Definicija polumjera upisane kružnice. Formula za polumjer kruga upisanog u trokut. Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Kružnica upisana u trokut

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se na definiciju simetrale kutova .

Definicija 1 .Simetrala kuta zove se zraka koja dijeli kut na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale kuta) . Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od stranica kuta (slika 1).

Riža. 1

Dokaz D , koji leži na simetrali kutaBAC , I DE I DF na stranama ugla (slika 1).Pravokutni trokuti ADF I ADE jednak , budući da imaju jednake oštre kutoveDAF I DAE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorem 2 (suprotno teoremu 1) . Ako neki, onda leži na simetrali kuta (slika 2).

Riža. 2

Dokaz . Promotrimo proizvoljnu točkuD , koji leži unutar kutaBAC a nalaze se na istoj udaljenosti od stranica kuta. Spustimo se s temeD okomice DE I DF na stranama ugla (slika 2).Pravokutni trokuti ADF I ADE jednak , budući da imaju jednake nogeDF I DE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u kut , ako su to strane ovog kuta.

Teorem 3 . Ako je kutu upisana kružnica, tada su udaljenosti od vrha kuta do dodirnih točaka kružnice sa stranicama kuta jednake.

Dokaz . Neka točka D – središte kružnice upisane kutuBAC , i bodova E I F – dodirne točke kružnice sa stranicama kuta (sl. 3).

sl.3

a , b , c - stranice trokuta,  S -kvadrat,

r – polumjer upisane kružnice,  str – poluperimetar

Pregledajte izlaz formule

a – bočna stranica jednakokračnog trokuta ,   b – baza, r – polumjer upisane kružnice

a r – polumjer upisane kružnice

Pregledajte izlaz formule

Gdje

zatim, u slučaju jednakokračnog trokuta, kada

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Teorem 7 . Za ravnopravnost

Gdje a – stranica jednakostraničnog trokuta,r – polumjer upisane kružnice (slika 8).

Riža. 8

Dokaz .

tada, u slučaju jednakostraničnog trokuta, kada

b = a,

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Komentar . Kao vježbu preporučam izravno izvođenje formule za polumjer kružnice upisane u jednakostranični trokut, tj. bez upotrebe opće formule za polumjere kružnica upisanih u proizvoljni trokut ili u jednakokračni trokut.

Teorem 8 . Za pravokutni trokut vrijedi jednakost:

Gdje a , b – katete pravokutnog trokuta, c – hipotenuza , r – polumjer upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Riža. 9

Budući da četverokutCDOF je , koji ima susjedne straneČINI I OD su jednaki, onda je ovaj pravokutnik . Stoga,

CB = CF= r,

Na temelju teorema 3 vrijede sljedeće jednakosti:

Stoga, također uzimajući u obzir , dobivamo

što je i bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Krug upisan u trokut."

Jednakokračnom trokutu upisana kružnica dijeli jednu od bočnih stranica u točki dodira na dva odsječka duljine 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Nađi opseg trokuta.

U trokutu ABC AC=4, BC=3, kut C je 90º. Nađi polumjer upisane kružnice.

Krakovi jednakokračnog pravokutnog trokuta su 2+. Odredi polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Odredite hipotenuzu c tog trokuta. Molimo navedite c(–1) u svom odgovoru.

Predstavljamo niz problema s jedinstvenog državnog ispita s rješenjima.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu jednak je . Pronađite hipotenuzu ovog trokuta. Navedite u svom odgovoru.

Trokut je pravokutan i jednakokračan. To znači da su mu noge iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza jednaka.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobivamo to. Jer, shvaćamo to. Zatim.

Pisat ćemo u odgovoru.

Odgovor:.

Zadatak 2.

1. U slobodnoj su dvije stranice od 10cm i 6cm (AB i BC). Odredi polumjere opisane i upisane kružnice
Problem se samostalno rješava uz komentiranje.

Riješenje:

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Nađi polumjere opisane i upisane kružnice

Riješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kruga upisanog u kvadrat je. Odredi polumjer kruga opisanog oko tog kvadrata.S obzirom :

Pronaći: OS=?
Riješenje: U ovom slučaju, problem se može riješiti pomoću Pitagorinog teorema ili formule za R. Drugi slučaj će biti jednostavniji, budući da je formula za R izvedena iz teorema.

