Jednadžba s jednom nepoznanicom koja nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih članova dobiva oblik
ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljni brojevi, poziva se Linearna jednadžba s jednom nepoznatom. Danas ćemo otkriti kako riješiti ove linearne jednadžbe.
Na primjer, sve jednadžbe:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linearno.
Vrijednost nepoznanice koja pretvara jednadžbu u istinska jednakost nazvao odluka ili korijen jednadžbe .
Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 = 13 umjesto nepoznatog x zamijenimo broj 2, dobivamo ispravnu jednakost 3 2 +7 = 13. To znači da je vrijednost x = 2 rješenje ili korijen jednadžbe.
A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 +7 ≠ 13. To znači da vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.
Rješenje bilo kojeg linearne jednadžbe svodi na rješavanje jednadžbi oblika
ax + b = 0.
Pomaknimo slobodni član s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred b u suprotan, dobivamo
Ako je a ≠ 0, tada je x = ‒ b/a .
Primjer 1. Riješite jednadžbu 3x + 2 =11.
Pomaknimo 2 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred 2 u suprotan, dobivamo
3x = 11 – 2.
Onda napravimo oduzimanje
3x = 9.
Da biste pronašli x, trebate umnožak podijeliti s poznatim faktorom, tj
x = 9:3.
To znači da je vrijednost x = 3 rješenje ili korijen jednadžbe.
Odgovor: x = 3.
Ako je a = 0 i b = 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, budući da kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali je i b jednako 0. Rješenje ove jednadžbe je bilo koji broj.
Primjer 2. Riješite jednadžbu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Proširimo zagrade:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Dajmo sličnih članova:
0x = 0.
Odgovor: x - bilo koji broj.
Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali b ≠ 0.
Primjer 3. Riješite jednadžbu x + 8 = x + 5.
Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznanice s lijeve strane, a slobodne pojmove s desne strane:
x – x = 5 – 8.
Evo nekoliko sličnih pojmova:
0h = ‒ 3.
Odgovor: nema rješenja.
Na Slika 1 prikazuje dijagram za rješavanje linearne jednadžbe
Sastavljajmo opća shema rješavanje jednadžbi s jednom varijablom. Razmotrimo rješenje primjera 4.
Primjer 4. Pretpostavimo da trebamo riješiti jednadžbu
1) Pomnožite sve članove jednadžbe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.
2) Nakon redukcije dobivamo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Za odvajanje pojmova koji sadrže nepoznate i slobodne pojmove otvorite zagrade:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Grupirajmo u jedan dio članove koji sadrže nepoznanice, au drugi slobodne članove:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Predstavimo slične pojmove:
- 22h = - 154.
6) Podijelimo s – 22, Dobivamo
x = 7.
Kao što vidite, korijen jednadžbe je sedam.
Općenito takav jednadžbe se mogu riješiti pomoću sljedeće sheme:
a) dovesti jednadžbu u cjelobrojni oblik;
b) otvorite zagrade;
c) grupirati članove koji sadrže nepoznanicu u jednom dijelu jednadžbe, a slobodne članove u drugom;
d) dovesti slične članove;
e) riješiti jednadžbu oblika ah = b, koja je dobivena dovođenjem sličnih članova.
Međutim, ova shema nije potrebna za svaku jednadžbu. Kada rješavate mnogo jednostavnijih jednadžbi, morate krenuti ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 13) pa čak i iz pete faze, kao u primjeru 5.
Primjer 5. Riješite jednadžbu 2x = 1/4.
Pronađite nepoznato x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Pogledajmo rješavanje nekih linearnih jednadžbi koje se nalaze na glavnom državnom ispitu.
Primjer 6. Riješite jednadžbu 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Odgovor: - 0,125
Primjer 7. Riješite jednadžbu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Odgovor: 2.3
Primjer 8. Riješite jednadžbu
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Primjer 9. Nađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7
Riješenje
Budući da trebamo pronaći f(6), a znamo f(x + 2),
tada je x + 2 = 6.
Rješavamo linearnu jednadžbu x + 2 = 6,
dobivamo x = 6 – 2, x = 4.
Ako je x = 4 tada
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Odgovor: 27.
Ako još imate pitanja ili želite detaljnije razumjeti rješavanje jednadžbi, prijavite se na moje lekcije u RASPOREDU. Rado ću vam pomoći!
TutorOnline također preporučuje gledanje nove video lekcije naše učiteljice Olge Alexandrovne, koja će vam pomoći razumjeti i linearne jednadžbe i druge.
web stranici, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.
Jednadžba je jednakost u kojoj postoji nepoznati član - x. Mora se pronaći njegov smisao.
Nepoznata veličina naziva se korijen jednadžbe. Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje njenog korijena, a da biste to učinili morate znati svojstva jednadžbi. Jednadžbe za 5. razred nisu teške, ali naučite li ih točno rješavati, u budućnosti nećete imati problema s njima.
Glavno svojstvo jednadžbi
Kada se obje strane jednadžbe promijene za isti iznos, to ostaje ista jednadžba s istim korijenom. Riješimo neke primjere kako bismo bolje razumjeli ovo pravilo.
Kako riješiti jednadžbe: zbrajanje ili oduzimanje
Pretpostavimo da imamo jednadžbu oblika:
- a + x = b - ovdje su a i b brojevi, a x je nepoznati član jednadžbe.
Dodamo li (ili im oduzmemo) vrijednost c na obje strane jednadžbe, ona se neće promijeniti:
- a + x + c = b + c
- a + x - c = b - c.
Primjer 1
Iskoristimo ovo svojstvo za rješavanje jednadžbe:
- 37+x=51
Oduzmite broj 37 s obje strane:
- 37+x-37=51-37
dobivamo:
- x=51-37.
Korijen jednadžbe je x=14.
Ako pažljivo pogledamo posljednju jednadžbu, možemo vidjeti da je ista kao prva. Jednostavno smo premjestili član 37 s jedne strane jednadžbe na drugu, zamijenivši plus s minusom.
Ispada da se bilo koji broj može prenijeti iz jednog dijela jednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom.
Primjer 2
- 37+x=37+22
Izvršimo istu radnju, pomaknimo broj 37 s lijeve strane jednadžbe na desnu:
- x=37-37+22
Budući da je 37-37=0, to jednostavno reduciramo i dobivamo:
- x =22.
Isti članovi jednadžbe s istim predznakom koji se nalaze u različitim dijelovima jednadžbe mogu se reducirati (precrtati).
Jednadžbe množenja i dijeljenja
Obje strane jednakosti također se mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem:
Ako se jednakost a = b podijeli ili pomnoži sa c, ne mijenja se:
- a/c = b/c,
- ac = bs.
Primjer 3
- 5x = 20
Podijelimo obje strane jednadžbe s 5:
- 5x/5 = 20/5.
Budući da je 5/5 = 1, smanjujemo ove množitelj i djelitelj na lijevoj strani jednadžbe i dobivamo:
- x = 20/5, x = 4
Primjer 4
- 5x = 5a
Ako obje strane jednadžbe podijelimo s 5, dobivamo:
- 5x/5 = 5a/5.
Broj 5 u brojniku i nazivniku lijeve i desne strane se poništava, što rezultira x = a. To znači da se identični faktori na lijevoj i desnoj strani jednadžbi poništavaju.
Riješimo još jedan primjer:
- 13 + 2x = 21
Pomaknemo član 13 s lijeve strane jednadžbe udesno sa suprotnim predznakom:
- 2x = 21 - 13
- 2x = 8.
Podijelimo li obje strane jednadžbe s 2, dobivamo:
- x = 4.
