В геометрията векторът се разбира като насочен сегмент, а векторите, получени един от друг чрез паралелна транслация, се считат за равни. Всички равни вектори се третират като един и същ вектор. Началото на вектора може да бъде поставено във всяка точка на пространството или равнината.

Ако координатите на краищата на вектора са дадени в пространството: А(х 1 , г 1 , z 1), б(х 2 , г 2 , z 2), тогава

= (х 2 – х 1 , г 2 – г 1 , z 2 – z 1). (1)

Подобна формула важи и в равнината. Това означава, че един вектор може да бъде написан като координатен низ. Операциите върху вектори, - събиране и умножение с число, върху низове се извършват компонент по компонент. Това дава възможност да се разшири концепцията за вектор, разбирайки вектор като всеки низ от числа. Например системното решение линейни уравнения, както и всеки набор от стойности на системни променливи, може да се разглежда като вектор.

На низове с еднаква дължина операцията за добавяне се извършва съгласно правилото

(a 1, a 2, …, a н) + (b 1 , b 2 , … , b н) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a н+б н). (2)

Умножението на низ с число се извършва по правилото

l(a 1 , a 2 , … , a н) = (la 1 , la 2 , … , la н). (3)

Набор от редови вектори с дадена дължина нс посочените операции векторно събиране и умножение с число образува алгебрична структура т.нар n-мерно линейно пространство.

Линейна комбинация от вектори е вектор , където λ 1 , ... , λ мса произволни коефициенти.

Система от вектори се нарича линейно зависима, ако съществува нейната линейна комбинация, равна на , която има поне един ненулев коефициент.

Система от вектори се нарича линейно независима, ако във всяка от нейните линейни комбинации, равна на , всички коефициенти са нула.

По този начин решението на въпроса за линейната зависимост на системата от вектори се свежда до решението на уравнението

х 1 + х 2 + … + x m = . (4)

Ако това уравнение има ненулеви решения, тогава системата от вектори е линейно зависима. Ако нулевото решение е единствено, тогава системата от вектори е линейно независима.

За да се реши система (4), за яснота векторите могат да бъдат записани не под формата на редове, а под формата на колони.

След това, след извършване на трансформации от лявата страна, стигаме до система от линейни уравнения, еквивалентна на уравнение (4). Основната матрица на тази система се формира от координатите на оригиналните вектори, подредени в колони. Колоната на свободните членове не е необходима тук, тъй като системата е хомогенна.

Основана система от вектори (крайна или безкрайна, по-специално, на цялото линейно пространство) е нейната непразна линейно независима подсистема, чрез която може да се изрази всеки вектор на системата.

Пример 1.5.2.Намерете основата на системата от вектори = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) и изразете други вектори чрез основата.

Решение. Изграждаме матрица, в която координатите на тези вектори са подредени в колони. Това е матрицата на системата х 1 + х 2 + х 3 + х 4 =. . Привеждаме матрицата в стъпаловидна форма:

~ ~ ~

Основата на тази система от вектори се формира от векторите , , , които съответстват на водещите елементи на отбелязаните с кръгове редове. За да изразим вектора, решаваме уравнението х 1 + х 2 + х 4 = . Тя се свежда до система от линейни уравнения, чиято матрица се получава от оригинала чрез пренареждане на колоната, съответстваща на , на мястото на колоната със свободни членове. Следователно, когато се редуцира до стъпаловидна форма, същите трансформации ще бъдат направени върху матрицата, както по-горе. Това означава, че можем да използваме получената матрица в стъпаловидна форма, като направим необходимите пермутации на колоните в нея: колоните с кръгове се поставят отляво на вертикалната лента, а колоната, съответстваща на вектора, се поставя отдясно на бара.

Последователно намираме:

х 4 = 0;

х 2 = 2;

х 1 + 4 = 3, х 1 = –1;

Коментирайте. Ако се изисква да се изразят няколко вектора чрез основата, тогава за всеки от тях се изгражда съответната система от линейни уравнения. Тези системи ще се различават само в колоните на безплатните членове. В този случай всяка система се решава независимо от другите.

