- 1. Група Зцели числа с операция събиране.
- 2. Групата на всички сложни корени от степен нот единица с операцията умножение. Тъй като цикличното число е изоморфизъм
групата е циклична и елементът е генератор.
Виждаме, че цикличните групи могат да бъдат крайни или безкрайни.
3. Нека е произволна група и произволен елемент. Множеството е циклична група с генератор g . Тя се нарича циклична подгрупа, генерирана от елемента g, и нейният ред е редът на елемента g. По теоремата на Лагранж редът на елемент е делител на реда на група. Дисплей
действайки по формулата:
очевидно е хомоморфизъм и образът му съвпада с . Преобразуването е сюрективно тогава и само ако групата Ж- циклични и жнегов съставен елемент. В този случай ще наричаме стандартния хомоморфизъм за циклична група Жс избраната образуваща ж.
Прилагайки теоремата за хомоморфизма в този случай, получаваме важно свойство на цикличните групи: всяка циклична група е хомоморфен образ на групата З .
Във всяка група Жможе да се определи степенелемент с цели показатели:
Има имот
Това е очевидно, ако . Разгледайте случая, когато . Тогава
Други случаи се разглеждат по подобен начин.
От (6) следва, че
Освен това по дефиниция. Така мощностите на даден елемент образуват подгрупа в групата Ж.Нарича се циклична подгрупа, генерирана от елемент,и се обозначава с .
Възможни са два принципно различни случая: или всички степени на един елемент са различни, или не. В първия случай подгрупата е безкрайна. Нека разгледаме втория случай по-подробно.
Позволявам ,; тогава. Най-малката от естествени числа T,за което се нарича в този случай в ределемент и се означава с .
Предложение 1. Ако , тогава
Доказателство. 1) Разделяне мна Пс остатъка:
Тогава, по дефиницията на реда
По силата на предходното
Последица. Ако, mo подгрупата съдържа n елемента.
Доказателство.Наистина ли,
и всички изброени елементи са различни.
Ако няма такъв естествен T,че (т.е. първият от описаните по-горе случаи се случва), приемаме . Забележи, че; редовете на всички останали елементи от групата са по-големи от 1.
В адитивна група те не говорят за правомощията на даден елемент , но за него кратни,които се означават с . В съответствие с това редът на елемента на адитивната група Же най-малкото естествено число T(ако има) за които
ПРИМЕР 1.Характеристиката на едно поле е редът на всеки ненулев елемент в неговата адитивна група.
ПРИМЕР 2. Очевидно в крайна група редът на всеки елемент е краен. Нека покажем как се изчисляват редовете на елементите на една група.Нарича се заместване цикълдължина и се означава с ако се пермутира циклично
и оставя всички останали числа на място. Очевидно редът на дължината на цикъла е Р.Циклите се наричат независимаако сред действително пренаредените от тях числа няма общи; в такъв случай . Всяка пермутация уникално се разлага на продукт от независими цикли. Например,
което е ясно показано на фигурата, където действието на заместване е изобразено със стрелки. Ако пермутацията се разложи на произведение от независими цикли от дължини , тогава
ПРИМЕР 3.Поръчка комплексно число c в група е краен тогава и само ако това число е корен от единица, което от своя страна има място тогава и само ако a е съизмеримо с, т.е. .
ПРИМЕР 4.Нека намерим елементи от краен ред в групата на равнинните движения. Позволявам. За всяка точка точка
се пренареждат циклично чрез движение , така че техният център на тежестта относноотносително неподвижен. Следователно - или завъртане с ъгъл на видимост около точката относно, или размисъл за някаква права линия, минаваща през нея относно.
ПРИМЕР 5. Нека намерим реда на матрицата
като част от група. Ние имаме
така. Разбира се, този пример е специално подбран: вероятността редът на произволно избрана матрица да бъде краен е нула.
Предложение 2. Ако , тогава
Доказателство.Позволявам
така. Ние имаме
Следователно,.