Zadatak 7.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Nađite hipotenuzuS ovaj trokut. Navedite u svom odgovoru.

S – površina trokuta

Ne znamo ni stranice trokuta ni njegovu površinu. Označimo noge kao x, tada će hipotenuza biti jednaka:

A površina trokuta bit će 0,5x 2 .

Sredstva

Dakle, hipotenuza će biti jednaka:

U odgovoru trebate napisati:

Odgovor: 4

Zadatak 8.

U trokutu ABC AC = 4, BC = 3, kut C jednako 90 0. Nađi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S – površina trokuta

Dvije stranice su poznate (to su katete), treću možemo izračunati (hipotenuza), a možemo izračunati i površinu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Pronađimo područje:

Tako:

Odgovor: 1

Zadatak 9.

Stranice jednakokračnog trokuta su 5, a osnovica 6. Odredi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S – površina trokuta

Sve strane su poznate, izračunajmo površinu. Možemo ga pronaći pomoću Heronove formule:

Zatim

Promotrimo kružnicu upisanu u trokut (slika 302). Podsjetimo se da se njegovo središte O nalazi u sjecištu simetrala unutarnjih kutova trokuta. Odsječci OA, OB, OC koji spajaju O s vrhovima trokuta ABC podijelit će trokut na tri trokuta:

AOV, VOS, SOA. Visina svakog od ovih trokuta jednaka je polumjeru, pa će stoga njihove površine biti izražene kao

Površina cijelog trokuta S jednaka je zbroju ove tri površine:

gdje je poluopseg trokuta. Odavde

Polumjer upisane kružnice jednak je omjeru površine trokuta i njegovog poluperimetra.

Da bismo dobili formulu za polumjer opisan trokut, dokažemo sljedeću tvrdnju.

Teorem a: U svakom trokutu stranica je jednaka promjeru opisane kružnice pomnoženoj sa sinusom suprotnog kuta.

Dokaz. Promotrimo proizvoljni trokut ABC i oko njega opisanu kružnicu čiji ćemo polumjer označiti s R (slika 303). Neka je A šiljasti kut trokuta. Nacrtajmo polumjere OB, OS kružnice i spustimo okomicu OK iz njezina središta O na stranicu BC trokuta. Imajte na umu da se kut a trokuta mjeri polovicom luka BC, za koji je kut BOC središnji kut. Iz ovoga je jasno da . Dakle, iz pravokutnog trokuta RNS nalazimo , odnosno , što smo i trebali dokazati.

Dati fig. 303. a obrazloženje se odnosi na predmet oštar kut trokut; Lako bi bilo izvesti dokaz za slučajeve pravog i tupog kuta (čitatelj će to učiniti sam), ali možete koristiti teorem sinusa (218.3). Budući da mora biti odakle

Sinusni teorem je također napisan u. oblik

a usporedba s notnim oblikom (218.3) daje za

Polumjer opisane kružnice jednak je omjeru umnoška triju stranica trokuta i njegove četverostruke površine.

Zadatak. Odredite stranice jednakokračnog trokuta ako njegova upisana i opisana kružnica imaju polumjere

Riješenje. Napišimo formule koje izražavaju polumjere upisane i opisane kružnice trokuta:

Za jednakokračni trokut sa stranicom i osnovicom, površina se izražava formulom

ili, smanjujući razlomak za faktor različit od nule, imamo

to dovodi do kvadratna jednadžba relativno

Ima dva rješenja:

Zamjenom umjesto njegovog izraza u bilo kojoj od jednadžbi za ili R, konačno ćemo pronaći dva odgovora na naš problem:

Vježbe

1. Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravi kut, delnt hipotenuza u odnosu Pronađite odnos svake od kateta prema hipotenuzi.

2. Osnovice jednakokračnog trapeza opisane kružnice jednake su a i b. Nađi polumjer kružnice.

3. Dvije se kružnice dodiruju izvana. Njihove zajedničke tangente nagnute su prema središnoj liniji pod kutom od 30°. Duljina tangente između tangentnih točaka je 108 cm.Odredi polumjere kružnica.

4. Krakovi pravokutnog trokuta jednaki su a i b. Odredite površinu trokuta čije su stranice visina i medijan zadanog trokuta izvučene iz vrha pravog kuta, te segment hipotenuze između točaka njihova sjecišta s hipotenuzom.

