U svakoj matrici mogu se pridružiti dva ranga: rang retka (rang sustava redova) i rang stupca (rang sustava stupaca).
Teorema
Rang retka matrice jednak je rangu stupca.
Rang matrice
Definicija
Rang matrice$A$ je rang njegovog sustava redaka ili stupaca.
Označava se s $\operatorname(rang) A$
U praksi se za pronalaženje ranga matrice koristi sljedeća izjava: rang matrice jednak je broju redaka koji nisu nula nakon što je matrica reducirana na stepenasti oblik.
Elementarne transformacije nad redovima (stupcima) matrice ne mijenjaju njen rang.
Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula.
Primjer
Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $
Riješenje. Koristeći elementarne transformacije nad njezinim redovima, reduciramo matricu $A$ na stepenasti oblik. Da biste to učinili, prvo oduzmite druga dva od trećeg retka:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\desno) $$
Od drugog retka oduzimamo četvrti redak, pomnožen s 4; od treće - dvije četvrtine:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\desno) $$
Prvih pet dodajemo u drugi red, a tri trećine u treći:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$
Zamijenite prvi i drugi red:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Odgovor.$ \ime operatera (rang) A=2 $
Metoda manjeg ruba
Druga metoda za pronalaženje ranga matrice temelji se na ovom teoremu - metoda manjeg ruba. Bit ove metode je pronaći maloljetnike, počevši od nižih redova i prelazeći na više. Ako minor $n$-tog reda nije jednak nuli, a svi minori $n+1$-tog reda su jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak $n$ .
Primjer
Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ koristeći metodu manjeg ruba.
Riješenje. Minori minimalnog reda su minori prvog reda, koji su jednaki elementima matrice $A$ . Razmotrimo, na primjer, minor $ M_(1)=1 \neq 0 $ . nalazi se u prvom redu i prvom stupcu. Obrubljujući ga drugim retkom i drugim stupcem, dobivamo minor $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; razmotrimo još jedan minor drugog reda, za to obrubljujemo minor $M_1$ uz pomoć drugog reda i trećeg stupca, tada imamo minor $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , to jest, rang matrice je najmanje dva. Zatim, razmatramo minore trećeg reda koji okružuju minor $ M_(2)^(2) $ . Postoje dva takva minora: kombinacija trećeg retka s drugim stupcem ili s četvrtim stupcem. Izračunavamo te minore.
Prethodno za kvadratnu matricu 
reda uveden je pojam maloljetnika 
element 
. Podsjetimo, to je bio naziv odrednice reda 
, dobiven iz determinante 
iscrtavanje 
-th line i 
-ti stupac.
Predstavimo se sada opći koncept manji. Razmotrimo neke ne nužno četvrtast matrica 
. Izaberimo neke 
brojevi redaka 
I 
brojevi stupaca 
.
Definicija.
Manja narudžba 
matrice 
(odgovara odabranim redcima i stupcima) naziva se determinanta reda 
, koju čine elementi koji stoje na sjecištu odabranih redaka i stupaca, tj. broj
.
Svaka matrica ima toliko minora određenog reda 
Na koliko načina se mogu odabrati brojevi redaka? 
i stupci 
.
Definicija. U matrici 
veličine 
poredak manji 
nazvao Osnovni, temeljni, ako je različit od nule, i sve minore reda 
su nula ili minori reda 
kod matrice 
apsolutno ne.
Jasno je da u matrici može postojati nekoliko različitih baznih minora, ali svi bazni minori imaju isti redoslijed. Doista, ako su svi maloljetnici reda 
jednaki nuli, onda su jednaki nuli i svi minori reda 
, i, posljedično, svih viših redova.
Definicija. Rang matrice naziva se red baznog minora, ili, drugim riječima, najveći red za koji postoje minori različiti od nule. Ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tada se rang takve matrice, po definiciji, smatra nulom.
Rang matrice 
bit će označen simbolom 
. Iz definicije ranga proizlazi da za matricu 
veličine 
fer omjer.
Dva načina za izračunavanje ranga matrice
A) Metoda fringing minor
Neka se minor nalazi u matrici 
reda, različit od nule. Razmotrite samo te maloljetnike 
-th reda, koji sadrže (okružuju) mol 
: ako su sve nula, tada je rang matrice 
. Inače, među rubnim minorima nalazi se minor različit od nule 
reda, te se cijeli postupak ponavlja.
Primjer 9
. Odredite rang matrice 
metodom graničnih maloljetnika.
Biramo minor drugog reda 
. Postoji samo jedan minor trećeg reda, koji graniči s odabranim minorom 
. Izračunajmo to.
Tako minoran 
osnovni, a rang matrice je jednak njenom poretku, tj. 
Jasno je da je sortiranje minora na ovaj način u potrazi za bazom jedan zadatak povezan s velikim izračunima, ako dimenzije matrice nisu jako male. Međutim, postoji lakši način za pronalaženje ranga matrice - pomoću elementarnih transformacija.
b) Metoda elementarnih transformacija
Definicija. Elementarne matrične transformacije zovemo sljedeće transformacije:
množenje niza brojem različitim od nule;
dodavanje drugog retka jednom retku;
permutacija linije;
iste transformacije stupaca.
