Разширявайки се на третия ред, изчислете детерминанта. Намаляване на реда на детерминанта. Разлагане на детерминанта в ред (колона). Изчисляване на детерминанта и обратна матрица по метода на Гаус

Матричен детерминант

Намирането на детерминанта на матрица е много често срещан проблем във висшата математика и алгебра. По правило не може да се направи без стойността на детерминанта на матрицата при решаване на сложни системи от уравнения. Методът на Крамер за решаване на системи от уравнения е изграден върху изчисляването на детерминанта на матрицата. Използвайки определението на детерминант, се определя наличието и уникалността на решението на системите от уравнения. Следователно е трудно да се надценява значението на способността за правилно и точно намиране на детерминанта на матрица в математиката. Методите за решаване на детерминанти теоретично са доста прости, но с увеличаване на размера на матрицата изчисленията стават много тромави и изискват много внимание и много време. Много е лесно да се направи незначителна грешка или печатна грешка в такива сложни математически изчисления, което ще доведе до грешка в крайния отговор. Следователно, дори и да намерите матричен детерминантнезависимо, важно е да проверите резултата. Това ни позволява да направим нашата услуга Намиране на детерминанта на матрица онлайн. Нашата услуга винаги дава абсолютно точен резултат, който не съдържа никакви грешки или печатни грешки. Можете да откажете независими изчисления, защото от приложна гледна точка намирането матричен детерминантняма учебен характер, а просто изисква много време и числени изчисления. Следователно, ако е във вашата задача определяне на детерминанта на матрицатаса спомагателни, странични изчисления, използвайте нашата услуга и намерете детерминанта на матрицата онлайн!

Всички изчисления се извършват автоматично с най-висока точност и абсолютно безплатно. Имаме много удобен интерфейс за въвеждане на матрични елементи. Но основната разлика между нашата услуга и подобни е способността за получаване подробно решение. Нашата услуга в онлайн изчисляване на детерминанта на матрицатавинаги използва най-простия и кратък метод и описва подробно всяка стъпка от трансформациите и опростяванията. Така получавате не само стойността на детерминанта на матрицата, крайния резултат, а цялото подробно решение.

В хода на решаване на задачи по висша математика много често се налага да изчисляване на детерминанта на матрицата. Детерминантата на матрица се появява в линейната алгебра, аналитична геометрия, математически анализ и други раздели висша математика. По този начин човек просто не може да мине без умението за решаване на детерминанти. Също така, за самотестване, можете да изтеглите калкулатора за детерминанти безплатно, той няма да ви научи как да решавате детерминанти сам, но е много удобно, защото винаги е полезно да знаете правилния отговор предварително!

Няма да давам строга математическа дефиниция на детерминанта и като цяло ще се опитам да сведа до минимум математическата терминология, това няма да улесни повечето читатели. Целта на тази статия е да ви научи как да решавате детерминанти от втори, трети и четвърти ред. Целият материал е представен в проста и достъпна форма и дори пълен (празен) чайник по висша математика, след внимателно изучаване на материала, ще може правилно да реши детерминантите.

На практика най-често можете да намерите детерминанта от втори ред, например: , и детерминанта от трети ред, например: .

Детерминанта от четвърти ред също не е антика и ще стигнем до него в края на урока.

Надявам се всички да разберат следното:Числата вътре в детерминанта живеят сами и не може да става дума за изваждане! Не можете да разменяте номера!

(По-специално, възможно е да се извършват пермутации по двойки на редовете или колоните на детерминанта с промяна в нейния знак, но често това не е необходимо - вижте следващия урок Свойства на детерминанта и понижаване на неговия ред)

По този начин, ако е даден детерминант, тогава не докосвайте нищо вътре в него!

Нотация: Ако е дадена матрица , тогава неговият детерминант се означава с . Също така, много често детерминантата се обозначава с латинска буква или гръцка.

1)Какво означава да се реши (намери, разкрие) детерминанта?За да изчислите детерминанта, трябва да НАМЕРИТЕ ЧИСЛОТО. Въпросителните знаци в горните примери са напълно обикновени числа.

2) Сега остава да разберем КАК да намеря този номер?За да направите това, трябва да приложите определени правила, формули и алгоритми, които ще бъдат обсъдени сега.

Да започнем с детерминанта "две" до "две":

ТОВА ТРЯБВА ДА СЕ ЗАПОМНИ, поне за времето на изучаване на висша математика в университета.

Нека да разгледаме пример веднага:

Готов. Най-важното е, НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАКИТЕ.

Матричен детерминант три по триможе да се отвори по 8 начина, 2 от тях са прости и 6 са нормални.

