Sustavi jednadžbi naširoko su korišteni u ekonomskoj industriji matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili postavljanja opreme.
Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u matematici, već iu fizici, kemiji i biologiji, pri rješavanju problema određivanja veličine populacije.
Sustav linearne jednadžbe imenovati dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajednička odluka. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.
Linearna jednadžba
Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice čiju vrijednost treba pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao ravna linija čije su sve točke rješenja polinoma.
Vrste sustava linearnih jednadžbi
Najjednostavnijim primjerima smatraju se sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcijske varijable.
Riješite sustav jednadžbi - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) u koje se sustav pretvara istinska jednakost ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.
Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.
Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenje ne postoji, nazivaju se ekvivalentni.
Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav je sustav heterogen.
Broj varijabli može biti puno veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.
Kada se suoče sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama; može ih biti koliko god želite.
Jednostavne i složene metode rješavanja sustava jednadžbi
Ne postoji opća analitička metoda za rješavanje takvih sustava; sve se metode temelje na numeričkim rješenjima. U školski tečaj Matematika detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješavanje Gaussovom metodom.
Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješavanja je naučiti pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi programa 7. razreda Srednja škola prilično jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U bilo kojem udžbeniku matematike ovom se dijelu posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gaussa i Cramera detaljnije se proučava na prvim godinama visokog obrazovanja.
Rješavanje sustava metodom supstitucije
Radnje metode supstitucije usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable u smislu druge. Izraz se supstituira u preostalu jednadžbu, zatim se svodi na oblik s jednom varijablom. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu
Dajmo rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:
Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbi sustava umjesto X, pomogao je dobiti jednu varijablu Y u 2. jednadžbi . Rješavanje ovog primjera je jednostavno i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.
Nije uvijek moguće riješiti primjer sustava linearnih jednadžbi supstitucijom. Jednadžbe mogu biti složene i izražavanje varijable u smislu druge nepoznanice bit će preglomazno za daljnje izračune. Kada u sustavu postoji više od 3 nepoznanice, rješavanje supstitucijom također nije prikladno.
Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:
Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja
Prilikom traženja rješenja sustava pomoću metode zbrajanja, jednadžbe se zbrajaju član po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba u jednoj varijabli.
Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom zbrajanja kada postoje 3 ili više varijabli nije jednostavno. Algebarsko zbrajanje prikladno je koristiti kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.
Algoritam rješenja:
- Pomnožite obje strane jednadžbe s određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi postati jednak 1.
- Dobiveni izraz zbrajajte član po član i pronađite jednu od nepoznanica.
- Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.
Metoda rješavanja uvođenjem nove varijable
Nova varijabla može se uvesti ako sustav zahtijeva pronalaženje rješenja za najviše dvije jednadžbe; broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.
Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava za uvedenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.
Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sustava na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminante.
Potrebno je pronaći vrijednost diskriminante pomoću poznate formule: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željena diskriminanta, b, a, c faktori polinoma. U navedenom primjeru a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.
Rješenje za nastale sustave nalazi se metodom adicije.
Vizualna metoda rješavanja sustava
Prikladno za 3 sustava jednadžbi. Metoda se sastoji u konstruiranju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate sjecišta krivulja bit će opće rješenje sustava.
Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.
Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju konstruirane su dvije točke, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Na grafu su označene točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) i spojene linijom.
Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Sjecište pravaca je rješenje sustava.
Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičkog rješenja sustava linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Kao što je vidljivo iz primjera, sustav nema rješenja jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.
Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne; uvijek je potrebno konstruirati graf.
Matrica i njezine vrste
Matrice se koriste za sažeto pisanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica je posebna vrsta tablice ispunjene brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.
Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica jednog stupca s beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nula elementima naziva se identitet.
Inverzna matrica je matrica kada se pomnoži s kojom se izvorna pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu matricu.
Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu
U odnosu na sustave jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisani su kao brojevi matrice; jedna jednadžba je jedan redak matrice.
Kaže se da je red matrice različit od nule ako barem jedan element retka nije nula. Dakle, ako se u nekoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznanice koja nedostaje.
Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu pisati samo u jednom stupcu, primjerice prvom, koeficijent nepoznate y - samo u drugom.
Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.
Mogućnosti pronalaženja inverzne matrice
Formula za pronalaženje inverzne matrice je vrlo jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.
Determinanta se jednostavno izračunava za matricu dva puta dva; Za opciju “tri sa tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se brojevi stupaca i redaka elemenata ne ponavljaju u radu.
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom
Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje vam smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.
U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.
Rješavanje sustava Gaussovom metodom
U viša matematika Gaussova metoda proučava se zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja sustava naziva se Gauss-Cramerova metoda rješenja. Ove se metode koriste za pronalaženje varijabli sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.
Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima supstitucijom i algebarskim zbrajanjem, ali je sustavnija. U školskom kolegiju koristi se rješavanje Gaussovom metodom za sustave od 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je svođenje sustava na oblik obrnutog trapeza. Po algebarske transformacije i supstitucije, vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, dok su 3 i 4 s 3, odnosno 4 varijable.
Nakon dovođenja sustava u opisani oblik daljnje rješavanje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.
U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:
Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.
Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će rezultirajući sustav također biti ekvivalentan izvornom.
Učenicima je Gaussova metoda teška za razumijevanje Srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece koja pohađaju napredne programe učenja u nastavi matematike i fizike.
Radi lakšeg bilježenja, izračuni se obično rade na sljedeći način:
Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki redak matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.
Prvo zapišite matricu s kojom ćete raditi, zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se piše nakon znaka "strelica" i nastavljaju se potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.
Rezultat bi trebala biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica je svedena na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvesti izračune s brojevima na obje strane jednadžbe.
