У попередніх завданнях на рух в одному напрямку рух тіл починався одночасно з одного й того ж пункту. Розглянемо розв'язання задач на рух в одному напрямку, коли рух тіл починається одночасно, але з різних пунктів.
Нехай із пунктів А і В, відстань між якими 21 км, виходять одночасно велосипедист та пішохід та йдуть в одному напрямку: пішохід зі швидкістю 5 км на годину, велосипедист 12 км на годину
12 км на годину 5 км на годину
А В
Відстань між велосипедистом та пішоходом у момент початку їхнього руху 21 км. За годину їх спільного рухув одному напрямку відстань між ними зменшиться на 12-5 = 7 (км). 7 км на годину – швидкість зближення велосипедиста та пішохода:
А В
Знаючи швидкість зближення велосипедиста та пішохода, неважко дізнатися, на скільки кілометрів зменшиться відстань між ними через 2 год, 3 год їхнього руху в одному напрямку.
7*2=14 (км) – на 14 км зменшиться відстань між велосипедистом та пішоходом через 2 год;
7*3=21 (км) – на 21 км зменшиться відстань між велосипедистом та пішоходом через 3 год.
З кожною годиною відстань між велосипедистом та пішоходом зменшується. Через 3 год відстань з-поміж них стає рівним 21-21=0, тобто. велосипедист наздожене пішохода:
А В
У завданнях "на догонку" маємо справу з величинами:
1) відстань між пунктами, з яких починається одночасний рух;
2) швидкість зближення
3) час з початку руху до моменту, коли одне з рухомих тіл наздожене інше.
Знаючи значення двох із цих трьох величин, можна визначити значення третьої величини.
У таблиці записані умови та розв'язання завдань, які можна скласти на “на догонку” велосипедистом пішохода:
|
Швидкість зближення велосипедиста та пішохода за кілометр на годину |
Час з моменту початку руху до моменту, коли велосипедист наздожене пішохода, у годиннику |
Відстань від А до В км | ||
Виразимо залежність між цими величинами формулою. Позначимо через відстань між пунктами, - швидкість зближення, час з виходу досі, коли одне тіло наздожене інше.
У завданнях "на догонку" найчастіше швидкість зближення не дається, але її легко можна знайти за даними завдання.
Завдання. Велосипедист та пішохід вийшли одночасно в одному напрямку з двох колгоспів, відстань між якими 24 км. Велосипедист їхав зі швидкістю 11 км за годину, а пішохід йшов зі швидкістю 5 км за годину. Через скільки годин після свого виходу велосипедист наздожене пішохода?
Щоб знайти, через скільки часу після свого виходу велосипедист наздожене пішохода, потрібну відстань, яка була між ними на початку руху, розділити на швидкість зближення; швидкість зближення дорівнює різниці швидкостей велосипедиста та пішохода.
Формула рішення: = 24: (11-5); = 4.
Відповідь. Через 4 год велосипедист наздожене пішохода. Умови та рішення обернених завдань записані в таблиці:
|
Швидкість велосипедиста за кілометр на годину |
Швидкість пішохода за кілометр на годину |
Відстань між колгоспами у км |
Час на годину | ||
Кожна з цих завдань може бути вирішена й іншими способами, але вони будуть порівняно з цими нераціональними рішеннями.
2.ШВИДКІСТЬ ТІЛА. ПРАМОЛИНІЙНИЙ РІВНОМІРНИЙ РУХ.
Швидкість- Це кількісна характеристика руху тіла.
Середня швидкість– це фізична величина, що дорівнює відношенню вектора переміщення точки до проміжку часу Δt, за який відбулося це переміщення. Напрямок вектора середньої швидкості збігається із напрямком вектора переміщення. Середня швидкість визначається за такою формулою:
Миттєва швидкість, тобто швидкість у момент часу – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:
Іншими словами, миттєва швидкістьу час – це ставлення дуже малого переміщення до дуже малого проміжку часу, протягом якого це переміщення сталося.
Вектор миттєвої швидкості спрямований по траєкторії руху тіла (рис. 1.6).
Мал. 1.6. Миттєва швидкість вектор.
В системі СІ швидкість вимірюється в метрах на секунду, тобто одиницею швидкості прийнято вважати швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, при якому за секунду тіло проходить шлях в один метр. Одиниця виміру швидкості позначається м/с. Часто швидкість вимірюють в інших одиницях. Наприклад, при вимірі швидкості автомобіля, поїзда тощо. зазвичай використовується одиниця виміру кілометр на годину:
1 км/год = 1000 м/3600 с = 1 м/3,6 с
1 м/с = 3600 км/1000 год = 3,6 км/год
Додавання швидкостей (можливо не обов'язково те саме питання буде і в 5).
Швидкості руху тіла у різних системах відліку пов'язує між собою класичний закон складання швидкостей.
Швидкість тіла щодо нерухомої системи відлікудорівнює сумі швидкостей тіла в рухомий системі відлікута самої рухомої системи відліку щодо нерухомої.
