Diferencijalne jednadžbe 1. reda sa separabilnim varijablama.
Definicija. Diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama naziva se jednadžba oblika(3.1) ili jednadžba oblika (3.2)
Da bismo razdvojili varijable u jednadžbi (3.1), tj. svesti ovu jednadžbu na takozvanu jednadžbu odvojene varijable, proizvesti sljedeće radnje: 
;
Sada trebamo riješiti jednadžbu g(y)= 0. Ako ima pravo rješenje y=a, Da y=a također će biti rješenje jednadžbe (3.1).
Jednadžba (3.2) se svodi na odvojenu jednadžbu dijeljenjem s umnoškom:
, što nam omogućuje da dobijemo opći integral jednadžbe (3.2): 
. (3.3)
Integralne krivulje (3.3) dopunit ćemo rješenjima 
, ako takva rješenja postoje.
Homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda.
Definicija 1. Jednadžba prvog reda naziva se homogenom ako njena desna strana zadovoljava relaciju 
, nazvan uvjetom homogenosti funkcije dviju varijabli nulte dimenzije.
Primjer 1. Pokažite da je funkcija homogena nulte dimenzije.
Riješenje. 
,
Q.E.D.
Teorema. Svaka funkcija je homogena i, obrnuto, svaka homogena funkcija nulte dimenzije reducira se na oblik .
Dokaz. Prva izjava teoreme je očita, jer . Dokažimo drugu tvrdnju. Postavimo onda za homogenu funkciju 
, što je i trebalo dokazati.
Definicija 2. Jednadžba (4.1) u kojoj M I N– homogene funkcije istog stupnja, tj. imaju svojstvo za sve, nazivaju se homogenim. Očito, ova se jednadžba uvijek može svesti na oblik (4.2), iako to možda nije potrebno za njezino rješavanje. Homogena jednadžba se zamjenom željene funkcije svodi na jednadžbu sa separabilnim varijablama g prema formuli y=zx, Gdje z(x)– nova potrebna funkcija. Izvršivši ovu zamjenu u jednadžbi (4.2), dobivamo: ili ili .
Integriranjem dobivamo opći integral jednadžbe s obzirom na funkciju z(x) 
, koji nakon opetovane zamjene daje opći integral izvorne jednadžbe. Osim toga, ako su korijeni jednadžbe, tada su funkcije rješenja homogene dana jednadžba. Ako je , tada jednadžba (4.2) ima oblik
I postaje jednadžba s odvojivim varijablama. Njegova rješenja su poluizravna: .
Komentar. Ponekad je preporučljivo koristiti zamjenu umjesto gornje zamjene x=zy.
Generalizirana homogena jednadžba.
Jednadžba M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 naziva se generalizirano homogenim ako je moguće odabrati takav broj k, da lijeva strana ove jednadžbe postane homogena funkcija nekog stupnja m relativno x, y, dx I dy pod uvjetom da x smatra se vrijednošću prve dimenzije, g – k‑ th mjerenja ,dx I dy – odnosno nula i (k-1) th mjerenja. Na primjer, ovo bi bila jednadžba 
. (6.1) Vrijedi pod pretpostavkom koja se odnosi na mjerenja x, y, dx I dy pripadnici lijeve strane i dy imat će dimenzije -2, odnosno 2 k I k-1. Njihovim izjednačavanjem dobivamo uvjet koji traženi broj mora zadovoljiti k: -2 = 2k=k-1. Ovaj uvjet je zadovoljen kada k= -1 (s ovim k svi članovi na lijevoj strani jednadžbe koja se razmatra imat će dimenziju -2). Prema tome, jednadžba (6.1) je generalizirano homogena.
Diferencijalne jednadžbe u generaliziranim funkcijama
Neka postoji jednadžba. Ako je obična funkcija, tada je njezino rješenje antiderivacija, tj. Neka je sada generalizirana funkcija.
Definicija. Generalizirana funkcija naziva se primitivnom generaliziranom funkcijom ako. Ako je singularna generalizirana funkcija, tada postoje mogući slučajevi kada je njezin antiderivacija regularna generalizirana funkcija. Na primjer, antiderivat je; antiderivacija je funkcija, a rješenje jednadžbe može se napisati u obliku: , gdje je.