Определение 1 . Група ЖНаречен цикличен,ако има такъв елемент , Какво . Всеки такъв елемент се нарича генеративен елементгрупи Ж.
ПРИМЕР 6.Адитивната група от цели числа е циклична, тъй като се генерира от елемента 1.
ПРИМЕР 7.Модуло адитивна остатъчна група не цикличен, тъй като е генериран от елемента .
ПРИМЕР 8.Мултипликативна група от сложни корени n-та степенот 1 е циклично. Всъщност тези корени са числата
Това е ясно . Следователно групата се генерира от елемента.
Лесно се вижда, че в една безкрайна циклична група само и са генериращи елементи. И така, в групата Z единствените генериращи елементи са 1 и -- 1.
Брой крайни групови елементи Жя извика в реди се обозначава с. Редът на крайна циклична група е равен на реда на нейния генериращ елемент. Следователно твърдение 2 предполага
Предложение 3 . Елемент от циклична група от ред n генерира тогава и само ако
ПРИМЕР 9.Пораждащите елементи на една група се наричат примитивни корени нта степен от 1. Това са корените на формата , където. Например примитивните корени на 12-та степен на 1 са.
Цикличните групи са най-простите групи, които можете да си представите. (По-специално, те са абелеви.) Следната теорема дава пълното им описание.
Теорема 1. Всяка безкрайна циклична група е изоморфна на група. Всяка крайна циклична група от ред n е изоморфна на група.
Доказателство. Ако е безкрайна циклична група, то по формула (4) преобразуването е изоморфизъм.
Нека е крайна циклична група от ред П.Помислете за картографирането
тогава картографирането е добре дефинирано и биективно. Имот
следва от същата формула (1). Следователно, е изоморфизъм.
Теоремата е доказана.
За да се разбере структурата на една група, познаването на нейните подгрупи играе важна роля. Всички подгрупи на циклична група могат лесно да бъдат описани.
Теорема 2. 1) Всяка подгрупа на циклична група е циклична.
2) В групата на цикличния ред н редът на всяка подгрупа разделя н и за всеки делител q на числото н има точно една подгрупа от ред q.
Доказателство. 1) Нека е циклична група и з-- неговата подгрупа, различна от (Подгрупата за идентичност е очевидно циклична.) Обърнете внимание, че ако за някои, тогава . Позволявам Tе най-малкото естествено число, за което . Нека докажем това . Позволявам . Да разделим да сена Tс остатъка:
откъдето, по силата на дефиницията на числото Tследва, че и следователно, .
2) Ако , тогава предишното разсъждение се прилага за (в този случай ), показва че . При което
и зе единствената подгрупа на реда рв група Ж.Обратно, ако р-- произволен делител на числа Пи , след това подмножеството H,определена от равенство (9) е подгрупа от ред р. Теоремата е доказана.
Последица . В циклична група от прост ред всяка нетривиална подгрупа съвпада с цялата група.
ПРИМЕР 10.В група всяка подгрупа има формата where.
ПРИМЕР 11.В група корени на n-тастепен на 1 всяка подгрупа е коренна група q-степен от 1, където.
крайни групи
Група (полугрупа) се нарича крайнаако се състои от краен брой елементи. Броят на елементите на една крайна група се нарича негов в ред. Всяка подгрупа на крайна група е крайна. И ако зÍ Ж– подгрупа на група Ж, след това за всеки елемент аÎ ЖМного На={х: х=ч◦а, за всякакви чÎ з) е наречен ляв съседен класза Жотносително з. Ясно е, че броят на елементите в Наравен на реда з. (По същия начин може да се формулира определението един Н– десен coset по отношение на з).
Важно е, че за всяка подгрупа згрупи Жпроизволни два леви (десни) косета по зсъвпадат или не се пресичат, така че всяка група може да бъде представена като обединение на несвързани леви (десни) косети от з.