УПРАЖНЕНИЕ 1.4.Намерете основата на системата от вектори и изразете останалите вектори по отношение на основата:

а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

В дадена система от вектори базисът обикновено може да бъде разграничен различни начини, но всички бази ще имат еднакъв брой вектори. Броят на векторите в основата на линейно пространство се нарича размерност на пространството. За н-дименсионално линейно пространство не измерението на пространството, тъй като това пространство има стандартна основа = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Чрез тази основа всеки вектор = (a 1 , a 2 , … , a н) се изразява, както следва:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a н) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a н(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a н .

Така компонентите в реда на вектора = (a 1 , a 2 , … , a н) са неговите коефициенти в разширението по отношение на стандартната база.

Прави в равнина

Задача аналитична геометрия– приложение на координатния метод към геометрични задачи. Така проблемът се превежда в алгебрична форма и се решава с помощта на алгебрата.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В публиката има количка с шоколадови бонбони, а днес всеки посетител ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще обхване два раздела наведнъж. висша математика, и ще видим как се разбират в една обвивка. Направете си почивка, яжте Twix! ... по дяволите, добре, спорете глупости. Въпреки че добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да има положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна независимост на векторите, векторна основаи други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие "вектор" от гледна точка на линейната алгебра далеч не винаги е "обикновеният" вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: - съответно температура и атмосферно налягане. Разбира се, примерът е неправилен по отношение на свойствата векторно пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) са приложими за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени примери геометрично. Така всичко е просто, достъпно и визуално. Освен проблемите на аналитичната геометрия, ще разгледаме и някои типични задачи на алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Помислете за равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно ясно, че са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички елементи на масата.

Не се изненадвайте, в началото обясненията ще бъдат на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалеца на лявата ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място малкия пръст на дясната ръкана ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво може да се каже за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линейноизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е различно от нула число.

Можете да видите снимка на това действие в урока. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърната маса? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад навътре сампосока, докато равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения, изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и т.н. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има всякакъв ъгъл между тях освен 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинейно Неса зависими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа "наклонена" с неперпендикулярни вектори с различни дължини. Съвсем скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинразширени по отношение на основата:
, където са реални числа. Извикват се номера векторни координатив тази основа.

Те също така казват векторпредставени във формата линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганебазаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, може да се каже, че един вектор е разширен в ортонормална основа на равнината, или може да се каже, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме дефиниция на основатаформално: равнинна основае двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисните вектори.

Същественото в дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. бази Това са две напълно различни бази! Както се казва, малкият пръст на лявата ръка не може да бъде преместен на мястото на малкия пръст на дясната ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатната мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се движат по цялата равнина. И така, как да зададете координати на тези малки мръсни точки на масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава отправна точка е точка, позната на всички - началото на координатите. Разбиране на координатната система:

Ще започна със системата "училище". Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои от разликите между правоъгълна координатна система и ортонормална основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете в търсачката „правоъгълна координатна система“ и ще видите, че много източници ще ви разкажат за координатните оси, познати от 5-6 клас и как се нанасят точки върху равнина.

От друга страна, създава се впечатлението, че една правоъгълна координатна система може да бъде добре дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И почти е така. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на равнината . Тоест правоъгълна координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но далеч не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да се преброи“.

Трябва ли координатните вектори да са единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори определя координатната мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има свои собствени координати в дадения базис. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори общо взетоимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по абсцисата съдържа 4 см, една единица по ординатата съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“, ако е необходимо.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено - необходимо ли е ъгълът между базисните вектори да е равен на 90 градуса? Не! Както се казва в дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна координатна система на равнината :

Понякога тази координатна система се нарича кососистема. Точките и векторите са показани като примери на чертежа:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна, формулите за дължините на векторите и сегментите, които разгледахме във втората част на урока, не работят в нея. Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножение на вектор по число са валидни, формулите за разделяне на отсечка в това отношение, както и някои други типове задачи, които скоро ще разгледаме.

