Отношението на противоположната страна към хипотенузата се нарича синус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник
Отношението на съседния катет към хипотенузата се нарича косинус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник
Отношението на срещуположната страна към съседната страна се нарича тангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник
Отношението на съседната страна към противоположната страна се нарича котангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Синус на произволен ъгъл
Нарича се ордината на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha синус на произволен ъгълвъртене \alpha .
\sin \alpha=y
Косинус на произволен ъгъл
Нарича се абсцисата на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha косинус на произволен ъгълвъртене \alpha .
\cos \alpha=x
Тангенс на произволен ъгъл
Отношението на синуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия косинус се нарича тангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Котангенс на произволен ъгъл
Отношението на косинуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия синус се нарича котангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Пример за намиране на произволен ъгъл
Ако \alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Например ако \ъгъл AOM = -\frac(\pi)(4), тогава: ординатата на точка M е равна на -\frac(\sqrt(2))(2), абсцисата е равна на \frac(\sqrt(2))(2)и ето защо
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Таблица със стойностите на синусите на косинусите на тангенсите на котангенсите
Стойностите на основните често срещани ъгли са дадени в таблицата:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\наляво(\frac(\pi)(6)\вдясно) | 45^(\circ)\наляво(\frac(\pi)(4)\вдясно) | 60^(\circ)\наляво(\frac(\pi)(3)\вдясно) | 90^(\circ)\наляво(\frac(\pi)(2)\вдясно) | 180^(\circ)\наляво(\pi\вдясно) | 270^(\circ)\наляво(\frac(3\pi)(2)\вдясно) | 360^(\circ)\наляво(2\pi\надясно) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\алфа | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
синуситеостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: sin α.
КосинусОстрият ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се както следва: cos α.
Допирателнаостър ъгъл α е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tg α.
Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctg α.
Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от размера на ъгъла.
правила:
Основни тригонометрични идентичности в правоъгълен триъгълник:
(α – остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с – хипотенуза. β – втори остър ъгъл).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
а | 1 | |
b | 1 | |
а | 1 1 | |
грях α |
С нарастването на острия ъгълsin α иtan α увеличение, иcos α намалява.
За всеки остър ъгъл α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-обяснение:
Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.
Нека намерим синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.
Решение .
1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Нека изчислим sin A. Знаем, че синусът е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата. За ъгъл A противоположната страна е страната BC. Така:
пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2
3) Сега нека изчислим cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляването на синуса на ъгъл A:
пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равен на косинуса на друг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Нека се уверим в това отново:
1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)
В тази статия ще ви покажем как да давате дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл и число в тригонометрията. Тук ще говорим за нотации, ще дадем примери за записи и ще дадем графични илюстрации. В заключение, нека направим паралел между дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията и геометрията.
Навигация в страницата.
Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс
Нека да видим как се формира идеята за синус, косинус, тангенс и котангенс училищен курсматематика. В уроците по геометрия се дава определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. И по-късно се изучава тригонометрията, която говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане и число. Нека представим всички тези определения, да дадем примери и да дадем необходимите коментари.
Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
От курса по геометрия знаем дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Те са дадени като отношение на страните на правоъгълен триъгълник. Нека дадем техните формулировки.
Определение.
Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на срещуположната страна към хипотенузата.
Определение.
Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния катет към хипотенузата.
Определение.
Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник– това е отношението на противоположната страна към съседната страна.
Определение.
Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Там са въведени и обозначенията за синус, косинус, тангенс и котангенс - съответно sin, cos, tg и ctg.
Например, ако ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, тогава синусът на острия ъгъл A е равен на отношението на противоположната страна BC към хипотенузата AB, тоест sin∠A=BC/AB.
