Глава 6. Непрекъснати случайни променливи.
§ 1. Плътност и функция на разпределение на непрекъсната случайна величина.
Наборът от стойности на непрекъсната случайна променлива е неизброим и обикновено представлява някакъв краен или безкраен интервал.
Случайна стойност x(w), дефиниран във вероятностното пространство (W, S,P), се извиква непрекъснато(абсолютно непрекъснато) W, ако съществува неотрицателна функция, така че за всяко x функцията на разпределение Fx(x) може да бъде представена като интеграл
Функцията се нарича функция плътност на разпределение на вероятностите.
Свойствата на функцията за плътност на разпределението следват от определението:
1..gif" width="97" height="51">
3. В точките на непрекъснатост плътността на разпределението е равна на производната на функцията на разпределение: .
4. Плътността на разпределение определя закона за разпределение на случайна променлива, тъй като определя вероятността случайна променлива да попадне в интервала:
5. Вероятността една непрекъсната случайна променлива да приеме определена стойност е нула: . Следователно са верни следните равенства:
Графиката на функцията на плътността на разпределението се нарича крива на разпределение, а площта, ограничена от кривата на разпределение и оста x, е равна на единица. Тогава, геометрично, стойността на функцията на разпределение Fx(x) в точката x0 е областта, ограничена от кривата на разпределение и оста x и лежаща отляво на точката x0.
Задача 1.Функцията на плътност на непрекъсната случайна променлива има формата:
Определете константата C, конструирайте функцията на разпределение Fx(x) и изчислете вероятността .
Решение.Константата C се намира от условието Имаме:
откъдето C=3/8.
За да конструирате функцията на разпределение Fx(x), имайте предвид, че интервалът разделя обхвата на аргумента x (числовата ос) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">
тъй като плътността x на полуоста е нула. Във втория случай
И накрая, в последния случай, когато x>2,
Тъй като плътността изчезва на полуоста. Така се получава функцията на разпределение
Вероятност изчислете по формулата. По този начин,
§ 2. Числени характеристикинепрекъсната случайна променлива
Очаквана стойностза непрекъснато разпределени случайни променливи се определя по формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
ако интегралът отдясно се сближава абсолютно.
дисперсия x може да се изчисли с помощта на формулата 
, а също, както в дискретния случай, по формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Всички свойства на очакване и дисперсия, дадени в глава 5 за дискретни случайни променливи, са валидни и за непрекъснати случайни променливи.
Задача 2. За случайна променлива x от задача 1 изчислете очаквана стойности дисперсия .
Решение.
А това означава
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Графика на плътността равномерно разпределениевиж фиг. .
Фиг.6.2. Функция на разпределение и плътност на разпределение. единен закон
Функцията на разпределение Fx(x) на равномерно разпределена случайна променлива е
Fx(x)= 
Математическо очакване и дисперсия; .
Експоненциалното (експоненциално) разпределение.Непрекъсната случайна променлива x, която приема неотрицателни стойности, има експоненциално разпределение с параметър l>0, ако плътността на разпределение на вероятността на случайната променлива е равна на
px(x)= 
Ориз. 6.3. Функция на разпределение и плътност на разпределение на експоненциалния закон.
Функцията на разпределение на експоненциалното разпределение има формата
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , ако неговата плътност на разпределение е равна на
.
Множеството от всички случайни променливи, разпределени по нормалния закон с параметри и параметри, се означава с .
Функцията на разпределение на нормално разпределена случайна променлива е
.
Ориз. 6.4. Функция на разпределение и плътност на разпределение на нормалния закон
Параметрите на нормалното разпределение са математическото очакване https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
В конкретния случай, когато https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормалното разпределение се нарича стандартен, а класът на такива дистрибуции е обозначен https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
докато разпределителната функция
Такъв интеграл не може да се изчисли аналитично (не се взема в „квадратури“) и затова се съставят таблици за функцията. Функцията е свързана с функцията на Лаплас, въведена в глава 4
,
следната връзка 
. В случай на произволни стойности на параметрите https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функцията за разпределение на случайна променлива е свързана с функцията на Лаплас, използвайки връзката:
.
Следователно вероятността случайна променлива с нормално разпределение да попадне в интервал може да се изчисли по формулата
.
