Рангът на матрицата е важен числена характеристика. Най-типичният проблем, който изисква намирането на ранга на матрица, е проверката на съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем понятието за ранг на матрицата и ще разгледаме методите за намирането му. За да разберем по-добре материала, ще анализираме подробно решенията на няколко примера.
Навигация в страницата.
Определяне на ранга на матрица и необходими допълнителни понятия.
Преди да изразите дефиницията на ранга на матрица, трябва да имате добро разбиране на концепцията за минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Така че, ако е необходимо, ви препоръчваме да си припомните теорията на статията, методите за намиране на детерминанта на матрица и свойствата на детерминантата.
Нека вземем матрица A от порядък . Нека k е малко естествено число, не превишаващо най-малкото от числата m и n, т.е. 
.
Определение.
Малък k-ти редматрица A е детерминанта на квадратна матрица от ред, съставена от елементи на матрица A, които са разположени в предварително избрани k реда и k колони, като подредбата на елементите на матрица A се запазва.
С други думи, ако в матрицата A изтрием (p–k) редове и (n–k) колони, а от останалите елементи създадем матрица, като запазим подредбата на елементите на матрицата A, то детерминантата на получената матрица е второстепенна от порядъка k на матрицата A.
Нека да разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.
Помислете за матрицата 
.
Нека запишем няколко минора от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрица A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред 
. С други думи, за да получим този минор, задраскахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме детерминанта от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона на матрица A, тогава получаваме минор 
.
Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред 
И 
.
По този начин минори от първи ред на една матрица са самите матрични елементи.
Нека покажем няколко второстепенни второстепенни. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме минор от втори ред 
. Този минор може също да бъде съставен чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.
Друг минор от втори ред на матрицата A е .
Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни лица 
И 
.
По подобен начин могат да бъдат намерени минори от трети ред на матрицата A. Тъй като в матрица A има само три реда, ние ги избираме всички. Ако изберем първите три колони от тези редове, получаваме минор от трети порядък 
Може да се конструира и чрез задраскване на последната колона на матрицата A.
Друг минор от трети ред е 
получен чрез изтриване на третата колона на матрица A.
Ето снимка, показваща изграждането на тези второстепенни елементи от трети ред 
И 
.
За дадена матрица A няма второстепенни от порядък по-висок от трети, тъй като .
Колко минори от k-ти ред има на матрица A от ред?
Броят на минорите от ред k може да се изчисли като , където 
И 
- броят на комбинациите съответно от p до k и от n до k.
Как можем да конструираме всички минори от ред k на матрица A от ред p по n?
Ще ни трябват много номера на редове на матрицата и много номера на колони. Записваме всичко комбинации от p елементи по k(те ще съответстват на избраните редове от матрица A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове последователно добавяме всички комбинации от n елемента от k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и номера на колони на матрица A ще помогнат да се съставят всички второстепенни от порядък k.
Нека го разгледаме с пример.
Пример.
Намерете всички минори от втори ред на матрицата.
Решение.
Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, общият брой второстепенни числа ще бъде такъв 
.
Нека запишем всички комбинации от 3 до 2 числа на ред на матрица A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от 3 до 2 номера на колони са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.
Нека вземем първия и втория ред на матрица А. Избирайки първата и втората колони, първата и третата колона, втората и третата колона за тези редове, получаваме респ. 
За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме 
Остава да добавите първата и втората, първата и третата, втората и третата колони към втория и третия ред: 
И така, всичките девет минора от втори ред на матрица A са намерени.
Сега можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата.
Определение.
Ранг на матрицата- Това най-висок порядъкматрица минор, различна от нула.
Рангът на матрица A се означава като Rank(A) . Можете също да намерите обозначенията Rg(A) или Rang(A) .
От определенията за ранг на матрица и второстепенна матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е не по-малък от единица.
Намиране на ранга на матрица по дефиниция.
И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е метод за изброяване на непълнолетни. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.
Нека трябва да намерим ранга на матрица A от порядък .
Нека опишем накратко алгоритъмразрешаване на този проблем чрез изброяване на малолетни.
Ако има поне един елемент от матрицата, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица (тъй като има второстепенен елемент от първи ред, който не е равен на нула).
След това разглеждаме минорите от втори ред. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от втори ред, тогава продължаваме да изброяваме минорите от трети ред, а рангът на матрицата е най-малко равен на две.