5. Stranice trokuta su 13, 14, 15. Nađite projekciju svake od njih na druge dvije.

6. Poznate su stranica i visine trokuta.Odredite stranice b i c.

7. Poznate su dvije stranice trokuta i središnja.Nađite treću stranicu trokuta.

8. Zadane su dvije stranice trokuta i kut a između njih: Odredi polumjere upisane i opisane kružnice.

9. Poznate su stranice trokuta a, b, c. Na koje ih segmente dijele dodirne točke upisane kružnice sa stranicama trokuta?

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma. Naime:

Dijagonale romba su međusobno okomite.
Dijagonale romba simetrale su njegovih unutarnjih kutova.

Četverokutu se može upisati kružnica ako i samo ako su zbrojevi suprotnih stranica jednaki.
Dakle, u svaki romb se može upisati kružnica. Središte upisane kružnice poklapa se sa središtem sjecišta dijagonala romba.
Polumjer upisane kružnice u romb možemo izraziti na više načina

1 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu

Visina romba jednaka je promjeru upisane kružnice. To proizlazi iz svojstva pravokutnika, kojega čine promjer upisane kružnice i visina romba - nasuprotne stranice pravokutnika su jednake.

Dakle, formula za polumjer upisane kružnice u romb u smislu visine:

Metoda 2. Polumjer upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Površina romba može se izraziti polumjerom upisane kružnice
, Gdje R– opseg romba. Znajući da je opseg zbroj svih stranica četverokuta, imamo P= 4×a. Zatim
Ali površina romba također je jednaka polovici proizvoda njegovih dijagonala
Izjednačavanjem desnih strana formule površine dobivamo sljedeću jednakost
Kao rezultat toga dobivamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje polumjera upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Primjer izračuna polumjera kružnice upisane u romb ako su poznate dijagonale
Odredi polumjer kružnice upisane u romb ako je poznato da su duljine dijagonala 30 cm i 40 cm.
Neka ABCD-romb, dakle A.C. I BD njegove dijagonale. AC= 30 cm ,BD=40 cm
Neka točka OKO– središte je upisanog u romb ABCD krug, tada će to također biti točka sjecišta njegovih dijagonala, dijeleći ih na pola.

budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom, onda trokut AOB pravokutan. Zatim, po Pitagorinom teoremu
, zamijenite prethodno dobivene vrijednosti u formulu

AB= 25 cm
Primjenjujući prethodno izvedenu formulu za polumjer opisane kružnice u rombu, dobivamo

3 načina. Polumjer upisane kružnice u romb kroz segmente m i n

Točka F– dodirna točka kruga sa stranicom romba, koja ga dijeli na segmente A.F. I B.F.. Neka AF=m, BF=n.
Točka O– središte presjeka dijagonala romba i središte u njega upisane kružnice.
Trokut AOB– pravokutni, jer se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom.
, jer je polumjer povučen na tangentu kružnice. Stoga OD– visina trokuta AOB na hipotenuzu. Zatim A.F. I BF projekcije kateta na hipotenuzu.
Visina u pravokutnom trokutu, spuštena na hipotenuzu, prosječni je proporcionalni dio između projekcija kateta na hipotenuzu.

Formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz odsječke jednaka je kvadratnom korijenu produkta tih odsječaka na koje dodirna točka kružnice dijeli stranicu romba

Ako se kružnica nalazi unutar kuta i dodiruje njegove stranice, naziva se upisana u taj kut. Središte tako upisane kružnice nalazi se na simetrala ovog kuta.

Ako ona leži unutra konveksni poligon i u dodiru je sa svim svojim stranicama, kaže se da je upisan u konveksni poligon.

Kružnica upisana u trokut

Kružnica upisana u trokut dodiruje svaku stranu ovog lika samo u jednoj točki. U jedan trokut može biti upisana samo jedna kružnica.

Polumjer takvog kruga ovisit će o sljedećim parametrima trokuta:

Duljine stranica trokuta.
Njegovo područje.
Njegov opseg.
Mjerenje kutova trokuta.

Da bi se izračunao polumjer upisane kružnice u trokut, nije uvijek potrebno poznavati sve gore navedene parametre, jer su oni međusobno povezani kroz trigonometrijske funkcije.