Наприклад, пасажирський поїзд рухається залізницею зі швидкістю 60 км/год. вагоном цього поїзда йде людина зі швидкістю 5 км/год. Якщо вважати залізницю нерухомою та прийняти її за систему відліку, то швидкість людини щодо системи відліку (тобто відносно залізниці), дорівнюватиме складання швидкостей поїзда і людини, тобто
60 + 5 = 65, якщо людина йде в тому ж напрямку, що й поїзд
60 – 5 = 55, якщо людина та поїзд рухаються у різних напрямках
Однак це справедливо лише в тому випадку, якщо людина та поїзд рухаються по одній лінії. Якщо ж людина рухатиметься під кутом, то доведеться враховувати цей кут, згадавши, що швидкість – це Векторна величина.
Червоним виділено приклад + Закон складання переміщення (думаю це не треба вчити, але для загального розвитку можна і прочитати)
А тепер розглянемо описаний вище приклад докладніше – з деталями та картинками.
Отже, у нашому випадку залізниця – це нерухома система відліку. Потяг, який рухається цією дорогою – це рухома система відліку. Вагон, яким йде людина, є частиною поїзда.
Швидкість людини щодо вагона (щодо рухомої системи відліку) дорівнює 5 км/год. Позначимо її літерою Ч.
Швидкість поїзда (а отже, і вагона) щодо нерухомої системи відліку (тобто щодо залізниці) дорівнює 60 км/год. Позначимо її літерою У. Інакше висловлюючись, швидкість поїзда – це швидкість рухомий системи відліку щодо нерухомої системи отсчёта.
Швидкість людини щодо залізниці (щодо нерухомої системи відліку) нам поки що невідома. Позначимо її літерою.
Зв'яжемо з нерухомою системою відліку (рис. 1.7) систему координат ХОY, а з рухомою системою відліку – систему координат X П О П Y П. А тепер спробуємо знайти швидкість людини щодо нерухомої системи відліку, тобто щодо залізниці.
За малий проміжок часу Δt відбуваються такі події:
Тоді за цей проміжок часу переміщення людини щодо залізниці:
Це закон складання переміщень. У нашому прикладі переміщення людини щодо залізниці дорівнює сумі переміщень людини щодо вагона та вагона щодо залізниці.
Мал. 1.7. Закон складання переміщень.
Закон складання переміщень можна записати так:
= Δ Ч Δt + Δ B Δt
Швидкість людини щодо залізниці дорівнює:
Швидкість людини щодо вагона:
Δ Ч = Ч / Δt
Швидкість вагона щодо залізниці:
Тому швидкість людини щодо залізниці дорівнюватиме:
Це законскладання швидкостей:
Рівномірний рух– це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).
Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.
Рівномірний прямолінійний рух- Це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.
Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:
Швидкість рівномірного прямолінійного руху– це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:
Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.
Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:
Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:
v x = v, тобто v > 0
Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:
s = vt = x - x 0
де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)
Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:
Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.
§ 1 Формула одночасного руху
З формулами одночасного руху ми стикаємося під час вирішення завдань на одночасне рух. Вміння вирішувати те чи інше завдання на рух залежить від деяких факторів. Насамперед, необхідно розрізняти основні типи завдань.
Завдання на одночасний рух умовно поділяються на 4 типи: завдання на зустрічний рух, завдання на рух протилежних напрямках, Завдання на рух навздогін і задачі на рух з відставанням.
Основними компонентами цих типів завдань є:
пройдений шлях - S, швидкість -, час - t.
Залежність між ними виражається формулами:
S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.
Крім названих основних компонентів при вирішенні завдань на рух ми можемо зіткнутися з такими компонентами, як: швидкість першого об'єкта - 1, швидкість другого об'єкта - 2, швидкість зближення - бл., швидкість видалення - уд., час зустрічі - tвстр., Початкова відстань - S0 і т.д.
§ 2 Завдання на зустрічний рух
При розв'язанні задач даного типу застосовуються такі компоненти: швидкість першого об'єкта - 1; швидкість другого об'єкта - 2; швидкість зближення - небл.; час до зустрічі - tвстр.; шлях (відстань), пройдений першим об'єктом – S1; шлях (відстань), пройдений другим об'єктом – S2; весь шлях, пройдений обома об'єктами - S.
Залежність між компонентами завдань на зустрічний рух виражається такими формулами:
1.первинне відстань між об'єктами можна обчислити за такими формулами: S = ʋсбл. · tвстр. або S = S1 + S2;
2.Швидкість зближення знаходиться за формулами: небл. = S: tвстр. або збл. = ?1 + ?2;
3.час зустрічі обчислюється так:
Два теплоходи пливуть назустріч один одному. Швидкості теплоходів 35 км/год та 28 км/год. Через який час вони зустрінуться, якщо відстань між ними становить 315 км?
?1 = 35 км/год, ?2 = 28 км/год, S = 315 км, tвстр. =? год.
