Има ли молив близо до вас? Погледнете сечението му - това е правилен шестоъгълник или както още го наричат шестоъгълник. Напречно сечение на гайка, поле от шестоъгълен шах, някои сложни молекуливъглерод (например графит), снежинка, пчелна пита и други предмети. Наскоро беше открит гигантски правилен шестоъгълник в. Не изглежда ли странно, че природата толкова често използва структури с тази конкретна форма за своите творения? Нека да разгледаме по-отблизо.
Правилният шестоъгълник е многоъгълник с шест равни страни и равни ъгли. от училищен курсЗнаем, че има следните свойства:
- Дължината на страните му съответства на радиуса на описаната окръжност. От всички само правилният шестоъгълник има това свойство.
- Ъглите са равни един на друг и всяка мярка е 120°.
- Периметърът на шестоъгълник може да се намери с помощта на формулата P=6*R, ако е известен радиусът на описаната около него окръжност, или P=4*√(3)*r, ако окръжността е вписана в нея. R и r са радиусите на описаната и вписаната окръжност.
- Площта, заета от правилен шестоъгълник, се определя, както следва: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ако радиусът е неизвестен, заменете дължината на една от страните - както е известно, тя съответства на дължината на радиуса на описаната окръжност.
Един правилен шестоъгълник има такъв интересна функция, благодарение на което е станал толкова широко разпространен в природата, той е в състояние да запълни всяка повърхност на равнината без припокривания или празнини. Съществува дори така наречената лема на Пал, според която правилен шестоъгълник, чиято страна е равна на 1/√(3), е универсално покритие, тоест може да покрие всяко множество с диаметър една единица .
Сега нека да разгледаме построяването на правилен шестоъгълник. Има няколко метода, най-простият от които включва използването на компас, молив и линийка. Първо начертаваме произволен кръг с пергел, след което поставяме точка на произволно място върху този кръг. Без да променяме ъгъла на компаса, поставяме върха в тази точка, маркираме следващия прорез на кръга и продължаваме това, докато получим всичките 6 точки. Сега остава само да ги свържете заедно с прави сегменти и ще получите желаната фигура.
На практика има случаи, когато трябва да нарисувате голям шестоъгълник. Например, на таван от гипсокартон на две нива, около мястото за монтиране на централния полилей, трябва да инсталирате шест малки лампи на долното ниво. Компаси с такъв размер ще бъдат много, много трудни за намиране. Как да процедираме в този случай? Как изобщо начертавате голям кръг? Много просто. Трябва да вземете здрава нишка с необходимата дължина и да завържете единия й край срещу молива. Сега остава само да се намери помощник, който да притисне втория край на конеца към тавана в желаната точка. Разбира се, в този случай са възможни незначителни грешки, но е малко вероятно те изобщо да бъдат забележими за външен човек.
отстрани. P = a1+a2+a3+a4+a5+a6, където P е периметърът шестоъгълник, а a1, a2 ... a6 са дължините на страните й. Намалете мерните единици на всяка страна до една форма - в този случай ще бъде достатъчно да добавите само цифровите стойности на дължините на страните. Периметърна единица шестоъгълникще съвпадне с мерната единица на страните.
Примери от реалния живот
Геометрията е дял от математиката, който се занимава с изучаването на форми с различни измерения и анализа на техните свойства. В това изследване на формите многоъгълното семейство е една от най-често изучаваните форми. Многоъгълниците са покрити от двумерни плоски обекти, които имат прави страни. Многоъгълник, състоящ се от 6 страни и 6 ъгъла, е известен като шестоъгълник. Всяка затворена плоска 2D структура с 6 прави страни ще се нарича шестоъгълник. Думата "хекс" означава 6, а "ъгъл" се отнася до ъгъл.
Пример: Има шестоъгълник с дължини на страните 1 cm, 2 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm, 6 mm. Трябва да намерите периметъра й. Решение.1. Мерната единица на първата страна (cm) е различна от мерната единица на дължините на останалите страни (mm). Следователно преведете: 1 cm = 10 mm.2. 10+2+3+4+5+6=30 (mm).
