Matematika je često potrebna u životu. Ali događa se da čak i ako ste to dobro znali u školi, mnoga se pravila zaborave. U ovom ćemo se članku prisjetiti svojstava množenja.
Množenje i njegova svojstva
Radnja čiji je rezultat zbroj istih članova naziva se množenje. Odnosno, množenje broja X s brojem Y znači da trebate odrediti zbroj Y članova, od kojih će svaki biti jednak X. Brojevi koji se množe nazivaju se faktori (faktori), rezultat množenja je zove proizvod.
Na primjer,
548x11 = 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 (11 puta)
- Ako su u množenju uključeni prirodni brojevi, tada će rezultat takvog množenja uvijek biti pozitivan broj.
- Ako je jedan od nekoliko faktora 0 (nula), tada će umnožak tih faktora biti jednak nuli. I obrnuto, ako je rezultat umnoška 0, tada jedan od faktora mora biti jednak nuli.
- U slučaju kada je jedan od ovih faktora jednak 1 (jedan), tada će njihov umnožak biti jednak drugom faktoru.
Postoji nekoliko zakona množenja.
Zakon jedan
On nam otkriva asocijativnost množenja. Pravilo je sljedeće: da biste pomnožili dva faktora s trećim faktorom, trebate pomnožiti prvi faktor s umnoškom drugog i trećeg faktora.
Opći oblik ove formule izgleda ovako: (NxX)xA = Nx(XxA)
Primjeri:
(11x12) x 3 = 11 x (12 x 3) = 396;
(13 x 9) x 11 = 13 x (9 x 11) = 1287.
Zakon dva
On nam govori o svojstvu komutativnosti množenja. Pravilo kaže: kad se faktori preslože, umnožak ostaje nepromijenjen.
Opći unos izgleda ovako:
NhHhA = AhHhN = HhNhA.
Primjeri:
11 x 13 x 15 = 15 x 13 x 11 = 13 x 11 x 15 = 2145;
10 x 14 x 17 = 17 x 14 x 10 = 14 x 10 x 17 = 2380.
Zakon tri
Ovaj zakon govori o distributivnom svojstvu množenja. Pravilo je sljedeće: da biste pomnožili broj sa zbrojem brojeva, morate taj broj pomnožiti sa svakim od zadanih članova i zbrojiti dobivene rezultate.
Opći unos bit će ovakav:
Xx(A+N)=XxA+XxN.
Primjeri:
12 x (13+15) = 12x13 + 12x15 = 156 + 180 = 336;
17x (11 + 19) = 17 x 11 + 17 x 19 = 187 + 323 = 510.
Zakon distribucije djeluje na isti način u slučaju oduzimanja:
Primjeri:
12 x (16-11) = 12x 16 – 12 x 11 = 192 – 132 = 60;
13 x (18 – 16) = 13 x 18 – 13 x 16 = 26.
Pogledali smo osnovna svojstva množenja.
(4 lekcije, br. 113–135)
Lekcija 1 (113–118)
Cilj– upoznati učenike s kombinacijom svojih_
sposobnost množenja.
U prvoj lekciji korisno je zapamtiti koja svojstva
aritmetičke operacije djeci su već poznate. Za ovo
vježbe tijekom kojih će školarci
koristiti ovo ili ono svojstvo. Na primjer, možete
Je li moguće tvrditi da su vrijednosti izraza u danom stupcu_
isti su:
875 + (78 + 284)
(875 + 78) + 284
875 + (284 + 78)
(875 + 284) + 78
Ima smisla ponuditi izraze čija su značenja
djeca ne mogu računati, u ovom slučaju će biti_
treba donijeti zaključak na temelju obrazloženja.
Uspoređujući npr. prvi i drugi izraz, oni
uočiti njihove sličnosti i razlike; zapamti matcher_
novo svojstvo sabiranja (dva susjedna člana mogu biti
zamijenite ih zbrojem), što znači da su vrijednosti izražene
brakovi će biti isti. Treći izraz je prikladan
usporediti drugačije s prvim i pomoću komutativnog
svojstvo zbrajanja, izvesti zaključak. Četvrti izraz
može se usporediti s drugom.
– Koja su svojstva zbrajanja primjenjiva za izračune?
promijeniti značenja ovih izraza? (Komutativno
i asocijativne.)
– Koja svojstva ima množenje?
