Matematičko očekivanje slučajnog procesa. slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla.Matematičko očekivanje. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Slučajni (stohastički) procesi su vanjske smetnje, fluktuacijski šum na izlazu diskriminatora i drugih RAS uređaja, unutarnji poremećaji u RAS: frekvencijska nestabilnost PG-a, nestabilnost uređaja s podesivom vremenskom odgodom itd.

U načelu, studija RAS pod slučajnim utjecajima može se provesti konvencionalnim metodama, određujući parametre kvalitete RAS pri najnepovoljnijim (maksimalnim) vrijednostima poremećaja ( Najgori slučaj ).

Međutim, budući da maksimalna vrijednost slučajna varijabla malo je vjerojatna i rijetko će se promatrati, očito će se RAS-u postaviti strogi zahtjevi. Razmatranjem se mogu dobiti racionalnija rješenja najvjerojatnija vrijednost nasumična varijabla.

Može se razmotriti zakon raspodjele komponenti fluktuacije u linearnom RAS normalan (Gaussov). Normalni zakon raspodjele karakterističan je za unutarnje poremećaje. Kada slučajni proces prolazi kroz linearni sustav, normalni zakon distribucije ostaje nepromijenjen . Ako na ulazu RAS-a ili na bilo kojoj drugoj točki (npr. na izlazu diskriminatora) postoji poremećaj sa zakonom raspodjele koji se razlikuje od normalnog i ima široki spektar S(ω), ova je perturbacija učinkovita normalizira uskopojasni PAC filtarski elementi.

Slučajni proces s normalnom distribucijom potpuno je određen matematičko očekivanje m(t) i korelacijska funkcija R(τ).

Očekivana vrijednost (očekivanje) slučajnog procesa x(t) je neki redovito funkcija m x(t), oko kojeg se grupiraju sve realizacije ovog procesa (je gustoća vjerojatnosti). Također se zove postaviti prosjek (ansambl).

m x(t) = M{x(t)} = . (6.1)

slučajni proces ( t) bez regularne komponente m x(t) Zove se centriran .

Uzeti u obzir stupanj disperzije slučajnog procesa u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost m x(t) uvesti koncept disperzija :

Dx(t) = M{( (t)) 2 } = . (6.2)

Srednja vrijednost kvadrata slučajnog procesa povezana je s njegovim očekivanjem m x(t) i disperzija Dx(t) formula: .

U praksi je zgodno evaluirati slučajni proces pomoću statističkih karakteristika x dobro(t) i s x(t) ima istu dimenziju kao i sam proces.

RMS vrijednost x dobro(t) slučajni proces:

Standardna devijacija x rms (t) slučajni proces:

. (6.4)

Matematičko očekivanje i disperzija ne daju dovoljnu predodžbu o prirodi pojedinačnih realizacija slučajnog procesa. Kako bi se uzeo u obzir stupanj varijabilnosti procesa ili odnos između njegovih vrijednosti u različitim vremenskim točkama, koncept korelacije ( autokorelacija ) funkcije.

korelacijska funkcija centrirani proces ( t) jednako je

gdje je dvodimenzionalna gustoća vjerojatnosti.

Korelacijska funkcija je čak : R(τ ) = R(–τ ).

Ako funkcije distribucije i gustoća vjerojatnosti procesa ne ovise o vremenskom pomaku istom količinom svih vremenskih argumenata, takav se slučajni proces naziva stacionarni .

Ako stacionarni proces ima iste vrijednosti postaviti prosjek i vremenski prosjek , zove se takav slučajni proces ergodički .

znajući R(τ) može se odrediti varijanca stacionarnog procesa:

Spektralna gustoća S l g(ω) izlazni proces g(t) u linearni sustav i spektralne gustoće S l (ω) ulaznog djelovanja povezani su relacijom:

. (6.7)

korelacijska funkcija R(τ) stacionarnog slučajnog procesa i njegove spektralne gustoće S(ω) povezani su Fourierovom transformacijom, pa se analiza često provodi u frekvencijskoj domeni. Nakon izvođenja Fourierove transformacije za (6.7), dobivamo izraz za korelacijsku funkciju izlaznog procesa Ry(τ):

Spektralne gustoće S l g(ω) i S l (ω) su bilateralni .

Možete ući jednostrano spektralna gustoća N(f), koji je određen samo za pozitivan frekvencije().

Paritet R(τ) i Eulerove formule (6.8) mogu se pojednostaviti:

. (6.9)

Kvaliteta rada RAS-a relativno je slučajan signala i smetnji karakterizira ukupna srednja kvadratna pogreška (SKO).

Razmotrimo generalizirani RAS, čija je shema prikazana na sl. 2.11. Razmatramo utjecaj λ( t) deterministički, a perturbacija ξ( t) na izlazu diskriminatora je slučajan proces. Pomoću formula (2.28)–(2.31) određujemo TF za pogrešku pri djelovanju i poremećaju.

U općem slučaju, između procesa utjecaja i poremećaja može postojati poveznica (veza). U ovom slučaju, osim autokorelacija funkcije oblika (6.8) za svaki od procesa, potrebno je uzeti u obzir međusobna korelacija procesne funkcije jedna u odnosu na drugu. Kroz spektralne gustoće greškom, podaci o spajanju zapisani su na sljedeći način:

Zamjenom izraza (6.11) u formulu (6.8) dobivamo odgovarajuće komponente disperzije:

Ako ne postoji korelacija između procesa, onda S l x (ω) = S x l (ω) = 0, i također D l x = D x l = 0, a formula (6.12) je pojednostavljena

Očekivanje pogreške x(t) slična je definiciji u stabilnom stanju: .

Ako je spektralna gustoća S x(ω) opisana je racionalnom frakcijskom funkcijom u odnosu na ω, a zatim izračunati Dx predstavljen je u obliku:

gdje je polinom koji sadrži čak stupanj jaω do 2 n– uključivo 2; a je polinom stupnja n, čiji korijeni leže u gornjoj poluravnini kompleksne varijable ω.

