Klasifikacija događaja na moguće, vjerojatne i slučajne. Pojmovi jednostavnih i složenih elementarnih događaja. Operacije nad događajima. Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja i njezina svojstva. Elementi kombinatorike u teoriji vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost. Aksiomi teorije vjerojatnosti.

Jedan od temeljnih pojmova teorije vjerojatnosti je pojam događaja. Pod, ispod događaj razumjeti bilo koju činjenicu koja se može pojaviti kao rezultat iskustva ili testa. Pod, ispod iskustvo , ili test , odnosi se na provedbu određenog skupa uvjeta.

Primjeri događaja:

• - pogađanje mete pucanjem iz puške (iskustvo - pucanje; događaj - pogađanje mete);
• - ispadanje dva amblema pri tri puta bacanju novčića (iskustvo - tri puta bacanje novčića; događaj - ispadanje dva amblema);
• - pojava pogreške mjerenja unutar zadanih granica pri mjerenju dometa do cilja (iskustvo - mjerenje dometa; događaj - pogreška mjerenja).

Može se navesti bezbroj sličnih primjera. Događaji su označeni velikim slovima na latinici abeceda A,B,C itd.

razlikovati zajednički događaji I nekompatibilan . Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nekompatibilnim. Na primjer, bacaju se dvije kocke. Događaj AA je bacanje tri boda na prvoj kockici, a događaj B je bacanje tri boda na drugoj kockici. A i B su zajednički događaji.

Neka trgovina primi seriju cipela istog stila i veličine, ali različitih boja. Događaj A - nasumično uzeta kutija sadržavat će crne cipele, događaj B - kutija će sadržavati smeđe cipele, A i B su nekompatibilni događaji.

Događaj se zove pouzdan , ako je sigurno da će se dogoditi u uvjetima danog eksperimenta.

Događaj se naziva nemogućim ako se ne može dogoditi pod uvjetima danog iskustva. Na primjer, slučaj da će standardni dio biti uzet iz serije standardnih dijelova je pouzdan, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće , ili slučajan , ako se kao rezultat iskustva može pojaviti, ali možda se i ne pojavi. Primjer slučajnog događaja može biti identifikacija nedostataka proizvoda tijekom pregleda serije gotovih proizvoda, razlika između veličine prerađenog proizvoda i specificirane veličine ili kvar jedne od veza u sustavu automatizirane kontrole.

Događaji se zovu jednako moguće , ako prema uvjetima ispitivanja niti jedan od ovih događaja nije objektivno mogućiji od ostalih. Na primjer, neka trgovinu opskrbljuje žaruljama (u jednakim količinama) nekoliko proizvodnih pogona. Događaji koji uključuju kupnju žarulje iz bilo koje od ovih tvornica jednako su mogući.

Važan koncept je puna grupa događaja . Nekoliko događaja u određenom eksperimentu čini potpunu skupinu ako je barem jedan od njih siguran da će se pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, urna sadrži deset kuglica, od kojih je šest crvenih, četiri bijele, a pet kuglica ima brojeve.

A -- pojava crvene kuglice tijekom jednog izvlačenja,

B -- pojava bijele lopte,

C -- izgled kuglice s brojem. Događaji A,B,Cčine cjelovitu skupinu zajedničkih događaja.

Uvedimo pojam suprotnog ili dodatnog događaja. Pod, ispod suprotan događaj

AÍ se shvaća kao događaj koji se nužno mora dogoditi ako se neki događaj ne dogodi

A. Suprotni događaji su nespojivi i jedini mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja.

Plan.

1. Slučajna varijabla (RV) i vjerojatnost događaja.

2. Zakon raspodjele SV.

3. Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija).

4. Poissonova distribucija.

5. Normalna (Gaussova) razdioba.

6. Jednolika raspodjela.

7. Raspodjela studenata.

2.1 Slučajna varijabla i vjerojatnost događaja

Matematička statistika usko je povezana s drugom matematičkom znanošću – teorijom vjerojatnosti i temelji se na njezinom matematičkom aparatu.

Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava obrasce generirane slučajnim događajima.

Pedagoški fenomeni su masovni fenomeni: pokrivaju velike populacije ljudi, ponavljaju se iz godine u godinu i događaju se kontinuirano. Pokazatelji (parametri, rezultati) pedagoškog procesa su probabilističke prirode: isti pedagoški utjecaj može dovesti do različitih posljedica (slučajni događaji, slučajne varijable). Međutim, kada se uvjeti opetovano reproduciraju, određene se posljedice pojavljuju češće od drugih - to je manifestacija takozvanih statističkih zakona (čije proučavanje provodi teorija vjerojatnosti i matematička statistika).

Slučajna varijabla (RV) je numerička karakteristika koja se mjeri tijekom eksperimenta i ovisi o slučajnom ishodu. SV ostvaren tijekom eksperimenta sam je slučajan. Svaki SV specificira distribuciju vjerojatnosti.