Dečki se sjećaju da znaju komutativ
svojstvo množenja. (Ogledano je na 34. str. udžbenika
nadimak "Pokušaj zapamtiti!")
- Danas ćemo u razredu upoznati još jednog našeg_
množenje!
Na ploči je prikazan crtežzadatak 113 . Učitelj, nastavnik, profesor
štakori na razne načine. Razmotreni prijedlozi djece_
dani su. Ako se pojave poteškoće, možete se obratiti
na analizu metoda koje su predložili Misha i Masha.
(6 · 4) · 2: u jednom pravokutniku ima 6 kvadrata, pametno_
Pritiskom na 6 puta 4 Maša saznaje koliko ima kvadrata
pravokutnika u jednom redu. Množenje dobivenog re_
Rezultat je 2, ona saznaje koliko ima kvadrata
pravokutnika u dva reda, tj. koliko ima malih?
broj kvadrata na slici.
Zatim raspravljamo o Mishinoj metodi: 6 · (4 · 2). Prvo ti_
dovršavamo radnju u zagradama – 4 2, tj. saznajemo koliko
ukupno pravokutnika u dva reda. U jednom pravokutniku_
nick 6 kvadrata. Množenjem 6 s dobivenim rezultatom,
Odgovaramo na postavljeno pitanje. Dakle, oboje
drugi izraz pokazuje koliko malih
kvadrati na slici.
To znači (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2).
Slično se radi sazadatak 114 . Pos_
Nakon toga djeca se upoznaju s formulacijom asocijativa
svojstva množenja i usporedite ga s formulacijom
asocijativna svojstva sabiranja.
Ciljzadaci 115–117 - saznati razumiju li djeca
formulacija svojstva asocijativnosti množenja.
Radećizadaci 116 preporučujemo korištenje_
uzmi kalkulator. To će omogućiti učenicima da dobro ponavljaju_
mjerenje troznamenkastih brojeva.
Problem 118Bolje je odlučiti u razredu.
Ako je djeci teško samostalno odlučivati_
Institut za istraživanjazadaci 118 , tada nastavnik može koristiti tehniku
prosudbe gotovih rješenja ili objašnjenja izraza,
zapisana prema uvjetima ovog problema. Na primjer:
10 5 8 10 8 5
(8 10) 5 8 (10 5)
(2_stupac),kao i zadaci48, 54, 55 TPO br.1.
2. lekcija (119–125)
Cilj
množenje u izračunima; izvesti pravilo množenja
broj za 10.
Raditi sazadatak 119 organiziran prema
upute dane u udžbeniku:
a) djeca koriste svojstvo komutativnosti množenja
cija, preuređivanje faktora u umnošku 4 10 = 10 4,
zbrajanjem desetica pronađite vrijednost umnoška 10 · 4.
U bilježnice se upisuju sljedeći zapisi:
4 10 = 40;
6 10 = 60 itd.
b) djeca se ponašaju na isti način kao kada ispunjavaju zadatak_
nia a). U bilježnice zapiši one jednakosti koje ne postoje
u zadatku a): 5 10 = 50; 7 10 = 70; 9 10 = 90;
c) analizirati i usporediti napisane jednakosti,
izvući zaključak (pri množenju broja s 10 morate dodijeliti
na prvi faktor nula i upišite dobiveni broj
proizlaziti);
d) provjerite formulirano pravilo pomoću izračuna_
poderao.
Primjena kombinatornog svojstva množenja i pr_
Množenje s 10 omogućuje učenicima množenje
"zaokruži" desetice na jednoznamenkasti broj, koristeći on_
vještine tabličnog množenja (90 · 3, 70 · 4, itd.).
U tu svrhu se provodezadaci 120, 121, 123, 124.
Radećizadaci 120 djeca prvo sređivanje_
u udžbeniku olovkom nacrtati zagrade i zatim komentirati
tvoji postupci. Na primjer: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 – proizvedeno ovdje
održavanje prvog i drugog faktora zamijenilo je njegove vrijednosti
čitanje. Korisno je odmah saznati koja je vrijednost pro_
proizvodnja 35 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 – evo umnoška
drugi i treći faktor zamijenjeni su njegovom vrijednošću.
Pri izračunu vrijednosti umnoška 5 70 djece
može razmišljati ovako: upotrijebimo komutativ
svojstvo množenja - 5 · 70 = 70 · 5. Sada 7 dek. Limenka
ponoviti 5 puta, dobivamo 35 des.; ovaj broj je 350.