Integrali (6.14) mogu se izračunati pomoću formule (6.15):

, (6.15)

gdje D n je viša Hurwitzeva determinanta oblika (4.7), sastavljena od koeficijenata a j, a Qn– determinanta tipa D n, gdje su u prvom redu koeficijenti a j zamijenjen sa bj.

Za integral (6.15) postoje tablice vrijednosti za n ≤ 7.

Vrijednosti na n≤ 4 određuju se formulama:

, , ,

Primjer 6.1. Definirajmo RMS PLL sustava iz primjera 4.2.

Neka je signal λ( t) = 1 + 0,1t, i poremećaj ξ( t) je bijeli šum s amplitudom N0= 1 mV ().

Stope pogreške za dati PAC već su pronađene u primjeru 5.1.

Za PF, perturbacijska pogreška iz formule (2.30) nakon promjene varijabli R ® jaω dobivamo ( K 1 = S d , k 0 = k 1 S d , k 1 = k f k i):

Nakon zamjene formule (6.17) u (6.13) ( D l = 0) dobivamo:

Uspoređujući (6.18) s izrazom (6.14), nalazimo redoslijed i koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = 0, b 1\u003d - (T 2) 2, b 0 = 1; a 3 = T f T d, a 2 = T f+ T d , a 1 = 1 + k 0 T2, a 0 = k 0 .

Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, rezultat je:

m x= 5×10 -4 (1/s), Dx\u003d 1,06 × 10 -3 (1 / s 2) (at k 0 = 200, S d = 10, k 1 = 20) ili

m x= 5×10 -4 (1/s), Dx\u003d 0,66 (1 / s 2) (na k 0 = 200, S d = 0,4 , k 1 = 500).

Iz (6.3), (6.4) slijedi da je x brzina≈ s x= 0,032 (1/s) pri S d= 10, dok S d = 0,4 x brzina≈ s x= 0,81 (1/s).

Primjer 6.2. Odredimo RAS RAS iz primjera 4.5 za iste signale: λ( t) = 1 + 0,1t i ξ( t) = N0= 1 mV. λ′( t) = λ 1 , λ″( t) = 0

Stope pogreške za određeni RAS mogu se pronaći pomoću formule (5.19): .

v = 0, d1 = 0, d0 = S d, b 3 = T 1 T 2 T 3, b 2 = T 1 T 2+T 2 T 3+T 1 T 3, b 1 = T 1 + T 2 + T 3, b 0 = 1.

Iz formula (5.19)–(5.22) dobivamo

Za PF, pogreška perturbacije iz formule (2.30) nakon promjene varijabli p ® jaω u (6.20) dobivamo:

Nakon zamjene formule (6.20) u (6.13) (D l = 0), dobivamo:

Uspoređujući (6.21) s izrazom (6.14), nalazimo koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = b 1 = 0, b 0 = 1; a 3 = T 1 T 2 T 3, a 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, a 1 = T 1 + T 2 + T 3, a 0 = S d + 1.

Nakon zamjene u formulu (6.16) i transformacija dobivamo:

Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, kao rezultat dobivamo:

m x= (9,2 + 0,9 t)10 -2, Dx\u003d 4,2 × 10 -4.

6.2. Grafoanalitička metoda za određivanje disperzije.

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

Državno sveučilište Čerepovec

Institut za tehniku i ekonomiju

Pojam slučajnog procesa u matematici

Izvodi student

grupa 5 GMU-21

Ivanova Julija

Čerepovec

Uvod

Glavni dio

Definicija slučajnog procesa i njegove karakteristike

Markovljevi stohastički procesi s diskretnim stanjima

Stacionarni slučajni procesi

Ergodičko svojstvo stacionarnih slučajnih procesa

Književnost

Uvod

Koncept slučajnog procesa uveden je u 20. stoljeću i povezan je s imenima A.N. Kolmogorov (1903-1987), A.Ya. Khinchin (1894.-1959.), E.E. Slutsky (1880-1948), N. Wiener (1894-1965).

Ovaj koncept danas je jedan od središnjih ne samo u teoriji vjerojatnosti, već iu prirodnim znanostima, tehnici, ekonomiji, organizaciji proizvodnje i teoriji komunikacije. Teorija slučajnih procesa spada u kategoriju matematičkih disciplina koje se najbrže razvijaju. Nedvojbeno je ta okolnost uvelike određena njezinom dubokom povezanošću s praksom. 20. stoljeće nije se moglo zadovoljiti ideološkim nasljeđem primljenim iz prošlosti. Doista, dok je fizičar, biolog, inženjer bio zainteresiran za proces, tj. promjena proučavane pojave u vremenu, teorija vjerojatnosti im je kao matematički aparat ponudila samo sredstva koja su proučavala stacionarna stanja.

Za proučavanje promjena tijekom vremena, teorija vjerojatnosti potkraj XIX- početak 20. stoljeća nije imao razvijene privatne sheme, a još manje opće tehnike. A potreba za njihovim stvaranjem doslovno je pokucala na prozore i vrata matematičke znanosti. Proučavanje Brownovog gibanja u fizici dovelo je matematiku do praga stvaranja teorije slučajnih procesa.

Smatram potrebnim spomenuti još dvije važne skupine studija, započete u različito vrijeme i iz različitih razloga.

Prvo, ovo djelo A.A. Markov (1856-1922) o proučavanju lančanih ovisnosti. Drugo, radovi E.E. Slutsky (1880-1948) o teoriji slučajnih funkcija.

Oba ova smjera vrlo su svirala bitnu ulogu u formaciji opća teorija slučajni procesi.

U tu svrhu već je bio nakupljen znatan početni materijal, a potreba za konstruiranjem teorije takoreći je lebdjela u zraku.

Preostalo je izvršiti duboku analizu postojećih radova, ideja i rezultata koji su u njima izraženi, te na temelju toga izvršiti potrebnu sintezu.

