кибритена кутия, дървен блок и дори в момента се намирате в правоъгълен паралелепипед, защото класната стая е най-ярката интерпретация на това геометрична фигура.
Упражнение:Какви примери за паралелепипед можете да посочите?
Нека разгледаме по-отблизо кубоида. И какво виждаме?
Първо, виждаме, че тази фигура е образувана от шест правоъгълника, които са лицата на кубоид;
Второ, кубоидът има осем върха и дванадесет ръба. Ръбовете на кубоида са страните на неговите лица, а върховете на кубоида са върховете на лицата.
Упражнение:
1. Как се нарича всяко от лицата на правоъгълен паралелепипед? 2. Благодарение на какви параметри може да се измери успоредник? 3. Определете противоположни лица.
Видове паралелепипеди
Но паралелепипедите са не само правоъгълни, но могат да бъдат и прави и наклонени, а правите линии се делят на правоъгълни, неправоъгълни и кубчета.
Задание: Погледнете картината и кажете какви паралелепипеди са показани на нея. Как се различава правоъгълният паралелепипед от куба?
Свойства на правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има редица важни свойства:
Първо, квадратът на диагонала на тази геометрична фигура е равен на сумата от квадратите на трите й основни параметъра: височина, ширина и дължина.
Второ, и четирите му диагонала са абсолютно еднакви.
Трето, ако и трите параметъра на паралелепипед са еднакви, тоест дължината, ширината и височината са равни, тогава такъв паралелепипед се нарича куб и всичките му лица ще бъдат равни на един и същ квадрат.
Упражнение
1. Правоъгълният паралелепипед има ли равни страни? Ако има такива, покажете ги на фигурата. 2. От какви геометрични фигури се състоят лицата на правоъгълен паралелепипед? 3. Какво е разположението на еднакви ръбове един спрямо друг? 4. Назовете броя на двойките равни лица на тази фигура. 5. Намерете ръбовете в правоъгълен паралелепипед, които показват неговата дължина, ширина, височина. Колко преброихте?
Задача
За да украси красиво подарък за рождения ден на майка си, Таня взе кутия с формата на правоъгълен паралелепипед. Размерът на тази кутия е 25см*35см*45см. За да направи тази опаковка красива, Таня реши да я покрие с красива хартия, чиято цена е 3 гривни за 1 dm2. Колко пари трябва да похарчите за опаковъчна хартия?
Знаете ли, че известният илюзионист Дейвид Блейн е прекарал 44 дни в стъклен паралелепипед, окачен над Темза като част от експеримент. За тези 44 дни той не се храни, а само пие вода. В доброволния си затвор Дейвид взе само материали за писане, възглавница и матрак и носни кърпички.
В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. всичко двустенни ъглиправоъгълен паралелепипед прави линии.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратен диагонал на кубоид равно на суматаквадрати на неговите три измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Има няколко вида паралелепипеди:
· Правоъгълен паралелепипед- е паралелепипед, чиито всички лица са - правоъгълници;
· Прав паралелепипед е паралелепипед, който има 4 странични лица – успоредници;
· Наклонен паралелепипед е паралелепипед, чиито странични стени не са перпендикулярни на основите.
Основни елементи
Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположни, а тези, които имат общ ръб, се наричат съседни. Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице, се наричат противоположни. Линеен сегмент,свързващи противоположни върхове се нарича диагоналнопаралелепипед. Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед с общ връх се наричат измервания.
Имоти
· Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
· Всеки сегмент с краища, принадлежащи на повърхността на паралелепипеда и минаващи през средата на диагонала му, се разделя наполовина от него; по-специално, всички диагонали на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят на две от нея.
· Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
· Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения
Основни формули
Прав паралелепипед
· Площ на страничната повърхност S b =P o *h, където P o е периметърът на основата, h е височината
· Обща площ S p =S b +2S o, където S o е основната площ
· Сила на звука V=S o *h
Правоъгълен паралелепипед
· Площ на страничната повърхност S b =2c(a+b), където a, b са страните на основата, c е страничният ръб на правоъгълния паралелепипед
· Обща площ S p =2(ab+bc+ac)
· Сила на звука V=abc, където a, b, c са размерите на правоъгълен паралелепипед.