Ако шестоъгълникът е правилен, тогава, за да намерите неговия периметър, умножете дължината на страната му по шест: P = a * 6, където a е дължината на страната на правилния шестоъгълник.Пример: Намерете периметъра на правилния шестоъгълникс дължина на страната, равна на 10 см. Решение: 10 * 6 = 60 (cm).
Както е показано на диаграмата по-долу, шестоъгълникът има 6 страни или ръбове, 6 ъгли и 6 върха. Площта на шестоъгълника е пространството, заето в границите на шестоъгълника. Използвайки измерванията на страните и ъглите, можем да намерим площта на шестоъгълника. Шестоъгълниците могат да бъдат наблюдавани в различни форми в нашата красива природа. Фигурата по-долу показва защрихованата област в границите на шестоъгълника, която се нарича зона на шестоъгълника.
Този тип шестоъгълник също няма 6 равни ъгли. Ако върховете на неправилен шестоъгълник са насочени навън, тогава той е известен като изпъкнал неправилен шестоъгълник, а ако върховете на шестоъгълник са насочени навътре, тогава той е известен като вдлъбнат неправилен шестоъгълник, както е показано на фигурата по-долу. Тъй като размерите на страните и ъглите са неравни, трябва да използваме различни стратегии, за да намерим площта на неправилния шестоъгълник. Методът за изчисляване на площта на правилен шестоъгълник е различен от метода за изчисляване на площта на неправилен шестоъгълник.
Правилният шестоъгълник има уникално свойство: радиусът, описан около него шестоъгълникна окръжност е равна на дължината на нейната страна. Следователно, ако радиусът на описаната окръжност е известен, използвайте формулата: P = R * 6, където R е радиусът на описаната окръжност.
Площ на правилния шестоъгълник: Правилният шестоъгълник има всичките 6 страни и 6 ъгъла с равни размери. Когато се прекарат диагонали през центъра на шестоъгълника, се образуват 6 равностранни триъгълника с еднакъв размер. Ако се изчисли площта на един равностранен триъгълник, тогава можем лесно да изчислим площта на даден правилен шестоъгълник. Следователно всички негови страни също са равни.
Сега правилният шестоъгълник се състои от 6 такива еднакви равностранни триъгълника. Пример 1: Каква е площта на правилен шестоъгълник, чиято дължина е 8 cm? Пример 2: Ако площта на правилен шестоъгълник е √12 квадратни фута, каква е дължината на страната на шестоъгълника?
Пример: Изчислете периметъра на правилния шестоъгълник, написано в кръг с диаметър 20 см. Решение. Радиусът на описаната окръжност ще бъде равен на: 20/2=10 (см). Следователно периметърът шестоъгълник: 10 * 6 = 60 (cm).
Пример: Намерете площта на неправилния шестоъгълник, показан на фигурата по-долу. Шестоъгълните мрежи се използват в някои игри, но те не са толкова прости или често срещани като квадратните мрежи. Много части от тази страница са интерактивни; избирането на тип мрежа ще актуализира диаграмите, кода и текста, за да съответстват. Примерните кодове на тази страница са написани на псевдокод; те са проектирани да бъдат лесни за четене и разбиране, за да можете да напишете своя собствена реализация.
Шестоъгълниците са шестстранни многоъгълници. Правилните шестоъгълници имат всички страни с еднаква дължина. Типичните ориентации за хексаритмичните мрежи са хоризонтални и вертикални. Всеки ръб е разделен от два шестоъгълника. Всеки ъгъл е разделен от три шестоъгълника. В моята статия за частите на решетката. В правилния шестоъгълник вътрешните ъгли са 120°. Има шест "клина", всеки от които е равностранен триъгълник с 60° ъгли отвътре.
Ако според условията на проблема е даден радиусът на вписаната окръжност, тогава се прилага формулата: P = 4 * √3 * r, където r е радиусът на вписаната окръжност в правилен шестоъгълник.
