Методи на изчисление". Презентация към урока „Неопределен интеграл. Изчислителни методи „Презентационна лекция 7 антипроизводен и неопределен интеграл

GBOU SPO "Навашински корабен механичен колеж" Неопределен интеграл. Методи за изчисление

Евдокс от Книдос ок. 408 - ок. 355 г. пр. н. е д. Интегралното смятане се появява през древния период на развитието на математическата наука и започва с метода на изчерпване, който е разработен от математиците Древна Гърция, и беше набор от правила, разработени от Евдокс от Книд. Според тези правила се изчисляват площите и обемите

Лайбниц Готфрид Вилхелм (1646-1716) Символът ∫ е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е вариация на латинската буква S (първата буква на думата summa).

Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) Исак Нютон (1643 - 1727) Нютон и Лайбниц независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц.

Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 1897) Работата на Коши и Вайерщрас обобщава вековното развитие на интегралното смятане.

В разработването на интегралното смятане участваха руски математици: M.V. Остроградски (1801 - 1862) В.Я. Буняковски (1804 - 1889) P.L. Чебишев (1821 - 1894)

НЕОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ Неопределен интеграл от непрекъсната функция f(x) на интервала (a; b) е всяка от нейните антипроизводни функции. Където C е произволна константа (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Съвпадение. Намерете един обща формапримитивен, което съответства дадена функция. tgx +С

Интегрални свойства

Интегрални свойства

Основни методи за интегриране Таблично. 2. Свеждане до таблично преобразуване на интегралната функция в сбор или разлика. 3.Интегриране с помощта на промяна на променлива (заместване). 4. Интегриране по части.

Намерете първопроизводни за функции: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) = 3-2x

Вярно ли е, че: а) в) б) г)

Пример 1. Интеграл от сбора от изрази е равно на суматаинтеграли на тези изрази Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на интеграла

Пример 2. Проверете решение Запишете решение:

Пример 3. Проверете решение Запишете решение:

Пример 4. Проверете решението. Запишете решението: Въведете нова променлива и изразете диференциалите:

Пример 5. Проверете решение Запишете решение:

C Търсене на домашна работа неопределен интегралПроверете решение Ниво “A” (с “3”) Ниво “B” (по “4”) Ниво “C” (по “5”)

Задача Установете съвпадение. Намерете такава обща форма на първопроизводната, която отговаря на дадената функция.

слайд 1

слайд 2

Историческа информация Интегралното смятане възникна от необходимостта да се създаде общ метод за намиране на области, обеми и центрове на тежестта. В ембрионалната си форма този метод е използван от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в произведенията на Кавалиери, Торичели, Фермам и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между проблема за намиране на площ и проблема за намиране на допирателна. Нютон и Лайб-Ниц през 70-те години на 17 век отклоняват тази връзка от споменатите конкретни геометрични проблеми. Така се установи връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици за разработване на техниката на интеграция. Интеграционните методи достигат сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградско-Го и П. Л. Чебишев завършиха развитието на тези методи.

слайд 3

Концепцията за интеграла. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим отсечката ab на n части (равни или неравни) и да построим стъпаловидна фигура, показана чрез щриховане на фиг. 1. Площта му, неговата площ е равна на (1) Ако въведем обозначението Тогава формула (1) ще вземе формата (3) Желаната площ е границата на сумата (3) за безкрайно голямо n. Лайбниц въвежда обозначението за тази граница (4) В която (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), изразът E показва типичната форма на отделните термини. Лайбниц започва да нарича израза интеграл - от латинската дума integralis - интеграл. Дж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й даде формата. Тук изрично са посочени началните и крайните стойности на x.