Наистина, ако два класа N aи Hb, където а, bÎ Ж, имат общ елемент х, тогава съществува TÎ зтакова, че х = T◦а. И след това левия клас за х: H x={г: г=ч◦х= ч◦(T◦а) = (ч◦T)◦а} Í H a, но а=T ‑1 ◦хи N a={г: г=ч◦а= ч◦(T ‑1 ◦х) = (ч◦T ‑1)◦х} Í H x. Оттук H x=N a. По подобен начин може да се покаже това H x=H b. И следователно N a=H b. Ако класовете N aи HbНямам общи елементи, тогава те не се пресичат.
Такова разделяне на група на леви (десни) косети се нарича разлагане на групата по отношение на подгрупата H.
Теорема 2.6.1. Редът на крайна група се дели на реда на всяка от нейните подгрупи.
Доказателство. защото Же крайна група, тогава всяка от нейните подгрупи зима краен ред. Помислете за разлагането на група на подгрупи з. Във всеки косет в това разлагане броят на елементите е еднакъв и равен на реда з. Следователно, ако н- групова поръчка Ж, а к- ред на подгрупи з, тогава н=м× к, където ме броят на класовете по зв груповото разлагане Ж.
Ако за някой елемент аÎ Ж Þ N a=един Н(леви и десни класове по подгрупа змач), тогава зНаречен нормален делителгрупи Ж.
Изявление: ако Же комутативна група, тогава всяка от нейните подгрупи зе нормален делител Ж.
С оглед на асоциативността на действие в група (полугрупа), можем да говорим за „продукт“ от три елемента ( а◦b◦° С) =(а◦b)◦° С = а◦(b◦° С). По подобен начин въвеждаме понятието сложен продукт от нелементи: а 1 ◦а 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.
работа неднакви елементи на група се нарича елементна степени означено a n=. Това определение има смисъл за всеки естествен н. За всеки групов елемент аÎ Жобозначавам а 0 =де неутралният елемент на групата Ж. И отрицателните сили на даден елемент а ‑ ндефиниран като ( а ‑1)нили ( a n) -1 , където а-1 - обратен елемент към а. И двете определения а ‑ нмач, защото a n◦(а ‑1)н = (а◦а◦ ¼◦ а)◦(а ‑1 ◦а-1◦ ¼◦ а ‑1) = а◦а◦¼◦( а◦а ‑1)◦а-1 ◦¼◦ а ‑1 =e n =д. По този начин, ( а ‑1)н = (a n) ‑1 .
В адитивна група, аналог на степента на елемент a nще бъде н-кратно от него, обикновено обозначавано на, който не трябва да се приема като продукт нна а, тъй като нÎℕ и евентуално нÏ Ж. Че. на⇋ къде ннℕ и 0 а=д⇋0 и (- н)а = ‑(на) = н(‑а) за всеки естествен н, където (- а) е обратно на аÎ Ж.
Лесно е да се покаже, че при избраната нотация за всякакви цели числа ми ни за всякакви аÎ Жса изпълнени добре познати свойства: а) с мултипликативна нотация a n ◦a m = a n + mи ( a n)м = a nm; b) с адитивна нотация на+ма = (н+м)аи н(ма)=(nm)а.
Помислете за подмножество от групата Ж, съставен от всички степени на произволен елемент жÎ Ж. Нека го обозначим A g. По този начин, A g ={ж 0 , ж 1 , ж ‑1 , ж 2 , ж-2,¼). очевидно, A gе подгрупа на групата Ж, защото за всякакви елементи х,приÎ A gследва, че ( х◦при)Î A g, и за всеки елемент хÎ A gще има х-1 О A g, Освен това, ж 0 =дÎ A g.
Подгрупа A gНаречен циклична подгрупагрупи Жгенерирани от елемента ж. Тази подгрупа винаги е комутативна, дори и да е самата тя Жне е комутативен. Ако групата Жсъвпада с една от своите циклични подгрупи, тогава се нарича циклична групагенерирани от елемента ж.
Ако всички мощности на елемент жразличен, след това групата ЖНаречен безкраенциклична група и елементът ж- елемент безкраен ред.