Ova metoda snimanja manje je glomazna i omogućuje vam da ne budete ometani nabrajanjem brojnih nepoznanica.
Slobodno korištenje bilo koje metode rješenja zahtijevat će pažnju i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske aktivnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.
Sustavi linearnih jednadžbi. Predavanje 6.
Sustavi linearnih jednadžbi.
Osnovni koncepti.
Prikaz sustava
nazvao sustav - linearne jednadžbe s nepoznanicama.
Brojevi , , se nazivaju koeficijenti sustava.
Brojevi se nazivaju besplatni članovi sustava, – varijable sustava. Matrica
nazvao glavna matrica sustava, i matricu
– sustav proširene matrice. Matrice – stupci
I shodno tome matrice slobodnih članova i nepoznanica sustava. Tada se u matričnom obliku sustav jednadžbi može napisati kao . Sustavno rješenje naziva se vrijednosti varijabli, čijom se zamjenom sve jednadžbe sustava pretvaraju u točne numeričke jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se prikazati kao matrica-stupac. Tada je matrična jednakost istinita.
Sustav jednadžbi naziva se spojnica ako ima barem jedno rješenje i nezglobni ako nema rješenja.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi znači utvrditi je li konzistentan i, ako jest, pronaći njegovo opće rješenje.
Sustav se zove homogena ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli. Homogeni sustav je uvijek konzistentan, jer ima rješenje
Kronecker–Copellijev teorem.
Odgovor na pitanje o postojanju rješenja linearnih sustava i njihovoj jedinstvenosti omogućuje nam da dobijemo sljedeći rezultat, koji se može formulirati u obliku sljedećih izjava o sustavu linearnih jednadžbi s nepoznanicama
(1)
Teorem 2. Sustav linearnih jednadžbi (1) je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice (.
Teorem 3. Ako je rang glavne matrice simultanog sustava linearnih jednadžbi jednak broju nepoznanica, tada sustav ima jedinstveno rješenje.
Teorem 4. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj rješenja.
Pravila za rješavanje sustava.
3. Naći izraz glavnih varijabli preko slobodnih i dobiti opće rješenje sustava.
4. Zadavanjem proizvoljnih vrijednosti slobodnim varijablama dobivaju se sve vrijednosti glavnih varijabli.
Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi.
Metoda inverzne matrice.
i , tj. sustav ima jedinstveno rješenje. Napišimo sustav u matričnom obliku
Gdje 
,
,
.
Pomnožimo obje strane matrične jednadžbe s lijeve strane s matricom
Od , dobivamo , iz čega dobivamo jednakost za pronalaženje nepoznanica
Primjer 27. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom inverzne matrice 
Riješenje. Označimo s glavnom matricom sustava
.
Neka, tada rješenje nalazimo pomoću formule.
Izračunajmo.
Budući da , tada sustav ima jedinstveno rješenje. Pronađimo sve algebarske komplemente
,
,
,
,
,
,
,
,
Tako
.
Provjerimo
.
Inverzna matrica je točno pronađena. Odavde, pomoću formule, nalazimo matricu varijabli.
.
Uspoređujući vrijednosti matrica, dobivamo odgovor: .
Cramerova metoda.
Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama
i , tj. sustav ima jedinstveno rješenje. Napišimo rješenje sustava u matričnom obliku odn
Označimo
. . . . . . . . . . . . . . ,
Tako dobivamo formule za pronalaženje vrijednosti nepoznanica koje se nazivaju Cramerove formule.
Primjer 28. Cramerovom metodom riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi 
.
Riješenje. Nađimo determinantu glavne matrice sustava
.
Budući da , tada sustav ima jedinstveno rješenje.
Pronađimo preostale determinante za Cramerove formule
,
,
.
Pomoću Cramerovih formula nalazimo vrijednosti varijabli
Gaussova metoda.
Metoda se sastoji od sekvencijalne eliminacije varijabli.
Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama.
Proces Gaussovog rješenja sastoji se od dvije faze:
U prvoj fazi, proširena matrica sustava se elementarnim transformacijama reducira na stupnjeviti oblik
,
gdje , čemu sustav odgovara
Nakon ovoga varijable 
smatraju se slobodnima i prenose se na desnu stranu u svakoj jednadžbi.
U drugoj fazi, varijabla se izražava iz posljednje jednadžbe, a rezultirajuća vrijednost se supstituira u jednadžbu. Iz ove jednadžbe
varijabla je izražena. Ovaj proces se nastavlja do prve jednadžbe. Rezultat je izraz glavnih varijabli kroz slobodne varijable 
.
Primjer 29. Riješite sljedeći sustav Gaussovom metodom
Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i dovedimo je u postupni oblik
.
Jer 
veći od broja nepoznanica, tada je sustav konzistentan i ima beskonačan broj rješenja. Napišimo sustav za matricu koraka
Determinanta proširene matrice ovog sustava, sastavljena od prva tri stupca, nije jednaka nuli, pa je smatramo osnovnom. Varijable
Oni će biti osnovni, a varijabla će biti besplatna. Pomaknimo ga u svim jednadžbama na lijevu stranu
Iz posljednje jednadžbe izražavamo
Zamjenom ove vrijednosti u pretposljednju drugu jednadžbu, dobivamo
gdje 
. Zamjenom vrijednosti varijabli i u prvu jednadžbu, nalazimo 
. Zapišimo odgovor u sljedećem obliku
Mnogi praktični problemi svode se na rješavanje sustava algebarske jednadžbe 1. stupnja ili, kako se obično nazivaju, sustavi linearnih jednadžbi. Naučit ćemo rješavati takve sustave čak i bez zahtjeva da se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica.