· Площ на страничната повърхност S=6*h 2, където h е височината на ръба на куба
34. Тетраедър- правилен многостен, има 4 лица, които са правилни триъгълници. Върхове на тетраедър 4 , се събира към всеки връх 3 ребра и общо ребра 6 . Освен това тетраедърът е пирамида.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат лица (AOS, OSV, ACB, AOB), техните страни --- ребра (AO, OC, OB), а върховете --- върхове (A, B, C, O)тетраедър. Два ръба на тетраедър, които нямат общи върхове, се наричат противоположност... Понякога едно от лицата на тетраедъра е изолирано и наречено база, а другите три --- странични лица.
Тетраедърът се нарича правилно, ако всичките му лица са равностранни триъгълници. Освен това правилният тетраедър и правилната триъгълна пирамида не са едно и също нещо.
U правилен тетраедървсички двустенни ъгли при ръбовете и всички тристенни ъгли при върховете са равни.
35. Правилна призма
Призмата е многостен, чиито две лица (основи) лежат в успоредни равнини и всички ръбове извън тези лица са успоредни един на друг. Лицата, различни от основите, се наричат странични лица, а техните ръбове се наричат странични ръбове. Всички странични ръбове са равни един на друг като успоредни сегменти, ограничени от две успоредни равнини. Всички странични стени на призмата са успоредници. Съответните страни на основите на призмата са равни и успоредни. Призма, чийто страничен ръб е перпендикулярен на равнината на основата, се нарича права призма; други призми се наричат наклонени. В основата на правилната призма има правилен многоъгълник. Всички лица на такава призма са равни правоъгълници.
Повърхността на призмата се състои от две основи и странична повърхност. Височината на призмата е отсечка, която е общ перпендикуляр на равнините, в които лежат основите на призмата. Височината на призмата е разстоянието змежду равнините на основите.
Площ на страничната повърхност С b на призма е сумата от площите на нейните странични стени. Обща площ С n на призма е сумата от площите на всички нейни лица. С n = С b + 2 С,Където С– площ на основата на призмата, Сб – площ на страничната повърхност.
36. Многостен, който има едно лице, т.нар база, – многоъгълник,
а останалите лица са триъгълници с общ връх, т.нар пирамида
.
Лица, различни от основата, се наричат страничен.
Общият връх на страничните лица се нарича върха на пирамидата.
Ръбовете, свързващи върха на пирамидата с върховете на основата, се наричат страничен.
Височина на пирамидата
се нарича перпендикуляр, прекаран от върха на пирамидата към нейната основа.
Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и височината му минава през центъра на основата.
Апотема страничното лице на правилна пирамида е височината на това лице, изтеглена от върха на пирамидата.
Равнина, успоредна на основата на пирамидата, я отрязва в подобна пирамида и пресечена пирамида.
Свойства на правилните пирамиди
- Страничните ръбове на правилна пирамида са равни.
- Страничните стени на правилна пирамида са равностоен приятеледин друг равнобедрени триъгълници.
Ако всички странични ръбове са равни, тогава
·височината се проектира към центъра на описаната окръжност;
Страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата.
Ако страничните повърхности са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава
·височината се проектира към центъра на вписаната окръжност;
· височините на страничните лица са равни;
· площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност
37. Функция y=f(x), където x принадлежи на множеството естествени числа, се нарича функция на естествен аргумент или числова последователност. Означава се с y=f(n) или (y n)
Последователностите могат да бъдат зададени по различни начини, устно, така се определя последователността прости числа:
2, 3, 5, 7, 11 и т.н.
Една последователност се счита за дадена аналитично, ако е дадена формулата за нейния n-ти член:
1, 4, 9, 16, …, n 2, …
2) y n = C. Такава последователност се нарича постоянна или стационарна. Например:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n =2 n . Например,
2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 n, …
Една последователност се нарича ограничена отгоре, ако всички нейни членове не са по-големи от определено число. С други думи, една последователност може да се нарече ограничена, ако има число M такова, че неравенството y n е по-малко или равно на M. Числото M се нарича горна граница на редицата. Например последователността: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; ограничено отгоре.