Ако областта на правилната шестоъгълник, след това за изчисляване на периметъра използвайте следното съотношение: S = 3/2 * √3 * a², където S е площта на правилната шестоъгълник. От тук можете да намерите a = √(2/3 * S / √3), следователно: P = 6 * a = 6 * √(2/3 * S / √3) = √(24 * S / √3) = √ (8 * √3 * S) = 2√(2S√3).
Даден е хексагон, който има 6 съседни хекса? Както бихте очаквали, отговорът е прост с координатите на куба, все още е доста прост с аксиалните координати и малко по-сложен с координатите на отместването. Може също така да изчислим 6 диагонални шестоъгълника.
Като се има предвид местоположението и разстоянието, какво се вижда от това място и не е блокирано от препятствия? Най-лесният начин да направите това е да начертаете линия за всеки шестнадесетичен диапазон. Ако линията не удря стените, можете да видите шестоъгълника. Задръжте мишката над шестоъгълника, за да видите как линията се простира до него и какви стени удря.
По дефиниция от планиметрията се нарича правилен многоъгълник изпъкнал многоъгълник, чиито страни са равни една на друга и ъглите също са равни помежду си. Правилният шестоъгълник е правилен многоъгълник с шест страни. Има няколко формули за изчисляване на площта на правилен многоъгълник.
- Изпъкнал седмоъгълник е този, който няма тъпи вътрешни ъгли.
- Вдлъбната спирала е тази с тъп вътрешен ъгъл.
където a е дължината на страната на правилен шестоъгълник.
Пример.
Намерете периметъра на правилен шестоъгълник с дължина на страната 10 cm.
Решение: 10 * 6 = 60 (cm).
Правилният шестоъгълник има уникално свойство: радиусът на кръга, описан около такъв шестоъгълник, е равен на дължината на неговата страна. Следователно, ако радиусът на описаната окръжност е известен, използвайте формулата:
където R е радиусът на описаната окръжност.
Пример.
Изчислете периметъра на правилен шестоъгълник, записан в окръжност с диаметър 20 cm.
Решение.
Радиусът на описаната окръжност ще бъде равен на: 20/2=10 (cm).
Следователно периметърът на шестоъгълника е: 10 * 6 = 60 (cm). Ако според условията на проблема радиусът на вписаната окръжност е посочен, тогава се прилага формулата:
където r е радиусът на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник.
Ако площта на правилния шестоъгълник е известна, използвайте следното съотношение, за да изчислите периметъра:
S = 3/2 * v3 * а?,
където S е площта на правилен шестоъгълник.
От тук можем да намерим a = v(2/3 * S / v3), следователно:
P = 6 * a = 6 * v(2/3 * S / v3) = v(24 * S / v3) = v(8 * v3 * S) = 2v(2Sv3).
Колко просто
За да намерите площта на правилен шестоъгълник онлайн, като използвате формулата, от която се нуждаете, въведете числата в полетата и щракнете върху бутона „Изчисли онлайн“.
внимание!Числата с точка (2.5) трябва да се пишат с точка (.), а не със запетая!
1. Всички ъгли на правилния шестоъгълник са 120°
2. Всички страни на правилен шестоъгълник са еднакви една с друга
Правилен шестоъгълен периметър
4. Форма на повърхността на правилен шестоъгълник
5. Радиус на премахната окръжност на правилен шестоъгълник
6. Диаметър на кръгла окръжност на нормален шестоъгълник
7. Радиус на въведената правилна шестоъгълна окръжност
8. Връзки между радиусите на въведени и ограничени окръжности
като , и , и , от които следва триъгълник - правоъгълен с хипотенуза - това е едно и също нещо. По този начин,
10. Дължината на AB е
11. Секторна формула
Изчисляване на отсечки от правилен шестоъгълник
Ориз. 1. Правилни шестоъгълни сегменти, разбити на еднакви диаманти
1. Страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на отбелязаната окръжност
2. Свързвайки точките с шестоъгълник, получаваме поредица от равни ромби (фиг.
