Zbroj kutova n-kuta Teorem. Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180 o (n-2). Dokaz. Iz nekog vrha konveksnog n-kuta povucimo sve njegove dijagonale. Tada će n-kut biti podijeljen na n-2 trokuta. U svakom trokutu zbroj kutova je 180°, a ti kutovi čine kutove n-kuta. Stoga je zbroj kutova n-kuta 180 o (n-2).
Drugi način dokazivanja teorema. Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180 o (n-2). Dokaz 2. Neka je O neka unutarnja točka konveksnog n-kuta A 1 ...A n. Spojimo ga s vrhovima ovog poligona. Tada će n-kut biti podijeljen na n trokuta. U svakom trokutu zbroj kutova je 180 stupnjeva. Ti kutovi čine kutove n-kuta i još 360 stupnjeva. Stoga je zbroj kutova n-kuta 180 o (n-2).
3. zadatak Dokažite da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta jednak 360 stupnjeva. Dokaz. Vanjski kut konveksnog mnogokuta jednak je 180° minus odgovarajući unutarnji kut. Stoga je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta jednak 180 o n minus zbroj unutarnjih kutova. Budući da je zbroj unutarnjih kutova konveksnog n-kuta jednak 180 o (n-2), tada će zbroj vanjskih kutova biti jednak 180 o n o (n-2) = 360 o.
4. zadatak Koliki su kutovi pravilnog: a) trokuta; b) četverokut; c) peterokut; d) šesterokut; e) osmerokut; f) deseterokut; g) dvanaesterokut? Odgovor: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135°; f) 144°; g) 150°.
Vježba 12* Koji najveći broj oštri kutovi može imati konveksan n-kut? Riješenje. Kako je zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta jednak 360 stupnjeva, onda konveksni mnogokut ne može imati više od tri tupa kuta, dakle, ne može imati više od tri unutarnja oštra kuta. Odgovor. 3.
Slomljen
Definicija
izlomljena linija, ili ukratko, izlomljena linija, je konačan niz segmenata takav da jedan od krajeva prvog segmenta služi kao kraj drugog, drugi kraj drugog segmenta služi kao kraj trećeg, itd. U tom slučaju susjedni segmenti ne leže na istoj ravnoj liniji. Ti se segmenti nazivaju karikama izlomljene linije.
Vrste polilinija
Izlomljena crta zove se zatvoreno, ako se početak prvog segmenta podudara s krajem posljednjeg.
Isprekidana linija može sama sebe križati, dodirivati ili se preklapati. Ako takvih singulariteta nema, onda se takva izlomljena linija naziva jednostavan.
Poligoni
Definicija
Jednostavna zatvorena izlomljena crta zajedno s dijelom ravnine koja je njome omeđena naziva se poligon.
Komentar
Na svakom vrhu mnogokuta njegove stranice određuju određeni kut mnogokuta. Može biti ili manje proširen ili više proširen.
Vlasništvo
Svaki poligon ima kut manji od $180^\circ$.
Dokaz
Neka je dan poligon $P$.
Nacrtajmo neku ravnu liniju koja ga ne siječe. Pomicat ćemo ga paralelno s poligonom. U nekom trenutku ćemo prvi put dobiti pravac $a$ koji ima barem jednu zajedničku točku s mnogokutom $P$. Poligon leži s jedne strane ovog pravca (neke njegove točke leže na pravcu $a$).
Pravac $a$ sadrži barem jedan vrh mnogokuta. Dvije njegove stranice, koje se nalaze s jedne strane pravca $a$, konvergiraju u njemu (uključujući i slučaj kada jedna od njih leži na tom pravcu). To znači da je u ovom vrhu kut manji od rasklopljenog.
Definicija
Poligon se zove konveksan, ako leži s jedne strane svakog pravca koji sadrži njegovu stranicu. Ako poligon nije konveksan, zove se nekonveksan.
Komentar
Konveksni mnogokut je sjecište poluravnina omeđenih linijama koje sadrže stranice mnogokuta.
Svojstva konveksnog mnogokuta
Konveksni mnogokut ima sve kutove manje od $180^\circ$.
Odsječak koji povezuje bilo koje dvije točke konveksnog poligona (osobito bilo koju njegovu dijagonalu) sadržan je u ovom mnogokutu.
Dokaz
Dokažimo prvo svojstvo
Uzmimo bilo koji kut $A$ konveksnog mnogokuta $P$ i njegovu stranicu $a$ koja izlazi iz vrha $A$. Neka je $l$ pravac koji sadrži stranicu $a$. Budući da je mnogokut $P$ konveksan, on leži s jedne strane pravca $l$. Prema tome, njegov kut $A$ također leži s jedne strane ovog pravca. To znači da je kut $A$ manji od razvijenog kuta, odnosno manji od $180^\circ$.