И заключението е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Следователно тя, нейната собствена, най-често трябва да се види. ... Все пак всичко в този живот е относително - има много ситуации, в които е подходящо да имаш наклонен (или някакъв друг, напр. полярен) координатна система. Да, и хуманоидите такива системи може да дойдат на вкус =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълна координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на равнинните вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.По същество това е усъвършенстване координата по координата на очевидната връзка.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Разберете дали съществува for вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенства:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорция и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Съкращаваме:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Отношението може да се направи и обратно, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка може да се използва фактът, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. В този случай има равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , което означава, системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Съставете пропорцията от съответните координати на векторите :
, следователно тези вектори са линейно независими и образуват основа.

Обикновено рецензентите не отхвърлят тази опция, но проблем възниква в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (Наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение "шампанско".

Отговор:а), б) форма.

Малък творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметрите вектори ще бъде колинеарен?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и просто да ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват основа;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, нула .

Много, много се надявам, че в момента вече разбирате всички термини и твърдения, които срещнахте.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да използвате тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Ние ще решимПример 1 по втория начин:

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, така че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, следователно векторите са линейно независими и образуват базис.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решението с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти, прави линии. Помислете за няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да изграждате чертеж в проблема, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Запомнете дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, в който срещуположните страни са по двойки успоредни.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) успоредност на противоположните страни и .

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре да вземете решението правилно, с подредбата. Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:
, така че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са по двойки успоредни, така че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача за самостоятелно решение. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат два пространствени вектора колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални на.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Проверете дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се прави чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Има метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност и чрез детерминанта от трети ред, този метод е разгледан в статията Кръстосано произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на тримерните пространствени вектори.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от закономерностите, които разгледахме в равнината, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да запазя резюмето на теорията възможно най-кратко, т.к лъвският пайинформацията вече е предъвкана. Препоръчвам ви обаче да прочетете внимателно. уводна част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърната маса, нека разгледаме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Сега някой е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за изграждане на основата са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите. Моля, вдигнете ръката си нагоре и разперете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, не е нужно да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но не можете да избягате от определения =)

След това нека зададем важен въпрос, дали всякакви три вектора формират основа на триизмерно пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста плота на компютърната маса. Какво стана? Три вектора са разположени в една и съща равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измерванията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е излязъл така =)).

Определение: вектори се наричат компланаренако съществува равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота си представете отново, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, но могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (и защо е лесно да се познае от материалите на предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен ред, докато всеки вектор на пространството единствения начинразширява в дадения базис , където са координатите на вектора в дадения базис

Като напомняне, можете също да кажете, че векторът е представен като линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за случая с равнина, една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е "наклонена" и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, в афинната координатна система на пространството някои формули, които вече споменах, няма да работят.

Най-познатият и удобен частен случай на афинна координатна система, както всеки може да се досети, е правоъгълна пространствена координатна система:

точка в пространството т.нар произход, И ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на пространството . позната картинка:

Преди да пристъпим към практически задачи, отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват основа;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Противоположните твърдения, мисля, са разбираеми.

Линейната зависимост / независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). Останалите практически задачи ще бъдат с подчертано алгебричен характер. Време е да окачите геометрична пръчка на пирон и да размахате бейзболна бухалка по линейна алгебра:

Три пространствени вектораса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам внимание на малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминанти или може би изобщо са зле ориентирани, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основа на триизмерно пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата е разширена на първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерно пространство.

Отговор: тези вектори формират основата

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори е равна на нула:

По същество се изисква да се реши уравнение с детерминанта. Ние летим в нули като хвърчила в jerboas - най-изгодно е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите, за това трябва да замените получената стойност в първоначалната детерминанта и да се уверите, че като го отворите отново.

И накрая, помислете за още един типична задача, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова е често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора образуват основа на тримерно пространство
и намерете координатите на 4-тия вектор в дадения базис

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис на тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Нека първо се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е основата - не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първата стъпка е напълно същата като решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите наистина са линейно независими:

Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:

, следователно векторите са линейно независими и образуват основа на триизмерно пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

Линейна комбинация от вектори е вектор
, където λ 1 , ... , λ m са произволни коефициенти.