с квадрати
Ориз. Сегменти от правилен шестоъгълник, разделени на еднакви триъгълници
3. Добавете диагонал, , в ромби получаваме шест еднакви триъгълника с повърхности
3. Отсечки от нормален шестоъгълник, разделени на триъгълници
4. Тъй като нормалният шестоъгълник е 120°, площта и те ще бъдат еднакви
5. Площи и използваме квадратната формула на реален триъгълник 
.
Имайки предвид, че в нашия случай височината е , но основата е , получаваме го
Площ на нормален шестоъгълникТова е числото, което е характерно за правилен шестоъгълник в единици площ.
Истински шестоъгълник (шестоъгълник)Това е шестоъгълник, в който всички страници и ъгли са еднакви.
[редактиране] Легенда
Въведете запис:
— дължина на страницата;
н- брой клиенти, n=6;
Ре радиусът на въведената окръжност;
РТова е радиусът на окръжността;
α - половината централен ъгъл, α = π / 6;
P6- размер на правилен шестоъгълник;
SΔ- повърхността на равен триъгълник с основа, равна на страната, а страните са равни на радиуса на окръжността;
S6Това е площта на нормален шестоъгълник.
[редактиране] Формули
Формулата се използва за площта на правилен n-ъгълник в n=6:
S_6=\frac(3a^2)(2)CTG\frac(\pi)(6)\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=6S_(\triangle)\S_(\triangle)=\frac(e^2) ( 4) CTG\frac (\pi) (6)\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6 =\frac (1) (2) P_6r\P_6 =\right (\math) (Math)\Leftrightarrow S_6 = 6R^2\sin\frac (\ pi) (6)\cos\frac ((pi)Frac (\pi) (6)\R =\frac (a) (2\sin\frac (\pi) (6))\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6 = 6r ^2tg\frac (pi) (6), \r = R\cos\frac (\pi) (6)
Използване на тригонометрични ъгли за ъгли α = π / 6:
S_6=\FRAC(3\sqrt(3))(2)^2\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=6S_(\triangle)\S_(\triangle)=\FRAC(\sqrt(3))(4)^ 2\ Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=\frac(1)(2)P_6r\P_6=6a,\r=\FRAC(\sqrt(3)) (2) A\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=\FRAC(3\sqrt( 3) ) (2) R^2, \ R = A \ стрелка наляво надясно \ \ r = \ frac (\ sqrt (3)) (2) R стрелка наляво надясно S_6 = 2 \ sqrt (3) r ^ 2
където (Math)\(pi\)sin\frac(6)=\frac(1)(2)\cos\frac(\pi)(6)=\FRAC(\sqrt(3))(2), tg \frac(\pi)(6)=\frac(\sqrt(3))(3)pi)(6)=\sqrt(3)
[редактиране] Други многоъгълници
Обща площ на шестоъгълник // KhanAcademyNussian
Пчелите стават шестоъгълни без помощта на пчелите
Може да се направи типична решетка, ако клетките са триъгълни, квадратни или шестоъгълни.
Шестоъгълната форма е по-голяма от останалите, което ви позволява да съхранявате по стените, оставяйки по-малко сок върху гребена с тези клетки. Тази „икономика“ на пчелите е отбелязана за първи път в IV. век. Д. и в същото време се предполага, че пчелите, когато конструират часовници, „трябва да бъдат контролирани от математически план“.
Въпреки това, с изследователи от университета в Кардиф, техническата слава на пчелите е силно преувеличена: правилната геометрична форма на шестоъгълната клетка на пчелната пита възниква от появата на тяхната физическа сила и само от насекоми помощници.
Защо е прозрачен?
Марк Медовник
Роден от кристали?
Николай Юшкин
По своята структура най-простите биосистеми и въглеводородни кристали са протозои.