Glavno svojstvo pedagoških procesa i pojava je njihova vjerojatnost (u danim uvjetima mogu se dogoditi, ostvariti, ali se mogu i ne dogoditi). Za takve pojave značajnu ulogu igra u konceptu vjerojatnosti.

Vjerojatnost (P) pokazuje stupanj mogućnosti da se određeni događaj, pojava ili rezultat dogodi. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula str = 0, pouzdan - jedan str = 1 (100%). Vjerojatnost bilo kojeg događaja kreće se od 0 do 1, ovisno o tome koliko je slučajan događaj.

Ako nas zanima događaj A, onda, najvjerojatnije, možemo promatrati i zabilježiti činjenice njegovog događanja. Potreba za pojmom vjerojatnosti i njezinim izračunom očito će se javiti tek onda kada ovaj događaj ne budemo svaki put promatrali, ili shvatili da se može, ali i ne mora dogoditi. U oba slučaja korisno je koristiti pojam učestalosti pojavljivanja događaja f(A) - kao omjer broja slučajeva njegovog događanja (povoljnih ishoda) prema ukupnom broju opažanja. Učestalost pojavljivanja slučajnog događaja ne ovisi samo o stupnju slučajnosti samog događaja, već i o broju (broju) promatranja ovog SV.

Postoje dvije vrste SV uzoraka: ovisan I nezavisna. Ako rezultati mjerenja određenog svojstva za predmete prvog uzorka ne utječu na rezultate mjerenja tog svojstva za predmete drugog uzorka, tada se takvi uzorci smatraju neovisnim. U slučajevima kada rezultati jednog uzorka utječu na rezultate drugog uzorka, uzorci se uzimaju u obzir ovisan. Klasičan način dobivanja zavisnih mjera je mjerenje istog svojstva (ili različitih svojstava) dva puta kod članova iste skupine.

Događaj A ne ovisi o događaju B ako vjerojatnost događaja A ne ovisi o tome je li se dogodio događaj B. Događaji A i B su neovisni ako je P(AB) = P(A)P(B). U praksi se neovisnost događaja utvrđuje od uvjeta iskustva, intuicije istraživača i prakse.

SV može biti diskretan (možemo numerirati njegove moguće vrijednosti), na primjer, ispadanje iz matrice = 4, 6, 2, i kontinuiran (njegova funkcija distribucije F(x) je kontinuirana), na primjer, radni vijek žarulja.

Očekivana vrijednost - numerička karakteristika SV, približno jednak prosječnoj vrijednosti SV:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 Zakon raspodjele SW

Podliježu li slučajne pojave nekim zakonima? Da, ali ti se zakoni razlikuju od fizikalnih zakona s kojima smo upoznati. Vrijednosti SV ne mogu se predvidjeti čak ni pod poznatim eksperimentalnim uvjetima; možemo samo naznačiti vjerojatnosti da će SV poprimiti jednu ili drugu vrijednost. Ali poznavajući distribuciju vjerojatnosti SV-ova, možemo izvući zaključke o događajima u kojima te slučajne varijable sudjeluju. Istina, ti će zaključci također biti vjerojatnosne prirode.

Neka je neki SV diskretan, tj. može uzeti samo fiksne vrijednosti X i . U ovom slučaju, niz vrijednosti vjerojatnosti P(X i) za sve (i=1…n) dopuštene vrijednosti ove veličine naziva se njezinim zakonom raspodjele.

Zakon raspodjele SV je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti SV i vjerojatnosti s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira SV.

Prilikom konstruiranja matematičkog modela za testiranje statističke hipoteze potrebno je uvesti matematičku pretpostavku o zakonu raspodjele SV (parametarski način konstruiranja modela).

Neparametarski pristup opisivanju matematičkog modela (SV nema parametarski zakon raspodjele) manje je točan, ali ima širi opseg.

Baš kao i za vjerojatnost slučajnog događaja, za zakon distribucije SV postoje samo dva načina da se pronađe. Ili ćemo sastaviti dijagram slučajnog događaja i pronaći analitički izraz (formulu) za izračun vjerojatnosti (možda je to netko već učinio ili će učiniti prije vas!), ili ćemo morati koristiti eksperiment i na temelju učestalosti promatranja, napravite neke pretpostavke (postavite hipoteze) o zakonskim distribucijama.

Naravno, za svaku od “klasičnih” distribucija ovaj posao se radi već duže vrijeme - široko poznate i vrlo često korištene u primijenjenoj statistici su binomne i polinomne distribucije, geometrijske i hipergeometrijske, Pascalove i Poissonove distribucije i mnoge druge.

Za gotovo sve klasične distribucije odmah su konstruirane i objavljene posebne statističke tablice, koje su se usavršavale kako je točnost izračuna rasla. Bez korištenja mnogih svezaka ovih tablica, bez obuke u pravilima njihove uporabe, praktična uporaba statistike bila je nemoguća u posljednja dva stoljeća.