Щоб знайти час зустрічі, необхідно знати початкову відстань та швидкість зближення, оскільки tвстр. = S: небл. Оскільки відстань відома за умовою завдання, знайдемо швидкість зближення. збл. = ?1 + ?2 = 35 + 28 = 63 км/год. Тепер можемо знайти й час зустрічі. tвстр. = S: ?сбл = 315: 63 = 5 год. Отримали, що теплоходи зустрінуться через 5 годин.
§ 3 Завдання на рух навздогін
При розв'язанні задач даного типу застосовуються такі компоненти: швидкість першого об'єкта - 1; швидкість другого об'єкта - 2; швидкість зближення - небл.; час до зустрічі - tвстр.; шлях (відстань), пройдений першим об'єктом – S1; шлях (відстань), пройдений другим об'єктом – S2; початкова відстань між об'єктами – S.
Схема до завдань такого типу виглядає так:
Залежність між компонентами задач на рух навздогін виражається такими формулами:
1.Початкову відстань між об'єктами можна обчислити за такими формулами:
S = небл. · tвстр.або S = S1 - S2;
2.Швидкість зближення знаходиться за формулами: небл. = S: tвстр. або збл. = ?1 - ?2;
3. Час зустрічі обчислюється так:
tвстр. = S: небл., tвстр. = S1: ʋ1 або tвстр. = S2: ʋ2.
Розглянемо застосування даних формул з прикладу наступного завдання.
Тигр погнався за оленем і наздогнав його за 7 хвилин. Якою є початкова відстань між ними, якщо швидкість тигра дорівнює 700 м/хв, а швидкість оленя - 620 м/хв?
?1 = 700 м/хв, ?2 = 620 м/хв, S = ? м, tвстр. = 7 хв.
Щоб знайти початкову відстань між тигром та оленем, необхідно знати час зустрічі та швидкість зближення, оскільки S = tвстр. · Несбл. Оскільки час зустрічі відомий за умовою завдання, знайдемо швидкість зближення. збл. = ?1 - ?2 = 700 - 620 = 80 м / хв. Тепер можемо знайти й шукану початкову відстань. S = tвстр. · нсбл = 7 · 80 = 560 м. Отримали, що початкова відстань між тигром і оленем становила 560 метрів.
§ 4 Завдання на рух у протилежних напрямках
При розв'язанні задач даного типу застосовуються такі компоненти: швидкість першого об'єкта - 1; швидкість другого об'єкта - 2; швидкість видалення - уд.; час у дорозі - t.; шлях (відстань), пройдений першим об'єктом – S1; шлях (відстань), пройдений другим об'єктом – S2; початкова відстань між об'єктами – S0; відстань, яка буде між об'єктами через певний час – S.
Схема до завдань такого типу виглядає так:
Залежність між компонентами завдань на рух у протилежних напрямках виражається такими формулами:
1. Кінцеву відстань між об'єктами можна обчислити за такими формулами:
S = S0 + ʋуд. · t або S = S1 + S2 + S0; а початкова відстань - за формулою: S0 = S - уд. · t.
2.Швидкість видалення знаходиться за формулами:
уд. = (S1 + S2): t абоуд. = ?1 + ?2;
3.Час у дорозі обчислюється так:
t = (S1 + S2): невуд., t = S1: 1 або t = S2: 2.
Розглянемо застосування даних формул з прикладу наступного завдання.
Два автомобілі виїхали з автопарків одночасно у протилежних напрямках. Швидкість одного – 70 км/год, іншого – 50 км/год. Яка відстань між ними буде через 4 години, якщо відстань між автопарками становить 45 км?
?1 = 70 км/год, ?2 = 50 км/год, S0 = 45 км, S = ? км, t = 4 год.
Щоб знайти відстань між автомобілями в кінці шляху, необхідно знати час у дорозі, початкова відстань і швидкість видалення, оскільки S = nуд. · t+ S0Оскільки час та початкова відстань відомі за умовою завдання, знайдемо швидкість видалення. уд. = ?1 + ?2 = 70 + 50 = 120 км/год. Тепер можемо знайти й відстань. S = невд. · t + S0 = 120 · 4 + 45 = 525 км. Отримали, що через 4 години між автомобілями буде відстань 525 км.
§ 5 Завдання на рух із відставанням
При розв'язанні задач даного типу застосовуються такі компоненти: швидкість першого об'єкта - 1; швидкість другого об'єкта - 2; швидкість видалення - уд.; час у дорозі - t.; початкова відстань між об'єктами – S0; відстань, яка стане між об'єктами через певну кількість часу – S.
Схема до завдань такого типу виглядає так:
Залежність між компонентами завдань на рух із відставанням виражається такими формулами:
1.Початкова відстань між об'єктами можна обчислити за наступною формулою: S0 = S - ʋуд. t; а відстань, яка стане між об'єктами через певний час, - за формулою: S = S0 + уд. · t;
2.Швидкість видалення знаходиться за формулами: nуд. = (S - S0) : t або nуд. = ?1 - ?2;
3.Час обчислюється наступним чином: t = (S - S0): уд.