Ако такъв минерал се допълни с протеинови компоненти, тогава получаваме истински протоорганизъм. Така започва началото на концепцията за кристализиране на произхода на живота.
Спорове за структурата на водата
Маленков Г.Г.
Дебатът за структурата на водата е тема на безпокойство от много десетилетия в научната общност, както и сред хора извън науката. Този интерес не е случаен: структурата на водата понякога се приписва на лечебни свойства и мнозина вярват, че тази структура може да бъде контролирана по някакъв начин физичен методили просто със силата на ума.
А какво е мнението на учените, които от десетилетия изучават тайните на водата в течно и твърдо състояние?
Мед и лечение
Стоимир Младенов
Използване на опита на други изследователи и резултатите от експериментални и клинични експериментални изследвания, авторът обръща внимание на лечебните свойства на пчелите и метода на използването им в медицината като част от техните възможности.
За да се придаде по-здрав вид на тази работа и да се даде възможност на читателя да придобие по-цялостно разбиране за икономическото и медицинско значение на пчелите, други пчелни продукти, които са неразделна част от живота на пчелите, а именно пчелна отрова, пчелно млечице, прашец, восък , ще бъдат разгледани накратко в книгата.и прополис, както и връзката между науката и тези продукти.
Каустика в равнината и във Вселената
Каустиците са всеобхватни оптични повърхности и криви, които се създават, когато светлината се отразява и унищожава.
Каустик може да се опише като линии или повърхности с концентриран лъч светлина.
Как работи транзисторът?
Те са навсякъде: във всяко електрическо устройство, от телевизора до старото тамагочи.
Ние не знаем нищо за тях, защото ги възприемаме като реалност. Но без тях светът би се променил напълно. полупроводници. За това какво представлява и как работи.
Нека хлебарката е бурна
Международен екип от учени установи колко лесно е мухите да летят при много ветровито време. Оказа се, че дори при условия на значителни удари, специален механизъм за създаване на повдигащи сили позволява на насекомите да останат в движение с минимален допълнителен разход на енергия.
Установен е механизмът на самоорганизация на карбонатни и силикатни нанокристали в биоморфна структура
Елена Наймарк
Испански учени са открили механизъм, който може да предизвика спонтанно образуване на карбонатни и силикатни кристали с много сложни и необичайни форми.
Тези кристални новообразувания са подобни на биоморфи - неорганични структури, получени с участието на живи организми. И механизмът, водещ до такава мимикрия, е изненадващо прост - това е само спонтанна флуктуация в pH на разтвор на карбонати и силикати на границата между твърд кристали течната среда, която се образува.
Фалшиви проби под високо налягане
Комаров С.М.
Каква е формулата за намиране на лицето на правилен шестоъгълник от страница 2?
- това са шест едностранни триъгълника със страна 2
повърхността на равностранен триъгълник е a и корен квадратен от 3 делено на 4, където a = 2 - Площта на кулата е 12 * височина на основата. Шестоъгълникът е шестстранен многоъгълник, разделен на шест равни триъгълника.
всички равностранни триъгълници с ъгъл 60 градуса и страна 2 cm намерете височината на Питагоровата теорема 2 в квадрати = 1 височина на квадрата на корен квадратен, така че височина = 3S = 12 * 2 * 3 + корен квадратен корен 3 часа TP 6 означава 6 корена 3
- Характеристика на правилния шестоъгълник е равенството на неговата страна t и радиуса на отдалечения кръг (R = t).
Нормалната площ на шестоъгълник се изчислява с помощта на уравнението:
Истински шестоъгълник
- Нормалната площ на шестоъгълник е 3x за квадрата на корена. 3 x R2 / 2, където R е радиусът на окръжността около него. Правилен шестоъгълник има същата страна на шестоъгълника = 2, тогава площта ще бъде равна на квадрата на корена 6x. от 3.
Внимание, само ДНЕС!