По същия начин, ако всички минори от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е две. Ако има поне един минор от трети ред, различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне три и преминаваме към изброяване на минори от четвърти ред.
Имайте предвид, че рангът на матрицата не може да надвишава най-малкото от числата p и n.
Пример.
Намерете ранга на матрицата 
.
Решение.
Тъй като матрицата е ненулева, нейният ранг е не по-малък от единица.
Минор от втори ред 
е различно от нула, следователно рангът на матрица A е поне две. Преминаваме към изброяване на второстепенни лица от трети ред. Общо от тях 
неща. 
Всички минори от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е две.
Отговор:
Ранг(A) = 2 .
Намиране на ранга на матрица с помощта на метода на граничещите минори.
Има други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.
Един такъв метод е edge minor метод.
Да се справим с понятието ръб минор.
Казва се, че минор M ok от (k+1)-ия ред на матрицата A граничи с минор M от ред k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на минор M ok, „съдържа“ матрицата, съответстваща на минор М .
С други думи, матрицата, съответстваща на граничещия минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничещия минор M ok чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.
Например, помислете за матрицата 
и вземете минор от втори ред. Нека запишем всички граничещи второстепенни: 
Методът на граничещите минори е оправдан от следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).
Теорема.
Ако всички минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k+1) на матрицата A са равни на нула.
По този начин, за да се намери рангът на матрица, не е необходимо да се преминава през всички второстепенни, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с минора от k-ти ред на матрица A от ред, се намира по формулата 
. Обърнете внимание, че няма повече минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрицата A, отколкото има (k + 1) минори от порядък на матрицата A. Следователно в повечето случаи използването на метода на граничещи непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.
Нека да преминем към намиране на ранга на матрицата, използвайки метода на граничещите второстепенни. Нека опишем накратко алгоритъмтози метод.
Ако матрицата A е различна от нула, тогава като минор от първи ред приемаме всеки елемент от матрицата A, който е различен от нула. Нека да разгледаме неговите граничещи второстепенни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев граничен минор (неговият ред е две), тогава пристъпваме към разглеждане на неговите граничещи минори. Ако всички те са нула, тогава Rank(A) = 2. Ако поне един граничен минор е различен от нула (редът му е три), тогава считаме неговите граничещи минори. И така нататък. В резултат на това Rank(A) = k, ако всички граничещи минори от (k + 1)-ия ред на матрицата A са равни на нула, или Rank(A) = min(p, n), ако има не- нулев минор, граничещ с минор от порядък (min( p, n) – 1) .
Нека да разгледаме метода за ограждане на второстепенни, за да намерим ранга на матрица, използвайки пример.
Пример.
Намерете ранга на матрицата 
по метода на граничещи непълнолетни.
Решение.
Тъй като елемент a 1 1 от матрица A е различен от нула, ние го приемаме като минор от първи ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, който е различен от нула: 
Намира се минор на ребра от втори ред, различен от нула. Нека да разгледаме неговите граничещи непълнолетни (техните 
неща): 
Всички минори, граничещи с минор от втори ред, са равни на нула, следователно рангът на матрица A е равен на две.
Отговор:
Ранг(A) = 2 .
Пример.
Намерете ранга на матрицата 
използване на гранични непълнолетни.
Решение.
Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A. Околният минор от втори ред 
не е равно на нула. Този минор граничи с минор от трети ред 
. Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма нито един граничен минор, рангът на матрица A е равен на три.
Отговор:
Ранг(A) = 3 .
Намиране на ранга чрез елементарни матрични трансформации (метод на Гаус).
Нека разгледаме друг начин за намиране на ранга на матрица.
Следните матрични трансформации се наричат елементарни:
- пренареждане на редове (или колони) на матрица;
- умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрица по произволно число k, различно от нула;
- добавяне към елементите на ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число k.
Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, ако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", т.е. написана A ~ B.
Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B) .
Валидността на това твърдение следва от свойствата на детерминантата на матрицата:
- При пренареждане на редовете (или колоните) на матрицата нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, то при пренареждане на редове (колони) остава равно на нула.
- При умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрица с произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула, тогава след умножаване на всички елементи от всеки ред или колона по числото k, детерминантата на получената матрица също ще бъде равна на нула.
- Добавянето към елементите на определен ред (колона) на матрица на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по определено число k, не променя нейния детерминант.