Pri objašnjavanju nekih jednakosti uzadatak 121
školarci prvi koriste komutativ njihov_
množenje, a zatim asocijativna. Na primjer:
4 6 10 = 40 6
(4 10) 6 = 40 6
svaka jednakost s lijeve i s desne strane.
Izračunavanjem vrijednosti izraza napisanih lijevo,
dečki se okreću tablici množenja i onda oduzimaju_
izračunajte dobiveni rezultat 10 puta:
(4 6) 10 = 24 10
Uzadatak 123 Korisno je razmotriti različite načine
bi opravdao odgovor. Na primjer, možete u drugom izrazu
možemo zamijeniti proizvod njegovom vrijednošću, i dobivamo_
koji je prvi izraz:
4 (7 10) = 4 70
U trećem izrazu koji trebate u ovom slučaju prvi
Koristite svojstvo asocijativnosti množenja:
(4 7) 10 = 4 (7 10) i zatim zamijenite njegov umnožak
značenje.
Ali možete raditi stvari drugačije, ne fokusirajući se na
prvi i drugi izraz. U ovom slučaju, broj 70 u per_
U ovom izrazu trebate ga predstaviti kao proizvod:
4 70 = 4 (7 10)
I u trećem izrazu, koristite za transform_
pozivanje kombiniranjem svojstva:
(4 7) 10 = 4 (7 10)
Organiziranje rasprave o različitim pravcima djelovanja
Vzadatak 123 , nastavnik se može usredotočiti na dijalog
Miša i Maša, koja je dovedenazadatak 124 .
gdje na dijagramu označiti poznate i nepoznate vrijednosti_
činovi. Kao rezultat, dijagram izgleda ovako:
Za računske vježbe u nastavi preporučamo
puhanjezadatak 125, izadaci 59, 60 iz SSOO br.1 .
Lekcija 3 (126–132)
Cilj– naučiti koristiti svojstvo asocijativnosti
množenje za izračune, poboljšati vještine
rješavati probleme.
126. zadatakizvodi usmeno. Njegov cilj je savršenstvo
razvoj računalnih vještina i sposobnosti primjene
asocijativno svojstvo množenja. Na primjer, uspoređivanje
izrazi a) 45 10 i 9 50, učenici razlog: broj
45 se može predstaviti kao umnožak 9 5, a zatim
zamijeni umnožak brojeva 5 10 njegovom vrijednošću.
128. zadataktakođer se odnosi na računalstvo
vježbe koje zahtijevaju aktivnu upotrebu
analiza i sinteza, usporedba, generalizacija. Formuliranje prava
Prilikom konstruiranja svakog reda većina djece koristila je_
Oni koriste koncept "povećanja za...". Na primjer: za red – 6,
12, 18, ... – “svaki sljedeći broj povećava se za 6”;
za niz – 4, 8, 12, ... – “svaki sljedeći broj se povećava_
završava na 4”, itd.
Ali moguća je i sljedeća opcija: “Da dobijem zajam_
prvi broj u svakom retku se povećava
2 puta, da dobijete treći broj u nizu, prvi
broj redova je povećan za 3 puta, četvrti za 4 puta,
peti - 5 puta, itd.
Poredajući se u redove prema ovom pravilu, učenici zapravo_
Doslovno ponavljaju sve slučajeve tabličnog množenja.
čitanje, učenici mogu crtati
shemu, odnosno „oživjeti“ shemu koju je nastavnik unaprijed pripremio
prikazat će to na ploči.
Djeca će samostalno zapisivati rješenje zadatka u bilježnicu.
U slučaju poteškoća u rješavanjuzadaci 129 reko_
Preporučujemo korištenje tehnike razgovora o gotovim rješenjima_
objašnjenja ili objašnjenja izraza napisanih prema uvjetu
ovog zadatka:
10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)
Problem 133Također je poželjno razgovarati o tome u razredu.
(1) 14 + 7 = 21 (dana) 2) 21 2 = 42 (dana))
zadaci 61, 62 TPO br.1.
Lekcija 4 (134–135)
Cilj– provjeriti vladanje vještinama stola
znanje i vještine rješavanja problema.
134, 135 .
Ciljzadaci 134 – rezimirati znanje djece o stolu
množenje, koje se može prikazati kao tablica
Pitagora. Stoga, nakon što je zadatak završen_
Ne, korisno je saznati:
a) U koje ćelije tablice se isti mogu umetnuti?