Ако сред елементите на цикличната група има равни, напр. g k=g mпри к>м, тогава gk-m=д; и обозначаване к-мпрез н, получаваме gn=д, нÎℕ.
Най-малкият естествен показател нтакова, че gn=д, е наречен редът на елемента g, и самия елемент жНаречен елемент с краен ред.
Такъв елемент винаги може да се намери в крайна група, но може да бъде и в безкрайна група.
Групи, чиито елементи са от краен ред, се наричат периодично издание.
Тъй като всеки елемент от крайна група има краен ред, всички крайни групи са периодични. В допълнение, всички циклични подгрупи на крайна група са периодични, тъй като са крайни, и всеки елемент от краен ред нгенерира циклична група от същия ред н, състоящ се от елементи ( ж 0 , ж 1 , ж 2,¼, gn-един). Наистина, ако броят на елементите беше равен на някои к<н, тогава g k=д=gn, което е в противоречие с избора н, като най-малката степен такава, че gn=д; от друга страна, к>нсъщо е невъзможно, т. к в този случай ще има идентични елементи.
Изявление: 1) всички степени ж 0 , ж 1 , ж 2,¼, gn-1 са различни, защото ако имаше равни, напр. gi=gj (аз>й), тогава g i-j=д, но ( аз‑й)<н, и по дефиниция н-най-малката степен, такава че gn=д.
2) Всяка друга степен ж, положително или отрицателно, е равно на един от елементите ж 0 , ж 1 , ж 2,¼, gn-1 защото всяко цяло число кможе да се представи с израза: к=nq+r, където р,rÎℤ и 0£ r<н, r- остатък и g k=gnq + r= gnq° r= (gn)р° r= e q° r= r.
1) Всяка група има уникален елемент от първи ред ( д), генерирайки циклична подгрупа от първи ред, състояща се от един елемент д.
2) Разгледайте групата на пермутация С 3 , състоящ се от елементите: , , , , , . Поръчка С 3=6. Ред на елементите ае равно на 2, защото . Ред на елементите bсъщо е равно на 2, защото . Ред на елементите се равно на 3, защото и . Ред на елементите fсъщо е равно на 3, защото и . И накрая поръчката де равно на 2, защото . По този начин, циклични подгрупи С 3 генерирани от елементи д, а, b, д, ° Си f, съответно са равни: ( д}, {д, а}, {д, b}, {д, д}, {д, ° С, f) и ( д, f, ° С), където последните две съвпадат. Обърнете внимание също, че редът на всяка циклична подгрупа разделя реда на групата без остатък. Следната теорема е вярна.
Теорема 2.7.1. (Лагранж) Редът на крайна група се дели на реда на който и да е от нейните елементи (тъй като редът на елемента и редът на генерираната от него циклична подгрупа съвпадат).
От това също следва, че всеки елемент от крайна група, когато е повдигнат на степен от порядъка на групата, дава идентичността на групата. (Защото g m=gnk=e k=д, където м- групова поръчка н- ред на елементите ж, ке цяло число).
В група S има 3 подгрупи з={д, ° С, f) е нормален делител, докато подгрупите от порядък 2 не са нормални делители. Това е лесно да се провери чрез намиране на левия и десния косет по зза всеки елемент от групата. Например за елемент аляв съседен клас На={e ◦ a, с◦ а, f◦ а} = {а, b, д) и десния coset един Н={a ◦ e, а◦ ° С, а◦ f} = {а, д, b) съвпада. По същия начин за всички останали елементи С 3 .
3) Множеството от всички цели числа със събиране образува безкрайна циклична група с генериращ елемент 1 (или -1), т.к. всяко цяло число, което е кратно на 1.
