Как да умножим десетични числа. Действия с десетични знаци Десетична таблица за умножение

§ 1 Приложение на правилото за умножение на десетични дроби

В този урок ще се запознаете и ще научите как да прилагате правилото за умножение на десетични дроби и правилото за умножение на десетичен знак по единица за стойност на място като 0,1, 0,01 и т.н. Освен това ще разгледаме свойствата на умножението, когато намираме стойностите на изразите, съдържащи десетични знаци.

Нека решим проблема:

Скоростта на автомобила е 59,8 км/ч.

Какво разстояние ще измине колата за 1,3 часа?

Както знаете, за да намерите път, трябва да умножите скоростта по време, т.е. 59,8 по 1,3.

Нека напишем числата в колона и започнем да ги умножаваме, без да забелязваме запетаите: 8 умножено по 3 става 24, 4 пишем 2 наум, 3 умножено по 9 е 27, плюс плюс 2, получаваме 29, ние напишете 9, 2 в главите ни. Сега умножаваме 3 по 5, става 15 и добавяме 2, получаваме 17.

Да преминем към втория ред: 1, умножено по 8, получаваме 8, 1, умножено по 9, получаваме 9, 1, умножено по 5, получаваме 5, добавяме тези два реда, получаваме 4, 9+8 е равно на 17, 7 пишем 1 в главите си, 7 +9 е 16 и още 1, ще бъде 17, 7 пишем 1 в главите си, 1+5 и още 1 получаваме 7.

Сега да видим колко знака след десетичната запетая има в двете десетични дроби! Първата дроб има една цифра след десетичната запетая, а втората дроб има една цифра след десетичната запетая, само две цифри. Това означава, че от дясната страна на резултата трябва да преброите две цифри и да поставите запетая, т.е. ще бъде 77,74. И така, когато умножим 59,8 по 1,3, получаваме 77,74. Това означава, че отговорът на проблема е 77,74 км.

По този начин, за да умножите две десетични дроби, трябва:

Първо: направете умножението, без да обръщате внимание на запетаите

Второ: в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има след десетичната запетая в двата множителя заедно.

Ако има по-малко цифри в получения продукт, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая, тогава трябва да се добавят една или повече нули отпред.

Например: 0,145, умножено по 0,03, в нашия продукт получаваме 435 и запетая трябва да разделя 5 цифри вдясно, така че добавяме още 2 нули пред числото 4, поставяме запетая и добавяме още една нула. Получаваме отговора 0,00435.

§ 2 Свойства на умножението на десетични дроби

При умножаване на десетични дроби се запазват всички същите свойства на умножението, които се прилагат за естествените числа. Нека изпълним някои задачи.

Задача №1:

Нека решим този пример, като приложим разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

Нека извадим 5,7 (общ множител) от скобите, оставяйки 3,4 плюс 0,6 в скоби. Стойността на тази сума е 4, а сега 4 трябва да се умножи по 5,7, получаваме 22,8.

Задача № 2:

Нека приложим комутативното свойство на умножението.

Първо умножаваме 2,5 по 4, получаваме 10 цели числа, а сега трябва да умножим 10 по 32,9 и получаваме 329.

Освен това, когато умножавате десетични дроби, можете да забележите следното:

При умножаване на число с неправилна десетична дроб, т.е. по-голямо или равно на 1, то се увеличава или не се променя, например:

При умножаване на число с правилна десетична дроб, т.е. по-малко от 1, намалява, например:

Нека решим един пример:

23,45, умножено по 0,1.

Трябва да умножим 2345 по 1 и да разделим три запетаи вдясно, получаваме 2,345.

Сега нека решим друг пример: 23,45 делено на 10, трябва да преместим десетичния знак наляво с едно място, защото има 1 нула в цифровата единица, получаваме 2,345.

От тези два примера можем да заключим, че умножаването на десетична дроб по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. означава деление на числото на 10, 100, 1000 и т.н., т.е. В десетична дроб трябва да преместите десетичната запетая наляво с толкова места, колкото нули има преди 1 във фактора.

Използвайки полученото правило, намираме стойностите на продуктите:

13,45 по 0,01

има 2 нули пред числото 1, така че преместете десетичната запетая на 2 места вляво, получаваме 0,1345.

0,02 по 0,001

Има 3 нули пред числото 1, което означава, че преместваме запетаята три места наляво, получаваме 0,00002.

Така в този урок научихте как да умножавате десетични дроби. За да направите това, просто трябва да извършите умножението, без да обръщате внимание на запетаите, и в получения продукт да отделите със запетая толкова цифри отдясно, колкото има след десетичната запетая в двата фактора заедно. Освен това се запознахме с правилото за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01 и т.н., а също така разгледахме свойствата на умножението на десетичната дроб.