Jesti Linearna jednadžba-tog reda s konstantnim koeficijentima
gdje je generalizirana funkcija. Neka je diferencijalni polinom th reda.
Definicija. Generalizirano rješenje diferencijalne jednadžbe (8) je generalizirana funkcija za koju vrijedi sljedeća relacija:
Ako je kontinuirana funkcija, tada jedino rješenje jednadžba (8) je klasično rješenje.
Definicija. Temeljno rješenje jednadžbe (8) je svaka generalizirana funkcija takva da.
Greenova funkcija je temeljno rješenje koje zadovoljava rubni, početni ili asimptotski uvjet.
Teorema. Rješenje jednadžbe (8) postoji i ima oblik:
osim ako nije definirana konvolucija.
Dokaz. Stvarno,. Prema svojstvu konvolucije slijedi: .
Lako je vidjeti da je temeljno rješenje ove jednadžbe, budući da
Svojstva generaliziranih derivacija
Operacija diferencijacije je linearna i kontinuirana od do:
u, ako je u;
Svaka generalizirana funkcija je beskonačno diferencijabilna. Doista, ako, onda; zauzvrat itd.;
Rezultat diferencijacije ne ovisi o redoslijedu diferencijacije. Na primjer, ;
Ako je i, tada vrijedi Leibnizova formula za razlikovanje proizvoda. Na primjer, ;
Ako je generalizirana funkcija, onda;
Ako niz sastavljen od lokalno integrabilnih funkcija jednoliko konvergira na svakom kompaktnom skupu, tada se može diferencirati član po član bilo koji broj puta (kao generalizirana funkcija), a rezultirajući niz će konvergirati.
Primjer. Neka
Funkcija se naziva Heavisideova funkcija ili jedinična funkcija. Lokalno je integrabilna i stoga se može smatrati generaliziranom funkcijom. Možete pronaći njegovu izvedenicu. Prema definiciji, tj. .
Generalizirane funkcije koje odgovaraju kvadratnim oblicima s kompleksnim koeficijentima
Do sada su razmatrane samo kvadratne forme s realnim koeficijentima. U ovom dijelu proučavamo prostor svih kvadratnih oblika s kompleksnim koeficijentima.
Zadatak je odrediti generaliziranu funkciju, gdje je - složeni broj. Međutim, u općem slučaju neće biti jednoznačnosti analitička funkcija iz. Dakle, u prostoru svih kvadratnih oblika identificira se “gornja poluravnina” kvadratnih oblika s pozitivno određenim imaginarnim dijelom i određuje im se funkcija. Naime, ako kvadratna forma pripada toj “poluravnini”, tada se pretpostavlja da je gdje. Takva funkcija je jedinstvena analitička funkcija.
Sada možemo pridružiti funkciju generaliziranoj funkciji:
gdje se integracija provodi na cijelom prostoru. Integral (13) konvergira u i analitička je funkcija u toj poluravnini. Analitički nastavljajući ovu funkciju, određuje se funkcional za ostale vrijednosti.
Za kvadratne oblike s pozitivno određenim imaginarnim dijelom nalazimo singularne točke funkcije i izračunajte ostatke tih funkcija u singularnim točkama.
Generalizirana funkcija analitički ne ovisi samo o, već i o koeficijentima kvadratnog oblika. Dakle, to je analitička funkcija u gornjoj "poluravnini" svih kvadratnih oblika oblika gdje postoji pozitivno određena forma. Prema tome, jednoznačno je određena svojim vrijednostima na "imaginarnoj poluosi", tj. na skupu kvadratnih oblika oblika, gdje je pozitivno određena forma.
Pokazuje se kako prepoznati generaliziranu homogenu diferencijalnu jednadžbu. Razmatra se metoda za rješavanje generalizirane homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Naveden je primjer detaljno rješenje takva jednadžba.
SadržajDefinicija
Generalizirana homogena diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika:, gdje je α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funkcija.