Същността на метода на елементарните трансформациисе състои в намаляване на матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапецовидна (в частен случай до горна триъгълна) с помощта на елементарни трансформации.
Защо се прави това? Рангът на матрици от този тип е много лесен за намиране. Той е равен на броя редове, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя при извършване на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.
Даваме илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Появата им зависи от реда на матрицата.
Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.
Нека опишем алгоритъм на метода.
Нека трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от ред (p може да бъде равно на n).
Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрица A по . В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначавайки я A (1): 
Към елементите от втория ред на получената матрица A (1) добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Към елементите на третия ред добавяме съответните елементи на първия ред, умножени по . И така до p-тия ред. Нека получим еквивалентна матрица, обозначим я с A (2): 
Ако всички елементи на получената матрица, разположени в редове от втория до p-тия, са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равен до един.
Ако в редовете от втория до p-ия има поне един ненулев елемент, тогава продължаваме да извършваме трансформации. Освен това действаме по абсолютно същия начин, но само с частта от матрица A (2), отбелязана на фигурата. 
Ако , тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрица A (2), така че „новият“ елемент да стане различен от нула.
Във всяка матрица могат да бъдат свързани два ранга: ранг на ред (ранг на система от редове) и ранг на колона (ранг на система от колони).
Теорема
Рангът на реда на матрицата е равен на ранга на нейната колона.
Ранг на матрицата
Определение
Ранг на матрицата$A$ е рангът на неговата система от редове или колони.
Означава се с $\operatorname(rang) A$
На практика, за да се намери рангът на матрица, се използва следното твърдение: рангът на матрица е равен на броя на ненулевите редове след редуциране на матрицата до форма на ешелон.
Елементарните трансформации по редовете (колоните) на една матрица не променят нейния ранг.
Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрицата $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Решение.Използвайки елементарни трансформации на нейните редове, редуцираме матрицата $A$ до ешалонна форма. За да направите това, първо извадете вторите две от третия ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
От втория ред изваждаме четвъртия ред, умножен по 4; от третата - две четвърти:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Добавяме първите пет към втория ред, а третите три към третия:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Разменете първия и втория ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Отговор.$ \operatorname(rang) A=2 $
Метод за ограждане на малолетни
Друг метод за намиране на ранга на матрица се основава на тази теорема - незначителен метод на кантиране. Същността на този метод е да се намерят непълнолетни, като се започне от по-ниски степени и се премине към по-високи. Ако минорът от $n$-ти ред не е равен на нула и всички минори от $n+1$-ти ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на $n$.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрицата $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ с помощта на метода за второстепенно кантиране.
Решение.Минори от минимален ред са минори от първи ред, които са равни на елементите на матрицата $A$. Да разгледаме, например, незначителен $ M_(1)=1 \neq 0 $ . разположени в първия ред и първата колона. Ограждаме го с помощта на втория ред и втората колона, получаваме второстепенния $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Нека разгледаме друг минор от втори ред, за това ограждаме минора $M_1$ с помощта на втория ред и третата колона, тогава имаме минора $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тоест рангът на матрицата е не по-малко от две. След това разглеждаме минорите от трети ред, които граничат с минора $ M_(2)^(2) $. Има две такива второстепенни: комбинация от третия ред с втората колона или с четвъртата колона. Нека изчислим тези минори.
За да работим с концепцията за ранг на матрицата, ще ни е необходима информация от темата "Алгебрични допълнения и минори. Видове минори и алгебрични допълнения." На първо място, това се отнася до термина „минорна матрица“, тъй като ще определим ранга на матрицата точно чрез непълнолетните.
Ранг на матрицатае максималният ред на неговите второстепенни, сред които има поне един, който не е равен на нула.
Еквивалентни матрици- матрици, чиито рангове са еднакви.
Нека обясним по-подробно. Да предположим, че сред минори от втори ред има поне един, който е различен от нула. И всички малки, чийто ред е по-висок от две, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 2. Или, например, сред второстепенните от десети ред има поне един, който не е равен на нула. И всички минори, чийто ред е по-висок от 10, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 10.
