Zove se omjer suprotnog kraka i hipotenuze sinus oštrog kuta pravokutni trokut.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta
Zove se omjer najbližeg kraka i hipotenuze kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangenta oštrog kuta pravokutnog trokuta
Zove se omjer suprotne noge i susjedne noge tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta
Omjer susjedne noge i suprotne noge naziva se kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus proizvoljnog kuta
Naziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .
\sin \alpha=y
Kosinus proizvoljnog kuta
Apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha naziva se kosinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .
\cos \alpha=x
Tangenta proizvoljnog kuta
Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog kuta rotacija \alfa .
tg \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangens proizvoljnog kuta
Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog kuta rotacija \alfa .
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Primjer pronalaženja proizvoljnog kuta
Ako je \alpha neki kut AOM , gdje je M točka na jediničnoj kružnici, onda
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Na primjer, ako \kut AOM = -\frac(\pi)(4), tada: ordinata točke M je -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je \frac(\sqrt(2))(2) i zato
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \lijevo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.
Tablica vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa
Vrijednosti glavnih često susrećenih kutova dane su u tablici:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno) | 45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno) | 60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno) | 90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno) | 180^(\circ)\lijevo(\pi\desno) | 270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno) | 360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Sinus oštar kut α pravokutnog trokuta je omjer suprotan kateter na hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: sin α.
Kosinus oštar kut α pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.
Tangens akutni kut α je omjer suprotne noge i susjedne noge.
Označava se na sljedeći način: tg α.
Kotangens akutni kut α je omjer susjednog kraka i suprotnog.
Označava se kako slijedi: ctg α.
Sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta ovise samo o veličini kuta.
pravila:
Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:
(α - oštar kut nasuprot nozi b i uz nogu a . Strana s - hipotenuza. β - drugi oštri kut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Kako se akutni kut povećavasinα itg α povećanje, icos α se smanjuje.
Za bilo koji akutni kut α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Primjer objašnjenja:
Neka je u pravokutnom trokutu ABC
AB = 6,
BC = 3,
kut A = 30º.
Odredite sinus kuta A i kosinus kuta B.
Odluka .
1) Prvo, nalazimo vrijednost kuta B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbroj oštrih kutova 90º, onda je kut B = 60º:
B = 90º - 30º \u003d 60º.
2) Izračunaj sin A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze. Za kut A, suprotni krak je stranica BC. Tako:
prije Krista 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sada izračunavamo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Za kut B, susjedna noga je ista stranica BC. To znači da opet trebamo podijeliti BC na AB - odnosno izvršiti iste radnje kao kod izračunavanja sinusa kuta A:
prije Krista 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog kuta jednak kosinsu drugog oštrog kuta - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Provjerimo još jednom:
1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u sinusnu formulu, dobivamo:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u kosinus formulu, dobivamo:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Za više o trigonometriji, pogledajte odjeljak Algebra)
U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, navesti primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. Zaključno, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.
Navigacija po stranici.
Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa
Pratimo kako nastaje pojam sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa školski tečaj matematika. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.
Oštar kut u pravokutnom trokutu
Iz kolegija geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Predstavljamo njihove formulacije.
Definicija.
Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.
Definicija.
Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Definicija.
Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.
Definicija.
Kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.
Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg.
Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus oštrog kuta A jednak omjeru suprotnog kraka BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.
Ove definicije vam omogućuju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznatih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangens i duljina jedne od stranica, pronađite duljine ostalih stranica. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog kuta A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.
Kut rotacije
U trigonometriji počinju šire gledati na kut – uvode pojam kuta rotacije. Kut rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničen okvirima od 0 do 90 stupnjeva, kut rotacije u stupnjevima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.
U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni kut, već kut proizvoljne veličine – kut rotacije. Zadane su kroz x i y koordinate točke A 1 , u koju prolazi tzv. početna točka A(1, 0) nakon što se zarotira za kut α oko točke O - početka pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava i središte jedinične kružnice.
Definicija.
Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1 , odnosno sinα=y .
Definicija.
kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1 , odnosno cosα=x .
Definicija.
Tangent kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 i njezine apscise, odnosno tgα=y/x .
Definicija.
Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y .
Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut α, budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobiva rotacijom početne točke za kut α. A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za takve kutove α u kojima početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se događa pod kutovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, budući da sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za takve kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za kutove 180° k , k ∈Z (π k rad).
Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve kutove rotacije, tangenta je definirana za sve kutove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve kutove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći zapis tan i cot koji odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere kuta često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .
U zaključku ovog odlomka, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije često izostavlja izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija". Odnosno, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa" obično se koristi izraz "sinus kuta alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangentu i kotangens.
Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama upravo danim za sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. To ćemo potkrijepiti.
Brojevi
Definicija.
Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije u t radijanima.
Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu kuta od 8 π rad. A kosinus kuta u 8 π rad jednak je jedan, dakle, kosinus broja 8 π jednak je 1.
Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da je svakom realnom broju t dodijeljena točka jedinične kružnice sa središtem na ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens određuju se kroz koordinate te točke. Zaustavimo se na ovome detaljnije.
Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i točaka kružnice:
- broju 0 dodjeljuje se početna točka A(1, 0) ;
- pozitivan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo put duljine t;
- negativan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se pomičemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i prođemo put duljine |t| .
Prijeđimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).
Definicija.
Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.
Definicija.
Kosinus broja t se naziva apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.
Definicija.
Tangent broja t je omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost .
Definicija.
Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t : ctgt=cost/sint .
Ovdje napominjemo da se upravo navedene definicije slažu s definicijom danom na početku ovog pododjeljka. Doista, točka jedinične kružnice koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke kroz kut od t radijana.