Koje brojke i zašto? (Ove ćelije su u donjem redu_
ke i u desnom stupcu, koji je zbog komut
svojstvo množenja.)
b) Može li se, bez proračuna, reći
koliko je sljedeći broj veći od prethodnog u svakoj
redak (stupac) tablice? (U gornjem (prvom) redu –
za 1, u drugom - za 2, u trećem - za 3, itd.) Ovo je uvjetno_
definirano definicijom: “množenje je zbrajanje jednog_
kov pojmovi".
Učenike također treba podsjetiti da
cijela tablica sadrži 81 ćeliju. Ovo odgovara broju
koji bi trebao biti upisan u njegovu donju desnu ćeliju.
Provjera znanja, vještina i sposobnosti učenika
Shmyreva G.G. Ispitni radovi. 3. razred. – Smolensk,
Udruga XXI stoljeće, 2004.
Razmotrimo primjer koji potvrđuje valjanost svojstva komutativnosti množenja dvaju prirodnih brojeva. Polazeći od značenja množenja dva prirodna broja, izračunajmo umnožak brojeva 2 i 6, kao i umnožak brojeva 6 i 2, te provjerimo jednakost rezultata množenja. Umnožak brojeva 6 i 2 jednak je zbroju 6+6, iz tablice zbrajanja nalazimo 6+6=12. A umnožak brojeva 2 i 6 jednak je zbroju 2+2+2+2+2+2, što je jednako 12 (po potrebi pogledajte članak o zbrajanju tri ili više brojeva). Prema tome, 6·2=2·6.
Ovdje je slika koja ilustrira komutativno svojstvo množenja dvaju prirodnih brojeva.
Kombinativno svojstvo množenja prirodnih brojeva.
Izrazimo kombinatorno svojstvo množenja prirodnih brojeva: množenje zadanog broja zadanim umnoškom dvaju brojeva isto je što i množenje zadanog broja prvim faktorom i množenje dobivenog rezultata drugim faktorom. To je, a·(b·c)=(a·b)·c, gdje a , b i c mogu biti bilo koji prirodni brojevi (u zagradama su izrazi čije se vrijednosti prve izračunavaju).
Navedimo primjer da potvrdimo svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva. Izračunajmo umnožak 4·(3·2) . Prema značenju množenja imamo 3·2=3+3=6, zatim 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. Sada pomnožimo (4·3)·2. Kako je 4·3=4+4+4=12, tada je (4·3)·2=12·2=12+12=24. Dakle, jednakost 4·(3·2)=(4·3)·2 je istinita, potvrđujući valjanost dotičnog svojstva.
Pokažimo crtež koji ilustrira svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva.
U zaključku ovog odlomka napominjemo da nam asocijativno svojstvo množenja omogućuje jedinstveno određivanje množenja tri ili više prirodnih brojeva.
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.
Sljedeće svojstvo povezuje zbrajanje i množenje. Formulira se na sljedeći način: množenje zadanog zbroja dvaju brojeva zadanim brojem isto je što i zbrajanje umnoška prvog člana i zadanog broja s umnoškom drugog člana i zadanog broja. Ovo je takozvano svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.
Koristeći slova, svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje piše se kao (a+b)c=ac+bc(u izrazu a·c+b·c prvo se izvodi množenje, a zatim zbrajanje; više detalja o tome u članku), gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi. Imajte na umu da se snaga komutativnog svojstva množenja, svojstvo distribucije množenja može zapisati u sljedeći obrazac: a·(b+c)=a·b+a·c.
Navedimo primjer koji potvrđuje svojstvo distribucije množenja prirodnih brojeva. Provjerimo valjanost jednakosti (3+4)·2=3·2+4·2. Imamo (3+4) 2=7 2=7+7=14, i 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, dakle, jednakost ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 je točno.
Pokažimo sliku koja odgovara svojstvu distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje.
Ako se pridržavamo značenja množenja, tada je umnožak 0 n, gdje je n proizvoljan prirodni broj, veći od jedan, je zbroj n članova, od kojih je svaki jednak nuli. Tako, 
. Svojstva zbrajanja omogućuju nam da kažemo da je konačni zbroj nula.
Dakle, za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost 0·n=0.