Списък на използваната литература:

Математика 5 клас. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 31 изд., изтрито. - М: 2013.
Дидактически материалипо математика 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 година
Изчисляваме без грешки. Работа със самопроверка по математика 5-6 клас. Автор - Минаева С.С. - 2014 година
Дидактически материали по математика 5 клас. Автори: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 г
Контрол и самостоятелна работапо математика 5 клас. Автори - Попов М.А. - 2012 година
Математика. 5 клас: учебен. за общообразователни ученици. институции / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009

В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични знаци (вижте урока „Събиране и изваждане на десетични знаци“). В същото време ние оценихме колко изчисления са опростени в сравнение с обикновените „двуетажни“ фракции.

За съжаление, този ефект не се получава при умножение и деление на десетични дроби. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.

Първо, нека въведем нова дефиниция. Ще го виждаме доста често и не само в този урок.

Значимата част от числото е всичко между първата и последната различна от нула цифра, включително краищата. Говорим само за числа, десетичната запетая не се взема предвид.

Цифрите, включени в значимата част на числото, се наричат значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.

Например, помислете за няколко десетични дроби и напишете съответните значими части:

91.25 → 9125 (значещи цифри: 9; 1; 2; 5);
0.008241 → 8241 (значещи цифри: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (значещи цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0.0304 → 304 (значещи цифри: 3; 0; 4);
3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).

Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).

Тази точка е толкова важна и тук се правят грешки толкова често, че в близко бъдеще ще публикувам тест по тази тема. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значимата част, ще продължим всъщност към темата на урока.

Умножаване на десетични числа

Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:

За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната фракция;
Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени за значителната част, получена в предишната стъпка.

Нека ви напомня още веднъж, че нулите отстрани на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.

0,28 ± 12,5;

6,3 · 1,08;

132,5 · 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 · 10 000.

Работим с първия израз: 0,28 · 12,5.

Да запишем значимите части на числата от този израз: 28 и 125;
Техният продукт: 28 · 125 = 3500;
При първия фактор десетичната запетая се измества с 2 цифри надясно (0,28 → 28), а при втория се измества с още 1 цифра. Общо се нуждаете от преместване наляво с три цифри: 3500 → 3500 = 3,5.

Сега нека да разгледаме израза 6.3 · 1.08.

Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
Техният продукт: 63 · 108 = 6804;
Отново две измествания надясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри вляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.

Стигнахме до третия израз: 132,5 · 0,0034.

Значителни части: 1325 и 34;
Техният продукт: 1325 · 34 = 45 050;
В първата дроб десетичната запетая се премества надясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 надясно. Изместваме с 5 наляво: 45 050 → .45050 = 0.4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична точка.

Следният израз е: 0,0108 · 1600,5.

Пишем значещите части: 108 и 16 005;
Умножаваме ги: 108 · 16 005 = 1 728 540;
Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто е 1. Общо отново е 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.

И накрая, последният израз: 5,25 10 000.

Значими части: 525 и 1;
Умножаваме ги: 525 · 1 = 525;
Първата дроб е изместена с 2 цифри надясно, а втората дроб е изместена с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри надясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).

Забележка в последния пример: тъй като десетичната точка се движи в различни посоки, общото изместване се намира чрез разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:

Помислете за числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (преместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (преместване 2 наляво). „Стъпваме“ 1 цифра надясно и след това 2 наляво. В резултат пристъпихме 2 − 1 = 1 цифра наляво.

Десетично деление

Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната точка. Но в този случай има много тънкости, които отричат потенциалните спестявания.

Затова нека да разгледаме един универсален алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:

Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
Разделете получените дроби по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по „обърнатата“ втора (вижте урока „Умножаване и деление на числови дроби“);
Ако е възможно, представете резултата отново като десетична дроб. Тази стъпка също е бърза, тъй като знаменателят често вече е степен на десет.

Задача. Намерете значението на израза:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Нека разгледаме първия израз. Първо, нека преобразуваме дроби в десетични:

Нека направим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново ще бъде факторизиран:

В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървете от десетичен записвъзникват редуцируеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.

Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб съдържа просто число. Тук просто няма какво да се факторизира, така че го разглеждаме веднага:

Понякога делението води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се изпълнява.

Освен това при разделянето често възникват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Това разграничава делението от умножението, където резултатите винаги са представени в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.

Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях съзнателно не редуцираме обикновените дроби, получени от десетични числа. В противен случай това ще усложни обратната задача - представяне на крайния отговор отново в десетична форма.