4) Разгледайте набора от корени н‑та степен от единица: E n=. Това множество е група по отношение на операцията за умножение на корени. Всъщност продуктът на всеки два елемента e kи e mот E n, където к, м £ н-1 също ще бъде елемент E n, тъй като = = , където r=(k+m) мод ни r £ н-един; умножението е асоциативен, неутрален елемент д=д 0 =1 и за всеки елемент e kима обратен и . Тази група е циклична, нейният генериращ елемент е примитивният корен. Лесно се вижда, че всички степени са различни: , по-нататък за к³ нкорените започват да се повтарят. На комплексната равнина корените са разположени върху окръжност с единичен радиус и я разделят на нравни дъги, както е показано на фигура 11.
Последните два примера изчерпват по същество всички циклични групи. Тъй като следната теорема е вярна.
Теорема 2.7.2. Всички безкрайни циклични групи са изоморфни една на друга. Всички крайни циклични групи от ред низоморфни един на друг.
Доказателство. Позволявам ( Ж, ∘) е безкрайна циклична група с генератор ж. Тогава има биективно картографиране f: ℤ ® Жтака че за всякакви цели числа ки мтехните изображения f(к) и f(м), равни съответно g kи g m, са елементи Ж. И при което f(к+м)=f(к)∘f(м), защото g k + м=g k∘ g m.
нека сега ( Ж, ∘) е крайна циклична група от ред нс родителски елемент ж. След това всеки елемент g kÎ Жединственият начин е да съпоставите елемента e kÎ E n(0£ к<н), според правилото f(g k)=e k. И все пак, за всяка g kи g mÎ Жследва това f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), защото f(g k∘ g m)=f(g k + м)=f(r), където r=(к+м) мод н, и f(r)=ер=e k× e m. Ясно е, че такова сравнение е биективно картографиране.
Група O се нарича циклична, ако всички нейни елементи са степени на един и същ елемент.Този елемент се нарича генератор на цикличната група O. Всяка циклична група е очевидно абелева.
Циклична група е например групата от цели числа чрез събиране. Ще обозначим тази група със символа 2. Нейната генератриса е числото 1 (а също и числото - 1). Циклична група също е група, състояща се само от един елемент (един).
В произволна група O степените на всеки елемент g образуват циклична подгрупа с генератор g. Редът на тази подгрупа очевидно съвпада с реда на елемента g. Оттук, по силата на теоремата на Лагранж (вижте стр. 32), следва, че редът на всеки елемент от групата разделя реда на групата (обърнете внимание, че всички елементи на крайна група са елементи от краен ред).
Следователно, за всеки елемент g от група с краен ред, равенството
Тази проста забележка често е полезна.
Наистина, ако групата O е циклична и нейният генератор, тогава редът на елемента е . Обратно, ако групата O има елемент от ред, тогава сред правомощията на този елемент има различни и следователно тези степени изчерпват цялата група O.
Следователно виждаме, че една циклична група може да има няколко различни генератора (а именно всеки елемент от реда е генератор).
Задача. Докажете, че всяка група от прост ред е циклична група.
Задача. Докажете, че цикличната група от ред има точно генератори, където е броят на положителните числа, по-малък от и взаимно прости с .
Заедно с реда, на всяка крайна група може да се присвои и номер – най-малкото общо кратно на редовете на всички нейни елементи.
Задача. Докажете, че за всяка крайна група O числото дели реда на групата.
Очевидно за циклична група числото съвпада с реда. Обратното обикновено не е вярно. Въпреки това важи следното твърдение, което характеризира цикличните групи в класа на крайните абелеви групи:
крайна абелева група O, за която числото е равно на нейния ред, е циклична група.
Наистина, нека
Поръчките на всички възможни неединични елементи на крайна абелева група O са от порядък , и нека е тяхното най-малко общо кратно.
Нека разширим числото в произведение на степени на различни прости числа:
Нека Тъй като едно число е, по дефиниция, най-малкото общо кратно на числата (1), сред тези числа има поне едно число, което се дели точно на т.е., имащо формата , където b е взаимно просто с . Нека това число е редът на елемента g. Тогава елементът има ред (виж Следствие 1) на стр. 29).