Нека започнем с два прости начина

Подобно на детерминанта „две по две“, детерминантата „три по три“ може да бъде разширена с помощта на формулата:

Формулата е дълга и е лесно да се направи грешка поради невнимание. Как да избегнем неудобните грешки? За това е изобретен втори метод за изчисляване на детерминанта, който всъщност съвпада с първия. Нарича се методът на Сарус или методът на "паралелни ленти".
Изводът е, че първата и втората колона се приписват отдясно на детерминанта и линиите са внимателно начертани с молив:

Факторите, разположени на "червените" диагонали, са включени във формулата със знак "плюс".
Факторите, разположени на "сините" диагонали, са включени във формулата със знак минус:

пример:

Сравнете двете решения. Лесно е да се види, че това е СЪЩОТО, просто във втория случай факторите на формулата са леко пренаредени и най-важното е, че вероятността да се направи грешка е много по-малка.

Сега разгледайте шестте нормални начина за изчисляване на детерминанта

Защо нормално? Защото в по-голямата част от случаите детерминантите трябва да се отварят по този начин.

Както можете да видите, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Можете да решите детерминанта, като я разширите на всеки ред или на която и да е колона.
По този начин се оказва 6 начина, докато във всички случаи се използва от същия типалгоритъм.

Матричен детерминант е равно на суматапроизведения на елементи от ред (колона) чрез съответните алгебрични допълнения. Страшен? Всичко е много по-просто, ще използваме ненаучен, но разбираем подход, достъпен дори за човек, който е далеч от математиката.

В следващия пример ще разширим детерминантата на първия ред.
За да направим това, имаме нужда от матрица от знаци: . Лесно е да се види, че знаците са разпръснати.

Внимание! Матрицата на знаците е мое собствено изобретение. Тази концепция не е научна, не е необходимо да се използва при окончателния дизайн на заданията, тя само ви помага да разберете алгоритъма за изчисляване на детерминанта.

Първо ще дам цялостното решение. Отново вземаме нашия експериментален детерминант и извършваме изчисления:

И основният въпрос: КАК да получите това от детерминанта „три по три“:
?

И така, детерминантата „три по три“ се свежда до решаването на три малки детерминанта, или както те също се наричат, НЕЛЕНОЛЕТНИ. Препоръчвам да запомните термина, особено след като е запомнящ се: минор - малък.

Веднага след като бъде избран методът за разширяване на детерминантата на първия ред, очевидно всичко се върти около него:

Елементите обикновено се гледат отляво надясно (или отгоре надолу, ако ще бъде избрана колона)

Да тръгваме, първо се занимаваме с първия елемент от низа, тоест с единицата:

1) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

2) След това пишем самия елемент:

3) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които е първият елемент:

Останалите четири числа образуват детерминантата "две по две", която се нарича НЕЗНАЧИТЕЛЕНдаден елемент (единица).

Преминаваме към втория елемент от линията.

4) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

5) След това пишем втория елемент:

6) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, съдържащи втория елемент:

Е, третият елемент от първия ред. Никаква оригиналност

7) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

8) Запишете третия елемент:

9) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които е третият елемент:

Останалите четири числа се записват в малък определител.

Останалите стъпки не са трудни, тъй като вече знаем как да броим детерминантите „две по две“. НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАКИТЕ!

По същия начин, детерминантата може да бъде разширена върху всеки ред или върху всяка колона.Естествено и в шестте случая отговорът е един и същ.

Детерминантата "четири по четири" може да се изчисли по същия алгоритъм.
В този случай матрицата на знаците ще се увеличи:

В следващия пример разширих детерминантата на четвъртата колона:

А как се е случило, опитайте се да разберете сами. Повече информация ще дойде по-късно. Ако някой иска да реши детерминантата до края, верният отговор е: 18. За обучение е по-добре да отворите определителя в някоя друга колона или друг ред.

Да практикуваш, да разкриваш, да правиш изчисления е много добре и полезно. Но колко време ще отделите за голям детерминант? Няма ли по-бърз и по-надежден начин? Предлагам ви да се запознаете с ефективни методиизчисляване на определителите във втория урок - Свойства на детерминанта. Намаляване на реда на детерминантата.

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!

Упражнение.Изчислете детерминанта, като я разширите върху елементите на някакъв ред или колона.

Решение.Нека първо извършим елементарни трансформации на редовете на детерминантата, като направим възможно най-много нули или в ред, или в колона. За да направите това, първо изваждаме девет трети от първия ред, пет трети от втория и три трети от четвъртия, получаваме:

Разширяваме получената детерминанта с елементите на първата колона:

Получената детерминанта от трети ред също се разширява от елементите на реда и колоната, като преди това са получени нули, например в първата колона. За да направите това, изваждаме два втори реда от първия ред, а втория от третия:

Отговор.