Danas se situacija promijenila - nema potrebe za pohranjivanjem podataka o izračunu pomoću formula (ma koliko potonje bile složene!), vrijeme korištenja zakona distribucije za vježbu smanjeno je na minute, pa čak i sekunde. Za te namjene već postoji dovoljan broj različitih aplikacijskih programskih paketa.

Među svim distribucijama vjerojatnosti postoje one koje se posebno često koriste u praksi. Ove distribucije su detaljno proučavane i njihova svojstva su dobro poznata. Mnoge od ovih distribucija leže u osnovi cijelih područja znanja - poput teorije čekanja u redu, teorije pouzdanosti, kontrole kvalitete, teorije igara itd.

2.3 Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija)

Javlja se u slučajevima kada se postavlja pitanje: koliko se puta određeni događaj javlja u nizu određenog broja neovisnih opažanja (eksperimenata) izvedenih pod istim uvjetima.

Radi praktičnosti i jasnoće, pretpostavit ćemo da znamo vrijednost p - vjerojatnost da će se posjetitelj koji ulazi u trgovinu pokazati kupcem i (1- p) = q - vjerojatnost da posjetitelj koji ulazi u trgovinu neće biti kupac.

Ako je X broj kupaca od ukupnog broja n posjetitelja, tada je vjerojatnost da je među n posjetitelja bilo k kupaca jednaka

P(X= k) = , gdje je k=0,1,…n (1)

Formula (1) naziva se Bernoullijeva formula. Na veliki broj testova, binomna distribucija ima tendenciju da bude normalna.

2.4 Poissonova distribucija

Igra važnu ulogu u nizu pitanja u fizici, teoriji komunikacije, teoriji pouzdanosti, teoriji čekanja itd. Bilo gdje gdje se tijekom određenog vremenskog razdoblja može dogoditi nasumičan broj događaja (radioaktivni raspadi, telefonski pozivi, kvarovi opreme, nesreće itd.).

Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj se pojavljuje Poissonova distribucija. Neka se neki događaji (kupovina u trgovini) dogode u nasumično vrijeme. Odredimo broj pojavljivanja takvih događaja u vremenskom intervalu od 0 do T.

Slučajni broj događaja koji su se dogodili u vremenu od 0 do T raspoređuje se prema Poissonovom zakonu s parametrom l=aT, gdje je a>0 parametar problema koji odražava prosječnu učestalost događaja. Vjerojatnost k kupnji u velikom vremenskom intervalu (na primjer, dan) bit će

P(Z=k) =

(2)

2.5 Normalna (Gaussova) distribucija

Normalna (Gaussova) distribucija zauzima središnje mjesto u teoriji i praksi probabilističkih statističkih istraživanja. Kao kontinuiranu aproksimaciju binomne distribucije prvi ju je razmatrao A. Moivre 1733. godine. Nakon nekog vremena normalnu distribuciju ponovno su otkrili i proučavali K. Gauss (1809.) i P. Laplace, koji su došli do normalne funkcije u vezi s radom na teoriji pogreške opažanja.

Stalan slučajna vrijednost x nazvao normalno raspoređena, ako je njegova gustoća distribucije jednaka

Gdje

poklapa se s matematičkim očekivanjem vrijednosti X:
=M(X), parametar s podudara se sa standardnom devijacijom vrijednosti X: s =s(X). Graf funkcije normalne distribucije, kao što se može vidjeti sa slike, ima oblik kupolaste krivulje, koja se naziva Gaussova, maksimalna točka ima koordinate (a;

Ova krivulja s μ=0, σ=1 dobila je status standarda; naziva se jediničnom normalnom krivuljom, odnosno svaki prikupljeni podatak nastoji se transformirati tako da krivulja njegove distribucije bude što bliža ovoj standardnoj krivulji .

Normalizirana krivulja je izmišljena za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti, ali u praksi se pokazalo da ona savršeno aproksimira distribuciju frekvencija za veliki broj opažanja za mnoge varijable. Može se pretpostaviti da se bez materijalnih ograničenja broja objekata i vremena pokusa statistička studija svodi na normalnu krivulju.

2.6 Jednolika raspodjela

Uniformna distribucija vjerojatnosti je najjednostavnija i može biti diskretna ili kontinuirana. Diskretna jednolika raspodjela– ovo je distribucija za koju je vjerojatnost svake od vrijednosti SV ista, to jest:

gdje je N broj mogućih vrijednosti SV.

Distribucija vjerojatnosti kontinuiranog CB X, uzimajući sve svoje vrijednosti iz segmenta [a;b] naziva se uniformnom ako je njegova gustoća vjerojatnosti na ovom segmentu konstantna, a izvan njega jednaka nuli:

(5)

2.7 Raspodjela učenika

Ova raspodjela je povezana s normalnom. Ako su SV x 1, x 2, … x n neovisni, a svaki od njih ima standardnu ​​normalnu distribuciju N(0,1), tada SV ima distribuciju tzv. distribucija Studentski test:

Mnogi se, kada se suoče s konceptom “teorije vjerojatnosti”, uplaše, misleći da je to nešto neodoljivo, vrlo složeno. Ali zapravo sve nije tako tragično. Danas ćemo pogledati osnovni koncept teorije vjerojatnosti i naučiti kako rješavati probleme koristeći konkretne primjere.