Запомнете: основното свойство на дробта (както всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции поотделно.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичната дроб се състои от цяло число и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се събират отделно.

Например, нека съберем десетичните дроби 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Нека първо запишем тези две дроби в колона, като целите части задължително са под целите числа, а дробните части под дробните. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая" .

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Събираме дробните части: 2 + 3 = 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Пишем осмица в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая" :

Получихме отговор 8,5. Това означава, че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има клопки, за които ще говорим сега.

Места в десетични знаци

Десетичните дроби, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са места на десети, места на стотни, места на хилядни. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, а третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Местата в десетичните дроби съдържат някои полезна информация. По-конкретно, те ви казват колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната дроб 0,345

Позицията, където се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, където се намира петицата, се нарича хилядно място

Нека да разгледаме тази рисунка. Виждаме, че има тройка на десето място. Това означава, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите, получаваме оригиналната десетична дроб 0,345

Първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична дроб и получихме 0,345.

При събиране на десетични дроби се прилагат същите правила, както при събиране на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби се извършва в цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, трябва да следвате правилото "запетая под запетая". Запетаята под запетаята осигурява самия ред, в който десетите се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1.Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо, събираме дробните части 5 + 4 = 9. Пишем девет в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото „запетая под запетая“:

Получихме отговор 4,9. Това означава, че стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2.Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото „запетая под запетая“.

Първо, събираме дробната част, а именно стотните от 1+2=3. Пишем тройка в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десетите 5+2=7. Пишем седем в десетата част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 3+1=4. Пишем четирите в цялата част на нашия отговор:

Разделяме цялата част от дробната част със запетая, като спазваме правилото „запетая под запетая“:

Отговорът, който получихме, беше 4,73. Това означава, че стойността на израза 3,51 + 1,22 е равна на 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при добавяне на десетични знаци, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3.Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колоната:

Добавете стотните части 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и преместваме единицата на следващата цифра:

Сега добавяме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега събираме целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Отговорът, който получихме, беше 5,92. Това означава, че стойността на израза 2,65 + 3,27 е равна на 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4.Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Записваме този израз в колоната

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и преместваме единицата на следващата цифра или по-скоро я прехвърляме в цяла част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор 12.3. Това означава, че стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При добавяне на десетични знаци броят на цифрите след десетичната запетая в двете дроби трябва да бъде еднакъв. Ако няма достатъчно числа, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 1,7 има само една. Това означава, че в дробта 1.7 трябва да добавите две нули в края. Тогава получаваме дробта 1,700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядните части 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотните части 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десетите 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и преместваме единицата на следващата цифра:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор от 14 425. Това означава, че стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични числа

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под десетичната запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчисляваме цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор 0,3. Това означава, че стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2.Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

Този израз има различен брой десетични знаци. Дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да добавите две нули в края, за да направите броя на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получихме отговор от 4253. Това означава, че стойността на израза 7,353 − 3,1 е равна на 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседна цифра, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3.Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. Не можете да извадите числото 9 от числото 6. Следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можете да изчислите стотните от 16−9=7. Пишем седем в стотната част на нашия отговор:

Сега изваждаме десети. Тъй като взехме една единица на десето място, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, на мястото на десетите вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега изваждаме целите части 3−2=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор от 1.07. Това означава, че стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставяме запетая и добавяме една нула:

Сега изваждаме десети: 0−2. Не можете да извадите от нула числото 2. Следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. След като е заел единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Пишем осем в десетата част на нашия отговор:

Сега изваждаме целите части. Преди това числото 3 беше разположено в цялото, но взехме една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно от 2 изваждаме 1. 2−1=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Отговорът, който получихме е 1.8. Това означава, че стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Умножаване на десетични числа

Умножаването на десетични знаци е просто и дори забавно. За да умножите десетични числа, ги умножавате като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Нека умножим тези десетични дроби като обикновени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 2,5 и 1,5. Първата дроб има една цифра след десетичната запетая, а втората също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2.Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични дроби, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 12,85 и 2,7. Дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор от 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога възникват ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетичен знак и число, вие ги умножавате, без да обръщате внимание на запетаята в десетичния знак. След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножете десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорирате запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се на номер 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор от 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Трябва да извършите умножението, без да обръщате внимание на запетаята в десетичната дроб, след това в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите отдясно същия брой цифри, колкото е имало цифри след десетичната запетая.