Općenito, sustav linearnih jednadžbi piše se na sljedeći način:
Evo brojeva a ij– izgledi sustavi, b i – besplatni članovi, x i– simboli nepoznato . Vrlo je zgodno uvesti matrični zapis: – glavni matrica sustava, – matrica–stupac slobodnih članova, – matrica–stupac nepoznanica. Tada se sustav može napisati ovako: SJEKIRA=B ili detaljnije:
Ako na lijevoj strani te jednakosti izvedemo matrično množenje prema uobičajenim pravilima i izjednačimo elemente dobivenog stupca s elementima U, tada ćemo doći do izvorne snimke sustava.
Primjer 14. Napišimo isti sustav linearnih jednadžbi s dva različiti putevi:
Sustav linearnih jednadžbi obično se naziva spojnica , ako ima barem jedno rješenje, i nekompatibilno, ako nema rješenja.
U našem primjeru sustav je konzistentan, stupac je njegovo rješenje:
Ovo rješenje se može napisati bez matrica: x=2, g=1 . Sustav jednadžbi nazvat ćemo neizvjestan , u slučaju da ima više od jednog rješenja, i siguran, ako postoji samo jedno rješenje.
Primjer 15. Sustav je nesiguran. Na primjer, jesu li njegova rješenja. Čitatelj može pronaći mnoga druga rješenja za ovaj sustav.
Naučimo prvo riješiti sustave linearnih jednadžbi u konkretnom slučaju. Sustav jednadžbi OH=U nazvat ćemo Kramerova , ako je njegova glavna matrica A– kvadratni i nedegenerirani. Drugim riječima, u Cramerovom sustavu broj nepoznanica podudara se s brojem jednadžbi i .
Teorem 6. (Cramerovo pravilo). Cramerov sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje dano formulama:
gdje je determinanta glavne matrice, je determinanta dobivena iz D zamjena ja-th stupac sa stupcem slobodnih termina.
Komentar. Cramer sustavi mogu se riješiti na drugi način, korištenjem inverzne matrice. Zapišimo ovaj sustav u matričnom obliku: SJEKIRA=U. Budući da , tada postoji inverzna matrica A –1 . Pomnožite jednakost matrica s A –1 lijevo: A –1 OH=A –1 U. Jer A –1 OH=Npr=x, tada je rješenje sustava nađeno: x= A –1 U Ovu metodu ćemo nazvati rješenjem matrica . Naglasimo još jednom da je prikladan samo za Cramerove sustave - u ostalim slučajevima inverzna matrica ne postoji. Čitatelj će u nastavku pronaći detaljne primjere korištenja metode matrice i metode Cramer.
Proučimo konačno opći slučaj - sustav m linearne jednadžbe sa n nepoznato. Da biste to riješili, koristite Gaussova metoda , koje ćemo detaljno razmotriti arbitrarni sustav jednadžbe OH=U ispisat ćemo to proširena matrica. Ovo je uobičajeni naziv za matricu koja će se dobiti ako se glavna matrica A dodajte stupac besplatnih članova s desne strane U:
Kao i kod izračunavanja ranga, korištenjem elementarnih transformacija redaka i permutacija stupaca smanjit ćemo našu matricu na trapezoidni oblik. U ovom slučaju, naravno, sustav jednadžbi koji odgovara matrici će se promijeniti, ali će biti je ekvivalentan izvorni (ᴛ.ᴇ. imat će ista rješenja). Zapravo, preuređivanje ili dodavanje jednadžbi neće promijeniti rješenja. Preuređivanje stupaca - također: jednadžbe x 1+3x2+7x3=4 I x 1+7x3+3x2=4, naravno da su ekvivalentni. Samo trebate napisati kojoj nepoznanici odgovara navedeni stupac. Stupac slobodnih pojmova ne preuređujemo - obično je odvojen od ostalih u matrici točkastom linijom. Nula redaka koji se pojavljuju u matrici ne moraju se pisati.
Primjer 1. Riješite sustav jednadžbi:
Riješenje. Napišimo proširenu matricu i svedimo je na trapezoidni oblik. Znak ~ sada će značiti ne samo podudarnost rangova, već i ekvivalentnost odgovarajućih sustava jednadžbi.
~ . Objasnimo izvršene radnje.
Radnja 1. 1. redak je dodan u 2. redak, množeći ga s (–2). 1. red je dodan 3. i 4. retku, množeći ga s (–3). Svrha ovih operacija je dobiti nule u prvom stupcu, ispod glavne dijagonale.
Radnja 2. Budući da se na mjestu dijagonale (2,2) nalazi 0 , morao sam presložiti 2. i 3. stupac. Da bismo zapamtili ovu permutaciju, napisali smo simbole nepoznanica na vrhu.
Radnja 3. 2. redak je dodan 3. retku, množeći ga s (–2). 4. retku dodan je 2. redak. Cilj je dobiti nule u drugom stupcu, ispod glavne dijagonale.
Radnja 4. Nulte linije se mogu ukloniti.
Dakle, matrica je smanjena na trapezoidni oblik. Njezin rang r=2 . Nepoznato x 1, x 3- Osnovni, temeljni; x 2, x 4– besplatno. Dajmo slobodnim nepoznanicama proizvoljne vrijednosti:
x 2= a, x 4= b.
Ovdje a, b može biti bilo koji broj. Sada iz posljednje jednadžbe novi sustav
x 3+x 4= –3
pronašli smo x 3: x 3= –3 –b. Uspon, iz prve jednadžbe
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
pronašli smo x 1: x 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.
Zapisujemo opće rješenje:
x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=b.
Općenito rješenje možete napisati kao stupac matrice:
Za specifične vrijednosti a I b, možete primiti privatna rješenja. Na primjer, kada a=0, b=1 dobivamo: – jedno od rješenja sustava.
Bilješke. U algoritmu Gaussove metode koji smo vidjeli (slučaj 1), da je nekompatibilnost sustava jednadžbi povezana s neslaganjem u rangovima glavne i proširene matrice. Predstavimo sljedeći važan teorem bez dokaza.