По подобен начин една последователност може да се нарече ограничена отдолу, ако всички нейни членове са по-големи от определено число. Ако една последователност е ограничена както отгоре, така и отдолу, тя се нарича ограничена.
Редица се нарича нарастваща, ако всеки следващ член е по-голям от предходния.
Редица се нарича намаляваща, ако всеки следващ член е по-малък от предишния. Нарастващи и намаляващи последователности се определят с един термин - монотонни последователности.
Помислете за две последователности:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …
Ако изобразим членовете на тази редица върху числовата ос, ще забележим, че във втория случай членовете на редицата са кондензирани около една точка, но в първия случай това не е така. В такива случаи се казва, че последователността y n се разминава, а последователността x n се събира.
Числото b се нарича граница на редицата y n, ако всяка предварително избрана околност на точка b съдържа всички членове на редицата, започвайки от определено число.
В този случай можем да напишем:
Ако коефициентът на една прогресия е по-малък от единица по модул, тогава границата на тази последователност, когато x клони към безкрайност, е равна на нула.
Ако последователността се сближава, тогава само до една граница
Ако последователността се сближава, тогава тя е ограничена.
Теорема на Weierstrass: Ако една последователност се сближава монотонно, тогава тя е ограничена.
Границата на стационарна редица е равна на всеки член на редицата.
Имоти:
1) Лимитът на сумата е равен на сбора от лимитите
2) Продуктов лимит равно на произведениетограници
3) Границата на частното е равна на частното на границите
4) Константният фактор може да бъде взет отвъд граничния знак
Въпрос 38
сбор от безкрайна геометрична прогресия
Геометрична прогресия- редица от числа b 1, b 2, b 3,.. (членове на прогресията), в която всяко следващо число, като се започне от второто, се получава от предходното чрез умножаването му по определено число q (знаменател от прогресията), където b 1 ≠0, q ≠0.
Сума от безкрайна геометрична прогресияе ограничаващото число, към което се сближава последователността на прогресията.
С други думи, без значение колко дълга е една геометрична прогресия, сумата от нейните членове не е повече от определено число и е практически равна на това число. Това се нарича сбор от геометрична прогресия.
Не всяка геометрична прогресия има такъв граничен сбор. Може да бъде само за прогресия, чийто знаменател е дробно число, по-малко от 1.
Студентите често питат възмутено: „Как това ще ми бъде полезно в живота?“ По всяка тема от всеки предмет. Темата за обема на паралелепипед не прави изключение. И тук можете просто да кажете: „Ще ви бъде от полза“.
Как например можете да разберете дали даден пакет ще се побере в пощенска кутия? Разбира се, можете да изберете правилния чрез проба и грешка. Ами ако това не е възможно? Тогава изчисленията ще дойдат на помощ. Познавайки капацитета на кутията, можете да изчислите обема на пратката (поне приблизително) и да отговорите на зададения въпрос.
Паралелепипед и неговите видове
Ако буквално преведем името му от старогръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Съществуват следните еквивалентни определения на паралелепипед:
- призма с основа под формата на успоредник;
- многостен, всяко лице на който е успоредник.
Видовете му се разграничават в зависимост от това каква фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло говорим за наклонен паралелепипед, чиято основа и всички лица са успоредници. Ако страничните лица на предишния изглед станат правоъгълници, тогава ще трябва да се извика директен. И при правоъгълени основата също има 90º ъгли.
Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, е основната разлика между математиците и художниците. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона на перспективата. И в този случай успоредността на ребрата е напълно невидима.
За въведените означения
Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.
Формули за наклонен паралелепипед
Първо и второ за области:
Третото е да се изчисли обемът на паралелепипед:
Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате подходящите изрази.
Формули за правоъгълен паралелепипед
Подобно на първа точка - две формули за площи:
И още едно за обем:
Първа задача
Състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че той образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.
Решение.За да отговорите на проблемния въпрос, ще трябва да знаете всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръбовете, по които трябва да изчислите обема.
Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, откъдето е изчертан основният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, което е необходимо.