Векторна система
се нарича линейно зависим, ако съществува неговата линейна комбинация, равна на , който има поне един ненулев коефициент.

Векторна система
се нарича линейно независим, ако във всяка от неговите линейни комбинации е равен на , всички коефициенти са нула.

Основата на системата от вектори
се нарича неговата непразна линейно независима подсистема, чрез която може да се изрази всеки вектор на системата.

Пример 2. Намерете основата на системата от вектори = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) и изразете останалите вектори по отношение на базиса.

Решение Изграждаме матрица, в която подреждаме координатите на тези вектори в колони. Довеждаме го до стъпаловидна форма.

~
~
~
.

Основата на тази система се формира от векторите ,,, които съответстват на водещите елементи на отбелязаните с кръгове редове. За векторен израз реши уравнението x 1 +x2 +x4 =. Той се свежда до система от линейни уравнения, чиято матрица се получава от оригинала чрез пермутиране на колоната, съответстваща на , на мястото на колоната свободни термини. Следователно, за да решим системата, използваме получената матрица в поетапна форма, като правим необходимите пермутации в нея.

Последователно намираме:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Забележка 1. Ако се изисква да се изразят няколко вектора през основата, тогава за всеки от тях се изгражда съответната система от линейни уравнения. Тези системи ще се различават само в колоните на безплатните членове. Следователно, за тяхното решаване може да се състави една матрица, в която ще има няколко колони от свободни членове. В този случай всяка система се решава независимо от другите.

Забележка 2. За да се изрази всеки вектор, е достатъчно да се използват само базисните вектори на системата, която го предхожда. В този случай не е необходимо да прекроявате матрицата, достатъчно е да поставите вертикална линия на правилното място.

Упражнение 2. Намерете базиса на системата от вектори и изразете останалите вектори чрез базиса:

а) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Фундаментална система за вземане на решения

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички нейни свободни членове са равни на нула.

Фундаменталната система от решения на хомогенна система от линейни уравнения е основата на множеството от нейните решения.

Нека е дадена нехомогенна система от линейни уравнения. Хомогенна система, свързана с дадена, е система, получена от дадена чрез заместване на всички свободни членове с нули.

Ако една нехомогенна система е последователна и неопределена, тогава нейното произволно решение има формата f o1 +  1 f o1 + ... +  k f o k , където f o е конкретно решение на нехомогенната система и f o1 , ... , f o k е фундаменталните системни решения на свързаната хомогенна система.

Пример 3. Намерете конкретно решение на нехомогенната система от пример 1 и фундаменталната система от решения на свързаната с нея хомогенна система.

Решение Записваме полученото в Пример 1 решение във векторна форма и разгръщаме получения вектор в сума върху свободните параметри, които съдържа, и фиксираните числени стойности:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Получаваме f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Коментирайте. Проблемът за намиране на фундаментална система от решения за хомогенна система се решава по подобен начин.

Упражнение 3.1 Намерете основната система от решения на хомогенна система:

а)

б)

в) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

УПРАЖНЕНИЕ 3.2. Намерете конкретно решение на нехомогенната система и основната система от решения на свързаната с нея хомогенна система:

а)

б)

Намерете основата на системата от вектори и вектори, които не са включени в основата, разширете основата:

А 1 = {5, 2, -3, 1}, А 2 = {4, 1, -2, 3}, А 3 = {1, 1, -1, -2}, А 4 = {3, 4, -1, 2}, А 5 = {13, 8, -7, 4}.

Решение. Да разгледаме хомогенна система от линейни уравнения

А 1 х 1 + А 2 х 2 + А 3 х 3 + А 4 х 4 + А 5 х 5 = 0

или разширена .