С въпрос: „Как да намерим площта на шестоъгълник?“, можете да срещнете не само на изпит по геометрия и т.н., това знание е полезно и в ежедневието, например за правилно и точно изчисляване на площта на стаята по време на процеса на обновяване. Като замените необходимите стойности във формулата, ще можете да определите необходимия брой ролки тапети, плочки за баня или кухня и др.
Някои факти от историята
Геометрията е била използвана още в древен Вавилони други държави, съществували по същото време като него. Изчисленията помогнаха при изграждането на значителни структури, тъй като благодарение на тях архитектите знаеха как да поддържат вертикалата, да съставят правилно план и да определят височината.
Естетиката също имаше голямо значение, и тук отново влезе в игра геометрията. Днес тази наука е нужна и на строителя, и на резача, и на архитекта, и на неспециалиста.
Следователно е по-добре да можете да изчислите S фигури, за да разберете, че формулите могат да бъдат полезни на практика.
Площ на правилен 6-ъгълник
Така че имаме шестоъгълна фигура с равни страни и ъгли. В ежедневието често имаме възможност да срещнем предмети с правилна шестоъгълна форма.
например:
- винт;
- Медена пита;
- снежинка.
Шестоъгълна фигура най-икономично запълва пространството в равнината. Вижте тротоарните плочи, едната пасва на другата, за да не останат празнини.
Всеки ъгъл е 120˚. Страната на фигурата е равна на радиуса на описаната окръжност.
Изчисляване
Необходимата стойност може да се изчисли чрез разделяне на фигурата на шест триъгълника с равни страни.
След като се изчисли S на един от триъгълниците, не е трудно да се определи общият. Проста формула, тъй като правилният шестоъгълник по същество е шест равни триъгълници. По този начин, за да го изчислите, намерената площ на един триъгълник се умножава по 6.
Ако начертаете перпендикуляр от центъра на шестоъгълника към която и да е от страните му, ще получите сегмент - апотема.
Нека да видим как да намерим S на шестоъгълник, ако апотемата е известна:
- S =1/2×периметър×апотема.
- Да вземем апотема, равна на 5√3 cm.
- Намерете периметъра с помощта на апотемата: тъй като апотемата е перпендикулярна на страната на шестоъгълника, ъглите на триъгълника, образуван с помощта на апотемата, са 30˚-60˚-90˚. Всяка страна на триъгълника съответства на: x-x√3-2x, където късата страна, противоположна на ъгъла от 30˚, е x; дългата страна срещу ъгъл 60˚ е x√3, а хипотенузата е 2x.
- Апотемата x√3 може да бъде заменена във формулата a=x√3. Ако апотемата е равна на 5√3, замествайки тази стойност, получаваме: 5√3cm=x√3, или x=5cm.
- Късата страна на триъгълника е 5 cm, тъй като тази стойност е половината от дължината на страната на шестоъгълника. Умножавайки 5 по 2, получаваме 10 см, което е дължината на страната.
- Нека умножим получената стойност по 6 и получим стойността на периметъра - 60 см.
Заместваме получените резултати във формулата: S=1/2×периметър×апотема
S=½×60 cm×5√3
Ние вярваме:
Ние опростяваме отговора, за да се отървем от корените. Резултатът ще бъде изразен в квадратни сантиметри: ½×60cm×5√3cm=30×5√3cm=150√3cm=259.8s m².
Как да намерите площта на неправилен шестоъгълник
Има няколко опции:
- Разбивка на 6-ъгълник на други фигури.
- Трапецовиден метод.
- Изчисляване на S неправилни многоъгълници с помощта на координатни оси.
Изборът на метод се определя от първоначалните данни.
Трапецовиден метод
Шестоъгълникът е разделен на отделни трапеци, след което се изчислява площта на всяка получена фигура.
Използване на координатни оси
Използваме координатите на върховете на многоъгълника:
- Записваме координатите на върховете x и y в таблицата. Ние избираме върховете последователно, „движейки се“ обратно на часовниковата стрелка, допълвайки списъка чрез повторно записване на координатите на първия връх.