Тези определения ви позволяват да изчислите стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл от известните дължини на страните на правоъгълен триъгълник, както и от известните стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс и дължината на една от страните, за да намерите дължините на другите страни. Например, ако знаем, че в правоъгълен триъгълник катетът AC е равен на 3, а хипотенузата AB е равна на 7, тогава бихме могли да изчислим стойността на косинуса на острия ъгъл A по дефиниция: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Ъгъл на завъртане
В тригонометрията започват да разглеждат ъгъла по-широко - въвеждат понятието ъгъл на завъртане. Големината на ъгъла на завъртане, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса; ъгълът на завъртане в градуси (и в радиани) може да бъде изразен с всяко реално число от −∞ до +∞.
В тази светлина дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс са дадени не на остър ъгъл, а на ъгъл с произволна големина - ъгълът на завъртане. Те са дадени чрез координатите x и y на точката A 1, към която т. нар. начална точка A(1, 0) отива след завъртането й на ъгъл α около точка O - началото на правоъгълната декартова координатна система и центъра на единичната окръжност.
Определение.
Синус на ъгъла на завъртанеα е ординатата на точка A 1, тоест sinα=y.
Определение.
Косинус на ъгъла на завъртанеα се нарича абсцисата на точка A 1, тоест cosα=x.
Определение.
Тангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на ординатата на точка A 1 към нейната абциса, т.е. tanα=y/x.
Определение.
Котангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на абсцисата на точка A 1 към нейната ордината, т.е. ctgα=x/y.
Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α, тъй като винаги можем да определим абсцисата и ординатата на точката, която се получава чрез завъртане на началната точка под ъгъл α. Но тангенсът и котангенсът не са определени за нито един ъгъл. Тангентата не е дефинирана за ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева абциса (0, 1) или (0, −1), и това се случва при ъгли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Наистина, при такива ъгли на въртене изразът tgα=y/x няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Що се отнася до котангенса, той не е дефиниран за ъгли α, при които началната точка отива към точката с нулева ордината (1, 0) или (−1, 0), и това се случва за ъгли 180° k, k ∈Z (π·k рад).
И така, синус и косинус са дефинирани за всички ъгли на завъртане, тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Дефинициите включват вече познатите ни обозначения sin, cos, tg и ctg, те се използват и за обозначаване на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене (понякога можете да намерите обозначенията tan и cot, съответстващи на тангенса и котангенса) . Така че синусът на ъгъл на въртене от 30 градуса може да бъде записан като sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα съответстват на тангенса на ъгъла на въртене −24 градуса 17 минути и котангенса на ъгъла на въртене α . Спомнете си, че когато пишете радианова мярка на ъгъл, обозначението „рад“ често се пропуска. Например, косинусът на ъгъл на завъртане от три pi rad обикновено се означава с cos3·π.
В заключение на тази точка си струва да се отбележи, че когато се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене, фразата „ъгъл на въртене“ или думата „въртене“ често се пропуска. Тоест, вместо фразата „синус на ъгъла на завъртане алфа“, обикновено се използва фразата „синус на ъгъла алфа“ или дори по-кратко „синус алфа“. Същото се отнася за косинус, тангенс и котангенс.
Ще кажем също, че дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник са в съответствие с току-що дадените дефиниции за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл на завъртане, вариращ от 0 до 90 градуса. Ние ще оправдаем това.
Числа
Определение.
Синус, косинус, тангенс и котангенс на число t е число, равно на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в t радиани, съответно.
Например косинусът на числото 8·π по дефиниция е число, равно на косинуса на ъгъла 8·π rad. А косинусът на ъгъл от 8·π rad е равен на едно, следователно косинусът на числото 8·π е равен на 1.
Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Състои се в това, че всеки реално число t се присвоява на точка от единичната окръжност с център в началото на правоъгълната координатна система и синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка. Нека разгледаме това по-подробно.
Нека покажем как се установява съответствие между реални числа и точки от окръжност:
- на числото 0 се задава начална точка A(1, 0);
- положителното число t е свързано с точка от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка в посока обратна на часовниковата стрелка и изминем път с дължина t;
- отрицателното число t е свързано с точка от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка по посока на часовниковата стрелка и извървим път с дължина |t| .