Ще решим тази система, като използваме метода на Гаус, без да разменяме редове и колони и освен това да изберем основния елемент не в горния ляв ъгъл, а в целия ред. Задачата е да изберете диагоналната част на трансформираната система от вектори.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешената система от вектори, която е еквивалентна на оригиналната, има вида

А 1 1 х 1 + А 2 1 х 2 + А 3 1 х 3 + А 4 1 х 4 + А 5 1 х 5 = 0 ,

Където А 1 1 = , А 2 1 = , А 3 1 = , А 4 1 = , А 5 1 = . (1)

Вектори А 1 1 , А 3 1 , А 4 1 образуват диагонална система. Оттук и векторите А 1 , А 3 , А 4 формират основата на системата от вектори А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 .

Сега разширяваме векторите А 2 И А 5 в основата А 1 , А 3 , А 4 . За да направим това, първо разширяваме съответните вектори А 2 1 И А 5 1 диагонална система А 1 1 , А 3 1 , А 4 1 , като се има предвид, че коефициентите на векторното разширение в диагоналната система са нейните координати x i.

От (1) имаме:

А 2 1 = А 3 1 (-1) + А 4 1 0 + А 1 1 1 А 2 1 = А 1 1 – А 3 1 .

А 5 1 = А 3 1 0 + А 4 1 1+ А 1 1 2 А 5 1 = 2А 1 1 + А 4 1 .

Вектори А 2 И А 5 разширяване в основата А 1 , А 3 , А 4 със същите коефициенти като векторите А 2 1 И А 5 1 диагонална система А 1 1 , А 3 1 , А 4 1 (тези коефициенти x i). следователно

А 2 = А 1 – А 3 , А 5 = 2А 1 + А 4 .

Задачи. 1.Намерете основата на системата от вектори и векторите, които не са включени в основата, разгънете според основата:

1. а 1 = { 1, 2, 1 }, а 2 = { 2, 1, 3 }, а 3 = { 1, 5, 0 }, а 4 = { 2, -2, 4 }.

2. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 0, 1, 2 }, а 3 = { 2, 1, -4 }, а 4 = { 1, 1, 0 }.

3. а 1 = { 1, -2, 3 }, а 2 = { 0, 1, -1 }, а 3 = { 1, 3, 0 }, а 4 = { 0, -7, 3 }, а 5 = { 1, 1, 1 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Намерете всички основи на система от вектори:

1. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 3, 1, 2 }, а 3 = { 1, 2, 1 }, а 4 = { 2, 1, 2 }.

2. а 1 = { 1, 1, 1 }, а 2 = { -3, -5, 5 }, а 3 = { 3, 4, -1 }, а 4 = { 1, -1, 4 }.

Когато анализирахме понятията за n-мерен вектор и въведохме операции върху вектори, открихме, че наборът от всички n-мерни вектори генерира линейно пространство. В тази статия ще говорим за най-важните свързани понятия - за размерността и основата на векторното пространство. Ние също така разглеждаме теоремата за разширяването на произволен вектор по отношение на базис и връзката между различни бази на n-мерно пространство. Нека анализираме подробно решенията на типични примери.

Навигация в страницата.

Понятие за измерение и базис на векторното пространство.

Концепциите за измерение и основа на векторно пространство са пряко свързани с концепцията за линейно независима система от вектори, така че препоръчваме, ако е необходимо, да се обърнете към статията линейна зависимост на система от вектори, свойства на линейна зависимост и независимост.

Определение.

Размерност на векторното пространствосе нарича числото, равно на максималния брой линейно независими вектори в това пространство.

Определение.

Векторна пространствена основае подреден набор от линейно независими вектори на това пространство, чийто брой е равен на размерността на пространството.

Представяме някои аргументи, базирани на тези определения.

Разгледайте пространството от n -мерни вектори.

Нека покажем, че размерността на това пространство е равна на n.

Нека вземем система от n единични вектора от вида

Нека вземем тези вектори като редове на матрицата A. В този случай матрица A ще бъде n на n идентична матрица. Рангът на тази матрица е n (ако е необходимо, вижте статията). Следователно системата от вектори е линейно независима и нито един вектор не може да бъде добавен към тази система, без да се наруши нейната линейна независимост. Тъй като броят на векторите в системата тогава е равно на n размерността на пространството на n-мерните вектори е n, а единичните вектори са в основата на това пространство.