Kako odrediti je li diferencijalna jednadžba generalizirano homogena
Da biste odredili je li diferencijalna jednadžba generalizirano homogena, trebate uvesti konstantu t i izvršiti zamjenu:
y → t α · y , x → t · x .
Ako je moguće odabrati vrijednost α pri kojoj se konstanta t smanjuje, onda je to - generalizirana homogena diferencijalna jednadžba. Promjena derivacije y′ ovom zamjenom ima oblik:
.
Primjer
Odredite je li navedena jednadžba generalizirano homogena:
.
Izvršavamo zamjenu y → t α y, x → t x, y′ → t α- 1 g':
;
.
Podijelite s t α+ 5
:
;
.
Jednadžba neće sadržavati t ako
4 α - 6 = 0,
α = 3/2
.
Od kada je α = 3/2
, t se smanjio, dakle ovo je generalizirana homogena jednadžba.
Metoda rješenja
Razmotrimo generaliziranu homogenu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:
(1)
.
Pokažimo da se reducira na homogenu jednadžbu pomoću supstitucije:
t = xα.
Stvarno,
.
Odavde
;
.
(1)
:
;
.
Ovo je homogena jednadžba. Može se riješiti zamjenom:
y = z t,
gdje je z funkcija od t.
Prilikom rješavanja problema lakše je odmah koristiti zamjenu:
y = z x α,
gdje je z funkcija od x.
Primjer rješavanja generalizirane homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Riješite diferencijalnu jednadžbu
(P.1) .
Provjerimo je li ova jednadžba generalizirano homogena. Da biste to učinili u (P.1) napraviti zamjenu:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 g'.
.
Podijelite s t α:
.
t će se poništiti ako postavimo α = - 1
. To znači da je ovo generalizirana homogena jednadžba.
Napravimo zamjenu:
y = z x α = z x - 1
,
gdje je z funkcija od x.
.
Zamijenite u izvornu jednadžbu (P.1):
(P.1) ;
;
.
Pomnožite s x i otvorite zagrade:
;
;
.
Razdvajamo varijable - množimo s dx i dijelimo s x z 2
. Kada je z ≠ 0
imamo:
.
Integriramo pomoću tablice integrala:
;
;
;
.
Potencirajmo:
.
Zamijenimo konstantu e C → C i uklonimo predznak modula, budući da je izbor željenog predznaka određen izborom predznaka konstante C:
.
Vratimo se varijabli y. Zamjena z = xy:
.
Podijeli s x:
(P.2) .
Kad podijelimo sa z 2
, pretpostavili smo da je z ≠ 0
. Sada razmotrite rješenje z = xy = 0
, ili y = 0
.
Otkad je y = 0
, lijeva strana izraza (P.2) nije definiran, tada dobivenom općem integralu dodamo rješenje y = 0
.
;
.
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na viša matematika, "Lan", 2003.
Jednadžba M(x, g) dx+ N(x, g) dy=0 naziva se generalizirano homogenim ako je moguće odabrati takav broj k, da lijeva strana ove jednadžbe postane homogena funkcija nekog stupnja m relativno x, g, dx I dy pod uvjetom da x smatra se vrijednošću prve dimenzije, g – k‑ th mjerenja , dx I dy – odnosno nula i (k-1) th mjerenja. Na primjer, ovo bi bila jednadžba. (6.1)
Vrijedi pod pretpostavkama koje se odnose na mjerenja
x,
g,
dx
I dy
pripadnici lijeve strane 
I dy
imat će dimenzije -2, odnosno 2 k I
k-1. Njihovim izjednačavanjem dobivamo uvjet koji traženi broj mora zadovoljavati k:
-2 = 2k
=
k-1. Ovaj uvjet je zadovoljen kada k
= -1 (s ovim k svi članovi na lijevoj strani jednadžbe koja se razmatra imat će dimenziju -2). Prema tome, jednadžba (6.1) je generalizirano homogena.
Generalizirana homogena jednadžba se supstitucijom reducira na jednadžbu s razdvojivim varijablama 
, Gdje z– nova nepoznata funkcija. Integrirajmo jednadžbu (6.1) naznačenom metodom. Jer k
= -1, dakle 
, nakon čega dobivamo jednadžbu.