Teorem 7 (Kronecker–Capelli). Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice sustava.
Sustavi linearnih jednadžbi - pojam i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "Sustavi linearnih jednadžbi" 2017., 2018.
Tako da su njegovi redovi (ili stupci) linearno ovisni. Neka je dan sustav koji sadrži mlinearne jednadžbe s n-poznatim: 5.1. Uvedimo sljedeću oznaku. 5.2., - matrica sustava - njegova proširena matrica. - stupac slobodnih članova. - kolona nepoznatih. Ako ... .
nelinearna optimizacija (NLO) i obrnuto. Postavka ZNO problema: Pronađite (8.1) minimum ili maksimum u nekoj domeni D. Kao što se sjećamo iz Math. analize, parcijalne derivacije treba postaviti na nulu. Tako se ZNO (8.1) sveo na SNL (8.2) (8.2) n nelinearne jednadžbe. ... .
Predavanje 15. Promotrimo nehomogeni sustav (16) Ako su odgovarajući koeficijenti homogenog sustava (7) jednaki odgovarajućim koeficijentima nehomogenog sustava (16), tada se homogeni sustav (7) naziva odgovarajućim nehomogenim sustavom (16) . Teorema. Ako... [pročitaj više] .
7.1. Homogeni sustavi linearnih jednadžbi. Neka je zadan homogeni sustav linearnih jednadžbi (*) Pretpostavimo da je skup brojeva neka vrsta rješenja tog sustava. Tada je i skup brojeva rješenje. To se može provjeriti izravnom zamjenom u jednadžbe sustava.... .
Tablica 3 Faze motoričkog razvoja djeteta Faza Dob Pokazatelji motoričkog razvoja trenutak rođenja do 4 mjeseca Formiranje kontrole nad položajem glave i mogućnost njezine slobodne orijentacije u prostoru 4-6 mjeseci razvoj početnih... .
Definicija 1. Sustav linearnih jednadžbi oblika (1), gdje se poljem naziva sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica nad poljem, su koeficijenti nepoznanica, slobodni članovi sustava (1 ). Definicija 2. Uređeno n (), gdje se, naziva rješenjem sustava linearnih... .
Sadržaj lekcije
Linearne jednadžbe u dvije varijable
Za ručak u školi školarac ima 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko kolača i šalica kave možete kupiti za 200 rubalja?
Označimo broj kolača sa x i broj popijenih šalica kave g. Tada će trošak kolača biti označen izrazom 25 x, a cijena šalica kave u 10 g .
25x - cijena x kolači
10y — cijena gšalice kave
Ukupni iznos trebao bi biti 200 rubalja. Tada dobivamo jednadžbu s dvije varijable x I g
25x+ 10g= 200
Koliko korijena ima ova jednadžba?
Sve ovisi o apetitu učenika. Ako kupi 6 kolača i 5 šalica kave, tada će korijeni jednadžbe biti brojevi 6 i 5.
Za par vrijednosti 6 i 5 kaže se da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Zapisuje se kao (6; 5), pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi - vrijednost varijable g .
6 i 5 nisu jedini korijeni koji obrću jednadžbu 25 x+ 10g= 200 do identiteta. Po želji, za istih 200 rubalja student može kupiti 4 kolača i 10 šalica kave:
U ovom slučaju, korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 je par vrijednosti (4; 10).
Štoviše, školarac uopće ne može kupiti kavu, ali kupiti kolače za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 bit će vrijednosti 8 i 0
Ili obrnuto, ne kupujte kolače, već kupite kavu za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 vrijednosti će biti 0 i 20
Pokušajmo navesti sve moguće korijene jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Složimo se da vrijednosti x I g pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:
x∈Z, g∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
To će biti zgodno za samog učenika. Pogodnije je kupiti cijele torte nego npr. nekoliko cijelih torti i pola torte. Također je praktičnije uzeti kavu u cijelim šalicama nego, na primjer, nekoliko cijelih šalica i pola šalice.
Imajte na umu da za ak x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim uvjetima g. Zatim vrijednosti x sljedeći brojevi bit će 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x može se lako odrediti g
Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200. Oni ovu jednadžbu pretvaraju u identitet.
Jednadžba oblika sjekira + prema = c nazvao linearna jednadžba s dvije varijable. Rješenje ili korijeni ove jednadžbe su par vrijednosti ( x; g), što ga pretvara u identitet.
Napomenimo također da ako je linearna jednadžba s dvije varijable napisana u obliku ax + b y = c, onda kažu da je zapisano u kanonski(normalan) oblik.
Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.
Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − g) može se prisjetiti sjekira + prema = c. Otvorimo zagrade na obje strane ove jednadžbe i dobijemo 32x + 6g − 8 = 24 + 16x − 2g . Članove koji sadrže nepoznanice grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica - na desnoj. Onda dobivamo 32x− 16x+ 6g+ 2g = 24 + 8 . Prikazujemo slične članove na obje strane, dobivamo jednadžbu 16 x+ 8g= 32. Ova se jednadžba svodi na oblik sjekira + prema = c i kanonski je.
Jednadžba 25 o kojoj smo ranije raspravljali x+ 10g= 200 je također linearna jednadžba s dvije varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednadžbi parametri a , b I c jednaki su vrijednostima 25, 10 i 200, redom.
Zapravo jednadžba sjekira + prema = c ima bezbroj rješenja. Rješavanje jednadžbe 25x+ 10g= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobili smo nekoliko parova vrijednosti koje su ovu jednadžbu pretvorile u identitet. Ali na skupu racionalnih brojeva, jednadžba 25 x+ 10g= 200 će imati beskonačno mnogo rješenja.
Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x, zatim izrazite g. Na primjer, uzmimo za varijablu x vrijednost 7. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 25×7 + 10g= 200 u kojem se može izraziti g
Neka x= 15. Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × 15 + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −17,5
Neka x= −3 . Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × (−3) + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −27,5
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije varijable
Za jednadžbu sjekira + prema = c možete uzeti proizvoljne vrijednosti onoliko puta koliko želite x i pronaći vrijednosti za g. Uzeta zasebno, takva jednadžba će imati bezbrojna rješenja.
No događa se i da varijable x I g povezuju ne jedna, nego dvije jednadžbe. U tom slučaju tvore tzv sustav linearnih jednadžbi u dvije varijable. Takav sustav jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").
Također se može dogoditi da sustav uopće nema rješenja. Sustav linearnih jednadžbi može imati bezbrojna rješenja u rijetkim i iznimnim slučajevima.
Dvije linearne jednadžbe tvore sustav kada vrijednosti x I g unesite u svaku od ovih jednadžbi.
Vratimo se na prvu jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Jedan od parova vrijednosti za ovu jednadžbu bio je par (6; 5) . Ovo je slučaj kada ste za 200 rubalja mogli kupiti 6 kolača i 5 šalica kave.
Formulirajmo problem tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Da bismo to učinili, stvorimo drugu jednadžbu koja bi povezivala isto x kolači i gšalice kave.
Navedimo tekst zadatka na sljedeći način:
“Student je kupio nekoliko kolača i nekoliko šalica kave za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko je kolača i šalica kave kupio učenik ako se zna da je broj kolača za jedinicu veći od broja šalica kave?
Već imamo prvu jednadžbu. Ovo je jednadžba 25 x+ 10g= 200 . Napravimo sada jednadžbu za uvjet “broj kolača je za jedinicu veći od broja šalica kave” .
Broj kolača je x, a broj šalica kave je g. Ovaj izraz možete napisati pomoću jednadžbe x−y= 1. Ova jednadžba će značiti da je razlika između kolača i kave 1.
x = y+ 1 . Ova jednadžba znači da je broj kolača za jedan veći od broja šalica kave. Dakle, da bi se dobila jednakost, broju šalica kave dodaje se jedna. To se lako može razumjeti ako se poslužimo modelom ljestvica koji smo razmatrali proučavajući najjednostavnije probleme:
Dobili smo dvije jednadžbe: 25 x+ 10g= 200 i x = y+ 1. Budući da vrijednosti x I g, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednadžbi, onda zajedno čine sustav. Zapišimo ovaj sustav. Ako jednadžbe tvore sustav, onda su uokvirene predznakom sustava. Simbol sustava je vitičasta zagrada:
Riješimo ovaj sustav. To će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoje mnoge metode za rješavanje takvih sustava. Pogledajmo najpopularnije od njih.
Metoda zamjene
Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je zamjena jedne jednadžbe u drugu, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.
U našem sustavu ništa se ne mora izražavati. U drugoj jednadžbi x = g+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla jednaka je izrazu g+ 1 . Zatim možete zamijeniti ovaj izraz u prvoj jednadžbi umjesto varijable x
Nakon zamjene izraza g+ 1 umjesto toga u prvu jednadžbu x, dobivamo jednadžbu 25(g+ 1) + 10g= 200 . Ovo je linearna jednadžba s jednom varijablom. Ovu je jednadžbu vrlo lako riješiti:
Pronašli smo vrijednost varijable g. Sada zamijenimo ovu vrijednost u jednu od jednadžbi i pronađimo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti drugu jednadžbu x = g+ 1 . Zamijenimo vrijednost u nju g
To znači da je par (6; 5) rješenje sustava jednadžbi, kao što smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sustav:
Primjer 2
Zamijenimo prvu jednadžbu x= 2 + g u drugu jednadžbu 3 x− 2g= 9. U prvoj jednadžbi varijabla x jednaka izrazu 2 + g. Umjesto toga, zamijenimo ovaj izraz u drugu jednadžbu x
Sada pronađimo vrijednost x. Da bismo to učinili, zamijenimo vrijednost g u prvu jednadžbu x= 2 + g
To znači da je rješenje sustava vrijednost para (5; 3)
Primjer 3. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.
Da biste jednu jednadžbu zamijenili drugom, prvo trebate .
Preporučljivo je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Varijabla ima koeficijent jedan x, koji je sadržan u prvoj jednadžbi x+ 2g= 11. Izrazimo ovu varijablu.
Nakon varijabilnog izraza x, naš će sustav imati sljedeći oblik:
Sada zamijenimo prvu jednadžbu u drugu i pronađimo vrijednost g
Zamijenimo g x
To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (3; 4)
Naravno, možete izraziti i varijablu g. Korijeni se neće promijeniti. Ali ako izrazite y, Rezultat nije vrlo jednostavna jednadžba za čije će rješavanje trebati više vremena. Izgledat će ovako:
Vidimo da u ovom primjeru izražavamo x mnogo zgodnije od izražavanja g .
Primjer 4. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Izrazimo u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:
g
Zamijenimo g u prvu jednadžbu i pronađite x. Možete koristiti izvornu jednadžbu 7 x+ 9g= 8, ili upotrijebite jednadžbu u kojoj je varijabla izražena x. Koristit ćemo ovu jednadžbu jer je prikladna:
To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (5; −3)
Metoda zbrajanja
Metoda zbrajanja sastoji se od zbrajanja jednadžbi uključenih u sustav član po član. Ovaj dodatak rezultira novom jednadžbom s jednom varijablom. A rješavanje takve jednadžbe prilično je jednostavno.