Първият триъгълник, който ще даде една от стойностите на страните на основата, ще бъде следният. Съдържа търсената страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (страна на основата) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синус от 30º. Това е неизвестна странаосновата ще бъде определена като диагонал, умножен по синус от 30º или ½. Нека се обозначи с буквата "а".
Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и можете отново да използвате отношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничен ръб към диагонал. То е равно на косинус от 45º. Тоест, "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - „in“. Нека се обозначи с буквата "х". Може лесно да се изчисли с помощта на Питагоровата теорема:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Съдържа вече познатите страни “c”, “x” и тази, която трябва да се преброи, “b”:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да го изчислите:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm3.
Втора задача
Състояние. Трябва да намерите обема на паралелепипед. В него се знае, че страните на успоредника, който лежи в основата, са 3 и 6 cm, както и неговият остър ъгъл - 45º. Страничното ребро е с наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.
Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.
Площта на основата, т.е. на успоредника, ще се определи по формула, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Второто неизвестно количество е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катет, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. Това означава, че можем да използваме отношението на катета към хипотенузата.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Сега всички стойности са известни и обемът може да бъде изчислен:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Отговор:обемът е 18 √2 cm 3.
Трета задача
Състояние. Намерете обема на паралелепипед, ако е известно, че е прав. Страните на основата му образуват успоредник и са равни на 2 и 3 см. Острият ъгъл между тях е 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.
Решение.За да намерим обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете величини са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.
Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда съвпада по размер с по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на успоредник е 120º, тъй като той образува 180º с острия. Нека вторият диагонал на основата е обозначен с буквата "x". Сега за двата диагонала на основата можем да напишем косинусовите теореми:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Няма смисъл да се намират стойности без квадрати, тъй като по-късно те отново ще бъдат повдигнати на втора мощност. След като заместим данните, получаваме:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Сега височината, която е и страничният ръб на паралелепипеда, ще се окаже катет в триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият катет ще бъде "x". Можем да напишем Питагоровата теорема:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).
Сега второто неизвестно количество е площта на основата. Може да се изчисли с помощта на формулата, спомената във втората задача.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Комбинирайки всичко във формулата за обем, получаваме:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Отговор: V = 18 см 3.
Четвърта задача
Състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете, разположени над основата, е на еднакво разстояние от всички върхове, лежащи в основата.
Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси по първа точка за площада. Второто, за ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. А от третия става ясно, че трите диагонала, изведени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните стени, а последната е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.
За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. В него отново няма известни количества. Площта на основата обаче е лесна за изчисляване, тъй като е квадрат.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Ситуацията с височината е малко по-сложна. Ще бъде така в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. От последното обстоятелство трябва да се възползваме.
Тъй като това е височината, това е крак правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият крак е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е медианата). И диагоналът на основата е лесен за намиране:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Височината ще трябва да се изчисли като разликата между втората степен на ръба и квадрата на половината от диагонала и след това не забравяйте да вземете корен квадратен:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Отговор: 62,5 √2 (cm 3).
В този урок ще дефинираме паралелепипед, ще обсъдим структурата му и неговите елементи (диагонали на паралелепипед, страни на паралелепипед и техните свойства). Ще разгледаме и свойствата на лицата и диагоналите на успоредник. След това ще решим типична задачаза построяване на сечение на паралелепипед.
Тема: Успоредност на прави и равнини
Урок: Паралелепипед. Свойства на лица и диагонали на паралелепипед
В този урок ще дефинираме паралелепипед, ще обсъдим неговата структура, свойства и елементи (страни, диагонали).
Паралелепипедът е образуван от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, които са в успоредни равнини. Обозначение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 или AD 1 (фиг. 1.).
2. Фестивал на педагогическите идеи "Отворен урок" ()
1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и нива на профил) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задачи 10, 11, 12 стр. 50
2. Построете сечение на правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1равнина, минаваща през точките:
а) A, C, B1
б) B1, D1и средата на реброто AA1.
3. Ръбът на куба е равен на a. Построете разрез на куба с равнина, минаваща през средните точки на три ръба, излизащи от един връх, и изчислете неговия периметър и площ.
4. Какви фигури могат да се получат в резултат на пресичането на равнина на паралелепипед?