Сега преминаваме към дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на числото t. Да приемем, че числото t съответства на точка от окръжността A 1 (x, y) (например числото &pi/2; съответства на точка A 1 (0, 1)).
Определение.
Синус от числото t е ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест sint=y.
Определение.
Косинус на числото t се нарича абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест cost=x.
Определение.
Тангенс на числото t е отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. tgt=y/x. В друга еквивалентна формулировка тангенсът на число t е отношението на синуса на това число към косинуса, т.е. tgt=sint/cost.
Определение.
Котангенс на числото t е отношението на абсцисата към ординатата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест ctgt=x/y. Друга формулировка е следната: тангенсът на числото t е отношението на косинуса на числото t към синуса на числото t: ctgt=cost/sint.
Тук отбелязваме, че току-що дадените определения са в съответствие с определението, дадено в началото на този параграф. Наистина, точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, съвпада с точката, получена чрез завъртане на началната точка на ъгъл от t радиана.
Все още си струва да се изясни тази точка. Да кажем, че имаме запис sin3. Как да разберем дали говорим за синус на числото 3 или за синус на ъгъла на завъртане от 3 радиана? Това обикновено е ясно от контекста, в противен случай вероятно не е от фундаментално значение.
Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент
Съгласно дефинициите, дадени в предходния параграф, всеки ъгъл на завъртане α съответства на много специфична стойност sinα, както и на стойността cosα. В допълнение, всички ъгли на въртене, различни от 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) съответстват на стойностите на tgα, а стойностите, различни от 180°k, k∈Z (πk rad ) – стойности на ctgα. Следователно sinα, cosα, tanα и ctgα са функции на ъгъла α. С други думи, това са функции на ъгловия аргумент.
По подобен начин можем да говорим за функциите синус, косинус, тангенс и котангенс числов аргумент. Наистина, всяко реално число t съответства на много специфична стойност sint, както и цена. Освен това всички числа, различни от π/2+π·k, k∈Z, съответстват на стойности tgt, а числата π·k, k∈Z - стойности ctgt.
Функциите синус, косинус, тангенс и котангенс се наричат основни тригонометрични функции.
Обикновено от контекста става ясно дали имаме работа с тригонометрични функции на ъглов аргумент или числен аргумент. В противен случай можем да мислим за независимата променлива както като мярка на ъгъла (ъглов аргумент), така и като числов аргумент.
В училище обаче изучаваме главно числови функции, тоест функции, чиито аргументи, както и съответните им стойности на функциите, са числа. Ето защо, ако говорим конкретно за функции, тогава е препоръчително да се вземе предвид тригонометрични функциифункции на числови аргументи.
Връзка между определения от геометрията и тригонометрията
Ако разгледаме ъгъла на завъртане α в диапазона от 0 до 90 градуса, тогава дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в контекста на тригонометрията са напълно съвместими с дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, които са дадени в курса по геометрия. Нека оправдаем това.
Нека го изобразим в правоъгълник Декартова системакоординати Oxy единица кръг. Нека отбележим началната точка A(1, 0) . Нека го завъртим на ъгъл α, вариращ от 0 до 90 градуса, получаваме точка A 1 (x, y). Нека пуснем перпендикуляра A 1 H от точка A 1 към оста Ox.
Лесно се вижда, че в правоъгълен триъгълник ъгъл A 1 OH равен на ъгълротация α, дължината на крака OH, съседен на този ъгъл, е равна на абсцисата на точка A 1, т.е. |OH|=x, дължината на крака A 1 H срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1, тоест |A 1 H|=y, а дължината на хипотенузата OA 1 е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност. Тогава, по дефиниция от геометрията, синусът на остър ъгъл α в правоъгълен триъгълник A 1 OH е равен на отношението на срещуположния катет към хипотенузата, тоест sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниция от тригонометрията, синусът на ъгъла на завъртане α е равен на ординатата на точка A 1, тоест sinα=y. Това показва, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, когато α е от 0 до 90 градуса.