От последното твърдение и дефиницията на основата можем да заключим, че всяка система от n-мерни вектори, чийто брой вектори е по-малък от n, не е основа.

Сега нека разменим първия и втория вектор на системата . Лесно е да се покаже, че получената система от вектори също е основа на n-мерно векторно пространство. Нека съставим матрица, приемайки я като редове на векторите на тази система. Тази матрица може да бъде получена от матрицата за идентичност чрез размяна на първия и втория ред, следователно нейният ранг ще бъде n. По този начин, система от n вектора е линейно независим и е основа на n-мерно векторно пространство.

Ако разменим други вектори на системата , получаваме друга основа.

Ако вземем линейно независима система от неединични вектори, тогава тя също е основата на n-мерно векторно пространство.

По този начин, векторно пространство с размерност n има толкова бази, колкото има линейно независими системи от n n-мерни вектори.

Ако говорим за двумерно векторно пространство (т.е. за равнина), тогава неговата основа са всеки два неколинеарни вектора. Основата на триизмерното пространство са всеки три некомпланарни вектора.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Векторите ли са основата на 3D векторно пространство?

Решение.

Нека разгледаме тази система от вектори за линейна зависимост. За да направим това, ще съставим матрица, чиито редове ще бъдат координатите на векторите и ще намерим нейния ранг:


Така векторите a , b и c са линейно независими и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно те са основата на това пространство.

Отговор:

Да те са.

Пример.

Може ли система от вектори да бъде основа на векторно пространство?

Решение.

Тази система от вектори е линейно зависима, тъй като максималният брой линейно независими триизмерни вектори е три. Следователно тази система от вектори не може да бъде основа на триизмерно векторно пространство (въпреки че подсистема на оригиналната система от вектори е основа).

Отговор:

Не той не може.

Пример.

Уверете се, че векторите

може да бъде основа на четиримерно векторно пространство.

Решение.

Нека направим матрица, като я приемем като редове от оригиналните вектори:

Да намерим:

Така системата от вектори a, b, c, d е линейно независима и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно a, b, c, d са нейната основа.

Отговор:

Оригиналните вектори наистина са основата на четириизмерното пространство.

Пример.

Векторите формират ли основата на 4-измерно векторно пространство?

Решение.

Дори ако оригиналната система от вектори е линейно независима, броят на векторите в нея не е достатъчен, за да бъде основата на четиримерно пространство (основата на такова пространство се състои от 4 вектора).

Отговор:

Не, не става.

Декомпозиция на вектор по отношение на базис на векторно пространство.

Нека произволни вектори са в основата на n-мерно векторно пространство. Ако към тях добавим някакъв n-мерен вектор x, тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима. От свойствата на линейната зависимост знаем, че поне един вектор на линейно зависима система е линейно изразен по отношение на останалите. С други думи, поне един от векторите на линейно зависима система се разлага на останалите вектори.

Така стигаме до една много важна теорема.

Теорема.

Всеки вектор от n-мерно векторно пространство е уникално декомпозиран по отношение на базис.

Доказателство.

Позволявам - базис на n -мерно векторно пространство. Нека добавим n-мерен вектор x към тези вектори. Тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима и векторът x може да бъде линейно изразен чрез векторите : , къде са цифрите. Така че имаме разширението на вектора x по отношение на основата. Остава да се докаже, че това разлагане е уникално.

Да приемем, че има друго разлагане , където - някои числа. От лявата и дясната част на последното равенство извадете съответно лявата и дясната част на равенството:

Тъй като системата от базисни вектори е линейно независима, тогава по дефиницията за линейна независимост на система от вектори полученото равенство е възможно само когато всички коефициенти са равни на нула. Следователно, , което доказва уникалността на разширението на вектора по отношение на базиса.

Определение.

Коефициентите се наричат координати на вектора x в базиса .