Također je vrijedno pojasniti ovu točku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti je li u pitanju sinus broja 3 ili sinus kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije važno.
Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta
Prema definicijama danim u prethodnom paragrafu, svakom kutu rotacije α odgovara dobro definirana vrijednost sinα, kao i vrijednost cosα. Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.
Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numerički argument. Doista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i trošku . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.
Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno da imamo posla s trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu varijablu možemo smatrati i mjerom kuta (argument kuta) i numeričkim argumentom.
No, škola uglavnom proučava numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako govorimo o funkcijama, onda je preporučljivo razmotriti trigonometrijske funkcije funkcije brojčanih argumenata.
Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije
Ako uzmemo u obzir kut rotacije α od 0 do 90 stupnjeva, tada su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu, koji su dati u tečaju geometrije. Potkrijepimo ovo.
Nacrtajte u pravokutnik Kartezijanski sustav Jedinični krug Oxy koordinata. Zabilježite početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobit ćemo točku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.
Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu zaokret α , duljina kraka OH koji se nalazi uz ovaj kut jednaka je apscisi točke A 1 , odnosno |OH|=x , duljina kraka A 1 H nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus oštrog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α za α od 0 do 90 stupnjeva.
Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α.
Bibliografija.
- Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opće obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra i elementarne funkcije: Vodič za učenike 9. razreda Srednja škola/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizikalno-matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Prosveta, 1969.
- Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 2 h 1. dio: udžbenik za obrazovne ustanove ( razini profila)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I .: Prosvjeta, 2010. - 368 str.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.
Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija, čija primjena nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračunavanje sinusa ponekad je potrebno za rješavanje raznih problema. Općenito, izračun sinusa pomoći će u konsolidaciji crtačkih vještina i znanja o trigonometrijskim identitetima.
Igre s ravnalom i olovkom
Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje potrebno vam je obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje krajnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dugom stranom - hipotenuzom. Dakle, najprije morate dovršiti oštar kut u obliku pravokutnog trokuta tako da povučete liniju okomitu na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Bit će potrebno promatrati kut od točno 90 °, za što nam je potreban klerikalni trokut.
Korištenje kompasa je malo preciznije, ali će trajati dulje. Na jednoj od zraka trebate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se te linije ne sijeku. Spajanjem točaka presjeka naših kružnica jedna s drugom, dobivamo strogu okomicu na zraku našeg kuta, ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.
U rezultirajućem trokutu morate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dugu stranu na jednoj od zraka. Omjer prvog mjerenja prema drugom bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.
Pronađite sinus za kut veći od 90°
Za tupi kut zadatak nije puno teži. Potrebno je povući zraku iz vrha u suprotnom smjeru pomoću ravnala da formiramo ravnu liniju s jednom od zraka kuta koji nas zanima. S primljenim oštar kut treba postupiti kako je gore opisano, sinusi susjednih kutova koji zajedno tvore razvijeni kut od 180° su jednaki.
Izračunavanje sinusa iz drugih trigonometrijskih funkcija
Također, izračun sinusa je moguć ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.
Kako pronaći sinus s poznatim kosinusom kuta? Prvi trigonometrijski identitet, koji dolazi iz Pitagorinog teorema, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.
Kako pronaći sinus s poznatim tangentom kuta? Tangenta se dobiva dijeljenjem udaljenog kraka s bližom ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangente, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog proizvoda. Zamjenjujemo kvadratni kosinus s razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa prema prvom trigonometrijskom identitetu i, jednostavnim manipulacijama, donosimo jednadžbu za izračunavanje kvadratnog sinusa kroz tangentu, odnosno, da biste izračunali sinus, morat ćete iz dobivenog rezultata izdvojiti korijen.
Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa se može izračunati dijeljenjem duljine bližeg kraka od kuta kraka s duljinom udaljenog, kao i dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je inverzna funkcija tangente s obzirom na na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangentu pomoću formule tg α \u003d 1 / ctg α i upotrijebiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.
Kako pronaći sinus triju strana trokuta
Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, a ne samo pravokutnog trokuta, s obzirom na dva poznate stranke koristeći trigonometrijsku funkciju kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.
Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog kuta
Sinus, kosinus proizvoljnog kuta
Da bismo razumjeli što su trigonometrijske funkcije, okrenimo se kružnici s jediničnim polumjerom. Zadani krug je središte na ishodištu u koordinatnoj ravnini. Za utvrđivanje postaviti funkcije koristit ćemo radijus vektor ILI, koji počinje u središtu kruga, i točka R je točka na kružnici. Ovaj radijus vektor tvori kut alfa s osi OH. Budući da kružnica ima polumjer jednak jedan, onda ILI = R = 1.
Ako iz točke R ispusti okomicu na os OH, tada dobivamo pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom jedan.
Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, tada se taj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivan.
Sinus kuta ILI, je ordinata točke R vektori na kružnici.
To jest, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu Na na površini.
Kako je dobivena ova vrijednost? Budući da znamo da je sinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobivamo da je
I od R=1, onda sin(α) = y 0 .
U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da
Sinus je pozitivan u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u trećoj i četvrtoj.
Kosinus kuta zadani krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa točke R vektori na kružnici.
Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu x na površini.
Kosinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da
I od R=1, onda cos(α) = x 0 .
U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da
Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jedinične kružnice, a negativan u drugom i trećem.
tangensproizvoljan kut izračunava se omjer sinusa i kosinusa.
Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.
Sudeći po tim odnosima, može se razumjeti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod kutom od 90 stupnjeva. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.
Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.
