Faktorizacija. Prosti i složeni brojevi Rastavljanje na proste faktore 6

Što faktoring znači? Kako to učiniti? Što možete naučiti rastavljanjem broja na proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

Definicije:

Broj koji ima točno dva različita djelitelja naziva se prostim brojem.

Broj koji ima više od dva djelitelja naziva se složenim.

Proširiti prirodni broj faktorizirati znači prikazati ga kao umnožak prirodnih brojeva.

Rastaviti prirodni broj na proste faktore znači prikazati ga kao umnožak prostih brojeva.

Bilješke:

U rastavljanju prostog broja jedan od faktora je jednak jedinici, a drugi je jednak samom broju.
O faktoring jedinstvu nema smisla govoriti.
Složeni broj može se rastaviti na faktore od kojih je svaki različit od 1.

	Rastavimo broj 150 na faktore. Na primjer, 150 je 15 puta 10. 15 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Zapisivanjem njihovih razlaganja na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo razlaganje broja 150.
	Broj 150 se može faktorizirati i na drugi način. Na primjer, 150 je umnožak brojeva 5 i 30. 5 je prost broj. 30 je složeni broj. Može se smatrati proizvodom 10 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Faktorizaciju od 150 na proste faktore dobili smo na drugačiji način.
	Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu faktora. Uobičajeno je da se faktori pišu rastućim redoslijedom.
Svaki složeni broj može se rastaviti na proste faktore na jedinstven način, do reda faktora.

Kada rastavljate velike brojeve na proste faktore, koristite zapis u stupcu:

Najmanji prosti broj koji je djeljiv sa 216 je 2.

Podijelimo 216 s 2. Dobit ćemo 108.

Dobiveni broj 108 podijeli se s 2.

Napravimo podjelu. Rezultat je 54.

Prema testu djeljivosti s 2, broj 54 djeljiv je s 2.

Nakon dijeljenja dobivamo 27.

Broj 27 završava neparnom znamenkom 7. To

Nije djeljiv s 2. Sljedeći prosti broj je 3.

Podijelimo 27 s 3. Dobit ćemo 9. Najmanji prost broj

Broj s kojim se dijeli 9 je 3. Tri je sam glavni broj, djeljiva je sama sa sobom i s jedinicom. Podijelimo 3 sami sa sobom. Na kraju smo dobili 1.

Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
Broj je djeljiv samo na one složene brojeve čije je razlaganje na proste faktore u potpunosti sadržano u njemu.

Pogledajmo primjere:

4900 je djeljiv s prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljiv s npr. 13.

11 550 75. To je tako jer je rastavljanje broja 75 u potpunosti sadržano u rastavljanju broja 11550.

Rezultat dijeljenja bit će umnožak faktora 2, 7 i 11.

11550 nije djeljivo s 4 jer postoji dodatna dva u proširenju četiri.

Nađite kvocijent dijeljenja broja a s brojem b, ako se ti brojevi rastave na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Rastavljanje broja b u potpunosti je sadržano u rastavljanju broja a.

Rezultat dijeljenja a s b je umnožak tri broja preostala u proširenju a.

Dakle, odgovor je: 30.

Bibliografija

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-govornik za 5.-6 Srednja škola. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.

Internetski portal Matematika-na.ru ().
Internetski portal Math-portal.ru ().

Domaća zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
Ostali zadaci: br.133, br.144.

Svaki prirodni broj, osim jedan, ima dva ili više djelitelja. Na primjer, broj 7 djeljiv je bez ostatka samo s 1 i 7, odnosno ima dva djelitelja. A broj 8 ima djelitelje 1, 2, 4, 8, odnosno čak 4 djelitelja odjednom.

Koja je razlika između prostih i složenih brojeva?

Brojevi koji imaju više od dva djelitelja nazivaju se složeni brojevi. Brojevi koji imaju samo dva djelitelja: jedan i sam broj nazivaju se prosti brojevi.

Broj 1 ima samo jedan dio, naime sam broj. Jedan nije ni prost ni složeni broj.