Definicija slučajnog procesa i njegove karakteristike

Definicija: slučajni proces X(t) je proces čija je vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta t slučajna varijabla.

Drugim riječima, slučajni proces je funkcija koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti jedan ili drugi određeni oblik, unaprijed nepoznat. Za fiksno t=t 0 X(t 0) je obična slučajna varijabla, tj. odjeljak slučajni proces u trenutku t 0.

Primjeri slučajnih procesa:

1. stanovništvo regije tijekom vremena;

2. broj zahtjeva koje je služba za popravke tvrtke primila tijekom vremena.

Slučajni proces se može napisati kao funkcija dviju varijabli X(t,ω), gdje je ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ i ω je elementarni događaj, Ω je prostor elementarnih događaja , T je skup vrijednosti argumenta t, ≡ - skup mogućih vrijednosti slučajnog procesa X(t, ω).

Provedba slučajni proces X(t, ω) je neslučajna funkcija x(t), u koju se slučajni proces X(t) pretvara kao rezultat testiranja (za fiksni ω), tj. specifični oblik koji uzima slučajni proces X(t), njegov putanja.

Na ovaj način, slučajni proces X(t, ω) kombinira značajke slučajne varijable i funkcije. Ako fiksiramo vrijednost argumenta t, slučajni se proces pretvara u običnu slučajnu varijablu, ako fiksiramo ω, tada se kao rezultat svakog testa pretvara u običnu neslučajnu funkciju. U nastavku izostavljamo argument ω, ali ćemo ga pretpostaviti prema zadanim postavkama.

Slika 1 prikazuje nekoliko implementacija nekog slučajnog procesa. Neka je presjek tog procesa za zadano t kontinuirana slučajna varijabla. Tada je slučajni proces X(t) za dano t potpuno određen vjerojatnošću φ(x‚ t). Očito, gustoća φ(x, t) nije iscrpan opis slučajnog procesa X(t), jer ne izražava ovisnost između njegovih dionica u različitim vremenima.

Slučajni proces X(t) je zbirka svih odjeljaka za sve moguće vrijednosti t, stoga je za njegovo opisivanje potrebno uzeti u obzir višedimenzionalnu slučajnu varijablu (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), koji se sastoji od svih kombinacija ovog procesa. U principu, postoji beskonačno mnogo takvih kombinacija, ali da bi se opisao slučajni proces, često je moguće proći s relativno malim brojem kombinacija.

Kaže se da slučajni proces ima narudžban, ako je potpuno određena gustoćom zajedničke distribucije φ(x 1, x 2 , …, x n ; t 1 , t 2 , …, t n) n proizvoljnih dionica procesa, tj. gustoća n-dimenzionalne slučajne varijable (X(t 1), X(t 2), …, X(t n)), gdje je X(t i) kombinacija slučajnog procesa X(t) u trenutku t i , i =1, 2, …, n.

Poput slučajne varijable, može se opisati slučajni proces numeričke karakteristike. Ako su za slučajnu varijablu ove karakteristike konstantni brojevi, onda za slučajni proces - neslučajne značajke.

matematičko očekivanje slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija a x (t), koja je za bilo koju vrijednost varijable t jednaka matematičkom očekivanju odgovarajućeg odsječka slučajnog procesa X(t), tj. ax(t)=M.

disperzija slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija D x (t), za bilo koju vrijednost varijable t jednaku varijanci odgovarajuće kombinacije slučajnog procesa X(t), tj. Dx(t)=D.

Standardna devijacijaσ x (t) slučajnog procesa X(t) je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijance, tj. σx(t)=Dx(t).

Matematičko očekivanje slučajnog procesa karakterizira sredini putanju svih njegovih mogućih ostvarenja i njegovu varijancu ili standardnu devijaciju - raspršiti realizacije u odnosu na prosječnu putanju.

Gore uvedene karakteristike slučajnog procesa nisu dovoljne, jer su određene samo jednodimenzionalnim zakonom raspodjele. Ako je slučajni proces X 1 (t) karakteriziran sporom promjenom vrijednosti implementacija s promjenom t, tada je za slučajni proces X 2 (t) ta promjena mnogo brža. Drugim riječima, slučajni proces X 1 (t) karakterizira bliski vjerojatnosni odnos između njegove dvije kombinacije X 1 (t 1) i X 1 (t 2), dok je za slučajni proces X 2 (t) ova ovisnost između kombinacije X 2 (t 1) i X 2 (t 2) praktički nema. Ova ovisnost između kombinacija karakterizirana je korelacijskom funkcijom.

Definicija: korelacijska funkcija slučajni proces X(t) naziva se neslučajna funkcija

K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)

dvije varijable t 1 i t 2 , što je za svaki par varijabli t 1 i t 2 jednako kovarijanci odgovarajućih kombinacija X(t 1) i X(t 2) slučajnog procesa.

Očito, za slučajni proces X (t 1) funkcija korelacije K x 1 (t 1, t 2) opada jer razlika t 2 - t 1 raste mnogo sporije nego K x 2 (t 1 , t 2) za slučajni proces X (t2).

Korelacijska funkcija K x (t 1, t 2) karakterizira ne samo stupanj nepropusnosti linearna ovisnost između dviju kombinacija, ali i širenje tih kombinacija u odnosu na matematičko očekivanje a x (t). Stoga se također razmatra normalizirana korelacijska funkcija slučajnog procesa.

Normalizirana korelacijska funkcija Slučajni proces X(t) naziva se funkcija:

P x (t 1 , t 2) = K x (t 1 , t 2) / σ x (t 1) σ x (t 2) (2)

Primjer #1

Slučajni proces definiran je formulom X(t) = X cosωt, gdje je X slučajna varijabla. Odredite glavne karakteristike tog procesa ako je M(X) = a, D(X) = σ 2 .

RIJEŠENJE:

Na temelju svojstava matematičkog očekivanja i disperzije imamo:

a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.

Korelacijsku funkciju nalazimo formulom (1.)