По подобен начин може да се покаже, че дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл α са в съответствие с дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане α.
Библиография.
- Геометрия. 7-9 клас: учебник за общо образование институции / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-то изд. М.: Образование, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорелов А.В.Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ро изд. - М.: Образование, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра и елементарни функции : Урокза ученици от 9 клас гимназия/ Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцията на доктора на физико-математическите науки О. Н. Головин - 4-то изд. М.: Образование, 1969.
- Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
- Мордкович А. Г.Алгебра и началото на анализа. 10 клас. В 14 ч. Част 1: учебник за учебните заведения ( ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - I.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до геометрията. Таблиците за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерните калкулатори, не винаги са под ръка и понякога е необходимо изчисляването на синуса за решаване на различни проблеми. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидиране на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.
Игри с линийка и молив
Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дългата страна - хипотенузата. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.
Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да зададете радиус на компаса, приблизително равен на разстоянието между точките, и да нарисувате полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.
В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойност на синуса на острия ъгъл.
Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°
За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Трябва да начертаем лъч от върха в обратна посока с помощта на линийка, за да образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. С полученото остър ъгълтрябва да продължи, както е описано по-горе, синусите на съседни ъгли, които заедно образуват обратен ъгъл от 180°, са равни.
Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции
Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат с това. Нека да разгледаме общи примери.
Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.
Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първата тригонометрична идентичност и чрез прости манипулации намаляваме уравнението до изчисляването на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса, ще трябва да извлечете корена на получения резултат.
Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, обратна на тангенса относително към числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също да изведете директна формула по аналогия с тангенса, която ще изглежда така.
Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник
Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен, от две известни партииизползвайки тригонометричната функция на косинуса на срещуположния ъгъл. Тя изглежда така.
Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс на произволен ъгъл
Синус, косинус на произволен ъгъл
За да разберем какво представляват тригонометричните функции, нека разгледаме окръжност с единичен радиус. Даден кръгима център в началото на координатната равнина. За определяне определени функциище използваме радиус вектора ИЛИ, която започва в центъра на кръга, и точката Ре точка от окръжността. Този радиус вектор образува ъгъл алфа с оста ОХ. Тъй като окръжността има радиус, равен на единица, тогава ИЛИ = R = 1.
Ако от точката Рспуснете перпендикуляра към оста ОХ, тогава получаваме правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на едно.
Ако радиус векторът се движи по посока на часовниковата стрелка, тогава тази посока се нарича отрицателен, ако се движи обратно на часовниковата стрелка - положителен.
Синус на ъгъла ИЛИ, е ординатата на точката Рвектор върху кръг.
Тоест, за да се получи стойността на синуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата Uна повърхността.
Как е получена тази стойност? Тъй като знаем, че синусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата, получаваме, че
И тъй като R=1, Че sin(α) = y 0 .
В единичен кръг стойността на ординатата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава
Синусът приема положителна стойност в първата и втората четвърт на единичната окръжност и отрицателна в третата и четвъртата.
Косинус на ъгълададена окръжност, образувана от радиус вектора ИЛИ, е абсцисата на точката Рвектор върху кръг.
Тоест, за да се получи косинусовата стойност на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата хна повърхността.
Косинусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата, получаваме това
И тъй като R=1, Че cos(α) = x 0 .
В единичния кръг стойността на абсцисата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава
Косинусът приема положителна стойност в първата и четвъртата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и третата.
Допирателнапроизволен ъгълИзчислява се съотношението на синус към косинус.
Ако разгледаме правоъгълен триъгълник, тогава това е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Ако говорим за единичната окръжност, тогава това е отношението на ординатата към абсцисата.
Съдейки по тези отношения, може да се разбере, че допирателната не може да съществува, ако стойността на абсцисата е нула, тоест под ъгъл от 90 градуса. Тангенсът може да приема всички други стойности.
Допирателната е положителна в първата и третата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и четвъртата.