Na primjer, broj 7 je prost, a broj 8 je složen.

Prvih 10 prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Broj 2 je jedini paran prost broj, svi ostali prosti brojevi su neparni.

Broj 78 je složen, jer je osim sa 1 i samim sobom djeljiv i sa 2. Kada se podijeli sa 2, dobijemo 39. Odnosno, 78 = 2*39. U takvim slučajevima kažu da je broj rastavljen na faktore 2 i 39.

Bilo koji složeni broj može se rastaviti na dva faktora, od kojih je svaki veći od 1. Ovaj trik neće funkcionirati s prostim brojem. Tako to ide.

Rastavljanje broja na proste faktore

Kao što je gore navedeno, bilo koji kompozitni broj može se rastaviti na dva faktora. Uzmimo, na primjer, broj 210. Ovaj broj se može rastaviti na dva faktora 21 i 10. Ali brojevi 21 i 10 su također složeni, rastavimo ih na dva faktora. Dobivamo 10 = 2*5, 21=3*7. I kao rezultat, broj 210 je rastavljen na 4 faktora: 2,3,5,7. Ovi brojevi su već prosti i ne mogu se proširivati. To jest, rastavili smo broj 210 na proste faktore.

Kada se složeni brojevi rastavljaju na proste faktore, oni se obično pišu rastućim redoslijedom.

Treba imati na umu da se bilo koji složeni broj može rastaviti na proste faktore i to na jedinstven način, do permutacije.

Obično se pri rastavljanju broja na proste faktore koriste kriteriji djeljivosti.

Rastavimo broj 378 na proste faktore

Zapisat ćemo brojeve odvajajući ih okomitom crtom. Broj 378 djeljiv je s 2 jer završava s 8. Dijeljenjem dobivamo broj 189. Zbroj znamenki broja 189 djeljiv je s 3, što znači da je i sam broj 189 djeljiv s 3. Rezultat je 63.

Broj 63 također je djeljiv s 3, prema djeljivosti. Dobivamo 21, broj 21 opet možemo podijeliti s 3, dobivamo 7. Sedam se dijeli samo sa sobom, dobivamo jedan. Time je podjela završena. Desno iza retka su prosti faktori na koje je rastavljen broj 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Sve počinje geometrijskom progresijom. Na prvom predavanju o redovima (vidi odjeljak 18.1. Osnovne definicije) dokazali smo da je ova funkcija zbroj niza , a niz konvergira funkciji at
. Tako,

Nabrojimo nekoliko varijanti ove serije. Zamjena x na - x , dobivamo

prilikom zamjene x na
dobivamo

itd.; Područje konvergencije svih ovih serija je isto:
.

2.
.

Sve derivacije ove funkcije u točki x =0 su jednaki
, tako serija izgleda

Područje konvergencije ovog niza je cijela numerička os (primjer 6 odjeljka 18.2.4.3. Polumjer konvergencije, interval konvergencije i područje konvergencije potencijskog niza), Zato
na
. Kao posljedica toga, preostali član Taylorove formule
. Stoga serija konvergira u
u bilo kojem trenutku x .

3.
.

Ovaj niz apsolutno konvergira na

, a zbroj mu je stvarno jednak
. Preostali član Taylorove formule ima oblik
, Gdje
ili
- ograničena funkcija, i
(ovo je opći izraz prethodnog proširenja).

4.
.

Ovo proširenje se može dobiti, kao i prethodna, sekvencijalnim izračunavanjem derivacija, ali mi ćemo postupiti drugačije. Razlikujmo pojam iz prethodne serije:

Konvergencija funkciji na cijeloj osi slijedi iz teorema o član-po-članom diferencijaciji potencnog niza.

5. Neovisno dokažite da je na cijeloj numeričkoj osi .

6.
.

Niz za ovu funkciju se zove binomni niz. Ovdje ćemo izračunati derivate.

...Serija Maclaurin ima oblik

Trazimo interval konvergencije: dakle, interval konvergencije je
. Nećemo proučavati preostali član i ponašanje niza na krajevima intervala konvergencije; ispada da kada
Niz konvergira apsolutno u obje točke
, na
niz uvjetno konvergira u točki
i divergira u točki
, na
divergira u obje točke.