Например умножете 2,88 по 10

Умножете десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорирате запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор 28.80. Нека изхвърлим последната нула и ще получим 28,8. Това означава, че стойността на израза 2,88×10 е 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има във фактора.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая с една цифра надясно, получаваме 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая на две десни цифри, получаваме 288

2,88 × 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага разглеждаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Там няма трета цифра, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да умножите дробите като обикновените числа и да поставите запетая в отговора, като броите толкова цифри вдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 3,25 и 0,1. Дробта 3,25 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 0,1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След отброяване на три цифри установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да добавите запетая:

Получихме отговор 0,325. Това означава, че стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая наляво с толкова цифри, колкото нули има във фактора.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме множителя от 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Като преместим запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. Резултатът е 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага разглеждаме множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая на левите две цифри, получаваме 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Веднага разглеждаме множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетични дроби по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешкаповечето хора.

При умножение по 10, 100, 1000 десетичната точка се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.

А при умножаване по 0,1, 0,01 и 0,001 десетичната запетая се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в умножителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите същия брой цифри отдясно, колкото има цифри след десетичната запетая и в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо число. Напреднало ниво.

В един от предишни уроциказахме, че когато по-малко число се раздели на по-голямо, се получава дроб, чийто числител съдържа делителя, а знаменателя - делителя.

Например, за да разделите една ябълка между две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. В резултат на това получаваме фракцията. Това означава, че всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дробта е отговорът на проблема "как да разделя една ябълка на две"

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата, дробната линия във всяка дроб означава деление и следователно това деление е разрешено в дробта. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. Но тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава раздробяване, деление, деление. Това означава, че единицата може да бъде разделена на колкото желаете части, а не само на две части.

Когато разделите по-малко число на по-голямо число, получавате десетична дроб, в която цялата част е 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Човек не може напълно да се раздели на две. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно в частното пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да получим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножете 5 по 2, за да получите 10

Получихме отговор 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представите как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2.Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четворка? Въобще не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, добавете нула отдясно на 4 и разделете 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5, за да получим 40:

Получихме отговор 0,8. Това означава, че стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3.Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа има 125 в пет? Въобще не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем 0 под петицата. Незабавно извадете 0 от пет

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направим това, пишем нула отдясно на тези пет:

Разделете 50 на 125. Колко числа има 125 в числото 50? Въобще не. Така че в частното записваме отново 0

Умножете 0 по 125, получаваме 0. Запишете тази нула под 50. Веднага извадете 0 от 50

Сега разделете числото 50 на 125 части. За да направите това, пишем още една нула вдясно от 50:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500? В числото 500 има четири числа 125. Запишете четирите в частното:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125, за да получим 500

Получихме отговор 0,04. Това означава, че стойността на израз 5: 125 е 0,04

Деление на числа без остатък

Така че, нека поставим запетая след единицата в частното, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Нека добавим нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното:

40−40=0. Остават ни 0. Това означава, че делбата е напълно завършена. Разделянето на 9 на 5 дава десетичната дроб 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделете 84 на 5 както обикновено с остатък:

Имаме 16 частни и още 4 останаха. Сега нека разделим този остатък на 5. Поставете запетая в частното и добавете 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на обикновено число, първо трябва да:

разделете цялата част на десетичната дроб на това число;
след като цялата част е разделена, трябва незабавно да поставите запетая в частното и да продължите изчислението, както при нормалното деление.

Например, разделете 4,8 на 2

Нека напишем този пример в ъгъла:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е равно на две. Пишем две в частното и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. остатък равно на нула. Все още не записваме нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да изчисляваме както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получихме отговор 2.4. Стойността на израза 4,8:2 е 2,4

Пример 2.Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Незабавно поставете запетая след 2:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Разделяме 24 на 3, получаваме 8. Пишем осем в частното. Незабавно го умножете по делителя, за да намерите остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Все още не записваме нула. Отстраняваме последните три от дивидента и разделяме на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Отговорът, който получихме, беше 2,81. Това означава, че стойността на израза 8,43:3 е 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, трябва да преместите десетичната запетая в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя, и след това да разделите на обичайното число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз с ъгъл

Сега в дивидента и в делителя преместваме десетичната запетая надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че в делителя и делителя трябва да преместим десетичната запетая надясно с една цифра. Прехвърляме:

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 5,95 стана дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обикновено число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена вдясно, за да улесни делението. Това е позволено, защото при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е един от интересни функцииразделение. Нарича се частно свойство. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще излезе от това:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато преместим запетаята в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята в делителя и делителя с една цифра надясно. След преместване на десетичната запетая дробта 5,91 се трансформира във фракцията 59,1, а дробта 1,7 се трансформира в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес имаше умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя определя по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в дивидента и в делителя десетичната запетая ще бъде преместена надясно.