Рангът на матрицата $A$ се означава по следния начин: $\rang A$ или $r(A)$. Рангът на нулевата матрица $O$ се приема за нула, $\rang O=0$. Позволете ми да ви напомня, че за да образувате матрица минор, трябва да задраскате редове и колони, но е невъзможно да задраскате повече редове и колони, отколкото съдържа самата матрица. Например, ако матрицата $F$ има размер $5\times 4$ (т.е. съдържа 5 реда и 4 колони), тогава максималният ред на нейните минори е четири. Вече няма да е възможно да се формират второстепенни от пети ред, тъй като те ще изискват 5 колони (а ние имаме само 4). Това означава, че рангът на матрицата $F$ не може да бъде повече от четири, т.е. $\ранг F≤4$.
В по-обща форма горното означава, че ако една матрица съдържа $m$ реда и $n$ колони, тогава нейният ранг не може да надвишава най-малкия от $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.
По принцип от самата дефиниция на ранг следва методът за намирането му. Процесът на намиране на ранга на матрица, по дефиниция, може да бъде схематично представен по следния начин:
Нека обясня тази диаграма по-подробно. Нека започнем да разсъждаваме от самото начало, т.е. от минори от първи ред на някаква матрица $A$.
- Ако всички минори от първи ред (т.е. елементи на матрицата $A$) са равни на нула, тогава $\rang A=0$. Ако сред минорите от първи ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 1$. Нека да преминем към проверка на непълнолетни от втори ред.
- Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава $\rang A=1$. Ако сред минори от втори ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 2$. Да преминем към проверка на непълнолетни от трети ред.
- Ако всички минори от трети ред са равни на нула, тогава $\rang A=2$. Ако сред минори от трети ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверката на непълнолетните от четвърти ред.
- Ако всички минори от четвърти ред са равни на нула, тогава $\rang A=3$. Ако сред минори от четвърти ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 4$. Преминаваме към проверка на малолетни от пети ред и т.н.
Какво ни очаква в края на тази процедура? Възможно е сред минори от k-ти порядък да има поне един, който е различен от нула, и всички (k+1) минори от порядък да бъдат равни на нула. Това означава, че k е максималният ред от второстепенни, сред които има поне един, който не е равен на нула, т.е. рангът ще бъде равен на k. Може да има различна ситуация: сред минори от k-ти ред ще има поне един, който не е равен на нула, но вече няма да е възможно да се формират (k+1) минори от ред. В този случай рангът на матрицата също е равен на k. Накратко, редът на последния съставен ненулев минор ще бъде равен на ранга на матрицата.
Нека да преминем към примери, в които процесът на намиране на ранга на матрица, по дефиниция, ще бъде ясно илюстриран. Позволете ми да подчертая още веднъж, че в примерите от тази тема ще започнем да намираме ранга на матриците, като използваме само определението за ранг. Други методи (изчисляване на ранга на матрица, използвайки метода на граничещи второстепенни, изчисляване на ранга на матрица, използвайки метода на елементарните трансформации) се обсъждат в следващите теми.
Между другото, изобщо не е необходимо да стартирате процедурата за намиране на ранга с непълнолетни от най-малък ред, както беше направено в примери № 1 и № 2. Веднага можете да преминете към второстепенни от по-високи степени (вижте пример № 3).
Пример №1
Намерете ранга на матрицата $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Тази матрица е с размер $3\пъти 5$, т.е. съдържа три реда и пет колони. От числата 3 и 5 минимумът е 3, следователно рангът на матрицата $A$ е не повече от 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И това неравенство е очевидно, тъй като вече няма да можем да образуваме второстепенни от четвърти ред - те изискват 4 реда, а ние имаме само 3. Нека да преминем директно към процеса на намиране на ранга на дадена матрица.
Сред минори от първи ред (т.е. сред елементите на матрицата $A$) има ненулеви. Например 5, -3, 2, 7. По принцип не се интересуваме от общия брой на ненулевите елементи. Има поне един ненулев елемент - и това е достатъчно. Тъй като сред минорите от първи ред има поне един различен от нула, заключаваме, че $\rang A≥ 1$ и преминаваме към проверка на минорите от втори ред.
Нека започнем да изследваме второстепенни лица от втори ред. Например, в пресечната точка на редове № 1, № 2 и колони № 1, № 4 има елементи от следния минор: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. За тази детерминанта всички елементи от втората колона са равни на нула, следователно самата детерминанта е равна на нула, т.е. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (вижте свойство № 3 в темата за свойствата на детерминантите). Или можете просто да изчислите този детерминант, като използвате формула № 1 от раздела за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Първият минор от втори ред, който тествахме, се оказа равен на нула. Какво означава това? Относно необходимостта от допълнителна проверка на непълнолетните от втори ред. Или всички те ще се окажат нула (и тогава рангът ще бъде равен на 1), или сред тях ще има поне един минор, който е различен от нула. Нека се опитаме да направим по-добър избор, като напишем минор от втори ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 1, № 2 и колони № 1 и № 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Нека намерим стойността на този минор от втори порядък:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Този минор не е равен на нула. Извод: сред минорите от втори ред има поне един различен от нула. Следователно $\rang A≥ 2$. Трябва да преминем към изучаване на непълнолетни от трети ред.