Da bi komutativnost množenja ostala valjana, prihvaćamo i valjanost jednakosti n·0=0 za bilo koji prirodni broj n.
Tako, umnožak nule i prirodnog broja je nula, to je 0 n=0 I n·0=0, gdje je n proizvoljan prirodni broj. Posljednja tvrdnja je formulacija svojstva množenja prirodnog broja i nule.
U zaključku dajemo nekoliko primjera koji se odnose na svojstvo množenja o kojem se govori u ovom paragrafu. Umnožak brojeva 45 i 0 jednak je nuli. Ako pomnožimo 0 sa 45,970, također ćemo dobiti nulu.
Sada možete sigurno početi proučavati pravila po kojima se provodi množenje prirodnih brojeva.
Bibliografija.
- Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede općeobrazovnih ustanova.
- Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.
Definirali smo zbrajanje, množenje, oduzimanje i dijeljenje cijelih brojeva. Ove akcije (operacije) imaju niz karakterističnih rezultata, koji se nazivaju svojstvima. U ovom ćemo članku pogledati osnovna svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva, iz kojih slijede sva ostala svojstva ovih radnji, kao i svojstva oduzimanja i dijeljenja cijelih brojeva.
Navigacija po stranici.
Zbrajanje cijelih brojeva ima još nekoliko vrlo važnih svojstava.
Jedan od njih vezan je za postojanje nule. Ovo svojstvo zbrajanja cijelih brojeva navodi da dodavanje nule bilo kojem cijelom broju ne mijenja taj broj. Zapišimo ovo svojstvo zbrajanja slovima: a+0=a i 0+a=a (ova jednakost vrijedi zbog komutativnosti zbrajanja), a je bilo koji cijeli broj. Možda ćete čuti da se cijeli broj nula naziva i neutralni element. Navedimo par primjera. Zbroj cijelog broja −78 i nule je −78; Ako pozitivni cijeli broj 999 dodate nuli, rezultat je 999.
Sada ćemo dati formulaciju drugog svojstva zbrajanja cijelih brojeva, koje je povezano s postojanjem suprotnog broja za bilo koji cijeli broj. Zbroj bilo kojeg cijelog broja sa svojim suprotnim brojem je nula. Dajmo doslovni oblik pisanja ovog svojstva: a+(−a)=0, gdje su a i −a suprotni cijeli brojevi. Na primjer, zbroj 901+(−901) je nula; slično, zbroj suprotnih cijelih brojeva −97 i 97 je nula.
Osnovna svojstva množenja cijelih brojeva
Množenje cijelih brojeva ima sva svojstva množenja prirodnih brojeva. Nabrojimo glavna od tih svojstava.
Baš kao što je nula neutralan cijeli broj u odnosu na zbrajanje, jedan je neutralan cijeli broj u odnosu na množenje cijelog broja. To je, množenje bilo kojeg cijelog broja s jedan ne mijenja broj koji se množi. Dakle, 1·a=a, gdje je a bilo koji cijeli broj. Posljednja jednakost može se prepisati kao a·1=a, što nam omogućuje da napravimo komutativno svojstvo množenja. Navedimo dva primjera. Umnožak cijelog broja 556 s 1 je 556; umnožak jedinice i cijelog negativnog broja −78 jednak je −78.
Sljedeće svojstvo množenja cijelih brojeva vezano je za množenje nulom. Rezultat množenja bilo kojeg cijelog broja a s nulom jednaka nuli , odnosno a·0=0 . Jednakost 0·a=0 također vrijedi zbog svojstva komutativnosti množenja cijelih brojeva. U posebnom slučaju kada je a=0, umnožak nule i nule jednak je nuli.
Za množenje cijelih brojeva vrijedi i svojstvo obrnuto prethodnom. To tvrdi umnožak dvaju cijelih brojeva jednak je nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. U doslovnom obliku, ovo se svojstvo može napisati na sljedeći način: a·b=0, ako je ili a=0, ili b=0, ili su oba a i b jednaki nuli u isto vrijeme.
Svojstvo distribucije množenja cijelih brojeva u odnosu na zbrajanje
Zajedničko zbrajanje i množenje cijelih brojeva omogućuje nam da razmotrimo svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje, koje povezuje dvije navedene radnje. Korištenje zbrajanja i množenja zajedno otvara dodatne mogućnosti koje bismo propustili ako bismo zbrajanje razmatrali odvojeno od množenja.