Неотрицателна случайна променлива x се нарича логаритмично нормално разпределена, ако нейният логаритъм h=lnx се подчинява на нормалния закон. Математическото очакване и дисперсията на логаритмично нормално разпределена случайна променлива са Mx= и Dx=.
Задача 3.Нека бъде дадена произволна стойност https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Решение.Тук и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Разпределение на Лаплассе задава от функцията fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и ексцесът е gx=3.
Фиг.6.5. Функция на плътността на разпределението на Лаплас.
Случайната променлива x е разпределена върху Закон на Уейбул, ако има функция за плътност на разпространение, равна на https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Разпределението на Weibull се подчинява на времето за безотказна работа на много технически устройства. В задачите от този профил важна характеристика е коефициентът на отказ (смъртност) l(t) на изследваните елементи на възраст t, определен от връзката l(t)=. Ако a=1, то разпределението на Уейбул се превръща в експоненциално разпределение, а ако a=2 - в т.нар. Рейли.
Математическо очакване на разпределението на Вейбул: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, където Г(а) е Ойлер функция..
В различни проблеми на приложната статистика често се срещат така наречените "пресечени" разпределения. Например данъчните власти се интересуват от разпределението на доходите на тези лица, чийто годишен доход надвишава определен праг c0, установен от данъчните закони. Тези разпределения се оказват приблизително същите като разпределението на Парето. Разпределение на Паретодадени от функции
Fx(x)=P(x
Тук https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Задача 4.Случайната променлива е равномерно разпределена на интервала. Намерете плътността на случайна променлива.
Решение.От условието на задачата следва, че
След това функцията е монотонна и диференцируема функция на интервала и има обратна функция 
, чиято производна е равна Следователно,
§ 5. Двойка непрекъснати случайни променливи
Нека са дадени две непрекъснати случайни променливи x и h. Тогава двойката (x, h) определя "случайна" точка на равнината. Извиква се двойка (x, h). произволен векторили двумерна случайна променлива.
съвместна разпределителна функцияслучайни променливи x и h и функцията се нарича F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. плътност на ставатавероятностното разпределение на случайни променливи x и h е функция, такава че 
.
Значението на това определение на плътността на разпределение на ставите е следното. Вероятността "случайна точка" (x, h) да попадне в област на равнина се изчислява като обем на триизмерна фигура - "извит" цилиндър, ограничен от повърхността https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Най-простият пример за съвместно разпределение на две случайни променливи е двумерното равномерно разпределение на снимачната площадкаА. Нека е дадено ограничено множество M с площ, което се определя като разпределението на двойката (x, h), дадено от следната плътност на ставите:
Задача 5.Нека двумерен произволен вектор (x, h) е равномерно разпределен вътре в триъгълника. Изчислете вероятността за неравенство x>h.
Решение.Площта на посочения триъгълник е равна на (виж фиг. №?). По силата на определението за двумерно равномерно разпределение общата плътност на случайните променливи x, h е равна на
Събитието отговаря на комплекта 
на равнина, тоест полуравнина. Тогава вероятността
В полуравнината B плътността на фугата е равна на нула извън множеството https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Така , полуравнината B е разделена на две множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , и вторият интеграл нула, тъй като плътността на фугата там е нула. Ето защо
Ако е дадена съвместната плътност на разпределение за двойката (x, h), тогава плътностите и компонентите x и h се наричат частни плътностии се изчисляват по формулите:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
За непрекъснато разпределени случайни променливи с плътности px(x), ph(y), независимостта означава, че
Задача 6.При условията на предишната задача определете дали компонентите на случайния вектор x и h са независими?
Решение. Нека изчислим частичните плътности и . Ние имаме:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Очевидно в нашия случай https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> е плътността на съединението на x и h и j(x, y) тогава е функция на два аргумента
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Задача 7.В условията на предишната задача изчислете .
Решение.Според горната формула имаме:
.
Представяне на триъгълника като
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Плътност на сумата от две непрекъснати случайни величини
Нека x и h са независими случайни променливи с плътност https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плътността на случайната променлива x + h се изчислява по формула навивки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Изчислете сумарната плътност.