Ако изберем колона № 2 или колона № 4 за образуване на минори от трети ред, тогава тези минори ще бъдат равни на нула (тъй като ще съдържат нулева колона). Остава да се провери само един минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на колони № 1, № 3, № 5 и редове № 1, № 2, № 3. Нека запишем този минор и да намерим стойността му:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
И така, всички минори от трети ред са равни на нула. Последният ненулев минор, който компилирахме, беше от втори порядък. Заключение: максималният ред на второстепенните, сред които има поне един различен от нула, е 2. Следователно $\rang A=2$.
Отговор: $\rang A=2$.
Пример №2
Намерете ранга на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Ние имаме квадратна матрицачетвърти ред. Нека веднага да отбележим, че рангът на тази матрица не надвишава 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Нека започнем да намираме ранга на матрицата.
Сред второстепенните елементи от първи ред (т.е. сред елементите на матрицата $A$) има поне един, който не е равен на нула, следователно $\rang A≥ 1$. Нека да преминем към проверка на непълнолетни от втори ред. Например в пресечната точка на редове № 2, № 3 и колони № 1 и № 2 получаваме следния минор от втори ред: $\left| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(масив) \right|$. Нека го изчислим:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(масив) \right|=0-10=-10. $$
Сред минори от втори ред има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 2$.
Да преминем към минори от трети ред. Да намерим, например, минор, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 1, № 3, № 4 и колони № 1, № 2, № 4:
$$\ляво | \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(масив) \right|=105-105=0. $$
Тъй като този минор от трети ред се оказа равен на нула, е необходимо да се изследва друг минор от трети ред. Или всички те ще бъдат равни на нула (тогава рангът ще бъде равен на 2), или сред тях ще има поне един, който не е равен на нула (тогава ще започнем да изучаваме минори от четвърти ред). Нека разгледаме минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 2, № 3, № 4 и колони № 2, № 3, № 4:
$$\ляво| \begin(масив) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(масив) \right|=-28. $$
Сред минори от трети ред има поне един различен от нула, така че $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверката на непълнолетните от четвърти ред.
Всеки минор от четвърти ред се намира в пресечната точка на четири реда и четири колони на матрицата $A$. С други думи, минорът от четвърти ред е детерминантата на матрицата $A$, тъй като тази матрица съдържа 4 реда и 4 колони. Детерминантата на тази матрица беше изчислена в пример № 2 от темата "Намаляване на реда на детерминантата. Разлагане на детерминантата в ред (колона)", така че нека просто вземем крайния резултат:
$$\ляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (масив)\right|=86. $$
Така че минорът от четвърти ред не е равен на нула. Вече не можем да образуваме минори от пети ред. Заключение: най-високият ред на второстепенните, сред които има поне един различен от нула, е 4. Резултат: $\rang A=4$.
Отговор: $\rang A=4$.
Пример №3
Намерете ранга на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( масив) \right)$.
Нека веднага да отбележим, че тази матрица съдържа 3 реда и 4 колони, така че $\rang A≤ 3$. В предишните примери започнахме процеса на намиране на ранга, като разгледахме второстепенни от най-малкия (първи) ред. Тук ще се опитаме незабавно да проверим непълнолетните от най-високия възможен порядък. За матрицата $A$ това са минори от трети ред. Нека разгледаме минор от трети ред, чиито елементи се намират в пресечната точка на редове № 1, № 2, № 3 и колони № 2, № 3, № 4:
$$\ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(масив) \right|=-8-60-20=-88. $$
И така, най-високият ред на второстепенните, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно рангът на матрицата е 3, т.е. $\rang A=3$.
Отговор: $\rang A=3$.
Като цяло, намирането на ранг на матрица по дефиниция е в общия случай доста трудоемка задача. Например относително малка матрица с размер $5\times 4$ има 60 второстепенни лица. И дори ако 59 от тях са равни на нула, тогава 60-то второстепенно може да се окаже различно от нула. След това ще трябва да изучавате минори от трети ред, от които тази матрица има 40 броя. Обикновено те се опитват да използват по-малко тромави методи, като метода на граничещите второстепенни или метода на еквивалентните трансформации.