Znanost

Što proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Bilježi uzorke i količine. Znanstvenici su se prvi put zainteresirali za ovo pitanje još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni pojam teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili opažanjem. Ali što je iskustvo? Drugi temeljni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj splet okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je samo svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na ono što se događa.

Događaji

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:

• Pouzdan.
• Nemoguće.
• Slučajno.

Bez obzira na vrstu događaja, opaženih ili stvorenih tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Pozivamo vas da se upoznate sa svakom vrstom zasebno.

Pouzdan događaj

To je okolnost za koju je poduzet potreban niz mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Fizika, kemija, ekonomija i viša matematika. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao pouzdani događaj. Evo nekoliko primjera:

• Radimo i primamo naknadu u vidu plaće.
• Dobro smo položili ispite, prošli na natječaju, za to dobivamo nagradu u vidu upisa u obrazovna ustanova.
• Novac smo uložili u banku, a ako treba, vratit ćemo ga.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, sigurno ćemo dobiti očekivani rezultat.

Nemogući događaji

Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo prijeći na objašnjenje sljedeće vrste događaja, naime nemogućeg. Prvo, odredimo najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Od ove formulacije ne može se odstupiti pri rješavanju problema. Radi pojašnjenja, evo primjera takvih događaja:

• Voda se smrzavala na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Nedostatak električne energije ni na koji način ne utječe na proizvodnju (jednako nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Ne vrijedi navoditi više primjera, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi tijekom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.

Slučajni događaji

Prilikom proučavanja elemenata posebnu pozornost treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi, ali i ne mora. Osim toga, test se može provoditi neograničeni broj puta. Živopisni primjeri uključuju:

• Bacanje novčića je iskustvo ili test, pad glava je događaj.
• Izvlačenje lopte na slijepo iz vreće je test, dobivanje crvene lopte je događaj, i tako dalje.

Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Kako bismo saželi i sistematizirali stečena znanja o događajima, donosimo tablicu. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih.

Zakoni

Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost događanja događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:

• Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Kada izračunavate mogućnost nečeg složenog, možete koristiti skup jednostavnih događaja kako biste na lakši i brži način postigli rezultat. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju pomoću određenih teorema. Predlažemo da se najprije upoznate s prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

• Niz slučajnih varijabli konvergira u vjerojatnosti.
• Skoro nemoguće.
• Srednja kvadratna konvergencija.
• Konvergencija distribucije.

Dakle, odmah na početku, vrlo je teško shvatiti suštinu. Evo definicija koje će vam pomoći razumjeti ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se zove konvergentan u vjerojatnosti, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizak jedinici.

Prijeđimo na sljedeći pogled,skoro sigurno. Za niz se kaže da konvergira skoro sigurno na slučajnu varijablu s n koja teži beskonačnosti i P koja teži vrijednosti blizu jedinici.

Sljedeća vrsta je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.

Ostaje posljednja vrsta, pogledajmo je ukratko kako bismo mogli izravno prijeći na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", a kasnije ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.

Obećanje ćemo svakako održati: slaba konvergencija se od svega navedenog razlikuje po tome što slučajna varijabla nije definirana u prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo pomoću distribucijskih funkcija.

Zakon velikih brojeva

Teoreme teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Čebiševljeva nejednakost.
• Čebiševljev teorem.
• Generalizirani Čebiševljev teorem.
• Markovljev teorem.

Ako uzmemo u obzir sve te teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Predlažemo da to učinite odmah. Ali prije toga, pogledajmo aksiome teorije vjerojatnosti; oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.

Aksiomi

S prvim smo se već susreli kada smo govorili o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Dali smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzijusa.

Drugi je sljedeći: pouzdani događaj događa se s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako ovo napisati matematičkim jezikom: P(B)=1.

Treće: Slučajni događaj se može, ali i ne mora dogoditi, ali mogućnost se uvijek kreće od nula do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veće su šanse; ako se vrijednost približava nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Zapišimo ovo matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dva događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Zapisujemo to matematičkim jezikom: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja nije teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme na temelju već stečenog znanja.

Listić lutrije

Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer – lutriju. Zamislite da ste kupili jednu srećku za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u optjecaju sudjeluje tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset ih ima po stotinu rubalja, pedeset ima nagradu od dvadeset rubalja, a sto ima nagradu od pet. Problemi vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnosti sreće. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gornjeg zadatka.

Ako koristimo slovo A za označavanje dobitka od pet stotina rubalja, tada će vjerojatnost dobivanja A biti jednaka 0,001. Kako smo ovo dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" listića s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)

C - dobitak je dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerojatnost, ona je jednaka 0,05.

Preostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od navedenog u uvjetu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost da dobijete najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost pojave određenog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim radnjama. Ostaje još samo zbrojiti potrebne podatke, a odgovor koji dobivamo je 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.

Špil karata

Problemi u teoriji vjerojatnosti mogu biti složeniji; na primjer, uzmimo sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte u nizu bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.

Prvo, pronađimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to dijelimo četiri sa trideset šest. Stavili su ga na stranu. Izvadimo drugu kartu, to će biti as s vjerojatnošću tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, pitamo se je li to bio as ili ne. Iz ovoga slijedi da događaj B ovisi o događaju A.

Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost istovremenog događanja, odnosno množimo A i B. Njihov umnožak nalazimo na sljedeći način: množimo vjerojatnost jednog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog, koju izračunavamo, pretpostavljajući da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa s prvom kartom.

Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).

Nastavimo rješavati naš problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ili P(A * B) = P(B) * P(A/B). Vjerojatnost je jednaka (4/36) * ((3/35)/(4/36). Računamo zaokruživanjem na najbližu stotinku. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Vjerojatnost da ćemo izvući dva asa zaredom je devet stotinki.Vrijednost je vrlo mala, iz čega slijedi da je vjerojatnost da se događaj dogodi izuzetno mala.

Zaboravljeni broj

Predlažemo da analiziramo još nekoliko varijanti zadataka koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku. Pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio zadnju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali kako je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom . Moramo izračunati vjerojatnost da neće nazvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako se poznaju pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.

Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno deset vrijednosti ukupno. Vjerojatnost da dobijete pravu je 1/10.

Zatim, moramo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak dobro pogodio i odmah upisao pravu, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv promašuje, a drugi je na meti. Izračunajmo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, a kao rezultat također dobivamo 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv pokazali su se na krivoj adresi, tek trećim je dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnoženo s 8/9 i 1/8, što rezultira 1/10. Druge mogućnosti prema uvjetima problema nas ne zanimaju, pa samo trebamo zbrajati dobivene rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da se dječak neće javiti više od tri puta je 0,3.

Kartice s brojevima

Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito izmiješali. Morate izračunati vjerojatnost da

• pojavit će se paran broj;
• dvoznamenkasti.

Prije nego prijeđemo na rješenje, uvjetujmo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađimo vjerojatnost da će broj biti paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, to će biti naše m, ukupno je devet mogućih opcija, odnosno m=9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9.

Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može uopće biti uspješnih ishoda, odnosno m je jednako nula. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula.

probability event kombinatorička statistika

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava. Slučajni fenomeni su fenomeni s neizvjesnim ishodom koji se javljaju kada se određeni skup uvjeta opetovano ponavlja. Formiranje i razvoj teorije vjerojatnosti povezuje se s imenima velikih znanstvenika kao što su: Cardano, Pascal, Fermat, Bernoulli, Gauss, Chebyshev, Kalmogorov i mnogi drugi. Obrasci slučajnih pojava prvi put su otkriveni u 16. - 17. stoljeću. koristeći primjer kockarskih igara poput kocke. Zakoni rađanja i smrti također su poznati već jako dugo. Na primjer, je li poznato da je vjerojatnost da novorođenče bude dječak? 0,515. U 19.-20.st. velik broj uzoraka otkriven je u fizici, kemiji, biologiji itd. Trenutno se metode teorije vjerojatnosti naširoko koriste u raznim granama prirodnih znanosti i tehnologije: u teoriji pouzdanosti, teoriji čekanja, teorijskoj fizici, geodeziji, astronomiji, teoriji pucanja , teorija pogrešaka opažanja, teorija automatskog upravljanja, opća teorija komunikacija i mnoge druge teorijske i primijenjene znanosti. Teorija vjerojatnosti također služi za potkrepljivanje matematičke i primijenjene statistike, koja se pak koristi u planiranju i organizaciji proizvodnje, u analizi tehnoloških procesa, preventivnoj i prijemnoj kontroli kvalitete proizvoda iu mnoge druge svrhe. Posljednjih godina metode teorije vjerojatnosti sve više prodiru u razna područja znanosti i tehnologije pridonoseći njihovom napretku.

