слайд 1
слайд 2
Историческа информация Интегралното смятане възниква от необходимостта да се създаде общ метод за намиране на площи, обеми и центрове на тежестта. В зародишната си форма този метод е използван от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в трудовете на Кавалиери, Торичели, Фермам и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между задачата за намиране на площ и задачата за намиране на допирателна. Нютон и Лейб-Ниц през 70-те години на 17 век отклоняват тази връзка от споменатите частни геометрични проблеми. Така се установява връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици, за да развият техниката на интегриране. Интеграционните методи достигат до сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградско-Го и П. Л. Чебишев завършиха развитието на тези методи.
слайд 3
Понятието интеграл. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим сегмента ab на n части (равни или неравни) и конструираме стъпаловидна фигура, показана чрез щриховка на Фиг. 1. Нейната площ, нейната площ е равна на (1) Ако въведем обозначението Тогава формула (1) ще вземе формата (3) Желаната площ е границата на сумата ( 3) за безкрайно големи n. Лайбниц въвежда обозначението за тази граница (4) В която (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), изразът E показва типичната форма на отделните термини. Лайбниц започва да нарича израза интеграл – от латинската дума integralis – интегрален. Дж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й даде формата Тук началните и крайните стойности на x са изрично посочени.
слайд 4
Връзка между интеграция и диференциация. Нека разгледаме константа и b променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b. Диференциалът на тази функция е
слайд 5
примитивна функция. Нека функцията е производна на функция, T.S. Има функционален диференциал: тогава функцията се нарича антипроизводна за функцията
слайд 6
Пример за намиране на антипроизводно. Функцията е антипроизводното от T.S. Има диференциал на функцията Функцията е първоизводна на функцията
Слайд 7
Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл на този израз се нарича най обща форманеговата примитивна функция. Неопределеният интеграл на израза се означава. Изразът се нарича подинтегрален израз, функцията се нарича подинтегрална функция, променливата x е променливата на интегриране. Намирането на неопределен интеграл на дадена функция се нарича интегриране.
GBOU SPO "Навашински корабен механичен колеж" Неопределен интеграл. Методи за изчисление
Евдокс от Книдос c. 408 - ок. 355 пр.н.е д. Интегралното смятане се появява през древния период от развитието на математическата наука и започва с метода на изчерпване, който е разработен от математиците Древна Гърция, и беше набор от правила, разработени от Евдокс от Книд. Съгласно тези правила са изчислени площите и обемите
Лайбниц Готфрид Вилхелм (1646-1716) Символът ∫ е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е разновидност на латинската буква S (първата буква от думата summa).
Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) Исак Нютон (1643 - 1727) Нютон и Лайбниц независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц.
Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 1897) Работата на Коши и Вайерщрас обобщава вековното развитие на интегралното смятане.
Руски математици взеха участие в разработването на интегрално смятане: M.V. Остроградски (1801 - 1862) В.Я. Буняковски (1804 - 1889) П.Л. Чебишев (1821 - 1894)
НЕОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ Неопределен интеграл на непрекъсната функция f(x) в интервала (a; b) е всяка от нейните първоизходни функции. Където C е произволна константа (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Съвпадение. Намерете такава обща форма на първоизводната, която съответства на дадена функция. tgx +С
Интегрални свойства
Интегрални свойства
Основни методи на интегриране Табличен. 2. Свеждане до таблично преобразуване на подинтегралната функция в сума или разлика. 3. Интегриране чрез промяна на променлива (заместване). 4. Интегриране по части.
Намерете първоизводни за функции: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x
Вярно ли е, че: а) в) б) г)
Пример 1. Интеграл на сумата от изрази е равно на суматаинтеграли на тези изрази Постоянният множител може да бъде изваден от интегралния знак
Пример 2. Проверете решението Запишете решението:
Пример 3. Проверете решение Запишете решение:
Пример 4 . Проверете решението Напишете решението: Въведете нова променлива и изразете диференциалите:
Пример 5. Проверете решение Запишете решение:
C търсене на домашни неопределен интегралПроверете решението Ниво „A“ (с „3“) Ниво „B“ (с „4“) Ниво „C“ (с „5“)
Задача Установете съответствие. Намерете такава обща форма на първоизводната, която съответства на дадената функция.
Примитивен. Задачата на диференциалното смятане е да намери нейната производна по отношение на дадена функция. Задачата на интегралното смятане е да се намери функция, като се знае нейната производна. Функцията F(x) се нарича първоизводна за функцията f(x) на даден интервал, ако за всяко x от този интервал е вярно равенството F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Ако функцията F(x) е първоизводна за функцията f(x) на някакъв интервал, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата F(x)+C, където C R. y x 0 Геометрично: F( x)+C е семейство криви, получени от всяка от тях чрез паралелна транслация по оста OS. C интегрална крива
Пример 2. Намерете всички първоизводни функции f(x)=2x и ги представете геометрично. y x
Интеграндът - интеграндът - знакът на неопределения интеграл x - променливата за интегриране F (x) + C - множеството от всички антипроизводни C - константата за интегриране Процесът на намиране на функцията за първоизводна се нарича интегриране, а разделът на математиката се нарича интегрално смятане.
Свойства на неопределения интеграл Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта, а производната на неопределения интеграл е равен на интегранта:
Основни методи на интегриране. Метод на пряка интеграция. Директното интегриране е метод за изчисляване на интеграли, при който те се свеждат до таблични чрез прилагане към тях на основните свойства на неопределен интеграл. В този случай подинтегралната функция обикновено се трансформира по подходящ начин.