слайд 4

Връзка между интеграция и диференциация. Нека разгледаме константа и b променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b . Разликата на тази функция е

слайд 5

примитивна функция. Нека функцията е производна на функция, T.S. Има функция диференциал: тогава функцията се нарича антипроизводна за функцията

слайд 6

Пример за намиране на антидериват. Функцията е антидеривата от T.S. Има диференциал на функцията. Функцията е първообразната на функцията

Слайд 7

Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл от даден израз е най-общата форма на неговата антипроизводна функция. Неопределеният интеграл на израз се обозначава. Изразът се нарича подинтегрален израз, функцията се нарича подинтегрална функция, променливата x е променливата на интегрирането. Намирането на неопределен интеграл от дадена функция се нарича интегриране.Аношина О.В.

Основна литература

1. Шипачев В.С. висша математика. Основен курс: учебник и
работилница за бакалаври [Сертификат на Министерството на образованието на Руската федерация] / В.
Шипачев; изд. А. Н. Тихонова. - 8-мо изд., преработено. и допълнителни Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. В. С. Шипачев, Висша математика. Пълен курс: учебник
за акад. Бакалавърска степен [Сертификат на UMO] / В. С. Шипачев; изд. НО.
Н. Тихонова. - 4-то изд., преп. и допълнителни – Москва: Юрайт, 2015. – 608
С
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевников. В 2 часа - М .: висше училище, 2007. - 304+415в.

Отчитане

1.
Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насокиза извършване на контролна работа
в дисциплината "ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА", Екатеринбург, FGAOU
ВО „Руско държавно професионално педагогическо
университет“, 2016 – 30-те години.
Опция контролна работаизберете по последна цифра
записна книга.
2.
Изпит

Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисление Антипроизводен и неопределен интеграл

Определение. Извиква се функцията F x
антипроизводна функция f x дефинирана на
някакъв интервал, ако F x f x за
всяко х от този интервал.
Например, функцията cos x е
примитивен функции на греха x , защото
cos x sin x .

Очевидно, ако F x е антидериват
функции f x , тогава F x C , където C е някаква константа, също е
антипроизводна функция f x .
Ако F x е някаква антипроизводна
функция f x , след което всяка функция от вида
F x F x C също е
антипроизводна функция f x и произволна
примитивът може да бъде представен в тази форма.

Определение. Съвкупността от всички
антипроизводни на функцията f x ,
определени за някои
между се нарича
неопределен интеграл от
функции f x на този интервал и
означено с f x dx .

Ако F x е някаква първопроизводна на функцията
f x , тогава те пишат f x dx F x C , въпреки че
по-правилно би било да се напише f x dx F x C .
Ние, според установената традиция, ще пишем
f x dx F x C .
Така същият символ
f x dx ще означава като цяло
набор от първопроизводни на функцията f x ,
и всеки елемент от този набор.

Интегрални свойства

Производната на неопределения интеграл е
интегрално число и неговия диференциал към подинтегралното число. Наистина ли:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Интегрални свойства

3. Неопределен интеграл от
диференциал непрекъснато (x)
диференцируема функция е равна на самата себе си
тази функция до константа:
d (x) (x) dx (x) C,
тъй като (x) е първопроизводна на (x).

Интегрални свойства

4. Ако функциите f1 x и f 2 x имат
първопроизводни, то функцията f1 x f 2 x
също има антидериват, и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
а 1
х
2. x a dx
С, (а 1).
а 1
dx
3. ln x C .
х
х
а
4.a x dx
° С.
В а
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C.
грях х
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 х

Таблица на неопределените интеграли

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
х
12. 2 2 арктан C .
а
а
а х
13.
14.
15.
dx
a2x2
х
arcsin C ..
а
dx
1
х а
вътрешен
° С
2
2
2а х а
х а
dx
1
а х
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
х2 а
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
ш х

Свойства на диференциали

При интегриране е удобен за използване
свойства: 1
1. dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Примери

Пример. Изчислете cos 5xdx .
Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C .
Нека трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx .
Тогава:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Примери

Пример. Изчислете x
3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под знака на интеграла
тогава е сборът от четири члена
разширете интеграла като сбор от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx .
x3
х4 х2
3
х С
3
4
2