Integrirajući ga, nalazimo 
, gdje 
. Ovo je opće rješenje jednadžbe (6.1).
§ 7. Linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda.
Linearna jednadžba 1. reda je jednadžba koja je linearna u odnosu na željenu funkciju i njenu derivaciju. Izgleda kao:
,
(7.1)
Gdje P(x)
I
Q(x)
– zadane kontinuirane funkcije od x.
Ako funkcija
,
tada jednadžba (7.1) ima oblik: 
(7.2)
a naziva se linearna homogena jednadžba, inače 
naziva se linearna nehomogena jednadžba.
Linearna homogena diferencijalna jednadžba (7.2) je jednadžba sa separabilnim varijablama:
(7.3)
Izraz (7.3) je opće rješenje jednadžbe (7.2). Pronaći opće rješenje jednadžbe (7.1), u kojoj je funkcija P(x) označava istu funkciju kao u jednadžbi (7.2), primjenjujemo tehniku koja se zove metoda varijacije proizvoljne konstante i sastoji se od sljedećeg: pokušat ćemo odabrati funkciju C=C(x) tako da bi opće rješenje linearne homogene jednadžbe (7.2) bilo rješenje nehomogene linearne jednadžbe (7.1). Tada za derivaciju funkcije (7.3) dobivamo:
.
Zamjenom pronađene derivacije u jednadžbu (7.1) imat ćemo:
ili 
.
Gdje 
, Gdje 
- proizvoljna konstanta. Kao rezultat toga, opće rješenje nehomogene linearne jednadžbe (7.1) bit će (7.4) 
Prvi član u ovoj formuli predstavlja opće rješenje (7.3) linearne homogene diferencijalne jednadžbe (7.2), a drugi član formule (7.4) je partikularno rješenje linearne nehomogene jednadžbe (7.1), dobiveno iz opće ( 7.4) sa 
. Ovaj važan zaključak ističemo u obliku teorema.
Teorema. Ako je poznato jedno posebno rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 
, tada sva ostala rješenja imaju oblik 
, Gdje 
- opće rješenje odgovarajuće linearne homogene diferencijalne jednadžbe.
Međutim, treba napomenuti da se za rješavanje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda (7.1) češće koristi druga metoda, koja se ponekad naziva Bernoullijeva metoda. Rješenje jednadžbe (7.1) tražit ćemo u obliku 
. Zatim 
. Zamijenimo pronađenu derivaciju u izvornu jednadžbu: 
.
Spojimo, na primjer, drugi i treći član zadnjeg izraza i izdvojimo funkciju u(x)
iza zagrade: 
(7.5)
Zahtijevamo da se zagrada poništi: 
.
Riješimo ovu jednadžbu postavljanjem proizvoljne konstante C
jednako nuli: 
. S pronađenom funkcijom v(x)
Vratimo se jednadžbi (7.5): 
.
Rješavajući ga, dobivamo: 
.
Prema tome, opće rješenje jednadžbe (7.1) ima oblik.
def 1 tip DU
nazvao homogena diferencijalna jednadžba prvog reda(ODU).
1 Neka su za funkciju ispunjeni sljedeći uvjeti:
1) kontinuirano na
Tada ODE (1) ima opći integral koji je dan formulom:
gdje je neka antiderivacija funkcije S je proizvoljna konstanta.
Napomena 1 Ako je za neke uvjet zadovoljen, tada se u procesu rješavanja ODE (1) rješenja oblika mogu izgubiti; takve slučajeve treba pažljivo tretirati i svaki od njih posebno provjeriti.
Tako iz teorema Th1 trebao bi opći algoritam za rješavanje ODE (1):
1) Napravite zamjenu:
2) Tako će se dobiti diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama koje treba integrirati;
3) Povratak na stare gvarijable;
4) Provjerite vrijednosti za njihovu uključenost u rješenje original daljinski upravljač, pod kojim će uvjet biti zadovoljen
5) Zapišite odgovor.
Primjer 1 Riješite DE (4).
Riješenje: DE (4) je homogena diferencijalna jednadžba, budući da ima oblik (1). Izmijenimo (3), to će jednadžbu (4) dovesti u oblik:
Jednadžba (5) je opći integral DE (4).