K x (t 1, t 2) = M[(X cosωt 1 - a cosωt 1) (X cos ωt 2 - a cosωt 2)] =

Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X - a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .

Normaliziranu korelacijsku funkciju nalazimo formulom (2.):

P x (t 1, t 2) \u003d σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1) (σ cosωt 2) ≡ 1.

Slučajni procesi se mogu klasificirati ovisno o tome mijenjaju li se stanja sustava u kojem se odvijaju glatko ili naglo, naravno (brojivo) ili beskonačan broj tih stanja itd. Među slučajnim procesima posebno mjesto zauzima Markovljev slučajni proces.

Teorema. Slučajni proces X(t) je Hilbertov ako i samo ako postoji R(t, t^) za sve (t, t^) e T*T.

Teorija Hilbertovih slučajnih procesa naziva se teorija korelacije.

Primijetimo da skup T može biti diskretan i kontinuiran. U prvom slučaju, slučajni proces X t naziva se proces s diskretnim vremenom, u drugom - s kontinuiranim vremenom.

Sukladno tome, kombinacije X t mogu biti diskretne i kontinuirane slučajne varijable.

Slučajni proces se naziva X(t) selektivno nepravilan, diferencijabilan i integrabilan u točki ω€Ω ako je njegova realizacija x(t) = x(t, ω) redom kontinuirana, diferencijabilna i integrabilna.

Slučajni proces X(t) naziva se kontinuiranim: gotovo, vjerojatno ako

P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))

NA glavni trg, ako

Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0

Po vjerojatnosti, ako

Aδ ≥ 0: limP[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0

Srednja kvadratna konvergencija također se označava sa:

X(t) = limX(t n)

Ispada da iz selektivnog kontinuiteta gotovo sigurno slijedi kontinuitet, iz kontinuiteta gotovo sigurno, au srednjem kvadratu implicira kontinuitet u vjerojatnosti.

Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces kontinuiran u srednjem kvadratu, tada je m x (t) kontinuirana funkcija i relacija

Lim M = M = M .

Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) kontinuiran je srednjeg kvadrata ako i samo ako je njegova kovarijancijska funkcija R(t, t^) kontinuirana u točki (t, t).

Hilbertov slučajni proces X(t) naziva se diferencijabilni srednji kvadrat ako postoji slučajna funkcija X(t) = dX(t)/dt takva da

X(t) = dX(t)/ dt = limX(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t + ∆t € T),

oni. kada

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0

Pozvat će se slučajna funkcija X(t). srednji kvadratni izvod slučajni proces X(t), redom, u točki t ili na T.

Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) diferencijabilan je srednjeg kvadrata u točki t ako i samo ako postoji

δ 2 R(t, t^) / δtδt^ u točki (t, t^). pri čemu:

R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.

Ako je Hilbertov slučajni proces diferencijabilan na T, tada je njegova srednje kvadratna derivacija također Hilbertov slučajni proces; ako su putanje uzorka procesa diferencijabilne na T s vjerojatnošću 1, tada se s vjerojatnošću 1 njihove derivacije podudaraju sa srednjim kvadratnim derivacijama na T.

Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces, tada

M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.

Neka je (0, t) konačan interval, 0

X(t) - Hilbertov slučajni proces.

Y n \u003d ∑ X (t i) (t i - t i-1) (n \u003d 1,2, ...).

Zatim slučajna varijabla

max (t i – t i -1)→0

nazvao srednji kvadratni integral proces X(t) na (0, t) i označava se sa:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Teorema . Srednji kvadratni integral Y(t) postoji ako i samo ako je kovarijancijska funkcija R(t, t^) Hilbertovog procesa X(t) kontinuirana na T×T i postoji integral

R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^

Ako integral u srednjoj kvadratnoj funkciji X(t) postoji, tada

M = ∫ Mdτ,

RY (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^

K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^

Ovdje su R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M funkcije kovarijance i korelacije slučajnog procesa Y(t).

Teorema. Neka je X(t) Hilbertov slučajni proces s kovarijancijskom funkcijom R(t, t^), φ(t) realna funkcija i neka postoji integral

∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^

Tada postoji srednji kvadratni integral

∫ φ(t)X(t)dt.

Slučajni procesi:

X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)

Gdje su φ i (t) zadane realne funkcije

V i - slučajne varijable s karakteristikama

Nazivaju se elementarnim.

Kanonska dekompozicija slučajni proces X(t) naziva se njegov prikaz u obliku

Gdje su V i koeficijenti, a φ i (t) koordinatne funkcije kanonskog širenja procesa X(t).

Iz odnosa:

M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t ∈ T)

K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)

Ova formula se zove kanonska dekompozicija korelacijske funkcije slučajnog procesa.

U slučaju jednadžbe

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t ∈ T)

Postoje formule:

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.

Dakle, ako je proces X(t) predstavljen svojim kanonskim proširenjem, tada se njegova derivacija i integral također mogu prikazati kao kanonsko proširenje.

Markovljevi stohastički procesi s diskretnim stanjima

Slučajni proces koji se događa u nekom sustavu S s mogućim stanjima S 1 , S 2 , S 3 , … naziva se Markovskog, ili slučajni proces bez posljedica, ako za bilo koji trenutak vremena t 0 vjerojatne karakteristike procesa u budućnosti (pri t>t 0) ovise samo o njegovom stanju u trenutnom trenutku t 0 i ne ovise o tome kada i kako je sustav došao u to stanje ; oni. ne ovise o njegovom ponašanju u prošlosti (na t

Primjer Markovljevog procesa: sustav S je brojač u taksiju. Stanje sustava u trenutku t karakterizira broj kilometara (desetinki kilometara) koje je automobil priješao do tog trenutka. Neka brojač pokaže S 0 u trenutku t 0 / Vjerojatnost da će u trenutku t>t 0 brojač pokazati jedan ili drugi broj kilometara (točnije, odgovarajući broj rubalja) S 1 ovisi o S 0 , ali ne ovisi o tome u kojim trenucima vremena, očitanja brojača su se promijenila do trenutka t 0 .