Всякаква матрица Апоръчка m×nможе да се разглежда като колекция мнизови вектори или нколонни вектори.
Рангматрици Апоръчка m×nе максималният брой линейно независими вектори в колони или вектори в редове.
Ако рангът на матрицата Аравно на r, тогава е написано:
Намиране на ранга на матрица
Позволявам Аматрица на произволен ред м× н. Да се намери рангът на матрица АКъм него прилагаме метода на елиминиране на Гаус.
Обърнете внимание, че ако на някакъв етап на елиминиране водещият елемент е равен на нула, тогава разменяме този ред с реда, в който водещият елемент е различен от нула. Ако се окаже, че няма такъв ред, преминете към следващата колона и т.н.
След процеса на Гаусово елиминиране, ние получаваме матрица, чиито елементи под главния диагонал са равни на нула. Освен това може да има вектори с нулев ред.
Броят на ненулевите редови вектори ще бъде рангът на матрицата А.
Нека да разгледаме всичко това с прости примери.
Пример 1.
Умножавайки първия ред по 4 и добавяйки към втория ред и умножавайки първия ред по 2 и добавяйки към третия ред, имаме:
Умножете втория ред по -1 и го добавете към третия ред:
Получихме два ненулеви реда и следователно рангът на матрицата е 2.
Пример 2.
Нека намерим ранга на следната матрица:
Умножете първия ред по -2 и го добавете към втория ред. По същия начин нулираме елементите на третия и четвъртия ред на първата колона:
Нека нулираме елементите на третия и четвъртия ред на втората колона, като добавим съответните редове към втория ред, умножени по числото -1.
Редове (колони). Няколко реда (колони) се наричат линейно независими, ако никой от тях не може да бъде изразен линейно чрез останалите. Рангът на редовата система винаги е равен на ранга на колонната система и това число се нарича ранг на матрицата.
Рангът на матрицата е най-високият от редовете на всички възможни ненулеви второстепенни на тази матрица. Рангът на нулева матрица с произволен размер е нула. Ако всички минори от втори ред са нула, тогава рангът е едно и т.н.
Ранг на матрицата - размерност на изображението dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A)))линеен оператор, на който съответства матрицата.
Обикновено рангът на матрицата A (\displaystyle A)обозначен с ранг A (\displaystyle \operatorname (ранг) A), r A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A)или ранг A (\displaystyle \operatorname (ранг) A). Последният вариант е типичен за на английски, докато първите два са за немски, френски и редица други езици.
Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
Нека е правоъгълна матрица.
След това, по дефиниция, рангът на матрицата A (\displaystyle A)е:
Теорема (за коректността на определяне на ранговете).Нека всички минори на матрицата A m × n (\displaystyle A_(m\умножено по n))поръчка k (\displaystyle k)са равни на нула ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), ако съществуват.
Свързани определения
Имоти
- Теорема (за базисния минор):Позволявам r = ранг A , M r (\displaystyle r=\име на оператор (ранг) A,M_(r))- базис минор на матрицата A (\displaystyle A), Тогава:
- Последствия:
- Теорема (за инвариантността на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем обозначение за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава е вярно следното твърдение: Ако A ∼ B (\displaystyle A\sim B), тогава ранговете им са равни.
- Теорема на Кронекер-Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. В частност:
- Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
- Ще бъде определена последователна система (решението й е уникално), ако рангът на системата равно на числотовсички негови променливи.
- Неравенството на Силвестър:Ако АИ бразмерни матрици m x nИ n x k, Че
Това е частен случай на следното неравенство.
- Неравенството на Фробениус:Ако AB, BC, ABC са правилно определени, тогава
Линейна трансформация и ранг на матрицата
Позволявам A (\displaystyle A)- размерна матрица m × n (\displaystyle m\times n)над полето C (\displaystyle C)(или R (\displaystyle R)). Позволявам T (\displaystyle T)- линейна трансформация съответстваща A (\displaystyle A)на стандартна база; означава, че T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Ранг на матрицата A (\displaystyle A) е измерението на диапазона на трансформация T (\displaystyle T).
Методи
Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:
- Метод на елементарна трансформация
- Граничен второстепенен метод