По този начин за всеки от групата O има поне един елемент на поръчката.Избирайки по един такъв елемент за всеки, разгледайте неговия продукт. Съгласно твърдението, доказано на страници 29-30, редът на този продукт е равен на произведението от редовете на , тоест е равен на числото . Тъй като последното число по условие е равно на , това доказва, че има елемент от ред n в групата O. Следователно тази група е циклична група.
Нека сега O е произволна циклична група с генератор и H е някои от нейните подгрупи. Тъй като всеки елемент от подгрупата H е елемент от групата O, той може да бъде представен като , където d е някакво положително или отрицателно цяло число (най-общо казано, то не е еднозначно определено). Да разгледаме множеството от всички положителни числа, за които елементът принадлежи към подгрупата H. Тъй като това множество е непразно (защо?), То съдържа най-малкото число. Оказва се, че всеки елемент h от подгрупата H е степента на елемента. Наистина, по дефиниция съществува число d такова, че (числото d може да бъде и отрицателно). Разделете (с остатък) числото d на числото
Тъй като , тогава поради минималността на числото остатъкът трябва да е равен на нула. По този начин, .
Това доказва, че елементът е генератор на групата H, т.е. че групата H е циклична. И така, всяка подгрупа на циклична група е циклична група.
Задача. Докажете, че числото е равно на индекса на подгрупата H и следователно дели реда на групата O (ако групата O е крайна).
Отбелязваме също, че за всеки делител на реда на крайна циклична група Q в групата O съществува една и само една подгрупа H от ред (а именно подгрупа с генератор
Това означава, че ако крайната циклична група е проста, тогава нейният ред е просто число (или единица).
Накрая отбелязваме, че всяка факторгрупа, следователно всеки хомоморфен образ) на циклична група Q е циклична група.
За доказателство е достатъчно да се отбележи, че генераторът на групата е косетът, съдържащ генератора на групата O.
По-специално, всяка факторна група от групата от цели числа Z е циклична група. Нека проучим тези циклични групи по-подробно.
Тъй като групата Z е абелева, всяка нейна подгрупа R е нормален делител. От друга страна, според доказаното по-горе, подгрупата H е циклична група. Тъй като факторгрупи по тривиални подгрупи са ни известни, можем да считаме подгрупата Η за нетривиална. Нека едно число е генератор на подгрупата H. Можем да считаме това число за положително (защо?) и следователно по-голямо от единица.
Подгрупата H. очевидно се състои от всички цели числа, делими на . Следователно, две числа принадлежат към един и същи клас по отношение на подгрупата H тогава и само ако тяхната разлика се дели на , т.е. когато са сравними по модул (вижте курса, стр. 277). По този начин класовете на класовете по отношение на подгрупата H не са нищо друго освен класове числа, които са сравними по модул.
С други думи, фактор групата на групата Z по отношение на подгрупата H е група (чрез добавяне) от класове числа, които са сравними по модул. Ще обозначим тази група с Нейният генератор е класът, съдържащ числото 1.
Оказва се, че всяка циклична група е изоморфна или на групата Z (ако е безкрайна), или на една от групите (ако нейният ред е краен).
Наистина, нека е генератор на група O. Дефинираме преобразуване на група 2 в група O, като зададем
Определение 1.22. Позволявам Р- Просто число. Група ЖНаречен p-група,ако редът на всеки елемент от групата е равен на някаква степен на просто число Р.
Определение 1.23. Силовска p-подгрупакрайна група Жсе нарича p-подгрупа от тази група, която не се съдържа в по-голяма p-подгрупа от дадената група.
Теорема 1.25. Една крайна абелева група е равна на прякото произведение на нейните силовски p-подгрупи.