Розглянемо застосування даних формул на прикладі наступного завдання:
Із двох міст в одному напрямку виїхали дві машини. Швидкість першої – 80 км/год, швидкість другої – 60 км/год. За скільки годин між машинами буде 700 км, якщо відстань між містами 560 км?
?1 = 80 км/год, ?2 = 60 км/год, S = 700 км, S0 = 560 км, t = ? год.
Щоб знайти час, необхідно знати початкову відстань між об'єктами, відстань наприкінці шляху і швидкість видалення, оскільки t = (S - S0): уд. Оскільки обидві відстані відомі за умовою завдання, знайдемо швидкість видалення. уд. = ?1 - ?2 = 80 - 60 = 20 км/год. Тепер можемо знайти й час. t = (S - S0): невд = (700 - 560): 20 = 7ч. Отримали, що за 7 годин між машинами буде 700 км.
§ 6 Короткі підсумки на тему уроку
При одночасному зустрічному русі і русі навздогін відстань між двома об'єктами, що рухаються, зменшується (до зустрічі). За одиницю часу воно зменшується на небл., а за весь час руху до зустрічі воно зменшиться на початкову відстань S. Отже, в обох випадках початкова відстань дорівнює швидкості зближення, помноженої на час руху до зустрічі: S = небл. · tвстр.. Різниця лише в тому, що при зустрічному русі небл. = 1 + 2, а при русі навздогін бл. = ?1 - ?2.
Під час руху у протилежних напрямах і з відставанням відстань між об'єктами збільшується, тому зустріч не відбудеться. За одиницю часу воно збільшується на уд., а за весь час руху воно збільшиться на значення твору нуд. t. Значить, в обох випадках відстань між об'єктами в кінці шляху дорівнює сумі початкової відстані та твору уд. t. S = S0 + уд. t. Різниця лише в тому, що при протилежному русі нуд. = 1 + 2, а при русі з відставанням уд. = ?1 - ?2.
Список використаної литературы:
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 клас. Частина 2./Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2014. - 96 с.: Іл.
- Математика. 4 клас. Методичні рекомендаціїдо підручника математики «Вчуся вчитися» для 4 класу/Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2014. - 280 с.: Іл.
- Зак С.М. Усі завдання до підручника математики для 4 класу Л.Г. Петерсон та комплекту самостійних та контрольних робіт. ФГЗС. - М.: ЮНВЕС, 2014.
- CD-ROM. Математика. 4 клас. Сценарії уроків до підручника до 2 частини Петерсон Л.Г. - М.: Ювента, 2013.
Використані зображення:
Отже, скажімо, наші тіла рухаються в одному напрямку. Як ти вважаєш, скільки випадків може бути для такої умови? Правильно, дві.
Чому так виходить? Упевнена, що після всіх прикладів ти легко сам розберешся, як вивести дані формули.
Розібрався? Молодець! Настав час вирішити завдання.
Четверте завдання
Коля їде працювати на машині зі швидкістю км/год. Колега Колі Вова їде зі швидкістю км/год. Коля від Вови живе з відривом км.
Через скільки часу Вова наздожене Колю, якщо вони виїхали з дому одночасно?
Порахував? Порівняємо відповіді - у мене вийшло, що Вова наздожене Колю за годину або за хвилин.
Порівняємо наші рішення...
Малюнок виглядає таким чином:
Схожий на твій? Молодець!
Так як у завданні питається, через скільки хлопці зустрілися, а виїхали вони одночасно, той час, який вони їхали, буде однаковим, як місце зустрічі (на малюнку воно позначено точкою). Складаючи рівняння, візьмемо час за.
Отже, Вова до місця зустрічі пройшов шлях. Коля до місця зустрічі пройшов шлях. Це зрозуміло. Тепер знаємося з віссю пересування.
Почнемо зі шляху, який зробив Коля. Його шлях () малюнку зображено як відрізок. А з чого складається шлях Вови? Правильно, із суми відрізків і, де – початкова відстань між хлопцями, а дорівнює шляху, який пройшов Коля.
Виходячи з цих висновків, отримуємо рівняння:
Розібрався? Якщо ні, просто прочитай це рівняння ще раз і подивися на точки, позначені на осі. Малюнок допомагає, чи не так?
години чи хвилин хвилин.
Сподіваюся, що на цьому прикладі ти зрозумів, наскільки важливу роль відіграє грамотно складений малюнок!
А ми плавно переходимо, точніше вже перейшли до наступного пункту нашого алгоритму - приведення всіх величин до однакової розмірності.
Правило трьох «Р» – розмірність, розумність, розрахунок.
Розмірність.
Не завжди у завданнях дається однакова розмірність кожному за учасника руху (як це було у наших легких завданнях).
Наприклад, можна зустріти завдання, де сказано, що тіла рухалися певну кількість хвилин, а швидкість їхнього пересування вказана в км/год.
Ми не можемо просто взяти і підставити значення у формулу – відповідь вийде невірна. Навіть щодо одиниць виміру наша відповідь «не пройде» перевірку на розумність. Порівняй:
Бачиш? При грамотному перемноженні ми також скорочуються одиниці виміру, і, відповідно, виходить розумний і правильний результат.
А що відбувається, якщо ми не переводимо до однієї системи виміру? Дивна розмірність у відповіді та % невірний результат.
Отже, нагадаю тобі про всяк випадок значення основних одиниць вимірювання довжини та часу.
Одиниці виміру довжини:
сантиметр = міліметрів
дециметр = сантиметрів = міліметрів
метр = дециметрів = сантиметрів = міліметрів
кілометр = метрів
Одиниці виміру часу:
хвилина = секунд
година = хвилин = секунд
доба = години = хвилин = секунд
Порада:Перекладаючи одиниці виміру, пов'язані з часом (хвилини в годинник, годинник в секунди і т.д.) уяви в голові циферблат годинника. Неозброєним оком видно, що це чверть циферблата, тобто. години, хвилин це третина циферблату, тобто. години, а хвилина – це години.
А тепер зовсім просте завдання:
Маша їхала велосипедом з дому до села зі швидкістю км/год протягом хвилин. Яка відстань між машинним будинком та селом?
Порахував? Правильна відповідь – км.
хвилин - це година, і ще хвилин від години (подумки уявив собі циферблат годинника, і сказав, що хвилин - чверть години), відповідно - хв = год.
Розумність.
Ти ж розумієш, що швидкість машини не може бути км/год, якщо йдеться, звичайно, не про спортивний болід? І тим більше вона не може бути негативною, вірно? Так от, розумність, це про це)
Розрахунок.
Подивися, чи проходить твоє рішення на розмірність і розумність, і тільки потім перевіряй розрахунки. Логічно ж - якщо з розмірністю і розумністю виходить нестикування, то простіше все закреслити і почати шукати логічні та математичні помилки.
«Кохання до таблиць» або «коли малюнку недостатньо»
Не завжди завдання на рух такі прості, як ми вирішували раніше. Дуже часто, для того, щоб правильно розв'язати завдання, потрібно не просто намалювати грамотний малюнок, а й скласти таблицюз усіма цими умовами.
Перше завдання
З пункту в пункт, відстань між якими км, одночасно виїхав велосипедист та мотоцикліст. Відомо, що за годину мотоцикліст проїжджає на км більше, ніж велосипедист.
Визначте швидкість велосипедиста, якщо відомо, що він прибув у пункт на хвилину пізніше, ніж мотоцикліст.
Ось таке завдання. Зберися, і прочитай її кілька разів. Прочитав? Починай малювати – пряма, пункт, пункт, дві стрілочки…
Загалом малюй і зараз порівняємо, що в тебе вийшло.
Якось пустувато, правда? Малюємо таблицю.
Як ти пам'ятаєш, всі завдання руху складаються з компонентів: швидкість, час та шлях. Саме з цих граф і складатиметься будь-яка таблиця у подібних завданнях.
Щоправда, ми додамо ще один стовпець. ім'я, про кого ми пишемо інформацію - мотоцикліст та велосипедист
Так само в шапці вкажи розмірність, в якій ти вписуватимеш туди величини. Ти ж пам'ятаєш, наскільки це важливо, правда?
У тебе вийшла така таблиця?
Тепер давай аналізувати все, що у нас є, і паралельно заносити дані до таблиці та на малюнку.
Перше, що ми маємо – це шлях, який пройшли велосипедист та мотоцикліст. Він однаковий і дорівнює км. Вносимо!
Візьмемо швидкість велосипедиста за, тоді швидкість мотоцикліста буде…
Якщо з такою змінної рішеннязавдання не піде – нічого страшного, візьмемо інше, доки не дійдемо до переможного. Таке буває, головне не нервувати!
Таблиця змінилася. У нас залишилася не заповнена лише одна графа – час. Як знайти час, коли є шлях та швидкість?
Правильно, поділити шлях на швидкість. Вноси це до таблиці.
Ось і заповнилася наша таблиця, тепер можна внести дані на рисунок.
Що ми можемо відобразити на ньому?
Молодець. Швидкість пересування мотоцикліста та велосипедиста.
Ще раз перечитаємо завдання, подивимося на малюнок та заповнену таблицю.
Які дані не відображені в таблиці, ні на малюнку?
Правильно. Час, на який мотоцикліст приїхав раніше, ніж велосипедист. Ми знаємо, що різниця в часі – хвилин.
Що ми маємо зробити наступним кроком? Правильно, перевести даний нам час із хвилин на годину, адже швидкість дана нам у км/год.
Магія формул: складання та розв'язання рівнянь - маніпуляції, що призводять до єдино правильної відповіді.
Отже, як ти вже здогадався, зараз ми будемо складати рівняння.
Складання рівняння:
Поглянь на свою таблицю, на останню умову, яка до неї не увійшла і подумай, залежність між чим і чим ми можемо винести рівняння?
Правильно. Ми можемо скласти рівняння, ґрунтуючись на різниці у часі!
Логічно? Велосипедист їхав більше, якщо ми з його часу віднімемо час руху мотоцикліста, ми якраз отримаємо цю різницю.
Це рівняння – раціональне. Якщо не знаєш, що це таке, прочитай тему «».
Наводимо доданки до спільного знаменника:
Розкриємо дужки і наведемо такі складові: Уф! Засвоїв? Спробуй свої сили на наступному завданні.
Вирішення рівняння:
З цього рівняння ми отримуємо наступне:
Розкриємо дужки і перенесемо все до лівої частини рівняння:
Вуаль! У нас просте квадратне рівняння. Вирішуємо!
Ми отримали два варіанти відповіді. Дивимося, що ми взяли? Вірно, швидкість велосипедиста.
Згадуємо правило «3Р», конкретніше «розумність». Розумієш про що я? Саме! Швидкість не може бути негативною, отже наша відповідь - км/год.
Друге завдання
Два велосипедисти одночасно вирушили в кілометровий пробіг. Перший їхав зі швидкістю, на км/год більшою, ніж швидкість другого, і прибув до фінішу на годину раніше за другу. Знайти швидкість велосипедиста, котрий прийшов до фінішу другим. Відповідь дайте у км/год.
Нагадую алгоритм розв'язання:
- Прочитай завдання кілька разів - засвої всі деталі. Засвоїв?
- Починай малювати малюнок – у якому напрямку вони рухаються? яку відстань вони пройшли? Намалював?
- Перевір, чи всі величини в тебе однакової розмірності і починай коротко виписувати умову завдання, складаючи табличку (ти ж пам'ятаєш які там графи?).
- Поки що все це пишеш, думай, що взяти за? Вибрав? Записуй у таблицю! Ну а тепер просто: складаємо рівняння та вирішуємо. Так, і насамкінець – пам'ятай про «3Р»!
- Все зробив? Молодець! У мене вийшло, що швидкість велосипедиста – км/год.
-"Якого кольору твоя машина?" - "Вона гарна!" Правильні відповіді на поставлені запитання
Продовжимо нашу розмову. Тож яка там швидкість у першого велосипедиста? км/год? Дуже сподіваюся, що ти зараз не киваєш ствердно!
Уважно прочитай питання: «Яка швидкість у першоговелосипедиста?»
Зрозумів, про що я?
Саме! Отриманий - це не завжди відповідь на поставлене запитання!
Вдумливо читай питання – можливо, після знаходження тобі потрібно буде зробити ще деякі маніпуляції, наприклад, додати км/год, як у нашому завданні.
Ще один момент - часто в завданнях все вказується в годинах, а відповідь просять висловити в хвилинах, або всі дані дано в км, а відповідь просять записати в метрах.
Слідкуй за розмірністю не тільки в ході самого рішення, а й коли записуєш відповіді.
Завдання на рух по колу
Тіла в завданнях можуть рухатися не обов'язково прямо, а й по колу, наприклад, велосипедисти можуть їхати круговою трасою. Розберемо таке завдання.
Завдання №1
Із пункту кругової траси виїхав велосипедист. За хвилину він ще не повернувся до пункту і з пункту слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще за хвилин після цього наздогнав його вдруге.
Знайдіть швидкість велосипедиста, якщо довжина траси дорівнює км. Відповідь дайте у км/год.
Розв'язання задачі №1
Спробуй намалювати малюнок до цієї задачі та заповнити для неї таблицю. Ось що вийшло у мене:
Між зустрічами велосипедист проїхав відстань, а мотоцикліст – .
Але при цьому мотоцикліст проїхав рівно на одне коло більше, це видно з малюнку:
Сподіваюся, ти розумієш, що по спіралі вони насправді не їздили – спіраль просто схематично показує, що вони їздять по колу, кілька разів проїжджаючи ті самі точки траси.
Розібрався? Спробуй вирішити самостійно такі завдання:
Завдання для самостійної роботи:
- Два мо-то-цик-ли-ста стар-ту-ють од-но-вре-мен-но в одному на-прав-ле-ні з двох діа-мет-раль-но про-ти-во-по- помилкових точок кругової трас-си, довжина якої дорівнює км. Через скільки хвилин мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-ють-ся вперше, якщо швидкість одного з них на км/год більше швидкості дру- го-го?
- З однієї точки кругової трас-си, довжина якої дорівнює км, одночасно в одному напрямку старівали два мотоциклісти. Швидкість першого мотоцикла дорівнює км / год, і через хвилин після старту він випередив другий мотоцикл на одне коло. Знай-ді-те швидкість другого мотоцикла. Відповідь дайте у км/год.
Розв'язання задач для самостійної роботи:
- Нехай км/год — швидкість першого мо-то-цик-лі-ста, тоді швидкість другого мо-то-цик-лі-ста дорівнює км/год. Нехай перший раз мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-ють-ся через годин. Для того, щоб мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-лися, більш швидкий повинен подолати з-на-чаль-но раз-де-ля-ю-ще їх рас-сто-я-ня, рів-не по-ло-ви-не довжини трас-си.
Отримуємо, що час дорівнює годині = хвилин.
- Нехай швидкість другого мотоцикла дорівнює км / год. За години перший мотоцикл пройшов на км більше, ніж другий, відповідно, отримуємо рівняння:
Швидкість другого мотоцикліста дорівнює км/год.
Завдання протягом
Тепер, коли ти чудово вирішуєш завдання «на суші», перейдемо у воду, і розглянемо завдання, пов'язані з течією.
Уяви, що маєш пліт, і ти спустив його в озеро. Що з ним відбувається? Правильно. Він стоїть, тому що озеро, ставок, калюжа, зрештою, - це стояча вода.
Швидкість течії в озері дорівнює .
Пліт поїде, тільки якщо ти сам почнеш веслувати. Та швидкість, яку він придбає, буде своєю швидкістю плоту.Неважливо куди ти попливеш - ліворуч, праворуч, пліт буде рухатися з тією швидкістю, з якою ти веслуватимеш. Це зрозуміло? Логічно.
А зараз уяви, що ти спускаєш пліт на річку, відвертаєшся, щоб узяти мотузку... повертаєшся, а він... сплив...
Це відбувається тому що річка має швидкість течіїяка відносить твій пліт у напрямку течії.
Його швидкість при цьому дорівнює нулю (ти ж стоїш у шоці на березі і не гребеш) – він рухається зі швидкістю течії.
Розібрався?
Тоді дай відповідь ось на яке питання - «З якою швидкістю пливтиме пліт по річці, якщо ти сидиш і гребеш?» Задумався?
Тут можливі два варіанти.
1-й варіант - ти пливеш за течією.
І тоді ти пливеш із власною швидкістю + швидкість течії. Течія ніби допомагає тобі рухатися вперед.
2-й варіант - т ти пливеш проти течії.
Важко? Правильно, бо течія намагається «відкинути» тебе назад. Ти докладаєш все більше зусиль, щоб пропливти хоча б метрів, відповідно швидкість, з якою ти пересуваєшся, дорівнює власна швидкість – швидкість течії.
Допустимо, тобі треба пропливти км. Коли ти подолаєш цю відстань швидше? Коли ти рухатимешся за течією чи проти?
Вирішимо завдання і перевіримо.
Додамо до нашого шляху дані про швидкість течії - км/год та про власну швидкість плоту - км/год. Який час ти витратиш, рухаючись за течією та проти нього?
Звичайно, ти легко впорався з цим завданням! За течією – година, а проти течії аж години!
У цьому вся суть завдань на рух з плином.
Дещо ускладнимо завдання.
Завдання №1
Човен із моторчиком плив з пункту в пункт години, а назад години.
Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість човна у стоячій воді - км/год
Розв'язання задачі №1
Позначимо відстань між пунктами, як, а швидкість течії – як.
| Шлях S | Швидкість v, км/год |
Час t, годин |
|
| A -> B (проти течії) | 3 | ||
| B -> A (за течією) | 2 |
Ми бачимо, що човен проходить один і той же шлях, відповідно:
Що ми брали за?
Швидкість течії. Тоді це і буде відповіддю:)
Швидкість течії дорівнює км/год.
Завдання №2
Байдарка вийшла з пункту в пункт, розташований в км від. Пробувши в пункті годину хвилин, байдарка вирушила назад і повернулася до пункту о.
Визначте (в км/год) власну швидкість байдарки, якщо відомо, що швидкість течії річки км/год.
Розв'язання задачі №2
Отже, почнемо. Прочитай завдання кілька разів та зроби малюнок. Думаю, ти легко зможеш вирішити це самостійно.
Чи всі величини у нас виражені в одному вигляді? Ні. Час відпочинку у нас вказаний і в годинах, і в хвилинах.
Перекладемо це в годинник:
година хвилин = год.
Тепер усі величини у нас виражені в одному вигляді. Приступимо до заповнення таблиці та пошуку того, що ми візьмемо за.
Нехай – власна швидкість байдарки. Тоді швидкість байдарки за течією дорівнює, а проти течії дорівнює.
Запишемо ці дані, а також шлях (він, як ти розумієш, однаковий) і час, виражений через шлях і швидкість, до таблиці:
| Шлях S | Швидкість v, км/год |
Час t, годин |
|
| Проти течії | 26 | ||
| За течією | 26 |
Порахуємо, скільки часу байдарка витратила на свою подорож:
Чи весь час вона пливла? Перечитуємо завдання.
Ні не все. У неї був відпочинок годину хвилин, відповідно, з годинника ми віднімаємо час відпочинку, який, ми вже перевели в годинник:
ч байдарка справді пливла.
Наведемо всі складові до спільного знаменника:
Розкриємо дужки і наведемо подібні доданки. Далі вирішуємо квадратне рівняння, що вийшло.
З цим, я думаю, ти теж впораєшся самостійно. Яка відповідь у тебе вийшла? У мене км/год.
Підведемо підсумки
ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
Завдання на рух. Приклади
Розглянемо приклади з рішеннямидля кожного типу завдань.
Рух із плином
Одні з найпростіших завдань завдання на рух по річці. Вся їхня суть в наступному:
- якщо рухаємось за течією, до нашої швидкості додається швидкість течії;
- якщо рухаємося проти течії, з нашої швидкості віднімається швидкість течії.
Приклад №1:
Катер плив з пункту A до пункту B годин, а назад - години. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість катера у стоячій воді км/год.
Рішення №1:
Позначимо відстань між пунктами як AB, а швидкість течії - як.
Усі дані з умови занесемо до таблиці:
| Шлях S | Швидкість v, км/год |
Час t, годин | |
| A -> B (проти течії) | AB | 50-х | 5 |
| B -> A (за течією) | AB | 50+x | 3 |
Для кожного рядка цієї таблиці слід записати формулу:
Насправді можна не писати рівняння для кожного з рядків таблиці. Адже ми бачимо, що відстань, пройдена катером туди й назад однаково.
Отже, відстань ми можемо прирівняти. Для цього використовуємо відразу формулу для відстані:
Часто доводиться використовувати і формулу для часу:
Приклад №2:
Проти течії човен пропливає відстань у кілометрів на годину довше, ніж за течією. Знайдіть швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює км/год.
Рішення №2:
Спробуємо одразу скласти рівняння. Час проти течії на годину більший, ніж час за течією.
Це записується так:
Тепер замість кожного часу підставимо формулу:
Отримали звичайне раціональне рівняння, Вирішимо його:
Вочевидь, що швидкість може бути негативним числом, отже, відповідь: км/ч.
Відносний рух
Якщо якісь тіла рухаються одне щодо одного, часто буває корисно порахувати їхню відносну швидкість. Вона дорівнює:
- сумі швидкостей, якщо тіла рухаються назустріч одне одному;
- різниці швидкостей, якщо тіла рухаються щодо одного напрямі.
Приклад №1
З пунктів A та B одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі зі швидкостями км/год та км/год. За кілька хвилин вони зустрінуться. Якщо відстань між пунктами км?
І спосіб вирішення:
Відносна швидкість автомобілів км/год. Це означає, що якщо ми сидимо в першому автомобілі, він нам здається нерухомим, але другий автомобіль наближається до нас зі швидкістю км/год. Оскільки між автомобілями спочатку відстань км, час, через який другий автомобіль проїде повз перший:
II спосіб вирішення:
Час від початку руху до зустрічі у автомобілів, очевидно, однаковий. Позначимо його. Тоді перший автомобіль проїхав шлях, а другий – .
У сумі вони проїхали усі км. Значить,
Інші завдання на рух
Приклад №1:
З пункту А до пункту В виїхав автомобіль. Одночасно з ним виїхав інший автомобіль, який рівно половину колії їхав зі швидкістю на км/год меншою, ніж перший, а другу половину колії він проїхав зі швидкістю км/год.
В результаті автомобілі прибули до пункту В одночасно.
Знайдіть швидкість першого автомобіля, якщо відомо, що вона більша за км/год.
Рішення №1:
Зліва від знака одно запишемо час першого автомобіля, а праворуч - другого:
Спростимо вираз у правій частині:
Поділимо кожне доданок на АВ:
Вийшло звичайне раціональне рівняння. Вирішивши його, отримаємо два корені:
З них лише один більше.
Відповідь: км/год.
Приклад №2
З пункту A кругової траси виїхав велосипедист. Через хвилин він ще не повернувся до пункту А і з пункту А слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще за хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість велосипедиста, якщо довжина траси дорівнює км. Відповідь дайте у км/год.
Рішення:
Тут будемо прирівнювати відстань.
Нехай швидкість велосипедиста буде, а мотоцикліста – . До моменту першої зустрічі велосипедист був у дорозі хвилин, а мотоцикліст - .
При цьому вони проїхали рівні відстані:
Між зустрічами велосипедист проїхав відстань, а мотоцикліст – . Але при цьому мотоцикліст проїхав рівно на одне коло більше, це видно з малюнку:
Сподіваюся, ти розумієш, що по спіралі вони насправді не їздили - спіраль просто схематично показує, що вони їздять по колу, кілька разів проїжджаючи ті самі точки траси.
Отримані рівняння розв'язуємо у системі:
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1. Основна формула
2. Відносний рух
- Це сума швидкостей, якщо тіла рухаються назустріч одне одному;
- різницю швидкостей, якщо тіла рухаються в одному напрямку.
3. Рух із плином:
- Якщо рухаємось за течією, до нашої швидкості додається швидкість течії;
- якщо рухаємося проти течії, від швидкості віднімається швидкість течії.
Ми допомогли тобі розібратися із завданнями на рух...
Тепер твій хід...
Якщо ти уважно прочитав текст і самостійно вирішував усі приклади, готові сперечатися, що ти все зрозумів.
І це вже половина шляху.
Напиши внизу в коментарях чи ти розібрався із завданнями на рух?
Які викликають найбільші проблеми?
Чи ти розумієш, що завдання на "роботу" - це майже те саме?
Напиши нам та удачі на іспитах!