Dakle, svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje kaže da je umnožak cijelog broja a i zbroja dva cijela broja a i b jednak zbroju umnožaka a b i a c, tj. a·(b+c)=a·b+a·c. Isto svojstvo može se napisati u drugom obliku: (a+b)c=ac+bc .
Distribucijsko svojstvo množenja cijelih brojeva u odnosu na zbrajanje, zajedno s kombinatornim svojstvom zbrajanja, omogućuje nam da odredimo množenje cijelog broja sa zbrojem tri ili više cijelih brojeva, a zatim i množenje zbroja cijelih brojeva sa zbrojem.
Također imajte na umu da se sva druga svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva mogu dobiti iz svojstava koja smo naveli, odnosno da su posljedice gore navedenih svojstava.
Svojstva oduzimanja cijelih brojeva
Iz dobivene jednakosti, kao i iz svojstava zbrajanja i množenja cijelih brojeva, slijede sljedeća svojstva oduzimanja cijelih brojeva (a, b i c su proizvoljni cijeli brojevi):
- Oduzimanje cijelih brojeva općenito NEMA svojstvo komutativnosti: a−b≠b−a.
- Razlika jednakih cijelih brojeva je nula: a−a=0.
- Svojstvo oduzimanja zbroja dva cijela broja od zadanog cijelog broja: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Svojstvo oduzimanja cijelog broja od zbroja dvaju cijelih brojeva: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje: a·(b−c)=a·b−a·c i (a−b)·c=a·c−b·c.
- I sva ostala svojstva oduzimanja cijelih brojeva.
Svojstva dijeljenja cijelih brojeva
Dok smo razgovarali o značenju dijeljenja cijelih brojeva, saznali smo da je dijeljenje cijelih brojeva radnja obrnuta od množenja. Dali smo sljedeću definiciju: dijeljenje cijelih brojeva je pronalaženje nepoznatog faktora iz poznatog umnoška i poznatog faktora. To jest, cijeli broj c nazivamo kvocijentom dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b, kada je umnožak c·b jednak a.
Ova definicija, kao i sva svojstva operacija nad cijelim brojevima koja su gore razmotrena, omogućuju utvrđivanje valjanosti sljedećih svojstava dijeljenja cijelih brojeva:
- Nijedan cijeli broj ne može se podijeliti s nulom.
- Svojstvo dijeljenja nule s proizvoljnim cijelim brojem a koji nije nula: 0:a=0.
- Svojstvo dijeljenja jednakih cijelih brojeva: a:a=1, gdje je a bilo koji cijeli broj osim nule.
- Svojstvo dijeljenja proizvoljnog cijelog broja a s jedan: a:1=a.
- Općenito, dijeljenje cijelih brojeva NEMA svojstvo komutativnosti: a:b≠b:a .
- Svojstva dijeljenja zbroja i razlike dva cijela broja s cijelim brojem: (a+b):c=a:c+b:c i (a−b):c=a:c−b:c, gdje su a, b , i c su cijeli brojevi tako da su i a i b djeljivi sa c i c nije nula.
- Svojstvo dijeljenja umnoška dvaju cijelih brojeva a i b s cijelim brojem c koji nije nula: (a·b):c=(a:c)·b, ako je a djeljivo s c; (a·b):c=a·(b:c) , ako je b djeljiv sa c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ako su i a i b djeljivi sa c .
- Svojstvo dijeljenja cijelog broja a umnoškom dva cijela broja b i c (brojevi a , b i c su takvi da je moguće dijeljenje a sa b c): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
- Sva druga svojstva dijeljenja cijelih brojeva.
Operaciju množenja prirodnih brojeva ℕ karakterizira niz rezultata koji vrijede za sve pomnožene prirodne brojeve. Ti se rezultati nazivaju svojstvima. U ovom ćemo članku formulirati svojstva množenja prirodnih brojeva, dati njihove doslovne definicije i primjere.
Svojstvo komutativnosti često se naziva i komutativni zakon množenja. Po analogiji sa svojstvom komutativnosti za zbrajanje brojeva, formulira se na sljedeći način:
Komutativni zakon množenja
Promjena mjesta faktora ne mijenja umnožak.
U doslovnom obliku, svojstvo komutativnosti je zapisano na sljedeći način: a · b = b · a
a i b su bilo koji prirodni brojevi.