- Умножаваме стойностите на координатата x на 1-вия връх по стойността на y на 2-рия връх и продължаваме да умножаваме по този начин. Обобщаваме резултатите.
- Умножаваме стойностите на координатите на y1-ия връх по стойностите на x-координатите на втория връх. Да сумираме резултатите.
- Извадете сумата, получена в 4-тия етап, от сумата, получена в третия етап.
- Разделяме резултата, получен на предишния етап, и намираме това, което търсихме.
Разделяне на шестоъгълник на други форми
Многоъгълниците са разделени на други форми: трапец, триъгълници, правоъгълници. Използвайки формули за изчисляване на площите на изброените фигури, необходимите стойности се изчисляват и добавят.
Един неправилен шестоъгълник може да се състои от два паралелограма. За да се изчисли площта на успоредник, дължината му се умножава по ширината му и след това се добавят вече познатите две области.
Площ на равностранен шестоъгълник
Правилният шестоъгълник има шест равни страни. Площта на една равностранна фигура е равна на 6S триъгълници, на които е разделен правилен шестоъгълник. Всеки триъгълник в правилния шестоъгълник е равен, така че за изчисляване на площта на такава фигура е достатъчно да знаете площта на поне един триъгълник.
За да намерите желаната стойност, използвайте формулата за областта на обикновена фигура, описана по-горе.
Темата за многоъгълниците е разгледана в училищна програма, но не му обръщат достатъчно внимание. Междувременно е интересно и това е особено вярно за правилен шестоъгълник или шестоъгълник - в крайна сметка много природни обекти имат тази форма. Те включват пчелни пити и много други. Тази форма работи много добре на практика.
Определение и конструкция
Правилният шестоъгълник е плоска фигура, която има шест страни с еднаква дължина и същия брой равни ъгли.
Ако си припомним формулата за сумата от ъглите на многоъгълник
оказва се, че в тази фигура той е равен на 720°. Е, тъй като всички ъгли на фигурата са равни, не е трудно да се изчисли, че всеки от тях е равен на 120°.
Начертаването на шестоъгълник е много просто; всичко, от което се нуждаете, е пергел и линийка.
Инструкциите стъпка по стъпка ще изглеждат така:
Ако желаете, можете да направите без линия, като начертаете пет кръга с еднакъв радиус.
Така получената фигура ще бъде правилен шестоъгълник и това може да се докаже по-долу.
Имотите са прости и интересни
За да разберете свойствата на правилния шестоъгълник, има смисъл да го разделите на шест триъгълника:
Това ще помогне в бъдеще за по-ясно показване на неговите свойства, основните от които са:
- диаметър на описаната окръжност;
- диаметър на вписаната окръжност;
- квадрат;
- периметър.
Описана окръжност и конструктивност
Около шестоъгълник може да се опише кръг и то само един. Тъй като тази фигура е правилна, можете да го направите съвсем просто: начертайте ъглополовяща от два съседни ъгъла вътре. Те се пресичат в точка О и заедно със страната между тях образуват триъгълник.
Ъглите между страната на шестоъгълника и ъглополовящите ще бъдат 60°, така че определено можем да кажем, че триъгълник, например AOB, е равнобедрен. И тъй като третият ъгъл също ще бъде равен на 60°, той също е равностранен. От това следва, че отсечките OA и OB са равни, което означава, че могат да служат за радиус на окръжност.
След това можете да преминете към следващата страна и да начертаете ъглополовяща от ъгъла в точка С. Резултатът ще бъде друг равностранен триъгълник и страната AB ще бъде обща и за двете, а OS ще бъде следващият радиус, през който преминава същата окръжност. Ще има общо шест такива триъгълника и те ще имат общ връх в точка O. Оказва се, че ще бъде възможно да се опише окръжност и има само един от тях, а радиусът му е равен на страната на шестоъгълникът:
Ето защо е възможно да се конструира тази фигура с помощта на пергел и линийка.