Transformacije 1 i 2 izvode se element po element.
Kombinacijom transformacija prve i druge vrste možemo bilo kojem pravcu dodati linearnu kombinaciju preostalih pravaca.
Teorema. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.
(nema dokaza)
Ideja praktične metode za izračunavanje ranga matrice
leži u tome što uz pomoć elementarnih transformacija zadana matrica 
dovesti do pogleda
,
(5)
u kojoj se "dijagonalni" elementi 
različiti su od nule, a elementi koji se nalaze ispod "dijagonalnih" jednaki su nuli. Nazovimo matricu 
ova vrsta trokuta (inače se naziva dijagonalno, trapezoidno ili stepenište). Nakon što je donio matricu 
u trokutasti oblik, to odmah možemo napisati 
.
Doista, 
(jer elementarne transformacije ne mijenjaju rang). Ali matrica 
postoji minor reda različit od nule 
:
,
i bilo koji manji reda 
sadrži null niz i stoga je null.
Formulirajmo sada praktičan pravilo za izračun ranga matrice 
pomoću elementarnih transformacija: pronaći rang matrice 
potrebno ga je elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog oblika 
. Zatim rang matrice 
htjeti jednak je broju redaka koji nisu nula u rezultirajućoj matrici 
.
Primjer 10
Odredite rang matrice 
metoda elementarnih transformacija
Riješenje.
Zamijenimo prvi i drugi redak (jer je prvi element drugog retka −1 i s njim će biti zgodno raditi transformacije). Kao rezultat toga, dobivamo matricu koja je ekvivalentna zadanoj.
Označiti 
- redak matrice – 
. Prvobitnu matricu trebamo dovesti u trokutasti oblik. Prvu liniju ćemo smatrati vodećom, ona će sudjelovati u svim transformacijama, ali sama ostaje nepromijenjena.
U prvoj fazi provodimo transformacije koje nam omogućuju dobivanje nula u prvom stupcu, osim prvog elementa. Da biste to učinili, od drugog reda oduzmite prvi, pomnožen s 2 
, dodajte prvi red trećem retku 
, a od trećeg oduzimamo prvi, pomnožen sa 3 
Dobivamo matricu čiji se rang podudara s rangom zadane matrice. Označimo ga istim slovom 
:
.
Budući da matricu trebamo dovesti u oblik (5), oduzimamo drugi od četvrtog reda. Pritom imamo:
.
Dobivena je trokutasta matrica, te se može zaključiti da 
, tj. broj redaka koji nisu nula. Ukratko, rješenje problema može se napisati na sljedeći način:
Broj r se naziva rangom matrice A ako je:
1) matrica A sadrži minor različit od nule reda r;
2) svi minori reda (r + 1) i viši, ako postoje, jednaki su nuli.
Inače, rang matrice je najviši red minora različitog od nule.
Oznake: rangA , r A ili r .
Iz definicije slijedi da je r prirodan broj. Za nultu matricu rang se smatra nulom.
Dodjela usluge. Mrežni kalkulator dizajniran je za pronalaženje rang matrice. Rješenje se sprema u Word i Excel format. pogledajte primjer rješenja.
Uputa. Odaberite dimenziju matrice, kliknite Dalje.
Definicija . Neka je dana matrica ranga r. Svaki minor matrice različit od nule i reda r naziva se bazičnim, a redovi i stupci njenih komponenti nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Prema ovoj definiciji matrica A može imati nekoliko baznih minora.
Rang matrice identiteta E je n (broj redaka).
Primjer 1. Date su dvije matrice, 
i njihovi maloljetnici 
, 
. Koji se od njih može uzeti kao osnova?
Riješenje. Minor M 1 =0, pa ne može biti baza ni za jednu od matrica. Minor M 2 =-9≠0 i ima red 2, pa se može uzeti kao bazne matrice od A ili / i B, pod uvjetom da imaju rangove jednake 2 . Budući da je detB=0 (kao determinanta s dva proporcionalna stupca), tada se rangB=2 i M 2 mogu uzeti kao bazni minor matrice B. Rang matrice A je 3, zbog činjenice da je detA=-27≠ 0 i, prema tome, redoslijed minora baze ove matrice mora biti 3, odnosno M 2 nije baza za matricu A . Primijetimo da matrica A ima jedinstveni bazni minor jednak determinanti matrice A .
Teorem (o bazici minor).
Svaki redak (stupac) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redaka (stupaca).
Posljedice iz teorema.
- Svaki (r+1) stupac (redak) matrice ranga r linearno je zavisan.
- Ako je rang matrice manji od broja njezinih redaka (stupaca), tada su njezini redovi (stupci) linearno ovisni. Ako je rangA jednak broju njegovih redaka (stupaca), tada su redovi (stupci) linearno neovisni.