Mnogi se procesi mogu približno smatrati Markovljevim procesima. Na primjer, proces igranja šaha; sustav S je skupina šahovskih figura. Stanje sustava karakterizira broj protivničkih figura preostalih na ploči u trenutku t 0 . Vjerojatnost da će u trenutku t>t 0 materijalna prednost biti na strani jednog od protivnika ovisi prvenstveno o stanju sustava u trenutku t 0, a ne o tome kada i kojim redoslijedom figure s tablama gore do trenutka t 0 .

U nekim slučajevima, pretpovijest procesa koji se razmatraju jednostavno se može zanemariti i koristiti Markovljeve modele za njihovo proučavanje.

Markovljev slučajni proces s diskretnim stanjima i diskretnim vremenom (ili Markovljev lanac ) zove se Markovljev proces u kojem se njegova moguća stanja S 1 , S 2 , S 3, ... mogu unaprijed nabrojati, a prijelaz iz stanja u stanje događa se trenutno (skok), ali samo u određenim trenucima t 0, t 1 , t 2, ... pozvani korake postupak.

Označimo p ij – prijelazna vjerojatnost slučajni proces (sustav S) iz stanja I u stanje j. Ako te vjerojatnosti ne ovise o broju koraka procesa, tada se takav Markovljev lanac naziva homogenim.

Neka je broj stanja sustava konačan i jednak m. Tada se može okarakterizirati prijelazna matrica P 1 , koji sadrži sve prijelazne vjerojatnosti:

p 11 p 12 … p 1m

p 21 p 22 … p 2m

P m1 p m2 … p mm

Naravno, za svaki red ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Označimo p ij (n) kao vjerojatnost da će, kao rezultat n koraka, sustav prijeći iz stanja I u stanje j. U ovom slučaju, za I = 1, imamo prijelazne vjerojatnosti koje tvore matricu P 1, tj. p ij (1) = p ij

Potrebno je, poznavajući vjerojatnosti prijelaza p ij , pronaći p ij (n) – vjerojatnosti prijelaza sustava iz stanja I u stanje j u n koraka. U tu svrhu, razmotrit ćemo srednje (između I i j) stanje r, tj. pretpostavljamo da će sustav prijeći iz početnog stanja I u k koraka u međustanje r s vjerojatnošću p ir (k), nakon čega će u preostalim n-k koraka iz međustanja r prijeći će u konačno stanje j s vjerojatnošću p rj (n-k). Zatim prema formuli ukupne vjerojatnosti

P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) je Markovljeva jednakost.

Uvjerimo se da, poznavajući sve vjerojatnosti prijelaza p ij = p ij (1), tj. matrica P 1 prijelaz iz stanja u stanje u jednom koraku, možete pronaći vjerojatnost p ij (2), tj. matrica P 2 prijelaz iz stanja u stanje u dva koraka. I poznavajući matricu P 2 - pronađite matricu P 3 prijelaz iz stanja u stanje u tri koraka, i tako dalje.

Doista, postavljanje n = 2 u formuli P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), tj. k=1 (međustanje između koraka), dobivamo

P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj

Dobivena jednakost znači da je P 2 \u003d P 1 P 1 \u003d P 2 1

Uz pretpostavku n = 3, k = 2, slično dobivamo P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 , au općem slučaju P n = P 1 n

Primjer

Ukupnost obitelji određene regije može se podijeliti u tri skupine:

1. obitelji koje nemaju auto i neće ga kupiti;

2. obitelji koje nemaju automobil, a namjeravaju ga kupiti;

3. obitelji s automobilom.

Provedeno statističko istraživanje pokazalo je da tranzicijska matrica za interval od jedne godine ima oblik:

(U matrici P 1 element p 31 = 1 označava vjerojatnost da će ga imati i obitelj koja ima automobil, a npr. element p 23 = 0,3 je vjerojatnost da obitelj koja nije imala automobil auto, ali je odlučio nabaviti, ispuniti svoju namjeru iduće godine itd.)

Nađite vjerojatnost da:

1. obitelj koja nije imala auto i nije ga namjeravala kupiti bit će u istoj situaciji za dvije godine;

2. Obitelj koja nije imala auto, a namjerava ga kupiti, imat će auto za dvije godine.

RIJEŠENJE: pronađite matricu prijelaza R 2 za dvije godine:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

To jest, tražene vjerojatnosti u primjeru 1) i 2) su jednake

p 11 \u003d 0,64, p 23 \u003d 0,51

Zatim, razmislite Markovljev stohastički proces s diskretnim stanjima i kontinuiranim vremenom, u kojem, za razliku od prethodno razmatranog Markovljevog lanca, trenuci mogućih prijelaza sustava iz stanja nisu unaprijed fiksirani, već su slučajni.

Pri analizi slučajnih procesa s diskretnim stanjima zgodno je koristiti geometrijsku shemu – tzv. raspored događanja. Obično su stanja sustava prikazana pravokutnicima (krugovima), a mogući prijelazi iz stanja u stanje prikazani su strelicama (orijentiranim lukovima) koje povezuju stanja.

Primjer. Konstruirajte graf stanja sljedećeg slučajnog procesa: uređaj S sastoji se od dva čvora, od kojih svaki može otkazati u slučajnom trenutku vremena, nakon čega odmah počinje popravak čvora, nastavljajući se prethodno nepoznato slučajno vrijeme.

RIJEŠENJE. Moguća stanja sustava: S 0 – oba čvora rade; S 1 - prvi čvor se popravlja, drugi je upotrebljiv; S 2 - drugi čvor se popravlja, prvi je upotrebljiv; S 3 - oba čvora se popravljaju.

Strelica, smjerovi, na primjer, od S 0 do S 1, označavaju prijelaz sustava u trenutku kvara prvog čvora, od S 1 do S 0 - prijelaz u trenutku kada je popravak ovog čvora završen. .