Riješimo sljedeći sustav jednadžbi:
Zbrojimo lijevu stranu prve jednadžbe s lijevom stranom druge jednadžbe. I desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe. Dobijamo sljedeću jednakost:
Pogledajmo slične pojmove:
Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednadžbu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Poznavajući vrijednost x možete pronaći vrijednost g. Zamijenimo vrijednost x u drugu jednadžbu x−y= 3. Dobivamo 9 − g= 3. Odavde g= 6 .
To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (9; 6)
Primjer 2
Zbrojimo lijevu stranu prve jednadžbe s lijevom stranom druge jednadžbe. I desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe. U dobivenoj jednakosti predstavljamo slične članove:
Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednadžbu 5 x= 20, čiji je korijen 4. Poznavanje vrijednosti x možete pronaći vrijednost g. Zamijenimo vrijednost x u prvu jednadžbu 2 x+y= 11. Ajmo 8+ g= 11. Odavde g= 3 .
To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (4;3)
Proces dodavanja nije detaljno opisan. To se mora učiniti mentalno. Prilikom zbrajanja obje se jednadžbe moraju svesti na kanonski oblik. Odnosno ac + by = c .
Iz razmatranih primjera jasno je da je glavna svrha dodavanja jednadžbi riješiti se jedne od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sustav jednadžbi metodom dodavanja. Najčešće se sustav prvo dovodi u oblik u koji se mogu dodati jednadžbe uključene u ovaj sustav.
Na primjer, sustav 
može se odmah riješiti zbrajanjem. Pri zbrajanju obje jednadžbe, članovi g I −yće nestati jer je njihov zbroj nula. Kao rezultat toga nastaje najjednostavnija jednadžba 11 x= 22, čiji je korijen 2. Tada će se moći odrediti g jednako 5.
I sustav jednadžbi 
Metoda zbrajanja ne može se odmah riješiti jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Zbrajanje će rezultirati jednadžbom 8 x+ g= 28, koji ima beskonačno mnogo rješenja.
Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele istim brojem, jednaka nuli, tada dobivamo jednadžbu ekvivalentnu ovoj. Ovo pravilo vrijedi i za sustav linearnih jednadžbi s dvije varijable. Jedna od jednadžbi (ili obje jednadžbe) može se pomnožiti bilo kojim brojem. Rezultat će biti ekvivalentni sustav, čiji će se korijeni podudarati s prethodnim.
Vratimo se na prvi sustav koji je opisivao koliko je školarac kupio kolača i šalica kave. Rješenje ovog sustava bio je par vrijednosti (6; 5).
Pomnožimo obje jednadžbe uključene u ovaj sustav s nekim brojevima. Recimo da pomnožimo prvu jednadžbu s 2, a drugu s 3
Kao rezultat toga, dobili smo sustav 
Rješenje ovog sustava još uvijek je par vrijednosti (6; 5)
To znači da se jednadžbe uključene u sustav mogu svesti na oblik prikladan za primjenu metode zbrajanja.
Vratimo se sustavu , koje nismo mogli riješiti metodom sabiranja.
Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s −2
Tada dobivamo sljedeći sustav:
Zbrojimo jednadžbe uključene u ovaj sustav. Dodavanje komponenti 12 x i −12 x rezultirat će 0, zbrajanje 18 g i 4 g dat će 22 g, a zbrajanje 108 i −20 daje 88. Tada dobivamo jednadžbu 22 g= 88, odavde g = 4 .
Ako vam je u početku teško zbrajati jednadžbe u glavi, tada možete zapisati kako se lijeva strana prve jednadžbe zbraja s lijevom stranom druge jednadžbe, a desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druga jednadžba:
Znajući da vrijednost varijable g jednako 4, možete pronaći vrijednost x. Zamijenimo g u jednu od jednadžbi, na primjer u prvu jednadžbu 2 x+ 3g= 18. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 2 x+ 12 = 18. Pomaknimo 12 na desnu stranu, mijenjajući predznak, dobivamo 2 x= 6, odavde x = 3 .
Primjer 4. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Pomnožimo drugu jednadžbu s −1. Tada će sustav poprimiti sljedeći oblik:
Zbrojimo obje jednadžbe. Dodavanje komponenti x I −x rezultirat će 0, zbrajanje 5 g i 3 g dat će 8 g, a zbrajanje 7 i 1 daje 8. Rezultat je jednadžba 8 g= 8 čiji je korijen 1. Znajući da vrijednost g jednako 1, možete pronaći vrijednost x .
Zamijenimo g u prvu jednadžbu, dobivamo x+ 5 = 7, dakle x= 2
Primjer 5. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Dakle, u drugoj jednadžbi članovi 5 g i −2 x Zamijenimo mjesta. Kao rezultat toga, sustav će imati oblik:
Pomnožimo drugu jednadžbu s 3. Tada će sustav poprimiti oblik:
Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja dobivamo jednadžbu 8 g= 16, čiji je korijen 2.
Zamijenimo g u prvu jednadžbu, dobivamo 6 x− 14 = 40. Pomaknimo član −14 na desnu stranu, mijenjajući predznak, i dobijemo 6 x= 54. Odavde x= 9.
Primjer 6. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Riješimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednadžbu s 36, a drugu s 12
U rezultirajućem sustavu 
prva se jednadžba može pomnožiti s −5, a druga s 8
Zbrojimo jednadžbe u dobiveni sustav. Tada dobivamo najjednostavniju jednadžbu −13 g= −156 . Odavde g= 12. Zamijenimo g u prvu jednadžbu i pronađite x
Primjer 7. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Dovedimo obje jednadžbe u normalan oblik. Ovdje je zgodno primijeniti pravilo proporcije u obje jednadžbe. Ako je u prvoj jednadžbi desna strana predstavljena kao , a desna strana druge jednadžbe kao , tada će sustav imati oblik:
Imamo proporciju. Pomnožimo njegove ekstremne i srednje članove. Tada će sustav imati oblik:
Pomnožimo prvu jednadžbu s −3 i otvorimo zagrade u drugoj:
Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi dobivamo jednakost s nulom na obje strane:
Ispostavilo se da sustav ima bezbroj rješenja.