Е, площта на този кръг ще бъде стандартна:
Вписан кръг
Центърът на описаната окръжност ще съвпадне с центъра на вписаната окръжност. За да проверите това, можете да начертаете перпендикуляри от точка O към страните на шестоъгълника. Те ще бъдат височините на триъгълниците, които образуват шестоъгълника. А в равнобедрен триъгълник височината е медианата по отношение на страната, на която лежи. По този начин тази височина не е нищо повече от перпендикулярна ъглополовяща, която е радиусът на вписаната окръжност.
Височината на равностранен триъгълник се изчислява просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
И тъй като R=a и r=h, се оказва, че
r=R(√3)/2.
Така вписаната окръжност минава през центровете на страните на правилен шестоъгълник.
Площта му ще бъде:
S=3πa²/4,
тоест три четвърти от описаното.
Периметър и площ
С периметъра всичко е ясно, това е сумата от дължините на страните:
Р=6а, или P=6R
Но площта ще бъде равна на сумата от всичките шест триъгълника, на които може да бъде разделен шестоъгълникът. Тъй като площта на триъгълник се изчислява като половината от произведението на основата и височината, тогава:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2или
S=3R²(√3)/2
Тези, които искат да изчислят тази площ през радиуса на вписаната окръжност, могат да направят това:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Занимателни конструкции
Можете да поставите триъгълник в шестоъгълник, чиито страни ще свързват върховете през едно:
Те ще бъдат общо две, а припокриването им ще даде звездата на Давид. Всеки от тези триъгълници е равностранен. Това не е трудно да се провери. Ако погледнете страната AC, тя принадлежи на два триъгълника наведнъж - BAC и AEC. Ако в първия от тях AB = BC, а ъгълът между тях е 120°, то всеки от останалите ще бъде 30°. От това можем да направим логични изводи:
- Височината ABC от върха B ще бъде равна на половината от страната на шестоъгълника, тъй като sin30°=1/2. Тези, които искат да проверят това, могат да бъдат посъветвани да преизчислят с помощта на Питагоровата теорема; тя пасва идеално тук.
- Страната AC ще бъде равна на два радиуса на вписаната окръжност, което отново се изчислява с помощта на същата теорема. Тоест AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
- Триъгълниците ABC, CDE и AEF са равни по две страни и ъгъл между тях, а от това следва, че страните AC, CE и EA са равни.
Пресичайки се, триъгълниците образуват нов шестоъгълник, който също е правилен. Това се доказва просто:
Така фигурата отговаря на характеристиките на правилния шестоъгълник – има шест равни страни и ъгли. От равенството на триъгълниците във върховете е лесно да се изведе дължината на страната на новия шестоъгълник:
d=a(√3)/3
Това ще бъде и радиусът на описаната около него окръжност. Вписаният радиус ще бъде половината от размера на страната на голям шестоъгълник, което беше доказано при разглеждането на триъгълник ABC. Височината му е точно половината от страната, следователно втората половина е радиусът на окръжността, вписана в малкия шестоъгълник:
r₂=a/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Оказва се, че площта на шестоъгълника вътре в звездата на Давид е три пъти по-малка от тази на големия, в който е вписана звездата.
От теория към практика
Свойствата на шестоъгълника се използват много активно както в природата, така и в различни области на човешката дейност. На първо място, това се отнася за болтовете и гайките - главите на първия и втория не са нищо повече от правилен шестоъгълник, ако не вземете предвид фаските. Размерът на ключовете съответства на диаметъра на вписания кръг - тоест разстоянието между противоположните ръбове.
Шестоъгълните плочки също са намерили своето приложение. Той е много по-рядко срещан от четириъгълния, но е по-удобно да го поставите: три плочки се срещат в една точка, а не четири. Композициите могат да се окажат много интересни:
Произвеждат се и бетонови плочки за настилка.
Разпространението на шестоъгълниците в природата е просто обяснено. По този начин е най-лесно да монтирате кръгове и топки плътно върху равнина, ако имат еднакъв диаметър. Поради това пчелните пити имат тази форма.