Na grafu nema strelica od S 0 do S 3 i od S 1 do S 2 . To se objašnjava činjenicom da se pretpostavlja da su kvarovi čvorova neovisni jedni o drugima i, na primjer, vjerojatnosti istovremenog kvara dvaju čvorova (prijelaz iz S 0 u S 3) ili istovremenog završetka popravaka dvaju čvorova (prijelaz iz S 3 do S 0) može se zanemariti.

Stacionarni slučajni procesi

stacionarni u užem smislu, ako

F(x 1 , …, x n ; t 1 , …, t n) = F(x 1 , …, x n ; t 1 +∆, …, t n +∆)

Za proizvoljno

n≥1, x 1 , …, x n , t 1 , …, t n ; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.

Ovdje je F(x 1 , …, x n ; t 1 , …, t n) n-dimenzionalna funkcija distribucije slučajnog procesa X(t).

Poziva se slučajni proces X(t). stacionarni u širem smislu, ako

Očito, stacionarnost u užem smislu podrazumijeva stacionarnost u široki smisao.

Iz formula:

m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)

(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)

Slijedi da se za proces koji je stacionaran u širem smislu može pisati

m(t) = mx(0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)

Dakle, za proces koji je stacionaran u širem smislu, matematičko očekivanje i varijanca ne ovise o vremenu, a K(t, t^) je funkcija oblika:

Vidi se da je k(τ) parna funkcija, dok

Ovdje je D varijanca stacionarnog procesa

X(t), α i (I = 1, n) su proizvoljni brojevi.

Prva jednakost sustava

K(0) \u003d B \u003d σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

slijedi iz jednadžbe K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Prva jednakost

K(0) \u003d B \u003d σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 je jednostavna posljedica Schwartzove nejednakosti za odsječke X(t), X(t^) stacionarnog slučajnog procesa X(t). Zadnja nejednakost:

K(0) \u003d B \u003d σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

Nabavite ovako:

∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2 ] ≥0

Uzimajući u obzir formulu za korelacijsku funkciju derivacije dX(t)/dt slučajnog procesa, za stacionarni slučajna funkcija X(t) dobivamo

K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^

Jer

δk(t^ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)

tada je K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.

Ovdje je K 1 (t, t^) i k 1 (τ) korelacijska funkcija prve derivacije stacionarnog slučajnog procesa X(t).

Za n-tu derivaciju stacionarnog slučajnog procesa, formula za korelacijsku funkciju je:

K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)

Teorema. Stacionarni slučajni proces X(t) s korelacijskom funkcijom k(τ) je srednje kvadratni kontinuiran u točki t ∈ T ako i samo ako

Limk(τ) = k(0)

Da bismo to dokazali, zapisujemo očiti lanac jednakosti:

M [|X(t+τ)-X(T)| 2] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =

2D-2k(τ) = 2.

Stoga je očito da je uvjet kontinuiteta u srednjem kvadratnom procesu X(t) u točki t ∈ T

LimM[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0

Javlja se ako i samo ako Lim k(τ) = k(0)

Teorema. Ako je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) kontinuirana u srednjem kvadratu u točki τ=0, tada je kontinuirana u srednjem kvadratu u bilo kojoj točki τ ∈ R 1 .

Da bismo to dokazali, zapisujemo očite jednakosti:

k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =

M(X(t))

Zatim, primjenom Schwartzove nejednakosti na faktore u vitičastoj zagradi i uzimajući u obzir relacije:

K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.

K(0) \u003d B \u003d σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2] =

Prelazeći na limes kao ∆τ→0 i uzimajući u obzir uvjet k(τ) teorema o kontinuitetu u točki τ=0, kao i prvu jednakost sustava

K(0) \u003d B \u003d σ 2, nalazimo

Limk(τ+∆τ) = k(τ)

Budući da je ovdje τ proizvoljan broj, teorem treba smatrati dokazanim.

Ergodičko svojstvo stacionarnih slučajnih procesa

Neka je X(t) stacionarni slučajni proces na vremenskom intervalu sa karakteristikama

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.

Ergodičko svojstvo stacionarnog slučajnog procesa je da se dovoljno dugom provedbom procesa može prosuditi njegovo matematičko očekivanje, varijancu, korelacijsku funkciju.

Nazvat ćemo strože stacionarni slučajni proces X(t). ergodičan u očekivanju, ako

Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Teorema

Stacionarni slučajni proces X(t) sa karakteristikama:

M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T

je očekivanje ergodičko ako i samo ako

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

Da bismo to dokazali, očito je dovoljno provjeriti da je jednakost

Zapišimo očite relacije

C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.

Postavljajući ovdje τ = t^ – t, dτ = dt^ i uzimajući u obzir uvjete (t^ = T) → (τ = T - t),

(t^ = 0)→(τ = -t), dobivamo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

Pretpostavljajući da je u prvom i drugom članu desne strane ove jednakosti τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, nalazimo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Primjenom Dirichletove formule za dvostruke integrale pišemo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) / τk (T – τ)dτ

U drugom članu s desne strane možemo staviti τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, nakon čega imamo

Iz ovoga i iz definicije konstanti jasno je da jednakost

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Pravedan.

Teorema

Ako korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) zadovoljava uvjet

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

Tada je X(t) ergodičko očekivanje.

Doista, s obzirom na omjer

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Može se napisati

0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ

Ovo pokazuje da ako je uvjet zadovoljen, onda

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

Sada, uzimajući u obzir jednakost

C \u003d (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ - (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ \u003d 2 / T ∫ (1- (τ / T) )k(τ)dτ

I uvjet Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Ergodičnost u očekivanju stacionarnog slučajnog procesa X(t), nalazimo da je traženo dokazano.

Teorema.

Ako je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa

X(t) je integrabilan i neograničeno opada kako τ → ∞, tj. stanje

Za proizvoljno ε > 0, tada je X(t) očekivano-ergodički stacionarni slučajni proces.