След като се запознахме с теоремата за разширяването на вектор по отношение на базис, започваме да разбираме същността на израза „дан ни е n-мерен вектор ". Този израз означава, че разглеждаме вектор x от n-мерно векторно пространство, чиито координати са дадени в някакъв базис. В същото време разбираме, че същият вектор x в друга основа на n-мерното векторно пространство ще има координати, различни от .

Разгледайте следния проблем.

Нека в някакъв базис на n-мерно векторно пространство ни е дадена система от n линейно независими вектора

и вектор . След това векторите също са основа на това векторно пространство.

Нека трябва да намерим координатите на вектора x в основата . Нека означим тези координати като .

Вектор x в основата има идея. Записваме това равенство в координатна форма:

Това равенство е еквивалентно на система от n линейни алгебрични уравненияс n неизвестни променливи :

Основната матрица на тази система има формата

Нека го обозначим като А. Стълбовете на матрица A са вектори на линейно независима система от вектори , така че рангът на тази матрица е n, следователно нейният детерминант е различен от нула. Този факт показва, че системата от уравнения има единствено решение, които могат да бъдат намерени по произволен метод, например или .

Така желаните координати ще бъдат намерени вектор x в основата .

Нека анализираме теорията с примери.

Пример.

В някаква основа на тримерното векторно пространство, векторите

Уверете се, че векторната система също е основа на това пространство и намерете координатите на вектора x в тази база.

Решение.

За да бъде една система от вектори основа на триизмерно векторно пространство, тя трябва да бъде линейно независима. Нека разберем, като определим ранга на матрицата A, чиито редове са вектори. Намираме ранга по метода на Гаус


следователно Rank(A) = 3, което показва линейната независимост на системата от вектори.

Така че векторите са основата. Нека векторът x има координати в тази основа. Тогава, както показахме по-горе, връзката на координатите на този вектор се дава от системата от уравнения

Замествайки в него стойностите, известни от условието, получаваме

Нека го решим по метода на Крамър:

Така векторът x в основата има координати .

Отговор:

Пример.

В някаква основа четиримерното векторно пространство получава линейно независима система от вектори

Известно е, че . Намерете координатите на вектора x в базиса .

Решение.

Тъй като системата от вектори е линейно независим по предположение, тогава той е основа на четириизмерно пространство. След това равенството означава, че векторът x в основата има координати. Означаваме координатите на вектора x в основата Как.

Системата от уравнения, която определя връзката на координатите на вектора x в основи И има формата

Заменяме известните стойности в него и намираме желаните координати:

Отговор:

.

Комуникация между базите.

Нека две линейно независими системи от вектори са дадени в някакъв базис на n-мерно векторно пространство

И

тоест те също са основи на това пространство.

Ако - векторни координати в базиса , тогава връзката на координатите И се дава от система от линейни уравнения (говорихме за това в предишния параграф):

, което в матрична форма може да бъде записано като

По подобен начин за вектор можем да напишем

Предишните матрични равенства могат да бъдат комбинирани в едно, което по същество определя връзката на векторите на две различни бази

По подобен начин можем да изразим всички базисни вектори през основата :

Определение.

Матрица Наречен преходна матрица от основата към основата , тогава равенството

Умножавайки двете страни на това уравнение отдясно по

получаваме

Нека намерим матрицата на прехода, докато няма да се спираме на намирането на обратната матрица и умножителните матрици (вижте, ако е необходимо, статии и):

Остава да открием връзката на координатите на вектора x в дадените бази.

Тогава нека векторът x има координати в основата

и в основата векторът x има координати , тогава

Тъй като левите части на последните две равенства са еднакви, можем да приравним десните части:

Ако умножим двете страни отдясно по

тогава получаваме


От друга страна

(намирам обратна матрицасамостоятелно).
Последните две равенства ни дават желаната връзка на координатите на вектора x в основите и .

Отговор:

Преходната матрица от основа към основа има формата
;
координатите на вектора x в основи и са свързани с отношенията

или
.

Разгледахме концепциите за измерение и базис на векторно пространство, научихме как да разлагаме вектор според базис и открихме връзка между различни бази на n-мерно пространство от вектори чрез преходна матрица.