Ali ne možemo samo uzeti proizvoljne vrijednosti s neba x I g. Možemo navesti jednu od vrijednosti, a druga će se odrediti ovisno o vrijednosti koju navedemo. Na primjer, neka x= 2. Zamijenimo ovu vrijednost u sustavu:
Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za g, što će zadovoljiti obje jednadžbe:
Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) zadovoljit će sustav:
Pronađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamijenimo ovu vrijednost u sustav:
Na oko se vidi da je vrijednost g jednaka nuli. Tada dobivamo par vrijednosti (4; 0) koji zadovoljava naš sustav:
Primjer 8. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s 12
Prepišimo ono što je ostalo:
Pomnožimo prvu jednadžbu s −1. Tada će sustav imati oblik:
Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja nastaje jednadžba 6 b= 48, čiji je korijen 8. Zamjena b u prvu jednadžbu i pronađite a
Sustav linearnih jednadžbi s tri varijable
Linearna jednadžba s tri varijable uključuje tri varijable s koeficijentima, kao i odsječeni član. U kanonskom obliku može se napisati na sljedeći način:
sjekira + by + cz = d
Ova jednadžba ima bezbroj rješenja. Davanjem različitih vrijednosti dvjema varijablama može se pronaći treća vrijednost. Rješenje u ovom slučaju je trostruka vrijednost ( x; y; z) koji jednadžbu pretvara u identitet.
Ako varijable x, y, z su međusobno povezane s tri jednadžbe, tada nastaje sustav od tri linearne jednadžbe s tri varijable. Za rješavanje takvog sustava možete koristiti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodu supstitucije i metodu zbrajanja.
Primjer 1. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:
Izrazimo u trećoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:
Sada napravimo zamjenu. Varijabilna x jednaka je izrazu 3 − 2g − 2z . Zamijenimo ovaj izraz u prvu i drugu jednadžbu:
Otvorimo zagrade u obje jednadžbe i predstavimo slične izraze:
Došli smo do sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable. U ovom slučaju prikladno je koristiti metodu dodavanja. Kao rezultat toga, varijabla gće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z
Sada pronađimo vrijednost g. Da biste to učinili, prikladno je koristiti jednadžbu − g+ z= 4. Zamijenite vrijednost u nju z
Sada pronađimo vrijednost x. Da biste to učinili, prikladno je koristiti jednadžbu x= 3 − 2g − 2z . Zamijenimo vrijednosti u to g I z
Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:
Primjer 2. Riješite sustav metodom zbrajanja
Zbrojimo prvu jednadžbu s drugom, pomnoženo s −2.
Ako se druga jednadžba pomnoži s −2, poprima oblik −6x+ 6y − 4z = −4 . Dodajmo to prvoj jednadžbi:
Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x. Jednako je jedan.
Vratimo se na glavni sustav. Zbrojimo drugu jednadžbu s trećom, pomnoženo s −1. Ako se treća jednadžba pomnoži s −1, poprima oblik −4x + 5g − 2z = −1 . Sada to dodajmo drugoj jednadžbi:
Dobili smo jednadžbu x− 2g= −1. Zamijenimo vrijednost u to x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost g
Sada znamo značenja x I g. To vam omogućuje određivanje vrijednosti z. Upotrijebimo jednu od jednadžbi uključenih u sustav:
Dakle, trostruka vrijednost (1; 1; 1) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:
Zadaci sastavljanja sustava linearnih jednadžbi
Zadatak sastavljanja sustava jednadžbi rješava se unošenjem nekoliko varijabli. Zatim se jednadžbe sastavljaju na temelju uvjeta problema. Od sastavljenih jednadžbi sastavljaju sustav i rješavaju ga. Nakon što je sustav riješen, potrebno je provjeriti zadovoljava li njegovo rješenje uvjete zadatka.
Problem 1. Automobil Volga odvezao se iz grada do kolektivne farme. Vratila se drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve. Ukupno je automobil prešao 35 km u povratku. Koliko je kilometara duga svaka cesta?
Riješenje
Neka x - duljina prve ceste, g- duljina sekunde. Ako je automobil prešao 35 km povratno, tada se prva jednadžba može napisati kao x+ g= 35. Ova jednadžba opisuje zbroj duljina obiju cesta.
Rečeno je da se auto vratio putem koji je bio 5 km kraći od prvog. Tada se druga jednadžba može napisati kao x− g= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika duljina cesta 5 km.
Ili se druga jednadžba može napisati kao x= g+ 5. Koristit ćemo se ovom jednadžbom.
Budući da varijable x I g u obje jednadžbe označavaju isti broj, onda od njih možemo oblikovati sustav:
Riješimo ovaj sustav pomoću neke od prethodno proučavanih metoda. U ovom slučaju prikladno je koristiti metodu supstitucije, budući da je u drugoj jednadžbi varijabla x već izraženo.
Zamijenite drugu jednadžbu u prvu i pronađite g
Zamijenimo pronađenu vrijednost g u drugoj jednadžbi x= g+ 5 i naći ćemo x
Kroz varijablu je naznačena duljina prve ceste x. Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x jednaka je 20. To znači da je duljina prve ceste 20 km.
A duljina druge ceste bila je označena sa g. Vrijednost ove varijable je 15. To znači da je duljina druge ceste 15 km.
Provjerimo. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:
Sada provjerimo zadovoljava li rješenje (20; 15) uvjete zadatka.