7.
.

Ovdje ćemo se poslužiti činjenicom da
. Budući da je , dakle, nakon integracije pojam po član,

Područje konvergencije ovog niza je poluinterval
, konvergencija funkciji u unutarnjim točkama slijedi iz teorema o član-po-člani integraciji niza snaga, u točki x =1 - iz kontinuiteta i funkcije i zbroja redova potencije u svim točkama, proizvoljno blizu x =1 ostalo. Imajte na umu da uzimanje x =1, naći ćemo zbroj niza .

8. Integrirajući red po član, dobivamo proširenje funkcije
. Izvedite sami sve izračune, napišite područje konvergencije.

9. Zapišimo proširenje funkcije
prema formuli binomnog niza sa
: . Nazivnik
predstavljen kao dvostruki faktorijel
znači umnožak svih prirodnih brojeva iste parnosti kao , ne prelazi . Ekspanzija konvergira na funkciju at
. Integrirajući ga pojam po pojam od 0 do x , primit ćemo . Ispada da taj niz konvergira funkciji na cijelom intervalu
; na x =1 dobivamo još jedan lijepi prikaz broja :
.

18.2.6.2. Rješavanje problema proširenja funkcija u nizove. Većina problema u kojima morate proširiti elementarnu funkciju u potencijski niz
, rješava se korištenjem standardnih proširenja. Srećom, svaka osnovna elementarna funkcija ima svojstvo koje vam to omogućuje. Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

2. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje.
. Područje konvergencije:
.

3. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

4. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

5. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Regija konvergencije
.

6. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. Rastavljanje u niz jednostavnih racionalnih razlomaka druge vrste dobiva se počlanim diferenciranjem odgovarajućih razlaganja razlomaka prve vrste. U ovom primjeru. Nadalje, diferencijacijom po članu po članu, možemo dobiti proširenja funkcija
,
itd.

7. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. Ako racionalni razlomak nije jednostavan, prvo se predstavlja kao zbroj prostih razlomaka:
, a zatim postupite kao u primjeru 5: gdje
.

Naravno, ovaj pristup nije primjenjiv, na primjer, za dekompoziciju funkcije po stupnjevima x . Ovdje, ako trebate dobiti prvih nekoliko članova Taylorovog niza, najlakši način je pronaći vrijednosti u točki x =0 traženi broj prvih izvodnica.

Ovaj mrežni kalkulator dizajniran je za rastavljanje funkcije na faktore.

Na primjer, faktorizirajte: x 2 /3-3x+12. Zapišimo to kao x^2/3-3*x+12. Možete koristiti i ovo servis, gdje se svi izračuni spremaju u Word formatu.

Na primjer, rastaviti na pojmove. Zapišimo to kao (1-x^2)/(x^3+x) . Da biste vidjeli napredak rješenja, kliknite Prikaži korake. Ako trebate dobiti rezultat u Word formatu, koristite ovo servis.

Bilješka: broj "pi" (π) piše se kao pi; kvadratni korijen kao sqrt , na primjer sqrt(3) , tangens tg se piše tan . Da biste vidjeli odgovor, pogledajte Alternativa.

Ako je dan jednostavan izraz, na primjer, 8*d+12*c*d, tada rastavljanje izraza na faktore znači predstavljanje izraza u obliku faktora. Da biste to učinili, morate pronaći zajedničke faktore. Zapišimo ovaj izraz kao: 4*d*(2+3*c) .
Umnožak predstavite u obliku dvaju binoma: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Ovdje već trebate pronaći nekoliko zajedničkih faktora: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Izvadimo (x+7z) i dobijemo: (x+7z)(x + 3y) .

vidi također Dijeljenje polinoma kutom(svi koraci dijeljenja prikazani su u stupcu)

Bit će korisno pri proučavanju pravila faktorizacije formule skraćenog množenja, uz pomoć kojih će biti jasno kako otvoriti zagrade kvadratom: