В геометрії вектор розуміється як спрямований відрізок, причому вектори, отримані один з одного паралельним перенесенням, вважаються рівними. Усі рівні вектори розглядаються як і той самий вектор. Початок вектора можна помістити у будь-яку точку простору чи площині.

Якщо в просторі задані координати кінців вектора: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), то

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Аналогічна формула має місце площині. Це означає, що вектор можна записати як координатного рядка. Операції над векторами, – додавання та множення на число, над рядками виконуються покомпонентно. Це дозволяє розширити поняття вектора, розуміючи під вектором будь-який рядок чисел. Наприклад, рішення системи лінійних рівнянь, і будь-який набір значень змінних системи, можна як вектор.

Над рядками однакової довжини операція додавання виконується за правилом

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1, b 2, …, b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+ b n). (2)

Розмноження рядка на число виконується за правилом

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1, la 2, …, la n). (3)

Безліч векторів-рядків заданої довжини nіз зазначеними операціями складання векторів та множення на число утворює алгебраїчну структуру, яка називається n-мірним лінійним простором.

Лінійною комбінацією векторів називається вектор де λ 1 , ... , λ m- Довільні коефіцієнти.

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує її лінійна комбінація, рівна , в якій є хоча б один ненульовий коефіцієнт.

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо у будь-якій її лінійній комбінації, що дорівнює , всі коефіцієнти нульові.

Таким чином, вирішення питання про лінійну залежність системи векторів зводиться до вирішення рівняння.

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Якщо це рівняння є ненульові рішення, то система векторів лінійно залежна. Якщо ж нульове рішення є єдиним, система векторів лінійно незалежна.

Для вирішення системи (4) можна наочності вектори записати над вигляді рядків, а вигляді стовпців.

Тоді, виконавши перетворення в лівій частині, прийдемо до системи лінійних рівнянь, що дорівнює рівнянню (4). Основна матриця цієї системи утворена координатами вихідних векторів, що розташовані по стовпцях. Стовпець вільних членів не потрібен, оскільки система однорідна.

Базисомсистеми векторів (кінцевої чи нескінченної, зокрема, всього лінійного простору) називається її непуста лінійно незалежна підсистема, якою можна висловити будь-який вектор системи.

приклад 1.5.2.Знайти базис системи векторів = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) та виразити інші вектори через базис.

Рішення. Будуємо матрицю, в якій координати даних векторів розташовуємо по шпальтах. Це матриця системи x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Наводимо матрицю до ступінчастого вигляду:

~ ~ ~

Базис даної системи векторів утворюють вектори , , , Яким відповідають провідні елементи рядків, виділені кружками. Для виразу вектора розв'язуємо рівняння x 1 + x 2 + x 4 = . Воно зводиться до системи лінійних рівнянь, матриця якої виходить з вихідною перестановкою стовпця, відповідного на місце стовпця вільних членів. Тому при приведенні до ступінчастого вигляду над матрицею будуть зроблені самі перетворення, що вище. Значить, можна використовувати отриману матрицю в ступінчастому вигляді, зробивши в ній необхідні перестановки стовпців: стовпці з кружками поміщаємо зліва від вертикальної межі, а стовпець, відповідний вектору, поміщаємо праворуч від межі.

Послідовно знаходимо:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Зауваження. Якщо потрібно висловити через базис кілька векторів, то кожного з них будується відповідна система лінійних рівнянь. Ці системи відрізнятимуться лише стовпцями вільних членів. У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.

У п р а ж н е н ня 1.4.Знайти базис системи векторів і виразити інші вектори через базис:

а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, -2, -2, 1), = (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, -1, 2, 2), = (4, -2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, -2, 1); = (2, -6, -2).

У заданій системі векторів базис зазвичай можна виділити різними способами, але у всіх базисах буде однакове число векторів. Число векторів у базисі лінійного простору називається розмірністю простору. Для n-мірного лінійного простору n– це розмірність простору, оскільки це має стандартний базис = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Через цей базис будь-який вектор = (a 1 , a 2 , … , a n) виражається так:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, …, 0) + a 2 (0, 1, …, 0) + … + a n(0, 0, …,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Таким чином, компоненти у рядку вектора = (a 1 , a 2 , … , a n) – це його коефіцієнти у розкладанні через стандартний базис.

Прямі на площині

Завдання аналітичної геометрії- Застосування до геометричних завдань координатного методу. Тим самим завдання переводиться в форму алгебри і вирішується засобами алгебри.

Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчний сенс. Саме поняття «вектор» з погляду лінійної алгебри – це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині чи просторі. За доказом далеко не треба ходити, спробуйте намалювати вектор п'ятивимірного простору. . Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тиск відповідно. Приклад, звісно, ​​некоректний з погляду властивостей векторного просторуПроте, ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись з уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі обраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтесь, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої рукина край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарні, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, чи навпаки: , де – деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають те що, що у математичних рівняннях, висловлюваннях немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів тощо. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два векторні площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два векторні площинілінійно незалежні в тому і лише тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномрозкладається по базису:
, де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений за ортонормованим базисом площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті у певному порядку. Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними та блукають по всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» організації. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам розповідатимуть про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – в геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ-ЯКІЙ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, "на площині все можна пронумерувати".

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональні вектори довільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність полягає в тому, що координатні вектори у загальному випадкумають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести «нестандартні» координати «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в цьому відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного уроку справедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного тут немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площині були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їхні відповідні координати були пропорційними. Фактично, це покоординатная деталізація очевидного співвідношення .

Приклад 1

а) Перевірити, чи колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувались рівності:

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, який цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У цьому випадку мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
, Отже, ці вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного рішення:

Приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений метод алгебри перевірки векторів на колінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом якраз додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базис;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю .

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі терміни і твердження, що зустрілися.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше та симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доведення: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням. Що і потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішення наприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлено у статті Векторний твір векторів.

Аналогічно плоскому випадку розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова часткаінформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому разі нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні боки великий, вказівний та середній палець. Це будуть вектори, вони дивляться у різні боки, мають різну довжину та мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливе питання, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас зник один із вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах (тільки робіть цього з пальцями, так відривався лише Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову припустимо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливе та зворотне твердження: три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні такі твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно виразити один через одного;
5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Практичні завдання, що залишилися, носитимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійною алгебри:

Три векторні просторукомпланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю : .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки у стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Трапляються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійного рівняння:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник та переконатися, що , розкривши його наново.

На закінчення розглянемо ще одну типове завдання, Що носить більше алгебраїчний характер і традиційно включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

Лінійною комбінацією векторів називається вектор
, де 1, ... , m - довільні коефіцієнти.

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо існує її лінійна комбінація, рівна , В якій є хоча б один ненульовий коефіцієнт.

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо в будь-якій її лінійній комбінації, що дорівнює всі коефіцієнти нульові.

Базисом системи векторів
називається її непуста лінійно незалежна підсистема, якою можна висловити будь-який вектор системи.

П р і м е р 2. Знайти базис системи векторів = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) і виразити інші вектори через базис.

Розв'язання. Будуємо матрицю, в якій координати даних векторів розташовуємо по стовпцях. Наводимо її до ступінчастого вигляду.

~
~
~
.

Базис даної системи утворюють вектори ,,, Яким відповідають провідні елементи рядків, виділені кружками. Для вираження вектора вирішуємо рівняння x 1 +x 2 + x 4 =. Воно зводиться до системи лінійних рівнянь, матриця якої виходить із вихідною перестановкою стовпця, що відповідає на місце стовпця вільних членів. Тому для вирішення системи використовуємо отриману матрицю у ступінчастому вигляді, зробивши в ній необхідні перестановки.

Послідовно знаходимо:

x1+4=3, x1=-1;

= -+2.

Примітка 1. Якщо потрібно виразити через базис кілька векторів, то для кожного з них будується відповідна система лінійних рівнянь. Ці системи відрізнятимуться лише стовпцями вільних членів. Тому для вирішення їх можна скласти одну матрицю, в якій буде кілька стовпців вільних членів. У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.

Зауваження 2. Для вираження будь-якого вектора достатньо використовувати лише базисні вектори системи, що стоять перед ним. При цьому немає необхідності переформовувати матрицю, достатньо поставити вертикальну межу в потрібному місці.

2. Знайти базис системи векторів і виразити інші вектори через базис:

а) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Фундаментальна система рішень

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо її вільні члени рівні нулю.

Фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис безлічі її розв'язків.

Нехай дано неоднорідну систему лінійних рівнянь. Однорідною системою, асоційованою з цією, називається система, отримана з цією заміною всіх вільних членів на нулі.

Якщо неоднорідна система спільна і невизначена, то її довільне рішення має вигляд f н +  1 f о1 + ... +  k f о k ,деf н – приватне рішення неоднорідної системи і f о1 , ... , f о k – фундаментальна система рішень асоційованої однорідної системи

П р і м е р 3. Знайти окреме рішення неоднорідної системи з прикладу 1 та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи.

Рішення. Запишемо рішення, отримане в прикладі 1, у векторному вигляді і розкладемо вектор, що вийшов, у суму за вільними параметрами, наявними в ньому, і фіксованим числовим значенням:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + + (-2, 0, 1, 0) = a (-2, 1, 0, 0) + b (7, 0, -2, 1) + (- 2, 0, 1, 0 ).

Отримуємо f н = (-2, 0, 1, 0), f о1 = (-2, 1, 0, 0), f о2 = (7, 0, -2, 1).

Зауваження. Аналогічно вирішується завдання знаходження фундаментальної системи рішень однорідної системи.

3.1 Знайти фундаментальну систему рішень однорідної системи:

а)

б)

в) 2x1 – x2+3x3=0.

У п р а ж н е н ня 3.2. Знайти приватне рішення неоднорідної системи та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи:

а)

б)

Знайти базис системи векторів і вектори, що не входять до базису, розкласти по базису:

а 1 = {5, 2, -3, 1}, а 2 = {4, 1, -2, 3}, а 3 = {1, 1, -1, -2}, а 4 = {3, 4, -1, 2}, а 5 = {13, 8, -7, 4}.

Рішення. Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 + а 4 х 4 + а 5 х 5 = 0

або у розгорнутому вигляді .

Вирішуватимемо цю систему методом Гауса, не змінюючи місцями рядки і стовпці, і, крім того, вибираючи головний елемент не у верхньому лівому кутку, а по всьому рядку. Завдання полягає в тому, щоб виділити діагональну частину перетвореної системи векторів.

~ ~

~ ~ ~ .

Дозволена система векторів, рівносильна вихідній, має вигляд

а 1 1 х 1 + а 2 1 х 2 + а 3 1 х 3 + а 4 1 х 4 + а 5 1 х 5 = 0 ,

де а 1 1 = , а 2 1 = , а 3 1 = , а 4 1 = , а 5 1 = . (1)

Вектори а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 утворюють діагональну систему. Отже, вектори а 1 , а 3 , а 4 утворюють базис системи векторів а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Розкладемо тепер вектори а 2 і а 5 за базисом а 1 , а 3 , а 4 . Для цього спочатку розкладемо відповідні вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 маючи на увазі, що коефіцієнтами розкладання вектора по діагональній системі є його координати x i.

З (1) маємо:

а 2 1 = а 3 1 · (-1) + а 4 1 · 0 + а 1 1 ·1 => а 2 1 = а 1 1 – а 3 1 .

а 5 1 = а 3 1 · 0 + а 4 1 · 1 + а 1 1 ·2 => а 5 1 = 2а 1 1 + а 4 1 .

Вектори а 2 і а 5 розкладаються за базисом а 1 , а 3 , а 4 з тими ж коефіцієнтами, що вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 (ті коефіцієнти x i). Отже,

а 2 = а 1 – а 3 , а 5 = 2а 1 + а 4 .

Завдання. 1.Знайти базис системи векторів і вектори, що не входять до базису, розкласти по базису:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Знайти всі базиси системи векторів:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Коли ми розбирали поняття n-вимірного вектора і вводили операції над векторами, то з'ясували, що безліч усіх n-вимірних векторів породжує лінійний простір. У цій статті ми поговоримо про найважливіші пов'язані поняття – про розмірність та базис векторного простору. Також розглянемо теорему про розкладання довільного вектора за базисом і зв'язок між різними базисами n-мірного простору. Докладно розберемо рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Концепція розмірності векторного простору та базису.

Поняття розмірності та базису векторного простору безпосередньо пов'язані з поняттям лінійно незалежної системи векторів, тому рекомендуємо при необхідності звертатися до статті лінійна залежність системи векторів, властивості лінійної залежності та незалежності.

Визначення.

Розмірність векторного просторуназивається число, що дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних векторів у цьому просторі.

Визначення.

Базис векторного простору– це впорядкована сукупність лінійно незалежних векторів цього простору, кількість яких дорівнює розмірності простору.

Наведемо деякі міркування, ґрунтуючись на цих визначеннях.

Розглянемо простір n-мірних векторів.

Покажемо, що розмірність цього простору дорівнює n.

Візьмемо систему з n одиничних векторів виду

Приймемо ці вектори як рядки матриці А . І тут матриця А буде одиничною матрицею розмірності n на n . Ранг цієї матриці дорівнює n (за необхідності дивіться статтю). Отже, система векторів лінійно незалежна, причому до цієї системи не можна додати жодного вектора, не порушивши її лінійної незалежності. Оскільки число векторів у системі одно n , то розмірність простору n-вимірних векторів дорівнює n, а одиничні вектори є базисом цього простору.

З останнього затвердження та визначення базису можна зробити висновок, що будь-яка система n-мірних векторів, число векторів у якій менше n, не є базисом.

Тепер переставимо місцями перший та другий вектор системи . Легко показати, що отримана система векторів також є базисом n-вимірного векторного простору. Складемо матрицю, прийнявши її рядками вектори цієї системи. Ця матриця може бути отримана з одиничної матриці перестановкою місцями першого і другого рядків, отже, її ранг дорівнюватиме n . Таким чином, система з n векторів лінійно незалежна і є базисом n-вимірного векторного простору.

Якщо переставити місцями інші вектори системи , то отримаємо ще один базис.

Якщо взяти лінійно незалежну систему не одиничних векторів, вона також є базисом n -мірного векторного простору.

Таким чином, векторний простір розмірності n має стільки базисів, скільки існує лінійно незалежних систем n n -мірних векторів.

Якщо говорити про двовимірний векторний простір (тобто про площину), то її базисом є два будь-які не колінеарні вектори. Базисом тривимірного простору є три будь-які некомпланарні вектори.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Чи вектори базисом тривимірного векторного простору?

Рішення.

Досліджуємо цю систему векторів на лінійну залежність. Для цього складемо матрицю, рядками якої будуть координати векторів, і знайдемо її ранг:


Таким чином, вектори a, b і c лінійно незалежні та їх кількість дорівнює розмірності векторного простору, отже вони є базисом цього простору.

Відповідь:

Так, є.

приклад.

Чи може система векторів бути базисом векторного простору?

Рішення.

Ця система векторів лінійно залежить, оскільки максимальне число лінійно незалежних тривимірних векторів дорівнює трьом. Отже, ця система векторів може бути базисом тривимірного векторного простору (хоча підсистема вихідної системи векторів є базисом).

Відповідь:

Ні не може.

приклад.

Переконайтеся, що вектори

може бути базисом чотиривимірного векторного простору.

Рішення.

Складемо матрицю, прийнявши її рядками вихідні вектори:

Знайдемо:

Таким чином, система векторів a, b, c, d лінійно незалежна та їх кількість дорівнює розмірності векторного простору, отже, a, b, c, d є його базисом.

Відповідь:

Вихідні вектори є базисом чотиривимірного простору.

приклад.

Чи становлять вектори базис векторного простору розмірності 4?

Рішення.

Навіть якщо вихідна система векторів лінійно незалежна, кількість векторів у ній недостатньо для того, щоб бути базисом чотиривимірного простору (база такого простору складається з 4 векторів).

Відповідь:

Ні, не складає.

Розкладання вектора за базисом векторного простору.

Нехай довільні вектори є базисом n-вимірного векторного простору. Якщо до них додати деякий n-вимірний вектор x, то отримана система векторів буде лінійно залежною. З властивостей лінійної залежності ми знаємо, що хоча один вектор лінійно залежної системи лінійно виражається через інші. Іншими словами, хоча б один із векторів лінійно залежної системи розкладається за іншими векторами.

Тож ми підійшли до дуже важливої ​​теореми.

Теорема.

Будь-який вектор n-вимірного векторного простору єдиним чином розкладається по базису.

Доведення.

Нехай - базис n-вимірного векторного простору. Додамо до цих векторів n-вимірний вектор x . Тоді отримана система векторів буде лінійно залежною та вектор x може бути лінійно виражений через вектори : , де - Деякі числа. Так ми отримали розкладання вектора x базисом. Залишилося довести, що це розкладання єдине.

Припустимо, що існує ще одне розкладання, де - Деякі числа. Віднімемо від лівої та правої частин останньої рівності відповідно ліву та праву частини рівності:

Оскільки система базисних векторів лінійно незалежна, то за визначенням лінійної незалежності системи векторів отримана рівність можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому, що доводить єдиність розкладання вектора по базису.

Визначення.

Коефіцієнти називаються координатами вектора x у базисі .

Після знайомства з теоремою про розкладання вектора по базису ми починаємо розуміти суть виразу «нам заданий n-мірний вектор. ». Це вираз означає, що ми розглядаємо вектор x n -мірного векторного простору, координати якого в певному базисі. При цьому ми розуміємо, що цей вектор x в іншому базисі n-мірного векторного простору буде мати координати, відмінні від .

Розглянемо таке завдання.

Нехай у деякому базисі n-вимірного векторного простору нам задана система з n лінійно незалежних векторів

та вектор . Тоді вектори є також базисом цього векторного простору.

Нехай нам потрібно знайти координати вектора x у базисі . Позначимо ці координати як .

Вектор x у базисі має уявлення. Запишемо цю рівність у координатній формі:

Ця рівність рівносильна системі з n лінійних алгебраїчних рівняньз n невідомими змінними :

Основна матриця цієї системи має вигляд

Позначимо її літерою А. Стовпці матриці А є векторами лінійно незалежної системи векторів. тому ранг цієї матриці дорівнює n , отже, її визначник відмінний від нуля. Цей факт свідчить про те, що система рівнянь має єдине рішення, яке може бути знайдено будь-яким методом, наприклад, або .

Так будуть знайдені шукані координати вектора x у базисі .

Розберемо теорію з прикладів.

приклад.

У деякому базисі тривимірного векторного простору задані вектори.

Переконайтеся, що система векторів є базисом цього простору і знайдіть координати вектора x у цьому базисі.

Рішення.

Щоб система векторів була базисом тривимірного векторного простору, потрібно, щоб вона була лінійно незалежною. З'ясуємо це, визначивши ранг матриці A рядками якої є вектори . Ранг знайдемо методом Гауса


отже, Rank(A) = 3 що показує лінійну незалежність системи векторів .

Отже, вектори є базисом. Нехай у цьому базисі вектор x має координати. Тоді, як ми показали вище, зв'язок координат цього вектора задається системою рівнянь

Підставивши до неї відомі з умови значення, отримаємо

Вирішимо її методом Крамера:

Таким чином, вектор x у базисі має координати .

Відповідь:

приклад.

У деякому базисі чотиривимірного векторного простору задана лінійно незалежна система векторів

Відомо що . Знайдіть координати вектора x у базисі .

Рішення.

Оскільки система векторів лінійно незалежна за умовою, вона є базисом чотиривимірного простору. Тоді рівність означає, що вектор x у базисі має координати. Позначимо координати вектора x у базисі як .

Система рівнянь, що задає зв'язок координат вектора x у базисах і має вигляд

Підставляємо в неї відомі значення і знаходимо шукані координати:

Відповідь:

.

Зв'язок між базисами.

Нехай у деякому базисі n-вимірного векторного простору задані дві лінійно незалежні системи векторів

і

тобто, вони також є базисами цього простору.

Якщо - координати вектора у базисі , то зв'язок координат і задається системою лінійних рівнянь (про це ми говорили у попередньому пункті):

, яка в матричній формі може бути записана як

Аналогічно для вектора ми можемо записати

Попередні матричні рівності можна об'єднати в одну, яка по суті задає зв'язок векторів двох різних базисів

Аналогічно ми можемо висловити всі вектори базису. через базис :

Визначення.

Матрицю називають матрицею переходу від базису до базису тоді справедлива рівність

Помноживши обидві частини цієї рівності справа на

отримаємо

Знайдемо матрицю переходу, при цьому не будемо докладно зупинятись на знаходженні зворотної матриці та множенні матриць (дивіться при необхідності статті та ):

Залишилося з'ясувати зв'язок координат вектора x у заданих базисах.

Нехай у базисі вектор x має координати, тоді

а базисі вектор x має координати , тоді

Оскільки ліві частини останніх двох рівностей однакові, ми можемо прирівняти праві частини:

Якщо помножити обидві частини праворуч

то отримаємо


З іншого боку

(знайдіть зворотну матрицюсамостійно).
Два останніх рівності дають нам шуканий зв'язок координат вектора x у базисах і .

Відповідь:

Матриця переходу від базису до базису має вигляд
;
координати вектора x у базисах та пов'язані співвідношеннями

або
.

Ми розглянули поняття розмірності та базису векторного простору, навчилися розкладати вектор по базису та виявили зв'язок між різними базисами n-мірного простору векторів через матрицю переходу.