Dokažimo drugo svojstvo
Uzmite bilo koje dvije točke $A$ i $B$ konveksnog poligona $P$. Poligon $P$ je presjek više poluravnina. Odsječak $AB$ nalazi se u svakoj od tih poluravnina. Dakle, on je također sadržan u mnogokutu $P$.
Definicija
Dijagonala mnogokuta naziva segment koji povezuje njegove nesusjedne vrhove.
Teorem (o broju dijagonala n-kuta)
Broj dijagonala konveksnog $n$-kuta izračunava se formulom $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Dokaz
Iz svakog vrha n-kuta moguće je povući $n-3$ dijagonala (ne možete povući dijagonalu na susjedne vrhove ili na sam vrh). Ako prebrojimo sve takve moguće segmente, bit će ih $n\cdot(n-3)$, budući da ima $n$ vrhova. Ali svaka dijagonala će se brojati dva puta. Dakle, broj dijagonala n-kuta jednak je $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Teorem (o zbroju kutova n-kuta)
Zbroj kutova konveksnog $n$-kuta je $180^\circ(n-2)$.
Dokaz
Razmotrimo $n$-kut $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Uzmimo proizvoljnu točku $O$ unutar tog poligona.
Zbroj kutova svih trokuta $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ jednak je $180^\circ\cdot n$.
S druge strane, ovaj zbroj je zbroj svih unutarnjih kutova mnogokuta i ukupnog kuta $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Tada je zbroj kutova $n$-kuta koji se razmatra jednak $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Posljedica
Zbroj kutova nekonveksnog $n$-kuta je $180^\circ(n-2)$.
Dokaz
Promotrimo mnogokut $A_1A_2\ldots A_n$, čiji jedini kut $\angle A_2$ nije konveksan, odnosno $\angle A_2>180^\circ$.
Označimo zbroj njegovog ulova sa $S$.
Spojimo točke $A_1A_3$ i razmotrimo poligon $A_1A_3\ldots A_n$.
Zbroj kutova ovog poligona je:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kut A_2+\kut 1+\kut 2=S-\kut A_2+180^\circ-\kut A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \kut A_1A_2A_3+\kut A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Prema tome, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Ako izvorni poligon ima više od jednog nekonveksnog kuta, tada se gore opisana operacija može izvesti sa svakim takvim kutom, što će dovesti do dokaza tvrdnje.
Teorem (o zbroju vanjskih kutova konveksnog n-kuta)
Zbroj vanjskih kutova konveksnog $n$-kuta je $360^\circ$.
Dokaz
Vanjski kut pri vrhu $A_1$ jednak je $180^\circ-\angle A_1$.
Zbroj svih vanjskih kutova jednak je:
$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.
Unutarnji kut mnogokuta je kut koji čine dvije susjedne stranice mnogokuta. Na primjer, ∠ ABC je unutarnji kut.
Vanjski kut poligona je kut koji čine jedna stranica mnogokuta i nastavak druge stranice. Na primjer, ∠ L.B.C. je vanjski kut.
Broj kutova mnogokuta uvijek je jednak broju njegovih stranica. To se odnosi i na unutarnje i na vanjske kutove. Iako se za svaki vrh mnogokuta mogu konstruirati dva jednaka vanjska kuta, uvijek se u obzir uzima samo jedan od njih. Stoga, da biste pronašli broj kutova bilo kojeg mnogokuta, morate prebrojati broj njegovih strana.
Zbroj unutarnjih kutova
Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je umnošku 180° i broja stranica minus dva.
s = 2d(n - 2)
Gdje s je zbroj kutova, 2 d- dva prava kuta (tj. 2 90 = 180°), i n- broj strana.
Ako crtamo odozgo A poligon A B C D E F sve moguće dijagonale, a zatim ga podijelimo na trokute, čiji će broj biti dva manji od stranica poligona:
Stoga će zbroj kutova mnogokuta biti jednak zbroju kutova svih nastalih trokuta. Budući da je zbroj kutova svakog trokuta 180° (2 d), tada će zbroj kutova svih trokuta biti jednak umnošku 2 d po njihovoj količini:
s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°
Iz ove formule slijedi da je zbroj unutarnjih kutova konstantna vrijednost a ovisi o broju stranica mnogokuta.
Zbroj vanjskih kutova
Zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta je 360° (ili 4 d).
s = 4d
Gdje s je zbroj vanjskih kutova, 4 d- četiri prava kuta (odnosno 4 90 = 360°).
Zbroj vanjskih i unutarnjih kutova na svakom vrhu mnogokuta je 180° (2 d), budući da su susjedni kutovi. Na primjer, ∠ 1 i ∠ 2 :
Prema tome, ako poligon ima n stranke (i n vrhova), zatim zbroj vanjskih i unutarnjih kutova za sve n vrhovi će biti jednaki 2 dn. Tako da od ovog iznosa 2 dn da biste dobili samo zbroj vanjskih kutova, od njega trebate oduzeti zbroj unutarnjih kutova, odnosno 2 d(n - 2):
s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