Независимост от типа на променливата

При изчисляване на интеграли е удобно
използвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C , тогава
f x b dx F x b C .
Ако f x dx F x C , тогава
1
f ax b dx F ax b C .
а

Пример

Изчислете
1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5

Методи на интегриране Интегриране по части

Този метод се основава на формулата udv uv vdu.
Следните интеграли се вземат по метода на интегриране по части:
а) x n sin xdx, където n 1.2...k;
б) x n e x dx , където n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , където n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , където n 0, 1, 2,... k .
При изчисляване на интегралите a) и b) въведете
n 1
нотация: x n u , след това du nx dx и, напр
sin xdx dv , след това v cos x .
При изчисляване на интегралите c), d) обозначете за u функцията
arctgx , ln x , а за dv те вземат x n dx .

Примери

Пример. Изчислете x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Примери

Пример. Изчисли
x ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 х
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
° С.
=
2
2
2
2 2

Променлив метод за подмяна

Нека се изисква да се намери f x dx , и
директно вземете примитива
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често се срещат
антидериват чрез въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt , където x t и t е новото
променлива

Интегриране на функции, съдържащи квадратен трином

Помислете за интеграла
axb
dx ,
x px q
съдържащ квадратен трином в
знаменателят на интегралното число
изрази. Взима се и такъв интеграл
метод за промяна на променливите,
идентифицирани преди в
знаменателят е пълен квадрат.
2

Пример

Изчисли
dx
.
x4x5
Решение. Нека трансформираме x 2 4 x 5 ,
2
избиране на пълен квадрат по формулата a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогава получаваме:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Пример

намирам
1 х
1 х
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 т
2
dt
1 т
1 т
г (t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
dt

Определен интеграл, неговите основни свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Приложения на определен интеграл.

Концепцията за определен интеграл води до
проблемът за намиране на площта на криволинейна
трапец.
Нека на някакъв интервал е даден
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Начертайте неговата графика и намерете F зоната на фигурата,
ограничен от тази крива, две прави линии x = a и x
= b, а отдолу - сегмент от оста на абсцисата между точките
x = a и x = b.

Фигурата aABb се нарича
криволинеен трапец

Определение

б
f(x)dx
Под определен интеграл
а
от дадена непрекъсната функция f(x) нататък
този сегмент се разбира
съответното увеличение
примитивен, т.е
F (b) F (a) F (x) /
б
а
Числата a и b са границите на интегриране,
е интервалът на интегриране.

правило:

Определеният интеграл е равен на разликата
стойности на антипроизводната интегрална функция
функции за горни и долни граници
интеграция.
Представяне на обозначението за разликата
б
F (b) F (a) F (x) / a
б
f (x)dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.

Основни свойства на определен интеграл.

1) Стойността на определен интеграл не зависи от
нотация на интеграционна променлива, т.е.
б
б
а
а
f (x)dx f (t)dt
където x и t са произволни букви.
2) Определен интеграл със същото
навън
интеграцията е нула
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а

3) При пренареждане на границите на интеграция
определеният интеграл обръща знака си
б
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
б
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът е разделен на крайно число
частични интервали, след това определеният интеграл,
взето през интервала е равно на сумата от дефинираните
интеграли, взети по всички негови частични интервали.
б
° С
б
f(x)dx f(x)dx
° С
а
а
f(x)dx

5) Може да се извади постоянен множител
за знака на определен интеграл.
6) Определен интеграл от алгебричното
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на същата алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.

3. Промяна на променлива в определен интеграл.

3. Замяна на променлива в определена
интегрална.
б
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
където
за t[; ] , функциите (t) и (t) са непрекъснати;
5
пример:
1
=
x 1dx
=
х 1 5
t04
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Неправилни интеграли.

Неправилни интеграли.
Определение. Нека функцията f(x) е дефинирана на
безкраен интервал , където b< + . Если
съществува
б
lim
f(x)dx,
б
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл от функцията f(x) на интервала
}