Решение.Тъй като x и h са разпределени по експоненциалния закон с параметъра, техните плътности са равни на
Следователно,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Ако x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">е отрицателна и следователно . Следователно, ако https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Така получихме отговора:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> се разпределя нормално с параметри 0 и 1. Случайните променливи x1 и x2 са независими и имат нормално разпределения с параметри съответно a1 и a2 Докажете, че x1 + x2 има нормално разпределение Случайните променливи x1, x2, ... xn са разпределени и независими и имат една и съща функция на плътност на разпределение
.
Намерете функцията на разпределение и плътността на разпределение на количествата:
а) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn)
Случайните величини x1, x2, ... xn са независими и равномерно разпределени на отсечката [а, b]. Намерете функции на разпределение и функции на плътност на разпределение на количества
x(1) = min(x1,x2, ... xn) и x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Докажете, че M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Случайната величина е разпределена по закона на Коши Намерете: а) коефициента a; б) разпределителна функция; в) вероятността за постигане на интервала (-1, 1). Покажете, че очакването на x не съществува. Случайната променлива се подчинява на закона на Лаплас с параметър l (l>0): Намерете коефициента a; изграждат графики на плътност на разпределение и функция на разпределение; намерете Mx и Dx; намерете вероятностите за събития (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Напишете формула за плътността на разпределение, намерете Mx и Dx.
Компютърни задачи.
Произволна точка A има равномерно разпределение в окръжност с радиус R. Намерете математическото очакване и дисперсията на разстоянието r от точка до центъра на окръжността. Покажете, че величината r2 е равномерно разпределена на интервала . 
Плътността на разпределение на случайна променлива има формата: 
Изчислете константата C, функцията на разпределение F(x) и вероятността 
Плътността на разпределение на случайна променлива има формата: 
Изчислете константата C, функцията на разпределение F(x) и вероятността 
Плътността на разпределение на случайна променлива има формата: 
Изчислете константа C, функция на разпределение F(x), дисперсия и вероятност. Случайната променлива има функция на разпределение 
Изчислете плътността на случайна променлива, математическото очакване, дисперсията и вероятността Проверете дали функцията = 
може да бъде функция на разпределение на случайна променлива. Намерете числените характеристики на това количество: Mx и Dx. Случайната променлива е равномерно разпределена върху сегмента. Напишете плътността на разпределение. Намерете функцията на разпределение. Намерете вероятността за попадение на произволна променлива на сегмента и на сегмента. Плътността на разпределение x е
.
Намерете константата c, плътността на разпределение h = и вероятността
P (0,25 Времето за работа на компютъра се разпределя по експоненциален закон с параметър l = 0,05 (откази на час), т.е. има функция на плътност p(x) = Решаването на даден проблем изисква безпроблемна работа на машината в продължение на 15 минути. Ако възникне повреда по време на решаването на проблема, тогава грешката се открива едва в края на решението и проблемът се решава отново. Намерете: а) вероятността да не възникне отказ по време на решаването на проблема; б) средното време, за което задачата ще бъде решена. Пръчка с дължина 24 см е счупена на две части; ще приемем, че точката на счупване е разпределена равномерно по цялата дължина на пръта. Каква е средната дължина на по-голямата част от пръта? Парче с дължина 12 см произволно се разрязва на две части. Точката на рязане е равномерно разпределена по цялата дължина на сегмента. Каква е средната дължина на малка част от отсечката? Случайната променлива е равномерно разпределена на интервала. Намерете плътността на разпределение на случайна величина а) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); в) h3 = . Покажете, че ако x има непрекъсната функция на разпределение F(x) = P(x Намерете функцията на плътност и функцията на разпределение на сумата от две независими величини x и h с равномерни закони на разпределение на интервалите и съответно. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени съответно на интервалите и. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени съответно на интервалите и. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени съответно на интервалите и. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните променливи са независими и имат експоненциално разпределение с плътност Както е известно, случайна величина
се нарича променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати. Дискретна случайна променлива
е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива
е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини. 1
. Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:
където λ>0, k = 0, 1, 2, … . в)като се използва функция на разпределение F(x)
, което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x). Свойства на функцията F(x) 3
. Законът за разпределение може да бъде зададен графично
- разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3). Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на "средна стойност" на случайна променлива или число, което показва средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числа от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива. Основни числени характеристики на дискретна случайна величина
: Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли и 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет. Решение.
Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500. Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915. По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица: Намерете математическото очакване на X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива. Решение.
1.