suđenje. Događaj. Klasifikacija događaja

Test je ponovljena reprodukcija istog skupa uvjeta pod kojima je promatranje izvršeno. Kvalitativni rezultat testa je događaj. Primjer 1: Urna sadrži kuglice u boji. Iz urne se uzima jedna kuglica za sreću. Test - vađenje kuglice iz urne; Događaj je pojava kuglice određene boje. O. 2: Skup međusobno isključivih ishoda jednog pokusa naziva se skup elementarnih događaja ili elementarnih ishoda. Primjer 2: Kocka se baca jednom. Test je bacanje kocke; Događaj - gubitak određenog broja bodova. Skup elementarnih ishoda je (1,2,3,4,5,6). Događaji se označavaju velikim slovima latinične abecede: A 1, A 2,..., A, B, C,... Uočljivi događaji (fenomeni) mogu se podijeliti u tri vrste: pouzdani, nemogući, slučajni. O. 3: Događaj se naziva pouzdanim ako će se, kao rezultat testa, sigurno dogoditi. O. 4: Događaj se naziva nemogućim ako se, kao rezultat testa, nikada neće dogoditi. O. 5: Događaj se naziva slučajnim ako se, kao rezultat testa, može dogoditi ili ne dogoditi. Primjer 3: Test - lopta se baca uvis. Događaj A = (loptica će pasti) - pouzdano; Događaj B=(lopta će visjeti u zraku) - nemoguće; Događaj C=(lopta će pasti na glavu bacača) je slučajan. Slučajni događaji (fenomeni) mogu se podijeliti na sljedeće vrste: kompatibilni, nekompatibilni, suprotni, jednako mogući. O. 6: Dva događaja se nazivaju zajedničkim ako, tijekom jednog testa, pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. O. 7: Dva događaja se nazivaju nekompatibilnima ako, tijekom jednog testa, pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Primjer 4: Novčić je bačen dva puta. Događaj A - (Prvi put ispao grb); Događaj B - (Drugi put pao grb); Događaj C - (Prvi put glave). Događaji A i B su kompatibilni, A i C su nekompatibilni. O. 8: Nekoliko događaja čini potpunu skupinu u danom testu ako su u paru nekompatibilni i kao rezultat testa jedan od tih događaja će se sigurno pojaviti. Primjer 5: Dječak ubacuje novčić u automat. Događaj A = (dječak pobjeđuje); Događaj B=(dječak neće pobijediti); A i B - čine potpunu skupinu događaja. O. 9: Dva nekompatibilna događaja koji čine potpunu skupinu nazivaju se suprotnima. Označen je događaj suprotan događaju A. Primjer 6. Ispaljuje se jedan hitac u metu. Događaj A - pogodak; Događaj je promašen.

Klasifikacija događaja na moguće, vjerojatne i slučajne. Pojmovi jednostavnih i složenih elementarnih događaja. Operacije nad događajima. Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja i njezina svojstva. Elementi kombinatorike u teoriji vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost. Aksiomi teorije vjerojatnosti.

Klasifikacija događaja

Jedan od temeljnih pojmova teorije vjerojatnosti je pojam događaja. Pod, ispod događaj razumjeti bilo koju činjenicu koja se može pojaviti kao rezultat iskustva ili testa. Pod, ispod iskustvo, ili test, odnosi se na provedbu određenog skupa uvjeta.

Primjeri događaja:

– pogađanje mete pri pucanju iz puške (doživljaj – pucanje; događaj – pogađanje mete);
– gubitak dva amblema pri tri puta bacanju novčića (iskustvo - tri puta bacanje novčića; događaj - gubitak dva amblema);
– pojava pogreške mjerenja unutar zadanih granica pri mjerenju dometa do cilja (iskustvo - mjerenje dometa; događaj - pogreška mjerenja).

Može se navesti bezbroj sličnih primjera. Događaji su označeni velikim slovima latinične abecede itd.

razlikovati zajednički događaji I nekompatibilan. Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nekompatibilnim. Na primjer, bacaju se dvije kocke. Događaj je gubitak tri boda na prvoj kockici, događaj je gubitak tri boda na drugoj kockici. i - zajednička događanja. Neka trgovina primi seriju cipela istog stila i veličine, ali različitih boja. Događaj - nasumično uzeta kutija sadržavat će crne cipele, događaj - kutija će sadržavati smeđe cipele i - nekompatibilne događaje.

Događaj se zove pouzdan, ako je sigurno da će se dogoditi u uvjetima danog eksperimenta.

Događaj se naziva nemogućim ako se ne može dogoditi pod uvjetima danog iskustva. Na primjer, slučaj da će standardni dio biti uzet iz serije standardnih dijelova je pouzdan, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće, ili slučajan, ako se kao rezultat iskustva može pojaviti, ali možda se i ne pojavi. Primjer slučajnog događaja može biti identifikacija nedostataka proizvoda tijekom pregleda serije gotovih proizvoda, razlika između veličine prerađenog proizvoda i specificirane veličine ili kvar jedne od veza u sustavu automatizirane kontrole.

Događaji se zovu jednako moguće, ako prema uvjetima ispitivanja niti jedan od ovih događaja nije objektivno mogućiji od ostalih. Na primjer, neka trgovinu opskrbljuje žaruljama (u jednakim količinama) nekoliko proizvodnih pogona. Događaji koji uključuju kupnju žarulje iz bilo koje od ovih tvornica jednako su mogući.

Važan koncept je puna grupa događaja. Nekoliko događaja u određenom eksperimentu čini potpunu skupinu ako je barem jedan od njih siguran da će se pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, urna sadrži deset kuglica, od kojih je šest crvenih, četiri bijele, a pet kuglica ima brojeve. - pojava crvene kuglice tijekom jednog izvlačenja, - pojava bijele kuglice, - pojava kuglice s brojem. Događaji čine cjelovitu skupinu zajedničkih događaja.