Деление на десетична запетая на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, разделете 2,1 на 10. Решете този пример с помощта на ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че в дивидент от 2.1 трябва да преместите десетичната запетая наляво с една цифра. Преместваме запетаята с една цифра наляво и виждаме, че няма останали цифри. В този случай добавете още една нула преди числото. В резултат получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В 100 има две нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместим запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В 1000 има три нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Разделяне на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична дроб на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В дивидента и в делителя трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо, нека преместим запетаите в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че преместваме запетаите в делителя и делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 става обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1 след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Това означава, че стойността на израза 6.3: 0.1 е 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3 : 0,1. Нека да разгледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че при дивидент от 6,3 трябва да преместите десетичната запетая надясно с една цифра. Преместете запетаята с една цифра надясно и вземете 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят на 0,01 има две нули. Това означава, че в дивидент 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да добавите още една нула в края. В резултат получаваме 630

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Това означава, че в дивидент 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

Представете на учениците правилото за умножаване на десетична дроб по по забавен начин. естествено число, за разрядна единица и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развийте способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
Развийте и активирайте логично мисленеучениците, способността да идентифицират модели и да ги обобщават, укрепват паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват собствената си работа и работата един на друг.
Култивирайте интерес към математиката, активност, мобилност и комуникативни умения.

Оборудване:интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математици.

По време на часовете

Организиране на времето.
Устна аритметика – обобщение на вече изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
Обяснение на нов материал.
Домашна работа.
Математическо физическо възпитание.
Обобщаване и систематизиране на усвоените знания в игрова форма с помощта на компютър.
Класиране.

2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го преподавам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: „Казвам се Компоша.“ Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.

Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да решим и дешифрираме заедно. (На дъската е окачен плакат с устно смятане за събиране и изваждане на десетични дроби, в резултат на което децата получават следния код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha помага за дешифрирането на получения код. Резултатът от декодирането е думата УМНОЖЕНИЕ. Умножението е ключовата дума в темата на днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“

Момчета, знаем как да умножаваме естествени числа. Днес ще разгледаме умножението на десетични числа по естествено число. Умножаването на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63Това означава 5,21·3 = 15,63. Представяйки 5,21 като обикновена дроб към естествено число, получаваме

И в този случай получихме същия резултат: 15,63. Сега, пренебрегвайки запетаята, вместо числото 5,21, вземете числото 521 и го умножете по това естествено число. Тук трябва да припомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега в този пример преместваме запетаята на две места вляво. По този начин, с колко пъти е увеличен един от факторите, с колко пъти е намален продуктът. Въз основа на приликите на тези методи ще направим заключение.

За да умножите десетична дроб по естествено число, трябва:
1) без да обръщате внимание на запетаята, умножете естествените числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има в десетичната дроб.

На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21·3 = 15.63 и 7.624·15 = 114.34. След това показвам умножение с кръгло число 12,6·50 = 630. След това преминавам към умножаване на десетична дроб по единица за място. Показвам следните примери: 7.423 ·100 = 742.3 и 5.2·1000 = 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб по цифрова единица:

За да умножите десетична дроб по разрядни единици 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб надясно с толкова места, колкото нули има в разрядната единица.

Завършвам обяснението си, като изразявам десетичната дроб като процент. Представям правилото:

За да изразите десетична дроб като процент, трябва да я умножите по 100 и да добавите знака %.

Ще дам пример на компютър: 0,5 100 = 50 или 0,5 = 50%.

4. В края на обяснението давам на момчетата домашна работа, което се показва и на монитора на компютъра: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да могат момчетата да си починат малко, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша, за да консолидираме темата. Всички се изправят, показват решените примери на класа и те трябва да отговорят дали примерът е решен правилно или неправилно. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце встрани и опъват пръстите си.

6. А сега си починахте малко, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205, № 1029. В тази задача трябва да изчислите стойността на изразите:

Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която изплува, когато е напълно сглобена.

№ 1031 Изчислете:

Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се сгъва, след решаването на последния пример ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат от космодрума Байконур от земята на Казахстан към звездите. Казахстан строи новия си космодрум Байтерек близо до Байконур.

No 1035. Задача.

Какво разстояние ще измине лек автомобил за 4 часа, ако скоростта на лекия автомобил е 74,8 km/h.

Тази задача е придружена от звуков дизайн и кратко условие на задачата, показано на монитора. Ако проблемът е решен правилно, тогава колата започва да се движи напред до флага на финала.

№ 1033. Запишете десетичните знаци като проценти.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

При решаването на всеки пример, когато се появи отговорът, се появява буква, което води до дума Много добре.