Uzmimo bilo koja dva prirodna broja i jasno pokažemo da je ovo svojstvo istinito. Izračunajmo umnožak 2 · 6. Prema definiciji djela, morate ponoviti broj 2 6 puta. Dobivamo: 2 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12. Sada zamijenimo faktore. 6 2 = 6 + 6 = 12. Očito je da je komutativni zakon zadovoljen.
Donja slika ilustrira svojstvo komutativnosti množenja prirodnih brojeva.
Drugi naziv za asocijativno svojstvo množenja je asocijativni zakon, odnosno asocijativno svojstvo. Evo njegove riječi.
Kombinacijski zakon množenja
Množenje broja a umnoškom brojeva b i c jednako je množenju umnoška brojeva a i b brojem c.
Dajmo tekst u doslovnom obliku:
a b c = a b c
Kombinacijski zakon vrijedi za tri ili više prirodnih brojeva.
Radi jasnoće, dajmo primjer. Prvo izračunajmo vrijednost 4 · 3 · 2.
4 3 2 = 4 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Sada presložimo zagrade i izračunajmo vrijednost 4 · 3 · 2.
4 3 2 = 12 2 = 12 + 12 = 24
4 3 2 = 4 3 2
Kao što vidimo, teorija se poklapa s praksom, a svojstvo je istinito.
Svojstvo asocijativnosti množenja može se ilustrirati i slikom.
Ne može se bez svojstva distributivnosti kada matematički izraz istodobno sadrži operacije množenja i zbrajanja. Ovo svojstvo definira vezu između množenja i zbrajanja prirodnih brojeva.
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje
Množenje zbroja brojeva b i c brojem a ekvivalentno je zbroju umnožaka brojeva a i b te a i c.
a b + c = a b + a c
a, b, c - bilo koji prirodni brojevi.
Sada upotrijebimo jasan primjer da pokažemo kako ovo svojstvo funkcionira. Izračunajmo vrijednost izraza 4 · 3 + 2.
4 3 + 2 = 4 3 + 4 2 = 12 + 8 = 20
S druge strane, 4 3 + 2 = 4 5 = 20. Jasno je prikazana valjanost svojstva distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.
Radi boljeg razumijevanja, evo slike koja ilustrira suštinu množenja broja sa zbrojem brojeva.
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje formulira se slično kao ovo svojstvo u odnosu na zbrajanje, samo trebate uzeti u obzir predznak operacije.
Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje
Množenje razlike brojeva b i c brojem a jednako je razlici umnožaka brojeva a i b te a i c.
Zapišimo to u doslovnom obliku:
a b - c = a b - a c
a, b, c - bilo koji prirodni brojevi.
U prethodnom primjeru zamijenite "plus" sa "minus" i napišite:
4 3 - 2 = 4 3 - 4 2 = 12 - 8 = 4
S druge strane, 4 · 3 - 2 = 4 · 1 = 4. Time se jasno pokazuje valjanost svojstva množenja prirodnih brojeva u odnosu na oduzimanje.
Množenje jedan prirodnim brojem
Množenje jedan prirodnim brojemMnoženjem jedan bilo kojim prirodnim brojem dobiva se zadani broj.
Prema definiciji operacije množenja, umnožak brojeva 1 i a jednak je zbroju u kojem se član 1 ponavlja jedanput.
1 a = ∑ i = 1 a 1
Množenje prirodnog broja a s jedan predstavlja zbroj koji se sastoji od jednog člana a. Dakle, komutativno svojstvo množenja ostaje važeće:
1 a = a 1 = a
Množenje nule prirodnim brojem
Broj 0 ne ulazi u skup prirodnih brojeva. Međutim, ima smisla razmotriti svojstvo množenja nule prirodnim brojem. Ovo se svojstvo često koristi pri množenju prirodnih brojeva stupcem.
Množenje nule prirodnim brojem
Umnožak broja 0 i bilo kojeg prirodnog broja a jednak je broju 0.
Po definiciji, umnožak 0 · a jednak je zbroju u kojem se član 0 ponavlja a puta. Prema svojstvima zbrajanja takav je zbroj jednak nuli.
Rezultat množenja jedan s nulom je nula. Umnožak nule i proizvoljno velikog prirodnog broja također rezultira nulom.
Na primjer: 0 498 = 0 ; 0 9638854785885 = 0
Vrijedi i suprotno. Umnožak broja s nulom također rezultira nulom: a · 0 = 0.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