Uvedimo pojam suprotnog ili dodatnog događaja. Pod, ispod suprotan Pod događajem se podrazumijeva događaj koji se nužno mora dogoditi ako se neki događaj ne dogodi. Suprotni događaji su nespojivi i jedini mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja. Na primjer, ako se serija proizvedenih proizvoda sastoji od dobrih i neispravnih proizvoda, tada kada se jedan proizvod ukloni, može se pokazati da je to ili dobar događaj ili neispravan događaj.

Operacije nad događajima

Pri razvoju aparata i metodologije za proučavanje slučajnih događaja u teoriji vjerojatnosti vrlo je važan koncept zbroja i umnoška događaja.

Zbroj ili unija nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od tih događaja.

Zbroj događaja prikazan je na sljedeći način:

Na primjer, ako je događaj pogodio metu prvim hicem, događaj - drugim, onda je događaj pogodio metu općenito, nije bitno kojim hicem - prvim, drugim ili oba.

Proizvod ili presjek nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih tih događaja.

Naznačena je proizvodnja događaja

Na primjer, ako je događaj da je meta pogođena prvim hicem, događaj je da je meta pogođena drugim hicem, tada je događaj da je meta pogođena s oba hica.

Koncepti zbroja i umnoška događaja imaju jasno geometrijsko tumačenje. Neka se događaj sastoji od ulaska točke u područje, događaj se sastoji od ulaska u područje, tada se događaj sastoji od ulaska točke u područje osjenčano na sl. 1, a događaj je kada točka pogodi područje osjenčano na sl. 2.

Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja

Za kvantitativno usporedbu događaja prema stupnju mogućnosti njihova događanja uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerojatnost događaja.

Vjerojatnost događaja je broj koji izražava mjeru objektivne mogućnosti nastanka događaja.

Vjerojatnost događaja bit će označena simbolom .

Vjerojatnost nekog događaja jednaka je omjeru broja za njega povoljnih slučajeva, od ukupnog broja jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju tj.

Ovo je klasična definicija vjerojatnosti. Dakle, da bi se utvrdila vjerojatnost događaja, potrebno je, uzevši u obzir različite ishode testa, pronaći skup jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupni broj, broj slučajeva koji pogoduju određenom događaj, a zatim izvršite izračun pomoću formule (1.1).

Iz formule (1.1) slijedi da je vjerojatnost događaja nenegativan broj i može varirati od nule do jedan ovisno o udjelu povoljnog broja slučajeva u ukupnom broju slučajeva:

Svojstva vjerojatnosti

Svojstvo 1. Ako su svi slučajevi povoljni za određeni događaj, tada će se taj događaj sigurno dogoditi. Prema tome, predmetni događaj je pouzdan, a vjerojatnost njegovog događanja je , budući da je u ovom slučaju

Svojstvo 2. Ako ne postoji niti jedan povoljan slučaj za određeni događaj, tada se taj događaj ne može dogoditi kao rezultat iskustva. Prema tome, predmetni događaj je nemoguć, a vjerojatnost njegovog događanja je , budući da je u ovom slučaju:

Svojstvo 3. Vjerojatnost pojavljivanja događaja koji čine potpunu skupinu jednaka je jedinici.

Svojstvo 4. Vjerojatnost nastanka suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja:

gdje je broj slučajeva pogodnih za pojavu suprotnog događaja. Stoga je vjerojatnost da će se dogoditi suprotni događaj jednaka razlici između jedinice i vjerojatnosti da će se događaj dogoditi:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je u tome što se pomoću nje vjerojatnost događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na temelju logičkog zaključivanja.

Primjer 1. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu znamenku i nazvao ju je nasumično. Odredite vjerojatnost da je pozvan točan broj.

Riješenje. Označimo događaj da je traženi broj biran. Pretplatnik može birati bilo koju od 10 znamenki, tako da je ukupan broj mogućih ishoda 10. Ovi ishodi su jedini mogući (jedna od znamenki mora biti birana) i jednako mogući (znamenka se bira nasumično). Samo jedan ishod daje prednost događaju (samo je jedan potreban broj). Tražena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za događaj i broja svih ishoda:

Elementi kombinatorike

U teoriji vjerojatnosti često se koriste postavljanja, permutacije i kombinacije. Ako je dan set, onda plasman (kombinacija) elemenata po je bilo koji uređeni (neuređeni) podskup elemenata skupa. Kada se postavi poziva se preuređenje od elemenata.

Neka nam je, na primjer, dan skup. Položaji tri elementa ovog skupa od dva su , , , , , ; kombinacije - , , .

Dvije kombinacije razlikuju se u najmanje jednom elementu, a položaji se razlikuju ili u samim elementima ili u redoslijedu pojavljivanja. Broj kombinacija elemenata po izračunava se formulom

je broj postavljanja elemenata prema ; - broj permutacija elemenata.