Doista, s obzirom na izraz

Za T≥T 0 imamo

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).

Prelazeći na limit kao T → ∞, nalazimo

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

Budući da je ovdje ε > 0 proizvoljna, proizvoljno mala vrijednost, uvjet ergodičnosti u odnosu na matematičko očekivanje je zadovoljen. Budući da to proizlazi iz uvjeta

O neograničenom opadanju k(τ), teorem treba smatrati dokazanim.

Dokazani teoremi uspostavljaju konstruktivne kriterije za ergodičnost stacionarnih slučajnih procesa.

X(t) = m + X(t), m=konst.

Tada je M = m, a ako je X(t) ergodički stacionarni slučajni proces, tada se uvjet ergodičnosti Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 nakon jednostavnih transformacija može prikazati kao

LimM([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0

Slijedi da ako je X(t) stacionarni slučajni proces ergodičan u očekivanju, tada se očekivanje procesa X(t) = m + X(t) može približno izračunati formulom

M = (1/T) / x(t)dt

Ovdje je T dovoljno dugo vremensko razdoblje;

x(t) je implementacija procesa X(t) na vremenskom intervalu .

Možemo razmotriti ergodičnost stacionarnog slučajnog procesa X(t) s obzirom na korelacijsku funkciju.

Poziva se stacionarni slučajni proces X(t). ergodička u korelacijskoj funkciji, ako

Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0

To implicira da za stacionarni slučajni proces X(t) ergodičan u korelacijskoj funkciji, možemo staviti

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

s dovoljno velikim T.

Ispostavilo se da stanje

ograničenost k(τ) je dovoljna za ergodičnost u korelacijskoj funkciji stacionarnog normalno raspodijeljenog procesa X(t).

Imajte na umu da se slučajni proces zove normalno raspoređena ako je bilo koja od njegovih konačnodimenzionalnih funkcija distribucije normalna.

Nužan i dovoljan uvjet za ergodičnost stacionarnog normalno raspodijeljenog slučajnog procesa je relacija

τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0

Književnost

1. N.Sh. Kremer "Teorija vjerojatnosti i matematička statistika" / UNITI / Moskva 2007.

2. Yu.V. Kozhevnikov "Teorija vjerojatnosti i matematička statistika" / Strojarstvo / Moskva 2002.

3. B.V. Gnedenko "Tečaj teorije vjerojatnosti" / Glavno izdanje fizičke i matematičke literature / Moskva 1988.

Smetnje u komunikacijskim sustavima opisane su metodama teorije slučajnih procesa.

Funkcija se naziva slučajnom ako, kao rezultat eksperimenta, poprimi jedan ili drugi oblik, unaprijed se ne zna koji. Slučajni proces je slučajna funkcija vremena. Specifični oblik koji slučajni proces poprima kao rezultat eksperimenta naziva se implementacija slučajnog procesa.

Na sl. 1.19 prikazuje skup nekoliko (tri) implementacija slučajnog procesa , , . Takav skup naziva se ansambl implementacija. Uz fiksnu vrijednost trenutka vremena u prvom eksperimentu dobivamo određenu vrijednost , u drugom - , u trećem - .

Slučajni proces ima dvojak karakter. S jedne strane, u svakom konkretnom eksperimentu, to je predstavljeno vlastitom implementacijom - neslučajnom funkcijom vremena. S druge strane, slučajni proces opisuje se skupom slučajnih varijabli.

Doista, razmotrite slučajni proces u fiksnoj vremenskoj točki. Tada svaki eksperiment uzima jednu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Dakle, slučajni proces razmatran u fiksnoj vremenskoj točki je slučajna varijabla. Ako su dvije točke u vremenu i fiksne, tada ćemo u svakom eksperimentu dobiti dvije vrijednosti i . U ovom slučaju, zajedničko razmatranje ovih vrijednosti dovodi do sustava dviju slučajnih varijabli. Kada analiziramo slučajne procese u N točaka u vremenu, dolazimo do skupa ili sustava od N slučajnih varijabli .

Matematičko očekivanje, varijanca i funkcija korelacije slučajnog procesa Budući da je slučajni proces promatran u fiksnoj vremenskoj točki slučajna varijabla, možemo govoriti o matematičkom očekivanju i varijanci slučajnog procesa:

, .

Kao i za slučajnu varijablu, varijanca karakterizira širenje vrijednosti slučajnog procesa u odnosu na srednju vrijednost. Što je veći, to je veća vjerojatnost vrlo velikih pozitivnih i negativnih vrijednosti procesa. Prikladnija karakteristika je korijen srednje kvadratne devijacije (MSD), koja ima istu dimenziju kao i sam slučajni proces.

Ako slučajni proces opisuje, na primjer, promjenu udaljenosti do objekta, tada je matematičko očekivanje prosječna udaljenost u metrima; varijanca se mjeri u kvadratnim metrima, a Sco - u metrima i karakterizira širenje mogućih vrijednosti raspona u odnosu na prosjek.

Srednja vrijednost i varijanca vrlo su važne karakteristike koje omogućuju procjenu ponašanja slučajnog procesa u određenoj vremenskoj točki. Međutim, ako je potrebno procijeniti "brzinu" promjene u procesu, tada promatranje u jednom trenutku nije dovoljno. Da biste to učinili, upotrijebite dvije slučajne varijable promatrane zajedno. Kao i za slučajne varijable, uvodi se karakteristika povezanosti ili ovisnosti između i. Za slučajni proces ova karakteristika ovisi o dvije vremenske točke i naziva se korelacijskom funkcijom: .

Stacionarni slučajni procesi. Mnogi procesi u sustavima upravljanja odvijaju se jednoliko u vremenu. Njihove osnovne karakteristike se ne mijenjaju. Takvi se procesi nazivaju stacionarni. Precizna definicija može se dati na sljedeći način. Slučajni proces se naziva stacionarnim ako bilo koja od njegovih vjerojatnosnih karakteristika ne ovisi o pomaku referentnog vremena. Za stacionarni slučajni proces, matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija su konstantni: , .

