Велика Теорема Ферма Сінгх Саймон

«Чи доведена Велика теорема Ферма?»

Було зроблено лише перший крок на шляху до доказу гіпотези Таніями-Шімури, але обрана Уайлсом стратегія була блискучим математичним проривом, результатом, який заслуговував на публікацію. Але через обітницю мовчання, накладеного Уайлсом самим себе, не міг розповісти про отриманому результаті решті світу і мав ні найменшого уявлення у тому, хто міг зробити такий самий значний прорив.

Уайлз згадує про своє філософське ставлення до будь-якого потенційного суперника: «Ніхто не захоче витратити роки на доказ чогось і виявити, що комусь іншому вдалося знайти доказ кількома тижнями раніше. Але, як не дивно, оскільки я намагався вирішити проблему, яка, по суті, вважалася нерозв'язною, я не дуже побоювався суперників. Я просто не сподівався, що мені чи комусь іншому спаде на думку ідея, яка приведе до доказу».

8 березня 1988 року Уайлс зазнав шоку, побачивши на перших шпальтах газет набрані великим шрифтом заголовки, які говорили: «Велика теорема Ферма доведена». Газети «Washington Post» та «New York Times» повідомляли, що тридцятивосьмирічний Йоїчі Міяока з токійського Метрополітен університету вирішив найважчу математичну проблему у світі. Поки Міяока ще не опублікував свого доказу, але загалом виклав його хід на семінарі в Інституті Макса Планка з математики в Бонні. Дон Цагір, який був присутній на доповіді Міяокі, висловив оптимізм математичної спільноти в наступних словах: «Наведений Міяокой доказ надзвичайно цікаво, і деякі математики вважають, що він з високою ймовірністю виявиться правильним. Повної впевненості ще немає, але поки що доказ виглядає вельми обнадійливим».

Виступаючи з доповіддю на семінарі в Бонні, Міяока розповів про свій підхід до вирішення проблеми, яку він розглядав із зовсім іншої, алгебро-геометричної точки зору. Останні десятиліття геометри досягли глибокого і тонкого розуміння математичних об'єктів, зокрема, властивостей поверхонь. У 70-ті роки російський математик С. Аракелов спробував встановити паралелі між проблемами геометрії алгебри і проблемами теорії чисел. Це був один із напрямків програми Ленглендса, і математики сподівалися, що невирішені проблеми теорії чисел вдасться вирішити, вивчаючи відповідні проблеми геометрії, які також ще залишалися невирішеними. Така програма була відома під назвою філософії паралелізму. Ті геометри алгебри, які намагалися вирішувати проблеми теорії чисел, отримали назву «арифметичних алгебраїчних геометрів». У 1983 році вони сповістили про свою першу значну перемогу, коли Герд Фалтінгс з Прінстонського Інституту вищих досліджень зробив істотний внесок у розуміння теореми Ферма. Нагадаємо, що, за твердженням Ферма, рівняння

при nбільших 2 немає рішень у цілих числах. Фалтінгс вирішив, що йому вдалося просунутися у доказі Великої теореми Ферма за допомогою вивчення геометричних поверхоньпов'язаних з різними значеннями n. Поверхні, пов'язані з рівняннями Ферма за різних значень n, відрізняються один від одного, але мають один загальною властивістю- у них усіх є наскрізні отвори, або, простіше кажучи, дірки. Ці поверхні чотиривимірні, як і графіки модулярних форм. Двовимірні перерізи двох поверхонь представлені на рис. 23. Поверхні, пов'язані із рівнянням Ферма, виглядають аналогічно. Чим більше значення nу рівнянні, тим більше дірок у відповідній поверхні.

Мал. 23. Ці дві поверхні отримані з допомогою комп'ютерної програми «Mathematica». Кожна з них представляє геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню. x n + y n = z n(для поверхні зліва n=3, на поверхні праворуч n=5). Змінні xі yтут вважаються комплексними

Фалтингсу вдалося довести, що, оскільки такі поверхні завжди мають кілька дірок, пов'язане з ними рівняння Ферма могло б мати лише кінцеве безліч рішень у цілих числах. Число рішень могло бути будь-яким - від нуля, як передбачав Ферма, до мільйона чи мільярда. Таким чином, Фалтінгс не довів Велику теорему Ферма, але принаймні зміг відкинути можливість існування рівняння Ферма нескінченно багатьох рішень.

П'ятьма роками пізніше Міяока повідомив, що йому вдалося просунутися ще на один крок. Йому тоді було двадцять із невеликим років. Міяока сформулював гіпотезу щодо деякої нерівності. Стало ясно, що доказ його геометричної гіпотези означало б доказ того, що число рішень рівняння Ферма не просто звичайно, а нулю. Підхід Міяокі був аналогічний підходу Уайлса в тому, що вони обоє намагалися довести Велику теорему Ферма, пов'язуючи її з фундаментальною гіпотезою в іншій галузі математики. У Міяокі це була геометрія алгебри, для Уайлса шлях до доказу лежав через еліптичні криві і модулярні форми. На превеликий жаль Уайлса, він усе ще бився над доказом гіпотези Таніямы-Шимуры, коли Міяока заявив у тому, що має повним доказом своєї гіпотези і, отже, Великої теореми Ферма.

Через два тижні після свого виступу в Бонні Міяока опублікував п'ять сторінок обчислень, що складали суть його доказу, і почалася ретельна перевірка. Фахівці з теорії чисел та геометрії алгебри у всіх країнах світу вивчали, рядок за рядком, опубліковані обчислення. Через кілька днів математики виявили в доказі одну суперечність, яка не могла не викликати занепокоєння. Одна з частин роботи Міяокі приводила до затвердження з теорії чисел, з якого, при перекладі на мову геометрії алгебри, виходило твердження, що суперечило результату, отриманому кількома роками раніше. І хоча це не обов'язково знецінювало весь доказ Міяокі, виявлене протиріччя не вписувалося у філософію паралелізму між теорією чисел та геометрією.

Ще через два тижні Герд Фалтінгс, який проклав шлях Міяоке, оголосив про те, що виявив точну причину порушення паралелізму, що здається, - пробіл у міркуваннях. Японський математик був геометром і під час перекладу своїх ідей менш знайому територію теорії чисел був абсолютно суворий. Армія фахівців з теорії чисел зробила відчайдушні зусилля залатати дірку в доказі Міяокі, але марно. Через два місяці після того, як Міяока заявив про те, що має повний доказ Великої теореми Ферма, математичне співтовариство дійшло одностайного висновку: доказ Міяокі приречений на провал.

Як і у разі колишніх доказів, що не відбулися, Міяоке вдалося отримати чимало цікавих результатів. Окремі фрагменти його доказу заслуговували на увагу як дуже дотепні додатки геометрії до теорії чисел, і в наступні роки інші математики скористалися ними для доказу деяких теорем, але довести Велику теорему Ферма цим шляхом не вдалося нікому.

Шуміха з приводу Великої теореми Ферма незабаром затихла, і газети помістили короткі нотатки, в яких говорилося, що трисотрічна головоломка, як і раніше, залишається невирішеною. На стіні станції нью-йоркської підземки на Восьмий стріт з'явився наступний напис, безсумнівно, натхненний публікаціями в пресі з приводу Великої теореми Ферма: «Рівняння xn + yn = znнемає рішень. Я знайшов справді дивовижний доказ цього факту, але не можу записати його тут, бо прийшов мій потяг».

Розділ десятий КРОКОДИЛЬ ФЕРМА Вони їхали мальовничою дорогою в машині старого Джона, сидячи на задніх сидіннях. За кермом був чорний водій у яскравій сорочці з химерно підстриженою головою. На бритому черепі височіли кущі жорсткого, як дріт, чорного волосся, логіка.

Підготовка до гонки. Аляска, ферма Лінди Плетнер «Айдітарод» – щорічні перегони на собачих упряжках на Алясці. Протяжність маршруту – 1150 миль (1800 км). Це найдовша у світі гонка на собачих упряжках. Старт (урочистий) - 4 березня 2000 з Анкорідже. Старт

Козяча ферма Влітку в селі чимало роботи. Коли ми відвідали село Хомутець, там йшла заготівля сіна і запашні хвилі від свіжоскошених трав, здавалося, просочили все навколо. Цю

Літня ферма Соломинка, мов ручна блискавка, в траву скла; Інша, розписавшись на паркані, запалила вогонь зеленого скла Води в кориті кінському. У сутінки синій Бредут, погойдуючись, дев'ять качок по колії дух паралельних ліній. Ось курка дивилася в ніщо одним

Зруйнована ферма Спокійне сонце квіткою темно-червоною Клонилося до землі, виростаючи в захід сонця, Але завіса ночі у могутності пустому Засмикував світ, що розтривожив погляд. Безмовність панувала на фермі без даху, Наче їй волосся хтось зірвав, Над кактусом билося

Ферма чи подвір'я? 13 лютого 1958 року всі центральні московські, а згодом і регіональні газети опублікували рішення ЦК компартії України «Про помилку при закупівлі корів у колгоспників у Запорізькій області». Йшлося навіть не про всю область, а про два її райони: Приморський

Проблема Ферма У 1963 році, коли йому було лише десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. «У школі я любив вирішувати завдання, я брав їх додому і з кожного завдання вигадував нові. Але найкраще із завдань, які мені колись траплялися, я виявив у місцевій

Від теореми Піфагора до Великої теореми Ферма Про теорему Піфагора і нескінченну кількість піфагорових трійок йшлося в книзі Е.Т. Белла «Велика проблема» - тієї самої бібліотечній книзі, яка привернула увагу Ендрю Уайлса І хоча піфагорійці досягли майже повного

Математика після доказу Великої теореми Ферма Як не дивно, сам Вайлз відчував по відношенню до своєї доповіді змішані почуття: «Випадок для виступу був обраний дуже вдало, але сама лекція викликала у мене змішані почуття. Робота над доказом

Розділ 63 Ферма старого Макленнона Приблизно через півтора місяці після повернення до Нью-Йорка в один із "листопадових вечорів у квартирі Леннонов пролунав телефонний дзвінок. Трубку зняла Йоко. Чоловічий голос із пуерториканським акцентом запитав Йоко Оно. Прикинувшись

Теорема Понтрягіна Одночасно з Консерваторією тато навчався у МДУ, на мехматі. Він з успіхом його закінчив і навіть деякий час вагався у виборі професії. Перемогло музикознавство, що в результаті виграло від його математичного складу розуму. Одним з таткових однокурсників

Теорема Теорема про право релігійного об'єднання обирати священика потребує доказу. Читається вона так: "Православна громада створюється ... під духовним керівництвом обраного громадою і благословення єпархіального архієрея священика".

I. Ферма («Тут, від курячого посліду…») Тут, від курячого посліду Один порятунок – мітла. Кохання - яке за рахунком? - Мене в курник завела. Клюючи зерно, кудахчуть кури, Крокують поважно півні. І без розміру та цензури В умі складаються вірші. Про провансальський полудень

ІСТОРІЯ БОЛЬШОЇ ТЕОРЕМИ ФЕРМА
Грандіозна подія

Якось у новорічному випуску розсилки про те, як вимовляти тости, я побіжно згадав, що наприкінці ХХ століття відбулася одна грандіозна подія, якої багато хто не помітив - була, нарешті, доведена так звана Велика теорема Ферма. З цього приводу серед отриманих листів я виявив два відгуки від дівчат (одна з них, наскільки пам'ятаю – дев'ятикласниця Віка із Зеленограда), яких здивував цей факт.

А мене здивувало те, наскільки жваво дівчатка цікавляться проблемами сучасної математики. Тому, думаю, що не лише дівчаткам, а й хлопчикам різного віку - від старшокласників до пенсіонерів, теж буде цікаво дізнатися історію Великої теореми.

Доказ теореми Ферма – велика подія. А т.к. зі словом "великий" не прийнято жартувати, то знати історію теореми, мені здається, кожен оратор, що поважає себе (а всі ми, коли говоримо - оратори) просто зобов'язаний.

Якщо так вийшло, що ви не любите математику так, як люблю її я, деякі поглиблення в деталі переглядайте побіжним поглядом. Розуміючи, що не всім читачам нашої розсилки цікаво блукати в математичних нетрях, я постарався не наводити жодних формул (крім самого рівняння теореми Ферма та пари гіпотез) та максимально спростити висвітлення деяких специфічних питань.

Як Ферма заварив кашу

Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П'єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел, яке згодом отримало назву Великої (або Великої) теореми Ферма. Це одна з найвідоміших та феноменальніших математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо неї був би не такий сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття н. е.) "Арифметика", яку Ферма частенько студіював, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел , не було виявлено приблизно наступний запис великого математика:

"Я маю дуже разючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях".

Вона, цей запис, і стала причиною наступної грандіозної метушні навколо теореми.

Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж запитаємо себе: чи справді він її довів чи банально збрехав? Чи є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, який не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?

Історія Великої теореми цікава, як пригода в часі. У 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду x n + y n = z nнемає рішень у цілих числах за показника ступеня n>2. Це, власне, і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простий на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність. Американський математик шотландського походження Ерік Темпл Белл у своїй книзі "Остання проблема" (1961) навіть припустив, що можливо людство припинить своє існування раніше, ніж зможе довести Велику теорему Ферма.

Дещо дивним є те, що чомусь теорема запізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 - інша знаменита математична формула - теорема Піфагора, виникла на двадцять два століття раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має безліч цілочисленних рішень, наприклад, такі піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром Великої теореми

Хтось тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який студент, що оперився, вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все ніяк нікому не вдавалося. Спершу не вдавалося сто років. Потім ще сто. І ще. Серед математиків почав розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" - і деякі з них на цьому ґрунті зникли в повному розумінні цього слова.

Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірною. Я знав одного енергійного програміста, який був одержимий ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення (контрприклад) методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (на той час найчастіше іменованого ЕОМ). Він вірив у успіх свого підприємства і любив примовляти: "Ще трохи - і вибухне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети було чимало такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно, не знайшов. І жодні комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.

Теорема потребує доказів

Математики знають, що якщо теорема не доведена, з неї може випливати все, що завгодно (як істина, так і брехня), як це було з деякими іншими гіпотезами. Наприклад, в одному зі своїх листів П'єр Ферма висловив припущення, що числа виду 2 n +1 (т.зв. числа Ферма) обов'язково прості (тобто не мають цілих чисельників і діляться без залишку тільки на себе і на одиницю), якщо n – ступінь двійки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 і т.д.). Ця гіпотеза Ферма прожила понад сто років - доти, поки в 1732 Леонард Ейлер не показав, що

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641

Потім ще майже через 150 років (1880) Фортюне Ландрі розклав на множники наступне число Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721

Як без допомоги комп'ютерів змогли знайти дільники цих великих чисел - одному богу відомо. Своєю чергою Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння x 4 +y 4 +z 4 =u 4 немає рішень у цілих числах. Однак приблизно через 250 років, у 1988 році Науму Елькісу з Гарварду вдалося виявити (вже за допомогою комп'ютерної програми), що

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Тому Велика теорема Ферма вимагала докази, інакше вона була просто гіпотезою, і цілком могло бути, що десь там у безкраїх числових полях загублено рішення рівняння Великої теореми.

Найвіртуозніший і найплідніший математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для ступенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П'єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр (а також незалежно від нього Діріхле) – для ступеня 5; Лами - для ступеня 7. Але в загальному виглядітеорема залишалася недоведеною.

1 березня 1847 року на засіданні Паризької академії наук відразу два видатних математика - Габріель Ламе та Огюстен Коші - заявили, що підійшли до завершення доказу Великої теореми і влаштували гонку, публікуючи свої докази частинами. Однак поєдинок між ними був перерваний, тому що в їхніх доказах була виявлена ​​та сама помилка, на яку вказав німецький математик Ернст Куммер.

На початку XX століття (1908) заможний німецький підприємець, меценат та вчений Пауль Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Вже в перший рік після опублікування заповіту Вольфскеля Геттінгентської академії наук, вона була завалена тисячами доказів від любителів математики, і цей потік не припинявся протягом десятиліть, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Кажуть, що в академії було заготовлено бланки приблизно такого змісту:

Шановний __________________________!
У Вашому доказі теореми Ферма на сторінці ____ у ____ рядку зверху
у формулі:__________________________ виявлено таку помилку:,

Які розсилалися невдалим претендентам премії.

На той час у колі математиків з'явилося напівзневажливе прізвисько. ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати сила-силенна в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо ляснувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів". теорему Ферма!". Кожен ферміст, хоч він був навіть десятитисячним за рахунком, вважав себе першим - це було смішним. Простий зовнішній виглядВеликої теореми так сильно нагадував фермістам легкий видобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.

(Фермісти, як не дивно, існують і нині. Один із них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але донедавна робив спроби - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).

Найсильніші математики, можливо, в тиші своїх кабінетів теж пробували обережно підходити до цієї непідйомної штанги, але не говорили про це вголос, щоб не вважатися фермістами і, таким чином, не нашкодити своєму високому авторитету.

На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Дивна гіпотеза

До середини ХХ століття жодних серйозних поступів історія Великої теореми немає. Але незабаром у математичному житті відбулася одна цікава подія. У 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження з зовсім іншої галузі математики, що отримало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шімури-Вейла"), яке, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.

Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модульна форма". Дане твердження для математиків того часу звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожному дереву відповідає певний метал". Неважко вгадати, як може поставитися до такого твердження нормальна людина - він просто не сприйме її всерйоз, що й сталося: математики дружно проігнорували гіпотезу.

Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривимірний вигляд, тому ми їх навіть уявити не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивовижні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна транслювати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, змінювати місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їх вигляд не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві та модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.

Гіпотеза Таніями була надто парадоксальна: вона поєднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, всі побачили у тому трохи більше, ніж забавні збіги. На скромне запитання Таніями: чи можливо для кожної еліптичної кривої знайти відповідну модулярну функцію, маститий француз Андре Вейл, який на той час був одним із найкращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мовляв, якщо допитливого Таніяму не залишить ентузіазм, то, можливо, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, станеться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася поза увагою, тому що до неї ще не дорослі - її майже ніхто не зрозумів. Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого високообдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.

Через три роки (1958) Ютака Таніяма наклав на себе руки (сильні, однак, в Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не зрозумілий вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім скоро він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово та фізично. Взагалі я і зараз не розумію, навіщо це роблю…" так далі на трьох аркушах. Шкода, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але всі генії трохи дивні - на те вони і генії (на думку чомусь прийшли слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі") . Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.

Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х вона стала популярною - її регулярно перевіряли всі, хто зміг у ній розібратися - і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і раніше, ніхто не міг її довести.

Дивовижний зв'язок двох гіпотез

Минуло ще приблизно 15 років. В 1984 відбулася одна ключова подія в житті математики, яка об'єднала екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведено гіпотезу Таніями, то, отже, буде доведено і Велику теорему Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (та сама, яка фігурує і в гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І ось буквально за півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кеннет Рібет чітко довів теорему Фрея.

Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно всього лише довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за століття з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішив, що впоратися з гіпотезою Таніями також практично неможливо.

Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми

Минуло ще вісім років. Одному прогресивному англійському професору математики з університету Прінстона (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений. Вайлз - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в Історію, звичайно, привабливо і дуже хотілося, але Вайлз, як справжній вчений, не спокушався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж здавались примарні докази. Тому, перш ніж уявити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлз зізнався, що ніхто, крім його дружини, не знав, що він працює над доказом Великої теореми.

І ось після довгих перевірок і тяжких роздумів, Вайлз набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабства і 23 червня 1993 на математичній конференції з теорії чисел в Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.

Це, звісно, ​​була сенсація. Ніхто не очікував такої спритності від маловідомого математика. Одразу ж з'явилася преса. Усіх мучив палкий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, постали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики, адже вони такі - дивляться на всякі рівняння і бачать у них не цифри, константи і змінні, а чують музику, подібно до Моцарта, що дивиться на нотний стан. Точно так, як ми, читаючи книгу, дивимося на літери, але начебто як їх і не помічаємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.

Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно – помилок у ньому не знайшли – ніхто не почув жодної фальшивої ноти (хоча більшість математиків просто вп'ялася на нього, як першокласники на інтеграл і нічого не зрозуміли). Усі вирішили, що сталася масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже і Велика теорема Ферма. Але приблизно через два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса мав піти в тираж, у ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, зауважив, що один фрагмент міркувань спирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча загалом прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими та новаторськими.

Вайлз проаналізував ситуацію і вирішив, що програв. Можна собі уявити, як він усією своєю істотою відчув, що означає "від великого до смішного один крок". "Хотів увійти в Історію, а натомість увійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки виснажували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув свій доказ у довгий ящик.

Але через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час роздумів над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього несподівано осяяла думка, що "систему Ейлера" можна поміняти на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і все зійшлося. Виправлений варіант доказу було передано на перевірку і через рік було оголошено, що в ньому все абсолютно чітко, без жодної помилки. Влітку 1995 року в одному з перших математичних журналів - "Аннали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої (Великої) теореми Ферма), яке зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ такий складний, що зрозуміти його цілком могли лише кілька десятків людей у ​​всьому світі.

Таким чином, наприкінці ХХ століття весь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику (Велику) теорему Ферма і увійшов до Історії.

Подумаєш, довели якусь теорему...

Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок знання. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне століття формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера і Гауса (королів математики своїх часів), Евариста Галуа (що встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп та полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки химерних модулярних форм, а й конвенціоналізму - філософської течії), Давида Гілберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шімуру, Морделла, Фальтінгса, Ернста Куммера, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора та інших справжніх вчених(Не побоюсь цих слів).

Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд із такими здобутками ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби та політ у космос. Хоч про нього і не так широко відомо, тому що воно не вторгається в зону наших нагальних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але воно стало спалахом наднової зірки, яка, як і всі незмінні істини, завжди світитиме людству.

Ви можете сказати: "подумаєш, довели якусь теорему, кому це треба?". Справедливе питання. Тут точно погодиться відповідь Давида Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки найважливіше?", він відповів: "зловити муху на зворотному боці Місяця", його резонно запитали: "а кому це треба?", він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш ніж довести теорему Ферма. врахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, яка будується без жодної помилки), і будь-які наукові досягнення та винаходи починаються саме тут. ".

* * *

А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П'єра Ферма на полях підручника Діофанта і ще раз запитаємо себе: чи справді Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:

Версія 1:Ферма довів свою теорему. (На запитання: "Чи мав Ферма такий самий доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс зауважив: "Ферма не міг мати в своєму розпорядженні такимдоказом. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що в кінці ХХ століття - в ту епоху д, Артаньяна, цариця наук ще не володіла тими відкриттями (модулярні форми, теореми Таніями , Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма (звісно, ​​можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом? Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, практично неможлива);
Версія 2:П'єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3:Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.

Якщо вірна одна з двох останніх версій, що найімовірніше, тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді не проти прибрехати(переважно цей висновок буде корисним для тих, хто схильний нероздільно довіряти своїм кумирам та іншим володарям дум). Тому, читаючи твори авторитетних синів людства або слухаючи їх пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися у їхніх твердженнях. (Прошу зауважити, що сумніватися - не означає відкидати).

Перевидання матеріалів статті можливе лише з обов'язковими посиланнями на сайт (в інтернеті - гіперпосилання) та на автора

У 17 столітті у Франції жив юрист і за сумісництвом математик П'єр Ферма, який віддавав своєму захопленню довгий час дозвілля. Якось зимовим вечором, сидячи біля каміна, він висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел - саме воно надалі було названо Великою або Великою теоремою Ферма. Можливо, ажіотаж не був би настільки вагомим у математичних колах, якби не сталася одна подія. Математик часто проводив вечори за студією улюбленої книги Діофанта Олександрійського «Арифметика» (3 століття), при цьому записував на її полях важливі думки – цей раритет дбайливо зберіг для нащадків його син. Так ось, на широких полях цієї книги рукою Ферма було залишено такий напис: «У мене є досить разючий доказ, але він занадто великий, щоб його можна було помістити на полях». Саме цей запис став причиною приголомшливого ажіотажу навколо теореми. У математиків не викликало сумнівів, що великий учений заявив, що довів власну теорему. Ви напевно запитуєте: «Невже він насправді її довів, чи це була банальна брехня, а може є інші версії, навіщо цей запис, який не давав умиротворено спати математикам наступних поколінь, опинився на полях книги?».

Суть Великої теореми

Досить відома теорема Ферма проста за своєю суттю і полягає в тому, що за умови, коли n більша за двійку, позитивного числа, рівняння Х n +Y n =Z n не матиме рішень нульового типу в рамках натуральних чисел. У цій на вигляд простий формулі була замаскована неймовірна складність, і на її доказом билися цілих три століття. Є одна дивина - теорема запізнилася з народженням, оскільки її окремий випадок при n = 2 з'явився ще 2200 років тому - це не менш знаменита теорема Піфагора.

Необхідно відзначити, що історія, що стосується всім відомої теореми Ферма, є дуже повчальною та цікавою, причому не лише для вчених-математиків. Що найцікавіше, так це те, що наука була для вченого не роботою, а простим хобі, яке, у свою чергу, приносило Фермеру величезне задоволення. Також він постійно підтримував зв'язок із вченим-математиком, а за сумісництвом, ще й другом, ділився ідеями, але як не дивно, власні роботи опубліковувати у світ не прагнув.

Праці математика Фермера

Щодо самих робіт Фермера, то їх виявили саме у формі звичайних листів. Місцями не було цілих сторінок, і збереглися лише уривки листування. Цікавішим є той факт, що протягом трьох століть вчені шукали ту теорему, яка була виявлена ​​в працях Фермера.

Але хто б не наважувався її довести, спроби зводилися до нуля. Відомий математик Декарт і зовсім звинувачував вченого в хвастощі, але все це зводилося лише до звичайної заздрості. Крім створення, Фермер ще й довів свою теорему. Щоправда рішення було знайдено у тому випадку, де n=4. Що ж до випадку для n=3, його виявив математик Эйлер.

Як намагалися довести теорему Фермера

На початку 19 століття дана теорема продовжила своє існування. Математики виявили багато доказів теорем, які обмежувалися натуральними числами в межах двохсот.

А в 1909 році була поставлена ​​на кін досить велика сума, рівна ста тисяч маркам німецького походження - і все це тільки за те, щоб вирішити питання, пов'язане з цією теоремою. Сам фонд призової категорії був залишений багатим любителем математики Паулем Вольфскелем, родом із Німеччини, до речі, саме він хотів «накласти на себе руки», але завдяки такій залученості до теореми Фермера захотів жити. Виниклий ажіотаж породив тонни «доказів», що заполонили німецькі університети, а серед математиків народилося прізвисько «ферміст», яким напівпрезрительно називали будь-якого амбітного вискочку, не зумів навести явні докази.

Гіпотеза японського математика Ютакі Таніяма

Зрушень історія Великої теореми до середини 20 століття не спостерігалося, але одна цікава подія таки сталося. У 1955 році математик з Японії Ютака Таніяма, якому було 28 років, явив світові твердження з абсолютно іншої математичної області - його гіпотеза на відміну від Ферма випередила свій час. Вона говорить: "Кожній еліптичної кривої відповідає певна модулярна форма". Начебто абсурд для кожного математика, подібно, що дерево складається з певного металу! Парадоксальну гіпотезу, як і більшість інших приголомшливих та геніальних відкриттів, не прийняли, оскільки ще просто не доросли до неї. І Ютака Таніяма наклав на себе руки, через три роки - вчинок незрозумілий, але, ймовірно, честь для істинного генія-самурая була понад усе.

Ціле десятиліття про гіпотезу не згадували, але в сімдесятих вона піднялася на пік популярності – її підтверджували всі, хто міг у ній розібратися, але, як і теорема Ферма, вона залишалася недоведеною.

Як пов'язані гіпотеза Таніями та теорема Ферма

Через 15 років у математиці відбулася ключова подія, і вона об'єднала гіпотезу прославленого японця та теорему Ферма. Герхард Грей заявив, що коли буде доведено гіпотезу Таніяма, тоді й знайдуться докази теореми Ферма. Тобто остання – це наслідок гіпотези Таніяма, і вже за півтора року професором університету в Каліфорнії Кеннетом Рібетом теорема Ферма була доведена.

Ішов час, регрес замінювався прогресом, а наука стрімко просувалася вперед, особливо у галузі комп'ютерних технологій. Таким чином, значення n почало все більше підвищуватися.

Наприкінці 20 століття найпотужніші комп'ютери перебували у лабораторіях військового напрями, було здійснено програмування на вирішення завдання всім відомого Ферма. Як наслідок всім спробам було виявлено те, що ця теорема правильна для багатьох значень n, x, y. Але, на жаль, остаточним доказом це стало, оскільки був конкретики як такої.

Джон Уайлс довів велику Теорему Ферма

І ось, нарешті, лише наприкінці 1994 року, математик з Англії, Джон Уайлс знайшов і продемонстрував точний доказ спірної теореми Фермера. Тоді, після безлічі доробок, дискусії з цього приводу дійшли свого логічного завершення.

Спростування було розміщено на понад ста сторінках одного журналу! Причому теорему було доведено більш сучасному апараті вищої математики. І що дивно, на той момент, коли Фермер писав свою працю, такого апарату в природі не існувало. Словом, людина була визнана генієм у цій галузі, з чим посперечатися не міг ніхто. Незважаючи на все, що було, на сьогоднішній день можна бути впевненими в тому, що представлена ​​теорема великого вченого Фермера виправдана і доведена, і суперечки і на цю тему не заведе жодних математиків зі здоровим глуздом, з чим згодні навіть найзатятіші скептики всього людства.

Повне ім'я людини, на честь якої було названо представлену теорему, звали П'єр де Фермер. Він зробив свій внесок у найрізноманітніші галузі математики. Але, на жаль, більшість його праць було опубліковано лише після його смерті.

НОВИНИ НАУКИ ТА ТЕХНІКИ

УДК 51:37;517.958

А.В. Коновка, к.т.н.

Академія державної протипожежної служби МНС Росії ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ЧИ НІ?

Протягом кількох століть довести, що рівняння xn+yn=zn при n>2 не можна в раціональних, отже, і цілих числах не вдавалося. Народилося це завдання під авторством французького юриста П'єра Ферма, який паралельно професійно займався математикою. Її рішення визнається за американським учителем математики Ендрю Вайлсом. Це визнання тривало з 1993 по 1995 рік.

THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?

The dramatic history of Fermat's last theorem providing is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. на дошці рациональних номерів і integers, якщо n>2 був віднесений до Fermat"s commentary те, що ви знайдете необхідний remarkable proving to цей statement. The descendants були невідповідні до цього proving. Останній цей стан був названий Fermat's останній theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. в 1993, на теорії номерів конференція в Cambridge, математичний Princeton University Andrew Whiles повідомила, що Fermat's останній theorem proving is gotten. However it був early to triumph.

У 1621 році французьким літератором та любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезіріаком був виданий грецький трактат "Арифметики" Діофанта з латинським перекладом та коментарями. Розкішна, з надзвичайно широкими полями "Арифметика", потрапила до рук двадцятирічного Ферма і на довгі роки стала його настільною книгою. На її полях він залишив 48 зауважень, які містять відкриті факти про властивості чисел. Тут же, на полях "Арифметики" була сформульована велика теорема Ферма: "Неможливо розкласти куб на два куби або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступені з тим же показником; я знайшов цьому воістину чудовий доказ, який через нестачу місця не може поміститися на цих полях. До речі, на латині це виглядає таким чином: «Cubum autem in duos cubos, aut quadratum-quadratum in duos quadratum-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Великий французький математик П'єр Ферма (1601-1665) розвинув метод визначення площ та обсягів, створив новий метод дотичних та екстремумів. Поряд із Декартом він став творцем аналітичної геометрії, разом з Паскалем стояв біля витоків теорії ймовірностей, в області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання та довів у загальному вигляді правило інтегрування статечної функції... Але, головне, з цим ім'ям пов'язана одна з найзагадковіших і найдраматичніших історій, що коли-небудь приголомшували математику - історія доказу великої теореми Ферма. Нині цю теорему висловлюють як простого твердження: рівняння xn + yn = zn при n>2 нерозв'язне у раціональних, отже, і цілих числах. До речі, для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести середньоазіатський математик Ал-Ходжанді, але його доказ не зберігся.

Уродженець півдня Франції, П'єр Ферма отримав юридичну освіту і з 1631 був радником парламенту міста Тулузи (тобто вищого суду). Після робочого дня у стінах парламенту, він приймався за математику і відразу занурювався у зовсім інший світ. Гроші, престиж, суспільне визнання - все це не мало для нього жодного значення. Наука ніколи не ставала для нього заробітком, не перетворювалася на ремесло, завжди залишаючись лише захоплюючою грою розуму, зрозумілою лише одиницям. З ними він і вів своє листування.

Ферма ніколи не писав наукових працьу нашому звичному розумінні. А в його листуванні з друзями завжди є певний виклик, навіть своєрідна провокація, а аж ніяк не академічний виклад проблеми та її вирішення. Тому багато хто з його листів згодом так і стали іменуватися: викликом.

Можливо, саме тому він так і не здійснив свого наміру написати спеціальний твір з теорії чисел. А тим часом це була його найулюбленіша область математики. Саме їй Ферма присвятив найнатхненніші рядки своїх листів. "Арифметика, - писав він, - має свою власну область, теорію цілих чисел. Ця теорія була лише злегка торкнута Евклідом і була досить розроблена його послідовниками (якщо тільки вона не містилася в тих роботах Діофанта, яких нас позбавило руйнівну дію часу). Арифметики, отже, мають її розвинути та відновити".

Чому ж сам Ферма не боявся руйнівної дії часу? Писав він мало і завжди дуже стисло. Але найголовніше, він не публікував свої роботи. За його життя вони циркулювали лише у рукописах. Тому не дивно, що результати Ферма з теорії чисел дійшли до нас у розрізненому вигляді. Але, мабуть, мав рацію Булгаков: великі рукописи не горять! Роботи Ферма залишились. Вони залишилися в його листах до друзів: ліонському вчителю математики Жаку де Біллі, співробітнику монетного двору Бернар Френікель де Бессі, Марсенні, Декарту, Блез Паскалю... Залишилася "Арифметика" Діофанта з його зауваженнями на полях, які після смерті Ферма увійшли разом з коментарями Баші у нове видання Діофанта, випущене старшим сином Самюелем у 1670 році. Не збереглося лише докази.

За два роки до смерті Ферма надіслав своєму другу Каркаві лист-заповіт, який увійшов до історії математики під назвою «Зведення нових результатів у науці про числа». У цьому листі Ферма довів своє знамените твердження для випадку п = 4. Але тоді його цікавило, швидше за все, не саме твердження, а відкритий ним метод доказів, названий самим Ферма нескінченним чи невизначеним спуском.

Рукописи не горять. Але, якби не самовідданість Самюеля, який зібрав після смерті батька всі його математичні нариси і невеликі трактати, а потім видав їх у 1679 під назвою «Різні математичні твори», вченим математикам багато б доводилося відкривати і перевідкривати заново. Але й після їх видання проблеми, поставлені великим математиком, пролежали без руху понад сімдесят років. І це не дивно. У тому вигляді, в якому вони з'явилися у пресі, теоретико-числові результати П. Ферма постали перед фахівцями у вигляді серйозних, далеко не завжди зрозумілих сучасникам проблем, майже без доказів та вказівок на внутрішні логічні зв'язки між ними. Можливо, без стрункої, продуманої теорії і криється у відповідь питання, чому сам Ферма не зібрався видати книжку з теорії чисел. Через сімдесят років цими роботами зацікавився Л. Ейлер, і це було справді їх другим народженням.

Математика дорого заплатила за своєрідну манеру Ферма викладати свої результати, начебто спеціально опускаючи їх докази. Але, якщо Ферма стверджував, що довів ту чи іншу теорему, то згодом цю теорему обов'язково доводили. Проте з великою теоремою вийшла затримка.

Загадка завжди хвилює уяву. Цілі континенти підкорила загадкова усмішка Джоконди; теорія відносності як ключ до загадки просторово-часових зв'язків стала найпопулярнішою фізичною теорієюстоліття. І можна сміливо стверджувати, що не було іншої такої математичної проблеми, яка була б така популярна, як вели__93

Наукові та освітні проблемицивільного захисту

ка теорема Ферма. Спроби довести її призвели до створення великого розділу математики - теорії чисел алгебри, але (на жаль!) ​​сама теорема залишалася недоведеною. У 1908 році німецький математик Вольфскель заповідав 100 000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це була величезна на той час сума! Одного разу можна було стати не лише знаменитим, а й казково розбагатіти! Тож не дивно, що гімназисти навіть далекої від Німеччини Росії навперебій кинулися доводити велику теорему. Що вже казати про професійних математиків! Але... марно! Після Першої світової війни гроші знецінилися, і потік листів із псевдодоказами почав вичерпуватися, хоча зовсім, звичайно, так і не припинився. Розповідають, що відомий німецький математик Едмунд Ландау заготовляв друковані формуляри для розсилки авторам доказів теореми Ферма: "На стор ... у рядку ... є помилка". (Знаходити помилку доручалося доценту.) Курйозів та анекдотів, пов'язаних з доказом цієї теореми, набралося стільки, що з них можна було б скласти книгу. Останнім анекдотом виглядає детектив О. Марініної «Збіг обставин», який екранізований і пройшов телеекранами країни в січні 2000 року. У ньому недоведену всіма своїми великими попередниками теорему доводить наш із вами співвітчизник і претендує на це Нобелівську премію. Як відомо, винахідник динаміту проігнорував у своєму заповіті математиків, тож автор доказу міг претендувати хіба що на Філдсовську золоту медаль – найвищу міжнародну нагороду, затверджену самими математиками у 1936 році.

У класичній роботі видатного вітчизняного математика А.Я. Хінчина, присвяченій великій теоремі Ферма, даються відомості з історії цієї проблеми та приділяється увага методу, яким міг користуватися Ферма за доказом своєї теореми. Наводяться докази для випадку п = 4 і короткий оглядінших найважливіших результатів.

Але на момент написання детектива, а тим більше, на момент його екранізації загальний доказ теореми було вже знайдено. 23 червня 1993 року на конференції з теорії чисел у Кембриджі математик з Прінстона Ендрю Уайлс анонсував, що доказ великої теореми Ферма отримано. Але зовсім не так, як обіцяв сам Ферма. Той шлях, яким пішов Ендрю Уайлс, грунтувався зовсім на методах елементарної математики. Він займався так званою теорією еліптичних кривих.

Щоб отримати уявлення про еліптичні криві, необхідно розглянути плоску криву, задану рівнянням третього ступеня

У(х,у) = а30Х + а21х2у + ... + а1х + а2у + а0 = 0. (1)

Усі такі криві розбиваються на два класи. До першого класу відносяться ті криві, які мають точки загострення (як, наприклад, напівкубічна парабола у2 = а2-Х з точкою загострення (0; 0)), точки самоперетину (як Декартов лист х3+у3-3аху = 0, у точці (0; 0)), а також криві, для яких многочлен Дх,у) подається у вигляді

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

де ^(х,у) та ^(х,у) - багаточлени менших ступенів. Криві цього класу називаються виродженими кривими третього ступеня. Другий клас кривих утворюють невироджені криві; ми називатимемо їх еліптичними. До таких може бути віднесений, наприклад, Локон Аньєзі (х2 + а2) у - а3 = 0). Якщо коефіцієнти многочлена (1) – раціональні числа, то еліптична крива може бути перетворена до так званої канонічної форми

у2 = х3 + ах + Ь. (2)

У 1955 року японському математику Ю. Танияме (1927-1958) у межах теорії еліптичних кривих вдалося сформулювати гіпотезу, що відкрила шлях доказу теореми Ферма. Але про це не підозрював тоді ні сам Таніяма, ні його колеги. Майже двадцять років ця гіпотеза не привертала до себе серйозної уваги і стала популярною лише в середині 70-х років. Відповідно до гіпотези Таніями будь-яка еліптична

крива із раціональними коефіцієнтами є модулярною. Однак поки що формулювання гіпотези мало говорить допитливому читачеві. Тому будуть потрібні деякі визначення.

З кожною еліптичною кривою можна зв'язати важливу числову характеристику- Її дискримінант. Для кривої, заданої у канонічній формі (2), дискримінант А визначається формулою

А = -(4а + 27b2).

Нехай Е - деяка еліптична крива, задана рівнянням(2), де а та b - цілі числа.

Для простого числа р розглянемо порівняння

y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)

де а і b - залишки від розподілу цілих чисел а і b на р і позначимо через np число рішень цього порівняння. Числа пр дуже корисні при дослідженні питання про розв'язання рівнянь виду (2) у цілих числах: якщо якесь пр дорівнює нулю, то рівняння (2) не має цілих рішень. Однак обчислити числа видається лише в рідкісних випадках. (Водночас відомо, що р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Розглянемо прості числа р, які ділять дискримінант А еліптичної кривої (2). Можна довести, що для таких р багаточлен х3+ах+b можна записати одним із двох способів:

х3 + ах + b = (х + а) 2 (х + ß) (mod Р)

х3 + ах + b = (х + у) 3 (mod p),

де а, ß, у - деякі залишки від поділу на р. Якщо для всіх простих р, що ділять дискримінант кривою, реалізується перша з двох зазначених можливостей, то еліптична крива називається напівстабільною.

Прості числа, що ділять дискримінант, можна поєднати у так званий кондуктор еліптичної кривої. Якщо Е - напівстабільна крива, її кондуктор N задається формулою

де для всіх простих чисел p > 5, що ділять А, показник еР дорівнює 1. Показники 82 та 83 обчислюються за допомогою спеціального алгоритму.

Фактично - це все, що потрібно розуміння суті докази. Однак у гіпотезі Таніями є непросте і в нашому випадку ключове поняття модулярності. Тому забудемо на час про еліптичних кривих і розглянемо аналітичну функцію f (тобто ту функцію, яка може бути представлена ​​статечним рядом) комплексного аргументу z, заданого у верхній напівплощині.

Позначимо через Н верхню комплексну напівплощину. Нехай N - натуральне і до - ціле число. Модулярною параболічною формою ваги до рівня N називається аналітична функція f(z), задана у верхній напівплощині і задовольняє співвідношення

f = (cz + d)kf (z) (5)

для будь-яких цілих чисел а, b, с, d таких, що ае - bc = 1 і ділиться на N. Крім того, передбачається, що

lim f(r+it) = 0,

де r - раціональне число, і що

Простір модулярних параболічних форм ваги рівня N позначається через Sk(N). Можна показати, що вона має кінцеву розмірність.

Надалі нас особливо цікавитимуть модулярні параболічні форми ваги 2. Для малих N розмірність простору S2(N) представлена ​​в табл. 1. Зокрема,

Розміри простору S2(N)

Таблиця 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

З умови (5) випливає, що % + 1) = кожної форми f е S2(N). Отже, f є періодичною функцією. Таку функцію можна подати у вигляді

Назвемо модулярну параболічну форму А^) в S2(N) власної, якщо її коефіцієнти - цілі числа, що задовольняють співвідношенням:

а г ■ а = а г+1 ■ р ■ з Г_1 для простого р, що не ділить число N; (8)

(ap) для простого р, що ділить число N;

атп = ат ап, якщо (т, п) = 1.

Сформулюємо тепер визначення, що відіграє ключову роль доказі теореми Ферма. Еліптична крива з раціональними коефіцієнтами та кондуктором N називається модулярною, якщо знайдеться така власна форма

f(z) = ^anq" g S2(N),

що ар = р - пр для багатьох простих чисел р. Тут пр – число рішень порівняння (3).

Важко повірити в існування хоча б однієї такої кривої. Уявити, що знайдеться функція А(г), що задовольняє переліченим жорстким обмеженням (5) і (8), яка б розкладалася в ряд (7), коефіцієнти якої були б пов'язані з практично необчислюваними числами Пр, досить складно. Але смілива гіпотеза Таніями аж ніяк не ставила під сумнів факт їхнього існування, а накопичений часом емпіричний матеріал блискуче підтвердив її справедливість. Після двох десятиліть майже повного забуття гіпотеза Таніями отримала у роботах французького математика, члена Паризької Академії наук Андре Вейля друге дихання.

А. Вейль, що народився в 1906 році, став згодом одним із засновників групи математиків, які виступали під псевдонімом Н. Бурбаки. З 1958 року А. Вейль стає професором Прінстонського інституту перспективних досліджень. І до цього періоду відноситься виникнення його інтересу до абстрактної алгебраїчної геометрії. У сімдесяті роки він звертається до еліптичних функцій та гіпотези Таніями. Монографія, присвячена еліптичних функцій, була перекладена у нас, в Росії. У своєму захопленні він не самотній. У 1985 році німецький математик Герхард Фрей припустив, що якщо теорема Ферма невірна, тобто якщо знайдеться така трійка цілих чисел а, Ь, с, що а + Ьп = = с (п > 3), то еліптична крива

у2 = х (х - а")-(х - сп)

не може бути модулярною, що суперечить гіпотезі Таніями. Самому Фрей не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ було отримано американським математиком Кеннетом Рібетом. Інакше кажучи, Рібет показав, що теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями.

Він сформулював і довів таку теорему:

Теорема 1 (Рібет). Нехай Е - еліптична крива з раціональними коефіцієнтами, що має дискримінант

та кондуктор

Припустимо, що Е є модулярною, і нехай

/(г) = q + 2 аАп е^(N)

є відповідна власна форма рівня N. Фіксуємо просте число £, та

р: еР = 1; - "8 р

Тоді існує така параболічна форма

/(г) = 2 dnqn е N)

з цілими коефіцієнтами, що різниці ап - dn поділяються на I для всіх 1< п<ад.

Ясно, що якщо ця теорема доведена для деякого показника, то тим самим вона доведена і для всіх показників, кратних п. Оскільки всяке ціле число п > 2 ділиться або на 4, або на непарне просте число, то тому можна обмежитися випадком, коли показник дорівнює або 4, або непарному простому числу. Для п = 4 елементарне підтвердження теореми Ферма було отримано спочатку самим Ферма, та був Ейлером. Таким чином, достатньо вивчити рівняння

а1 + Ь1 = с1, (12)

у якому показник I є непарне просте число.

Тепер теорему Ферма можна здобути простими обчисленнями (2).

Теорема 2. З гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих випливає остання теорема Ферма.

Доведення. Припустимо, що теорема Ферма невірна, і нехай є відповідний контрприклад (як і вище, тут I - непарне просте число). Застосуємо теорему 1 до еліптичної кривої

у2 = х (х - ае) (х - с1).

Нескладні обчислення показують, що кондуктор цієї кривої задається формулою

Порівнюючи формули (11) і (13), бачимо, що N = 2. Отже, за теоремою 1 знайдеться параболічна форма

що лежить у просторі 82(2). Але з співвідношення (6) це простір нульовий. Тому dn = 0 всім п. У той самий час а^ = 1. Отже, різниця аг - dl = 1 не ділиться на I і ми приходимо до суперечності. Отже, теорема доведена.

Ця теорема давала ключ до підтвердження великої теореми Ферма. І все ж таки сама гіпотеза залишалася все ще недоведеною.

Анонсувавши 23 червня 1993 року доказ гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих, до яких належать і криві види (8), Ендрю Вайлз поквапився. Математикам було рано святкувати перемогу.

Швидко закінчилося тепле літо, залишилася позаду дощова осінь, настала зима. Уайлс писав і переписував набіло остаточний варіант свого доказу, але прискіпливі колеги знаходили в його роботі все нові й нові неточності. І ось, на початку грудня 1993 року, за кілька днів до того, як рукопис Уайлса мав піти до друку, у його доказі були знову виявлені серйозні прогалини. І тоді Уайлз зрозумів, що за день-два він уже не зможе нічого виправити. Тут була потрібна серйозна доробка. Публікацію роботи довелося відкласти. Уайлз звернувся по допомогу до Тейлора. «Робота над помилками» зайняла понад рік. Остаточний варіант доказу гіпотези Таніями, написаний Уайлсом у співпраці з Тейлором, побачив світ лише влітку 1995 року.

На відміну від героя А. Марініної Уайлс не претендував на Нобелівську премію, проте... якоюсь нагородою його мали відзначити. Ось тільки який? Уайлсу на той час уже перевалило на п'ятий десяток, а золоті медалі Філдса вручаються до сорока років, поки ще не пройдено пік творчої активності. І тоді для Уайлса вирішили заснувати спеціальну нагороду – срібний знак Філдсівського комітету. Цей знак і вручили йому на черговому конгресі з математики в Берліні.

З усіх проблем, здатних з більшою чи меншою ймовірністю зайняти місце великої теореми Ферма, найбільші шанси має проблема щільної упаковки куль. Проблему щільної упаковки куль можна сформулювати як завдання про те, як економно скласти з апельсинів піраміду. Молодим математикам таке завдання дісталося у спадок від Йоганна Кеплера. Проблема народилася 1611 року, коли Кеплер написав невеликий твір «Про шестикутні сніжинки». Інтерес Кеплера до розташування і самоорганізації частинок речовини і привів його до обговорення іншого питання - про щільну упаковку частинок, при якій вони займають найменший обсяг. Якщо припустити, що частинки мають форму куль, то ясно, що як би вони не розташовувалися в просторі, між ними неминуче залишаться проміжки, і питання полягає в тому, щоб об'єм зазорів звести до мінімуму. У роботі, наприклад, стверджується (але не доводиться), що такою формою є тетраедр, осі координат усередині якого визначають базисний кут ортогональності в 109о28", а не 90о. Ця проблема має величезне значення для фізики елементарних частинок, кристалографії та ін. .

Література

1. Вейль А. Еліптичні функції за Ейзенштейном та Кронекером. – М., 1978.

2. Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями та остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал. – № 2. – 1998. – С. 78-95.

3. Сінгх С. Велика теорема Ферма. Історія загадки, яка займала найкращі уми світу протягом 358 років/Пер. з англ. Ю.А. Данилова. М: МЦНМО. 2000. – 260 с.

4. Мирмович Е.Г., Усачова Т.В. Алгебра кватерніонів та тривимірні обертання // Справжній журнал № 1(1), 2008. – С. 75-80.

У світі можна знайти не так багато людей, які жодного разу не чули про Велику теорему Ферма - мабуть, це єдина математична задача, що отримала таку широку популярність і стала справжньою легендою. Про неї згадується в безлічі книг і фільмів, при цьому головний контекст майже всіх згадок - неможливість довести теорему.

Так, ця теорема дуже відома і в певному сенсі стала «ідолом», якому поклоняються математики-аматори та професіонали, але мало кому відомо про те, що її доказ знайдено, а сталося це вже далекого 1995 року. Але про все по порядку.

Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 році блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.

Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...

Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важке, проте її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, А ось доказ - навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?

Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте - на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: в будь-якому прямокутному трикутникуквадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює суміквадратів, збудованих на катетах.

У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формулидля їх знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки і більше високих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.

Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²

Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.

Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.

Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто навести це рішення.

Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац – а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?

Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.

У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2):


А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:

А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння x n + y n = z n. І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи горять! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».

Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав доказів будь-якого твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.

Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),

Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ знаходиться на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте тільки в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказів останньої теореми Ферма практично закінчилася.

Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.

У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.

Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.

У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше за північ. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.

Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...

Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:

Шановний(а) . . . . . . . .

Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау

1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.

У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.

У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.

Тим не менш, друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але доти, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла зруйнуватися будь-якої миті.

В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося дедалі менше.

У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.

Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлс з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої ​​роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.

У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.

Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.

Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця в теорії чисел Річарда Тейлора, і вже в 1994 вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.

«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не казав, що математики дивні люди?

На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».

З того моменту пройшло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Фер-ма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!

Тому зараз сили дуже багатьох математиків (в основному це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого і лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди...

джерело