Imajte na umu da bi se kod odvajanja varijabli i dijeljenja s, rješenja mogla izgubiti, ali to nije rješenje za DE (4), što se lako provjerava izravnom zamjenom u jednakost (4), budući da ta vrijednost nije uključena u domenu definicije izvornog DE.
Odgovor:
Napomena 2 Ponekad ODE-ove možete napisati u terminima diferencijala varijabli x I u. Preporuča se prijeći s ovog zapisa daljinskog upravljača na izraz kroz izvedenicu i tek onda izvršiti zamjenu (3).
Diferencijalne jednadžbe svedene na homogene.
def 2 Funkcija se zove homogena funkcija stupnja k u području, za koje će biti zadovoljena jednakost:
Ovdje su najčešći tipovi diferencijalnih jednadžbi koje se mogu svesti na oblik (1) nakon raznih transformacija.
1) gdje je funkcija je homogen, stupanj nula, odnosno vrijedi jednakost: DE (6) se lako svodi na oblik (1), ako stavimo , koji se dalje integrira zamjenom (3).
2) (7), gdje su funkcije homogene istog stupnja k . DE oblika (7) također se integrira pomoću supstitucije (3).
Primjer 2 Riješite DE (8).
Riješenje: Pokažimo da je DE (8) homogen. Podijelimo po onome što je moguće, budući da to nije rješenje DE (8).
Izmijenimo (3), to će jednadžbu (9) dovesti u oblik:
Jednadžba (10) je opći integral DE (8).
Imajte na umu da se prilikom odvajanja varijabli i dijeljenja s, rješenja koja odgovaraju vrijednostima i mogu izgubiti. Provjerimo ove izraze. Zamijenimo ih u DE (8):
Odgovor:
Zanimljivo je primijetiti da se prilikom rješavanja ovog primjera pojavljuje funkcija koja se zove “predznak” broja x(čita se " znak x"), definiran izrazom:
Napomena 3 Svođenje DE (6) ili (7) na oblik (1) nije potrebno; ako je očito da je DE homogen, tada možete odmah izvršiti zamjenu
3) DE oblika (11) integriran je kao ODE ako je , a supstitucija se inicijalno izvodi:
(12), gdje je rješenje sustava: (13), a zatim koriste zamjenu (3) za funkciju, nakon što dobiju opći integral, vraćaju se na varijable x I na.
Ako je , tada, uz pretpostavku u jednadžbi (11), dobivamo diferencijalnu jednadžbu sa separabilnim varijablama.
Primjer 3 Riješite Cauchyjev problem (14).
Riješenje: Pokažimo da je DE (14) sveden na homogeni DE i integriran prema gornjoj shemi:
Odlučimo se heterogeni sustav linearne algebarske jednadžbe (15) korištenjem Cramerove metode:
Izvršimo promjenu varijabli i integrirajmo dobivenu jednadžbu:
(16) – Opći integral DE (14). Kod dijeljenja varijabli rješenja bi se mogla izgubiti kod dijeljenja izrazom koji se može dobiti eksplicitno nakon rješavanja kvadratna jednadžba. Međutim, oni su uzeti u obzir u općem integralu (16) na
Pronađimo rješenje Cauchyjevog problema: zamijenimo vrijednosti i u opći integral (16) i pronađemo S.
Dakle, parcijalni integral će biti dan formulom:
Odgovor:
4) Moguće je svesti neke DE na homogene za novu, još nepoznatu funkciju ako primijenimo zamjenu oblika:
U ovom slučaju, broj m odabire se pod uvjetom da rezultirajuća jednadžba, ako je moguće, postane homogena do nekog stupnja. Međutim, ako se to ne može učiniti, tada se razmatrani DE ne može na ovaj način svesti na homogeni.
Primjer 4 Riješite DE. (18)
Riješenje: Pokažimo da se DE (18) reducira na homogeni DE pomoću supstitucije (17) i dalje integrira pomoću supstitucije (3):
Nađimo S:
Dakle, posebno rješenje DE (24) ima oblik