Дискретната случайна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е повреден), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 \u003d 3 (три елемента са неуспешни). Повредите на елементите са независими една от друга, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формула на Бернули
. Като се има предвид, че по условие n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ние определяме вероятностите на стойностите: Така желаният биномиален закон на разпределение X има формата: На абсцисната ос начертаваме възможните стойности x i, а на ординатната ос - съответните вероятности р i . Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение. 3.
Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X Графика на функцията F(x) 4.
За биномното разпределение X: Случайна стойност хима нормално разпределение (или разпределение на Гаус), ако неговата плътност на вероятността има формата: Ориз. 2.13 Фиг. 2.14 Функцията на разпределение на случайна променлива X е функцията F(x), изразяваща за всяко x вероятността случайната променлива X да приеме стойността, по-малък х
Пример 2.5. Дадена е серия от разпределение на случайна променлива Намерете и изобразете графично неговата функция на разпределение. Решение. Според дефиницията F(jc) = 0 за хх F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5. И така (вижте Фиг. 2.1): Свойства на функцията на разпределение: 1. Функцията на разпределение на случайна променлива е неотрицателна функция, затворена между нула и едно: 2. Функцията на разпределение на случайна променлива е ненамаляваща функция по цялата числова ос, т.е. при х 2
>x 3. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула, при плюс безкрайност е равна на единица, т.е. 4. Вероятност за попадение на случайна променлива хв интервалае равен на определения интеграл от неговата плътност на вероятността, варираща от апреди b(виж Фиг. 2.2), т.е. Ориз. 2.2 3. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива (виж Фиг. 2.3) може да бъде изразена по отношение на плътността на вероятността, като се използва формулата: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Неправилен интеграл в безкрайни граници на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива е равен на единица: Геометрични свойства / и 4
плътностите на вероятността означават, че неговата графика е крива на разпределение - лежи не под оста x, и общата площ на фигурата, ограничена крива на разпределение и оста x, е равно на едно. За непрекъсната случайна променлива хочаквана стойност M(X)и дисперсия D(X)се определят по формулите: (ако интегралът се сближава абсолютно); или (ако редуцираните интеграли се събират). Заедно с цифровите характеристики, отбелязани по-горе, концепцията за квантили и процентни точки се използва за описание на случайна променлива. квантил на ниво q(или q-квантил) е такава стойностx qслучайна величина, при което неговата функция на разпределение приема стойност, равно на q,т.е. Според пример 2.6 намерете квантила xqj и 30% произволна променлива точка х.
Решение. По дефиниция (2.16) F(xo t3)= 0.3, т.е. ~Y~ = 0,3, откъдето е квантилът х 0 3 = 0,6. 30% случайна променлива точка х, или квантил Х)_о,з = xoj» се намира по подобен начин от уравнението ^ = 0,7. откъдето *, = 1.4. ? Сред числените характеристики на случайна променлива има начален v* и централен R* моменти от k-ти ред, определени за дискретни и непрекъснати случайни променливи по формулите: ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание. Случайна стойност е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя точно не е известна предварително. Следователно за случайна променлива могат да бъдат посочени само стойности, една от които тя задължително ще вземе в резултат на експеримента. Тези стойности ще бъдат посочени като възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие. Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви. Има три вида случайни променливи: Отделен; Непрекъснато; Смесени. Отделенсе нарича такава случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна изброимо множество е множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части". Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nfl. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n. Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число. непрекъснатосе нарича случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям. Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е потреблението на електроенергия в предприятието за един месец. Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височина с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 м. Закон за разпределение на случайни величини. Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и е установен законът за разпределение. Законът за разпределение на случайна величина се нарича връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности. За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Като закони за разпределение се използват редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността, характеристична функция. Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Според закона за разпределение е възможно да се прецени преди опита кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко. За дискретна случайна величина законът за разпределение може да бъде даден под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично. Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, т.е. Такава таблица се нарича серия от разпределение на дискретна случайна променлива. един Събитията X 1 , X 2 ,..., X n , състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1 , x 2 ,... x n , са непоследователни и единствените възможни (защото в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива (Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“). Серия на разпределение може да бъде показана графично, ако стойностите на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1). ПримерИграе се лотарията: кола на стойност 5000 ден. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единица, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици Продадени са общо 1000 билета за 7 den. единици Съставете закона за разпределение на нетните печалби, получени от участника в лотарията, закупил един билет. Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетни печалби на билет - са 0-7 = -7 den. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако билетът спечели съответно видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.
.
. Намерете плътността на разпределение на тяхната сума. Намерете разпределението на сумата от независими случайни променливи x и h, където x има равномерно разпределение на интервала, а h има експоненциално разпределение с параметър l. Намерете R 
, ако x има: а) нормално разпределение с параметри a и s2 ; б) експоненциално разпределение с параметър l; в) равномерно разпределение на интервала [-1;1]. Съвместното разпределение на x, h е равномерно на квадрат
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Намерете вероятността 
. Независими ли са x и h? Двойка случайни променливи x и h са равномерно разпределени в триъгълника K=. Изчислете плътността x и h. Независими ли са тези случайни променливи? Намерете вероятността. Случайните променливи x и h са независими и равномерно разпределени на интервалите и [-1,1]. Намерете вероятността. Двумерна случайна променлива (x, h) е равномерно разпределена в квадрат с върхове (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Намерете стойността на общата функция на разпределение в точката (1, -1). Случайният вектор (x, h) е равномерно разпределен вътре в кръг с радиус 3 с център в началото. Напишете израз за плътността на разпределение на ставите. Определете дали тези случайни променливи са зависими. Изчислете вероятността. Двойка случайни променливи x и h е равномерно разпределена вътре в трапец с върхове в точките (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Намерете общата плътност на разпределение за тази двойка случайни променливи и плътността на компонентите. Зависят ли x и h? Произволна двойка (x, h) е равномерно разпределена вътре в полукръга. Намерете плътностите x и h, проучете въпроса за тяхната зависимост. Съвместната плътност на две случайни променливи x и h е 
.
Намерете плътностите x, h. Разгледайте въпроса за зависимостта на x и h. Случайна двойка (x, h) е равномерно разпределена в множеството. Намерете плътностите x и h, проучете въпроса за тяхната зависимост. Намерете M(xh). Случайните променливи x и h са независими и се разпределят по експоненциалния закон с параметъра Find
За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λПримери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"
Задача 1.
Задача 3.
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 \u003d 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще бъде F(x) = 1, защото събитието е сигурно. 
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
,
където параметри ае всяко реално число и σ >0.
Графика на диференциалната функция на нормално разпределение се нарича нормална крива (крива на Гаус). Нормалната крива (фиг. 2.12) е симетрична спрямо права линия х =а, има максимална ордината , и в точки х = а± σ е инфлексията.
Ориз. 2.12
Доказано е, че параметърът ае средната стойност (също модата и медианата), а σ е стандартното отклонение. Коефициентите на асиметрия и ексцес за нормално разпределение са равни на нула: Като = пр = 0.
Нека сега установим как се отразява промяната на параметрите аи σ под формата на нормална крива. При промяна на параметъра аформата на нормалната крива не се променя. В този случай, ако математическото очакване (параметър а) намалява или увеличава, графиката на нормалната крива се измества наляво или надясно (фиг. 2.13).
Когато параметърът σ се промени, формата на нормалната крива се променя. Ако този параметър се увеличи, тогава максималната стойност на функцията намалява и обратно. Тъй като областта, ограничена от кривата на разпределение и оста о, трябва да бъде постоянна и равна на 1, тогава с увеличаване на параметъра σ кривата се доближава до оста ои се простира по него, а с намаляване на σ кривата се свива до права линия х = а(фиг. 2.14).
Функция на плътността на нормалното разпределение φ( х) с параметри а= 0, σ = 1 се извиква плътност на стандартна нормална случайна променлива
, а графиката му е стандартната крива на Гаус.
Функцията на плътност на нормална стандартна стойност се определя по формулата, а нейната графика е показана на фиг. 2.15.
От свойствата на математическото очакване и дисперсията следва, че за количеството , D(U)=1, М(U) = 0. Следователно стандартната нормална крива може да се разглежда като крива на разпределение на случайната променлива , където хе случайна променлива, предмет на нормалния закон за разпределение с параметри аи σ.
Нормалният закон за разпределение на случайна променлива в интегрална форма има формата
(2.10)
Приемайки в интеграла (3.10) , получаваме
,
където . Първият термин е равен на 1/2 (половината от площта на криволинейния трапец, показан на фиг. 3.15). Втори срок
(2.11)
Наречен Функция на Лаплас
, както и вероятностния интеграл.