Primjer 2. U seriji od 10 dijelova nalazi se 7 standardnih. Nađite vjerojatnost da se među 6 nasumce uzetih dijelova nalaze točno 4 standardna.

Riješenje. Ukupan broj mogućih ishoda testa jednak je broju načina na koje se iz 10 može izdvojiti 6 dijelova, tj. jednak je broju kombinacija 10 elemenata od 6. Broj ishoda koji pogoduju događaju (među 6 uzetih dijelova ima točno 4 standardna) određuje se na sljedeći način: 4 standardna dijela mogu se uzeti iz 7 standardnih dijelova na različite načine; u ovom slučaju, preostali dijelovi moraju biti nestandardni; Postoje načini da se iz nestandardnih dijelova uzmu 2 nestandardna dijela. Stoga je broj povoljnih ishoda jednak . Početna vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za događaj i broja svih ishoda:

Statistička definicija vjerojatnosti

Formula (1.1) koristi se za izravno izračunavanje vjerojatnosti događaja samo kada se iskustvo reducira na obrazac slučajeva. U praksi, klasična definicija vjerojatnosti često nije primjenjiva iz dva razloga: prvo, klasična definicija vjerojatnosti pretpostavlja da ukupan broj slučajeva mora biti konačan. Zapravo, često nije ograničen. Drugo, često je nemoguće rezultate eksperimenta prikazati u obliku jednako mogućih i nekompatibilnih događaja.

Učestalost pojavljivanja događaja tijekom ponovljenih Eksperimenata nastoji se stabilizirati oko neke konstantne vrijednosti. Dakle, događaju koji se razmatra može se pridružiti određena konstantna vrijednost oko koje se grupiraju frekvencije i koja je karakteristika objektivne veze između skupa uvjeta u kojima se eksperimenti izvode i događaja.

Vjerojatnost slučajnog događaja je broj oko kojeg se grupiraju učestalosti ovog događaja kako se broj pokusa povećava.

Ova definicija vjerojatnosti naziva se statistički.

Prednost statističke metode određivanja vjerojatnosti je u tome što se temelji na stvarnom eksperimentu. Međutim, njegov značajan nedostatak je što je za određivanje vjerojatnosti potrebno izvesti veliki broj eksperimenata koji su vrlo često povezani s materijalnim troškovima. Statistička definicija vjerojatnosti događaja, iako dosta cjelovito otkriva sadržaj ovog pojma, ne omogućuje stvarno izračunavanje vjerojatnosti.

Klasična definicija vjerojatnosti razmatra potpunu skupinu konačnog broja jednako mogućih događaja. U praksi je vrlo često broj mogućih ishoda testa beskonačan. U takvim slučajevima klasična definicija vjerojatnosti nije primjenjiva. Međutim, ponekad u takvim slučajevima možete koristiti drugu metodu izračuna vjerojatnosti. Radi određenosti, ograničit ćemo se na dvodimenzionalni slučaj.

Neka je na ravnini zadana određena regija površine , koja sadrži drugu regiju površine (slika 3). Točka se nasumično baca u područje. Koja je vjerojatnost da bod padne u regiju? Pretpostavlja se da nasumično bačena točka može pogoditi bilo koju točku u regiji, a vjerojatnost pogađanja bilo kojeg dijela regije proporcionalna je površini dijela i ne ovisi o njegovom položaju i obliku. U ovom slučaju, vjerojatnost pogađanja područja pri nasumičnom bacanju točke u područje je

Dakle, u općem slučaju, ako mogućnost slučajnog pojavljivanja točke unutar određenog područja na liniji, ravnini ili u prostoru nije određena položajem tog područja i njegovim granicama, već samo njegovom veličinom, tj. duljinom, , površina ili volumen, zatim vjerojatnost da slučajna točka padne unutar određenog područja definirana je kao omjer veličine tog područja prema veličini cijelog područja u kojem se određena točka može pojaviti. Ovo je geometrijska definicija vjerojatnosti.

Primjer 3. Okrugla meta rotira konstantnom kutnom brzinom. Jedna petina mete obojana je zelenom bojom, a ostatak je bijelom (sl. 4). U metu se puca tako da je pogađanje mete pouzdan događaj. Morate odrediti vjerojatnost pogađanja ciljnog sektora obojenog zeleno.

Riješenje. Označimo "hitac je pogodio sektor obojen zeleno". Zatim . Vjerojatnost se dobiva kao omjer površine dijela mete obojenog zelenom bojom prema cijeloj površini mete, budući da su pogoci u bilo koji dio mete jednako mogući.

Aksiomi teorije vjerojatnosti

Iz statističke definicije vjerojatnosti slučajnog događaja proizlazi da je vjerojatnost događaja broj oko kojeg se grupiraju učestalosti tog događaja promatrane eksperimentalno. Stoga se uvode aksiomi teorije vjerojatnosti kako bi vjerojatnost događaja imala osnovna svojstva učestalosti.

Aksiom 1. Svakom događaju odgovara određeni broj koji zadovoljava uvjet i naziva se njegova vjerojatnost.