Доказателство.Да разгледаме крайна абелева група Жред n и нека n =Р"! стр. 2 2 p*1 k - разширение на числото Пв произведение на степени на различни прости числа. за 1, 2,..., да сение означаваме с λ подгрупата Sylow rg и с λ подгрупата, генерирана от всички λ; за; * азЛесно се доказва, че I, n I, = (e). Следователно аз \u003d (H 1, H 2, ..., H до) \u003d H 1 xH 2 x ... xH до.Да предположим, че има елемент g e g,така че g g H. Съгласно следствие 2 от теоремата на Лагранж, |G| : |g|. Оттук следва, че
|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - a iЗа всяко i = 1, 2, да се.Съгласно следствие от теорема 1.23 има елементи g 1; g2, ..., gkд g,така че = x x... x (g k) и | g,-1 = pf 1 за i = 1, 2, ..., /s. Ако приемем, че g, g R, за някакво r, тогава получаваме p,-подгрупа (ги,аз,) Е I, което противоречи на определението за силовска p,-подгрупа. Така за всяко i = 1, 2,..., /напр., e дот къде съм g e H.Следователно, H = Gи теоремата е доказана.
Теорема 1.26. Крайна абелева p-група е равна на прякото произведение на циклични подгрупи.
Доказателство.Нека е дадена крайна абелева p-група Ж.Нека изберем елемент аот максимален ред p“, и нека H е максимална подгрупа, такава че (a) n H = (e). Тогава (a, R) = (a) x R. Означаваме Gj = (a) x R.
Нека се преструваме, че G F G yОт всички елементи, които не принадлежат на G x , избираме елемент g от минимален ред pP. Ако приемем, че gPg Gbслед това от |gp| = pP- 1 , стигаме до противоречие с избора на елемента g. Следователно gP e G x = (a) x I и има цяло число /c и елемент ч e I, така че gP = a fc /i. Оттук a k= gp/i -1. Ако gcd(/c, p) = 1, тогава gcd(/c, p°9 = 1 и има цели числа u, v такива, че /u + p a v = 1. Тогава
Поради максималната | | a = p aимаме gP" = ди д F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, което противоречи на условието (a) p R = (e). Следователно, /s: r.
Позволявам да се= r/s x. Тогава aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1,където h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Означаваме gj=a _/c ig. Тогава gf -той Х.Ако приемем, че gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH,тогава g e G x , което противоречи на избора на елемента g. Следователно g x g G x и следователно gj g I. Тъй като I е максималната подгрупа с условието (а) n I = (e), след това (a) n (g x , I) ^ (e). Следователно има t, pд Зи елемент hj e i такъв, че e * a t= gf
Ако приемем, че n:r,top=rp 1при някои n,eZи e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, което противоречи на условието (a) n I = = (e). Следователно gcd(p, p) = 1 Hgf =am /if 1 . Ако |g x | =pY, тогава gcd(n, p'0 = 1 и има u x, v x g Z,така че gsh x -t-pYv x = 1. Следователно g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Пак стигнахме до противоречие. Така че остава да приемем това G - (a) x I. Сега, в подгрупа I, по подобен начин отделяме чрез пряк фактор цикличната подгрупа на максималните в зред и т.н., докато получим разлагане на групата Жв директен продукт на циклични подгрупи. Теоремата е доказана.
Теорема 1.27. Крайна абелева група е равна на прякото произведение на циклични p-подгрупи.
Доказателството следва от теореми 1.25 и 1.26.
В заключение на главата за групите отбелязваме, че групата може да се разглежда като набор с една двоична операция, която е асоциативна и за всякакви елементи аи Комерсантуравненията са еднозначно разрешими брадва = b uya-b.Този възглед за групата води до две обобщения. От една страна, може да се съсредоточи върху изучаването на значението на асоциативността на една операция и това води до концепцията за полугрупа като набор с една асоциативна операция (виж работа ). От друга страна, изискването за асоциативност може да бъде пренебрегнато и това води до концепцията за квазигрупа като множество с една двоична операция, по отношение на която посочените уравнения са еднозначно разрешими. Квазигрупа с идентичност се нарича цикъл (виж статията). Теорията на полугрупите и теорията на квазигрупите се превърнаха в две независимо развиващи се съществени теории. Не ги споменаваме в основния текст от съображения за "максимално възможен минимум" обем.