Тъй като интегралът във формула (2.11) не се изразява чрез елементарни функции, за удобство на изчисленията, той се компилира за z≥ 0 таблица на функцията на Лаплас. За изчисляване на функцията на Лаплас за отрицателни стойности z, е необходимо да се използва нечетността на функцията на Лаплас: Ф(– z) = – F( z). Накрая получаваме формулата за изчисление
Следователно получаваме това за случайна променлива х, подчинявайки се на нормалния закон, вероятността да попадне в интервала [ α, β] е
(2.12)
Използвайки формула (2.12), намираме вероятността модулът на отклонение на нормалното разпределение на количеството хот своя разпределителен център апо-малко от 3σ. Ние имаме
P(| х – а| < 3 s) =P(а–3s< х< а+3 s) \u003d Ф (3) - Ф (-3) \u003d 2Ф (3) "0,9973.
Стойността на Ф(3) се получава от таблицата на функцията на Лаплас.
Прието е да се разглежда събитие практически надежден
, ако вероятността му е близка до единица, и практически невъзможно, ако вероятността му е близка до нула.
Получихме т.нар правило три сигма
: за нормално събитие за разпространение (| х–а| < 3σ) практически достоверно.
Правилото на трите сигми може да се формулира по различен начин: въпреки че нормалната случайна променлива е разпределена по цялата ос х, обхватът на неговите практически възможни стойности е(а–3σ, а+3σ).
Нормалното разпределение има редица свойства, които го правят едно от най-често използваните разпределения в статистиката.
Ако е възможно да се разглежда някаква случайна променлива като сума от достатъчно голям брой други случайни променливи, тогава тази случайна променлива обикновено се подчинява на нормалния закон за разпределение. Сумираните случайни променливи могат да се подчиняват на всякакви разпределения, но условието за тяхната независимост (или слаба независимост) трябва да бъде изпълнено. Също така нито една от сумираните случайни величини не трябва да се различава рязко от останалите, т.е. всеки от тях трябва да играе приблизително еднаква роля в общото количество и да няма изключително голяма дисперсия в сравнение с други количества.
Това обяснява преобладаването на нормалното разпределение. Възниква при всички явления, процеси, при които разсейването на изследваната случайна величина е причинено от голям брой случайни причини, влиянието на всяка от които поотделно върху разсейването е незначително.
Повечето от случайните променливи, срещани в практиката (като брой продажби на определен продукт, грешка при измерване, отклонение на снарядите от целта по обхват или посока, отклонение на действителните размери на обработените детайли от номиналните размери и др.) могат да be се представя като сбор от голям брой независими случайни променливи, които имат еднакво малък ефект върху дисперсията на сумата. Такива случайни променливи се считат за нормално разпределени. Хипотезата за нормалността на такива величини намира своето теоретично оправдание в централната гранична теорема и е получила множество практически потвърждения.
Представете си, че определен продукт се продава в няколко търговски обекта. Поради случайното влияние на различни фактори, броят на продажбите на стоки във всяка точка ще се различава леко, но средната стойност на всички стойности ще се доближи до истинския среден брой продажби.
Отклоненията на броя на продажбите във всеки обект от средната стойност образуват симетрична крива на разпределение, близка до нормалната крива на разпределение. Всяко системно влияние на всеки фактор ще се прояви в неравномерността на разпределението.
Задача. Случайната променлива обикновено се разпределя с параметри а\u003d 8, σ \u003d 3. Намерете вероятността случайна променлива в резултат на експеримента да приеме стойност, съдържаща се в интервала (12.5; 14).
Решение. Използваме формула (2.12). Ние имаме
Задача. Броят стоки от определен тип, продадени на седмица хмогат да се считат за нормално разпределени. Математическо очакване на броя на продажбите
хиляди парчета Средното квадратично отклонение на тази случайна променлива е σ = 0,8 хиляди броя. Намерете вероятността от 15 до 17 хиляди единици да бъдат продадени за една седмица. стоки.
Решение.Случайна стойност хразпределени нормално с параметри а= M( х) = 15,7; σ = 0,8. Изисква се да се изчисли вероятността за неравенство 15 ≤ х≤ 17. По формула (2.12) получаваме