Izračun pomoću poluperimetra

Ako su poznate duljine svih stranica geometrijski lik(označavamo ih slovima a, b i c), tada ćete polumjer morati izračunati vađenjem kvadratnog korijena.
Prilikom pokretanja izračuna potrebno je početnim podacima dodati još jednu varijablu - poluopseg (p). Može se izračunati tako da se zbroje sve duljine i dobiveni zbroj podijeli s 2. p = (a+b+c)/2. Na taj se način formula za određivanje radijusa može značajno pojednostaviti.
Općenito, formula treba sadržavati znak radikala pod kojim se nalazi razlomak; nazivnik ovog razlomka bit će vrijednost poluperimetra p.
Brojnik ovog razlomka bit će umnožak razlika (p-a)*(p-b)*(p-c)
Dakle, puni oblik formule bit će prikazan na sljedeći način: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Izračun uzimajući u obzir površinu trokuta

Ako znamo površina trokuta i duljine svih njegovih stranica, to će nam omogućiti da pronađemo polumjer kruga koji nas zanima bez pribjegavanja vađenju korijena.

Prvo morate udvostručiti površinu.
Rezultat se dijeli sa zbrojem duljina svih stranica. Tada će formula izgledati ovako: r = 2*S/(a+b+c).
Ako koristite vrijednost poluperimetra, možete dobiti vrlo jednostavnu formulu: r = S/p.

Računanje pomoću trigonometrijskih funkcija

Ako tvrdnja problema sadrži duljinu jedne od stranica, veličinu suprotnog kuta i opseg, možete koristiti trigonometrijska funkcija- tangenta. U ovom slučaju formula za izračun izgledat će ovako:

r = (P /2- a)* tg (α/2), gdje je r željeni polumjer, P je opseg, a je duljina jedne od stranica, α je vrijednost suprotne stranice, a kut.

Polumjer kružnice koju treba upisati u pravilan trokut može se pronaći pomoću formule r = a*√3/6.

Kružnica upisana u pravokutni trokut

Možete stati u pravokutni trokut samo jedan krug. Središte takve kružnice istovremeno služi i kao sjecište svih simetrala. Ova geometrijska figura ima neke karakteristične značajke koje se moraju uzeti u obzir pri izračunavanju polumjera upisanog kruga.

Prvo morate sastaviti pravokutni trokut sa zadanim parametrima. Takvu figuru možete konstruirati prema veličini jedne strane i vrijednostima dvaju kutova ili prema dvjema stranama i kutu između tih strana. Svi ti parametri moraju biti navedeni u uvjetima zadatka. Trokut je označen kao ABC, gdje je C vrh pravog kuta. Noge su označene varijablama, A I b, a hipotenuza je varijabla S.
Za konstruiranje klasične formule i izračunavanje polumjera kruga potrebno je pronaći dimenzije svih stranica lika opisanog u tekstu zadatka i iz njih izračunati poluopseg. Ako uvjeti daju veličine dviju kateta, možete ih koristiti za izračunavanje veličine hipotenuze na temelju Pitagorinog poučka.
Ako uvjet daje veličinu jedne noge i jednog kuta, potrebno je razumjeti je li taj kut susjedan ili suprotan. U prvom slučaju, hipotenuza se nalazi pomoću sinusnog teorema: c=a/sinSAV, u drugom slučaju primjenjuje se kosinusni teorem c=a/cosCBA.
Kada su svi izračuni dovršeni i vrijednosti svih strana su poznate, poluopseg se nalazi pomoću gore opisane formule.
Znajući veličinu poluperimetra, možete pronaći polumjer. Formula je razlomak. Njegov brojnik je umnožak razlika između poluopsega i svake stranice, a nazivnik je vrijednost poluobuha.

Treba napomenuti da je brojnik ove formule pokazatelj površine. U ovom slučaju, formula za pronalaženje radijusa je mnogo jednostavnija - dovoljno je podijeliti područje poluperimetrom.

Moguće je odrediti površinu geometrijske figure čak i ako su poznate obje strane. Zbroj kvadrata tih kateta koristi se za pronalaženje hipotenuze, a zatim se izračunava poluopseg. Površinu možete izračunati množenjem vrijednosti nogu jedne s drugima i dijeljenjem rezultata s 2.

Ako su u uvjetima dane duljine i kateta i hipotenuze, radijus se može odrediti pomoću vrlo jednostavne formule: za to se duljine kateta zbrajaju, a duljina hipotenuze oduzima se od rezultirajućeg broj. Rezultat mora biti podijeljen na pola.