Rečeno je da je automobil prešao ukupno 35 km povratno. Zbrojimo duljine obiju cesta i uvjerimo se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovaj uvjet: 20 km + 15 km = 35 km
Sljedeći uvjet: auto se vratio drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve . Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km − 15 km = 5 km
Pri sastavljanju sustava važno je da varijable predstavljaju iste brojeve u svim jednadžbama uključenim u ovaj sustav.
Dakle, naš sustav sadrži dvije jednadžbe. Ove jednadžbe pak sadrže varijable x I g, koji predstavljaju iste brojeve u obje jednadžbe, odnosno duljine cesta od 20 km i 15 km.
Problem 2. Na platformu su ukrcani hrastovi i borovi pragovi, ukupno 300 pragova. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredite koliko je zasebno bilo hrastovih i borovih pragova, ako je svaki hrastov prag težio 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.
Riješenje
Neka x hrast i g na platformu su utovareni borovi pragovi. Ako je ukupno bilo 300 spavača, tada se prva jednadžba može napisati kao x+y = 300 .
Svi hrastovi pragovi su težili 46 x kg, a borovi su težili 28 g kg. Budući da su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga se jednadžba može napisati kao 28y − 46x= 1000 . Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi hrastovih i borovih pragova 1000 kg.
Tone su preračunate u kilograme jer se masa hrastovih i borovih pragova mjeri u kilogramima.
Kao rezultat toga dobivamo dvije jednadžbe koje tvore sustav
Riješimo ovaj sustav. Izrazimo u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:
Zamijenite prvu jednadžbu u drugu i pronađite g
Zamijenimo g u jednadžbu x= 300 − g i saznati što je to x
To znači da je na platformu ukrcano 100 hrastovih i 200 borovih pragova.
Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uvjete zadatka. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:
Rečeno je da je ukupno bilo 300 spavača. Zbrajamo broj hrastovih i borovih pragova i uvjeravamo se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.
Sljedeći uvjet: svi hrastovi pragovi težili su 1 tonu manje od svih borovih pragova . Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Problem 3. Uzeli smo tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Od njih je istopljen komad težak 12 kg s omjerom sadržaja bakra i nikla 4:1. Odredite masu svakog originalnog komada ako je masa prvog od njih dvostruko veća od mase drugog.
Sustav linearnih jednadžbi je unija n linearnih jednadžbi, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:
Mnogi, kada se prvi put susreću s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to se obično događa, ali za višu algebru to općenito nije točno.
Rješenje sustava jednadžbi je niz brojeva (k 1, k 2, ..., k n), koji je rješenje svake jednadžbe sustava, tj. pri zamjeni u ovu jednadžbu umjesto varijabli x 1, x 2, ..., x n daje točnu numeričku jednakost.
Prema tome, rješavanje sustava jednadžbi znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja ili dokazivanje da je taj skup prazan. Budući da se broj jednadžbi i broj nepoznanica ne moraju poklapati, moguća su tri slučaja:
- Sustav je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira koja se metoda koristi za rješavanje sustava.
- Sustav je zajednički i određen, tj. ima točno jedno rješenje. Klasična verzija, poznata još iz škole.
- Sustav je konzistentan i nedefiniran, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno naznačiti da "sustav ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup strukturiran.
Varijabla x i se naziva dopuštenom ako je uključena u samo jednu jednadžbu sustava, i to s koeficijentom 1. Drugim riječima, u drugim jednadžbama koeficijent varijable x i mora biti jednak nuli.
Odaberemo li jednu dopuštenu varijablu u svakoj jednadžbi, dobivamo skup dopuštenih varijabli za cijeli sustav jednadžbi. Sam sustav, napisan u ovom obliku, također će se nazvati riješenim. Općenito govoreći, jedan te isti izvorni sustav može se svesti na različite dopuštene, ali nas to za sada ne zabrinjava. Evo primjera dopuštenih sustava:
Oba sustava su razlučena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, s istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sustav razriješen u odnosu na x 1, x 3 i x 5. Dovoljno je posljednju jednadžbu prepisati u obliku x 5 = x 4.
Sada razmotrimo općenitiji slučaj. Neka imamo ukupno k varijabli, od kojih je r dopušteno. Tada su moguća dva slučaja:
- Broj dopuštenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobivamo sustav od k jednadžbi u kojem je r = k dopuštenih varijabli. Takav sustav je zajednički i definitivan, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Broj dopuštenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Dakle, u gornjim sustavima varijable x 2, x 5, x 6 (za prvi sustav) i x 2, x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:
Imajte na umu: ovo je vrlo važna točka! Ovisno o tome kako pišete rezultirajući sustav, ista varijabla može biti dopuštena ili slobodna. Većina profesora matematike preporučuje ispisivanje varijabli leksikografskim redom, tj. uzlazni indeks. Međutim, niste obavezni slijediti ovaj savjet.
Teorema. Ako su u sustavu od n jednadžbi varijable x 1, x 2, ..., x r dopuštene, a x r + 1, x r + 2, ..., x k slobodne, tada je:
- Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), a zatim nađemo vrijednosti x 1, x 2, ..., x r, dobivamo jednu od odluka.
- Ako se u dva rješenja podudaraju vrijednosti slobodnih varijabli, tada se podudaraju i vrijednosti dopuštenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.
Koje je značenje ovog teorema? Da bi se dobila sva rješenja riješenog sustava jednadžbi, dovoljno je izolirati slobodne varijable. Zatim, dodjeljivanjem različitih vrijednosti besplatnim varijablama, dobit ćemo gotova rješenja. To je sve – na ovaj način možete dobiti sva rješenja sustava. Nema drugih rješenja.
Zaključak: riješeni sustav jednadžbi je uvijek konzistentan. Ako je broj jednadžbi u riješenom sustavu jednak broju varijabli, sustav će biti određen; ako je manji, bit će neodređen.
I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako dobiti riješenu iz izvornog sustava jednadžbi? Za ovo postoji