- Determinanta matrice A jednaka je nuli ako i samo ako su njezini redovi (stupci) linearno ovisni.
- Ako se retku (stupcu) matrice doda još jedan redak (stupac) pomnožen bilo kojim brojem osim nule, tada se rang matrice neće promijeniti.
- Ako precrtate redak (stupac) u matrici, koji je linearna kombinacija drugih redaka (stupaca), tada se rang matrice neće promijeniti.
- Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno neovisnih redaka (stupaca).
- Maksimalni broj linearno neovisnih redaka jednak je maksimalnom broju linearno neovisnih stupaca.
Primjer 2. Odredite rang matrice 
.
Riješenje.
Na temelju definicije ranga matrice tražit ćemo minor najvišeg reda koji je različit od nule. Prvo transformiramo matricu u jednostavniji oblik. Da biste to učinili, pomnožite prvi redak matrice s (-2) i dodajte drugom, zatim ga pomnožite s (-1) i dodajte trećem.
Razmotrimo pravokutnu matricu. Ako u ovoj matrici izaberemo proizvoljno k linije i k stupaca, tada se formiraju elementi na sjecištu odabranih redaka i stupaca kvadratna matrica k-ti red. Determinanta ove matrice se zove k-ti red mol matrica A. Očito je da matrica A ima minore bilo kojeg reda od 1 do najmanjeg od brojeva m i n. Među svim minorima matrice A koji nisu nula, postoji barem jedan minor čiji je red najveći. Najveći od ne-nultih redova minora dane matrice se zove rang matrice. Ako je rang matrice A r, onda to znači da matrica A ima minor reda različit od nule r, ali svaki minor reda većeg od r, jednako nuli. Rang matrice A označava se s r(A). Očito je da odnos
Izračunavanje ranga matrice pomoću minora
Rang matrice nalazi se ili rubom minora, ili metodom elementarnih transformacija. Pri izračunavanju ranga matrice na prvi način treba prijeći s minora nižih reda na minore višeg visokog reda. Ako je minor D različit od nule k-tog reda matrice A već pronađen, tada se moraju izračunati samo minori (k + 1) reda koji graniče s minorom D, tj. koji ga sadrži kao minor. Ako su sve nula, tada je rang matrice k.
Primjer 1Odredite rang matrice metodom obrubljivanja minora
.
Riješenje.Počinjemo s minorima 1. reda, t.j. od elemenata matrice A. Odaberimo npr. minor (element) M 1 = 1 koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu. Rubljenjem uz pomoć drugog retka i trećeg stupca dobivamo minor M 2 = koji je različit od nule. Sada prelazimo na minore 3. reda, koji graniče s M 2 . Postoje samo dva od njih (možete dodati drugi stupac ili četvrti). Izračunavamo ih: 
=
0. Tako su se svi granični minori trećeg reda pokazali nula. Rang matrice A je dva.
Izračunavanje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija
OsnovnoSljedeće transformacije matrice se nazivaju:
1) permutacija bilo koja dva retka (ili stupca),
2) množenje retka (ili stupca) nečim drugim osim nulti broj,
3) dodavanje jednom retku (ili stupcu) drugog retka (ili stupca) pomnoženog s nekim brojem.
Dvije matrice su tzv ekvivalent, ako se jedan od njih dobije iz drugog uz pomoć konačnog skupa elementarnih transformacija.
Ekvivalentne matrice nisu, općenito govoreći, jednake, ali su im rangovi jednaki. Ako su matrice A i B ekvivalentne, onda se to piše na sljedeći način: A~b.
KanonskiMatrica je matrica koja na početku glavne dijagonale ima nekoliko jedinica u nizu (čiji broj može biti nula), a svi ostali elementi su jednaki nuli, npr.
.
Pomoću elementarnih transformacija redaka i stupaca svaka se matrica može svesti na kanoničku. Rang kanonske matrice jednak je broju jedinica na njenoj glavnoj dijagonali.
Primjer 2Odredite rang matrice
i dovesti ga u kanonski oblik.
Riješenje. Oduzmite prvi red od drugog reda i preuredite ove redove:
.
Sada, od drugog i trećeg reda oduzmite prvi, pomnožen s 2 odnosno 5:
;
oduzmite prvi od trećeg reda; dobijemo matricu
koja je ekvivalentna matrici A, budući da se iz nje dobiva korištenjem konačnog skupa elementarnih transformacija. Očito, rang matrice B je 2, pa je stoga r(A)=2. Matrica B se lako može svesti na kanonsku. Oduzimanjem prvog stupca, pomnoženog odgovarajućim brojevima, od svih sljedećih, pretvaramo u nulu sve elemente prvog retka, osim prvog, a elementi preostalih redaka se ne mijenjaju. Zatim, oduzimanjem drugog stupca, pomnoženog odgovarajućim brojevima, od svih sljedećih, pretvaramo na nulu sve elemente drugog retka, osim drugog, i dobivamo kanoničku matricu:
.