Korelacijska funkcija stacionarnog procesa ne ovisi o ishodištu t, tj. ovisi samo o vremenskoj razlici:

Korelacijska funkcija stacionarnog slučajnog procesa ima sljedeća svojstva:

1) ; 2) ; 3) .

Često korelacijske funkcije procesa u komunikacijskim sustavima imaju oblik prikazan na sl. 1.20.

Riža. 1.20. Korelacijske funkcije procesa

Vremenski interval na kojem je funkcija korelacije, tj. veličina veze između vrijednosti slučajnog procesa, smanjuje se za M puta, naziva se interval ili vrijeme korelacije slučajnog procesa. Obično ili . Možemo reći da su vrijednosti slučajnog procesa koje se razlikuju u vremenu za interval korelacije slabo povezane jedna s drugom.

Dakle, poznavanje korelacijske funkcije omogućuje prosuđivanje brzine promjene slučajnog procesa.

Druga važna karakteristika je energetski spektar slučajnog procesa. Definira se kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

Očito je i obrnuta transformacija istinita:

Energetski spektar pokazuje raspodjelu snage slučajnog procesa, kao što je šum, na frekvencijskoj osi.

Pri analizi ACS-a vrlo je važno odrediti karakteristike slučajnog procesa na izlazu linearnog sustava s poznatim karakteristikama procesa na ulazu ACS-a. Pretpostavimo da je linearni sustav zadan impulsnim odzivom. Tada je izlazni signal u trenutku vremena određen Duhamelovim integralom:

gdje je proces na ulazu u sustav. Da bismo pronašli korelacijsku funkciju, pišemo a nakon množenja nalazimo matematičko očekivanje

Ovdje ćemo ukratko razmotriti glavna pitanja sistematizacije (klasifikacije) slučajnih procesa.

Slučajni proces koji se događa (prolazi) u bilo kojem fizičkom sustavu je slučajni prijelaz sustava iz jednog stanja u drugo. Ovisno o skupu ovih stanja
od mnogih vrijednosti argumenata svi slučajni procesi su podijeljeni u klase (skupine):

1. diskretni proces ( diskretno stanje) s diskretnim vremenom.

2. Diskretni proces s kontinuiranim vremenom.

3. Kontinuirani proces (kontinuirano stanje) s diskretnim vremenom.

4. Kontinuirani proces s kontinuiranim vremenom.

U 1 3. set slučajeva diskretno, tj. argument uzima diskretne vrijednosti
obično
u 1. slučaju skup slučajnih vrijednosti funkcije
definirani su jednakostima:, je diskretan skup
(Mnogo
naravno ili prebrojivo).

U trećem slučaju skup
neubrojivo, tj. presjek slučajnog procesa u bilo kojem trenutku je kontinuirana slučajna varijabla.

U 2. i 4. slučaju skup kontinuirano, u drugom slučaju skup stanja sustava
konačan ili prebrojiv, au četvrtom slučaju skup
nebrojiv.

Evo nekoliko primjera slučajnih procesa 1-4 klase, redom:

1. Hokejaš može ili ne mora postići jedan ili više golova protivniku tijekom utakmica koje se igraju u određenim trenucima (prema rasporedu utakmica) vremena

slučajni proces
je broj golova postignutih do tog trenutka .

2. Slučajni proces
- broj pogledanih filmova u kinu Zvezda

od početka kina do trenutka u vremenu .

3. U određenim trenucima vremena
mjeri se temperatura
pacijent u centru za liječenje.
- je slučajni proces kontinuiranog tipa s diskretnim vremenom.

4. Pokazatelj razine vlažnosti zraka tijekom dana u gradu A.

Mogu se razmotriti i druge složenije klase slučajnih procesa. Za svaku klasu slučajnih procesa razvijene su odgovarajuće metode za njihovo proučavanje.

U udžbenicima se može pronaći niz raznolikih i zanimljivih primjera slučajnih tokova [B. Feller, h 1.2] i u monografiji. Ovdje ćemo se ograničiti na ovo.

Za slučajne procese uvode se i jednostavnije funkcionalne karakteristike, ovisno o parametru , slično glavnim numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli.

Poznavanje ovih karakteristika dovoljno je za rješavanje mnogih problema (podsjetimo se da je potpuna karakteristika slučajnog procesa dana njegovim višedimenzionalnim (konačnodimenzionalnim) zakonom raspodjele.

Za razliku od numeričkih karakteristika slučajnih varijabli, u općem slučaju funkcionalne karakteristike su određene funkcije.

4. Očekivanje i varijanca slučajnog procesa

Matematičko očekivanje slučajnog procesa

definiran za bilo koju fiksnu vrijednost argumenta jednako je matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa:

(12)
.

Za kratki zapis matematičkog očekivanja s.p. također koristiti notaciju
.

Funkcija
karakterizira ponašanje slučajnog procesa u prosjeku. Geometrijsko značenje matematičkog očekivanja
tumači se kao "srednja krivulja" oko koje se nalaze krivulje realizacije (vidi sliku 60).

(Vidi sl. 60 slovo.).

Na temelju svojstva očekivanja slučajne varijable i uzimajući u obzir da
slučajni proces i
neslučajna funkcija, dobivamo Svojstva matematičko očekivanje slučajni proces:

1. Matematičko očekivanje neslučajne funkcije jednako je samoj funkciji:
.

2. Neslučajni množitelj (neslučajna funkcija) može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja slučajnog procesa, tj.

3. Matematičko očekivanje zbroja (razlike) dvaju slučajnih procesa jednako je zbroju

(razlika) matematičkih očekivanja članova, tj.

Imajte na umu da ako popravimo argument (parametar) , tada prelazimo sa slučajnog procesa na slučajnu varijablu (tj. prelazimo na presjek slučajnog procesa), možemo pronaći m.o. ovaj proces s ovim fiksnim