12. Slough 3 поръчки

1. Правило на триъгълника

Схематично това правило може да бъде представено по следния начин:

Произведението на елементите в първата детерминанта, които са свързани с линии, се взема със знак плюс; по подобен начин за втория детерминант съответните произведения се вземат със знак минус, т.е.

2. Сарус правило

Вдясно от детерминанта се добавят първите две колони и произведенията на елементите на главния диагонал и на успоредните на него диагонали се вземат със знак плюс; и произведенията на елементите на вторичния диагонал и диагоналите, успоредни на него, със знак минус:

3. Разширяване на детерминантата в ред или колона

Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено изберете реда/колоната, в която/та има нули. Редът или колоната, върху които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Упражнение.Разширявайки се върху първия ред, изчислете детерминанта

Решение.

Отговор.

4. Привеждане на детерминанта в триъгълна форма

С помощта на елементарни трансформации върху редове или колони, детерминантата се свежда до триъгълна форма, а след това нейната стойност, според свойствата на детерминанта, е равна на произведението на елементите на главния диагонал.

Пример

Упражнение.Изчисляване на детерминанта довеждайки го до триъгълна форма.

Решение.Първо, правим нули в първата колона под главния диагонал. Всички трансформации ще бъдат по-лесни за изпълнение, ако елементът е равен на 1. За да направите това, ще разменим първата и втората колона на детерминанта, което, според свойствата на детерминанта, ще го накара да промени знака на противоположния :

Определение1. 7. Незначителенелемент на детерминантата е детерминантата, получена от дадения чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи избрания елемент.

Нотация: избраният елемент на детерминантата, неговия минор.

Пример. За

Определение1. осем. Алгебрично събиранеелемент от детерминанта се нарича негов минор, ако сумата от индексите на дадения елемент i + j е четно число, или противоположно на минора, ако i + j е нечетно, т.е.

Помислете за друг начин за изчисляване на детерминанти от трети ред - така нареченото разширение на редове или колони. За да направим това, доказваме следната теорема:

Теорема 1.1. Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите на който и да е от неговите редове или колони и техните алгебрични допълнения, т.е.

където i=1,2,3.

Доказателство.

Нека докажем теоремата за първия ред на детерминантата, тъй като за всеки друг ред или колона можем да извършим подобни разсъждения и да получим същия резултат.

Нека намерим алгебрични допълнения към елементите от първия ред:

По този начин, за да се изчисли детерминантата, е достатъчно да се намерят алгебричните допълнения към елементите на всеки ред или колона и да се изчисли сумата от техните произведения по съответните елементи на детерминанта.

Пример. Нека изчислим детерминантата, използвайки разширението в първата колона. Имайте предвид, че в този случай не се изисква търсене, тъй като следователно намираме и следователно,

Детерминанти от по-висок порядък.

Определение1. девет. детерминанта от n-ти порядък

е сумата от n! членове всеки от които съответства на едно от n! подредени множества, получени чрез r двойни пермутации на елементи от множеството 1,2,…,n.

Забележка 1. Свойствата на детерминантите от 3-ти порядък са валидни и за детерминантите от n-ти порядък.

Забележка 2. На практика детерминантите от висок порядък се изчисляват с помощта на разширение на редове или колони. Това дава възможност да се намали реда на изчислените детерминанти и в крайна сметка да се сведе проблема до намирането на детерминанти от 3-ти ред.

Пример. Изчислете детерминанта от 4-ти порядък използвайки разширението във 2-ра колона. За да направим това, намираме:

следователно,

Теорема на Лаплас- една от теоремите на линейната алгебра. Тя е кръстена на френския математик Пиер-Симон Лаплас (1749 - 1827), на когото се приписва формулирането на тази теорема през 1772 г., въпреки че на Лайбниц е известен специален случай на тази теорема за разширяването на детерминанта в ред (колона). .

пълнотанезначително се дефинира, както следва:

Следното твърдение е вярно.

Броят на минорите, върху които се взема сумата в теоремата на Лаплас, е равен на броя на начините за избор на колони от , тоест на биномния коефициент .

Тъй като редовете и колоните на матрица са еквивалентни по отношение на свойствата на детерминанта, теоремата на Лаплас може да бъде формулирана и за колоните на матрица.

Разлагане на детерминанта по ред (колона) (следствие 1)

Широко известен е специален случай на теоремата на Лаплас – разширяването на детерминантата в ред или колона. Позволява ви да представите детерминанта квадратна матрицакато сбор от произведенията на елементите на който и да е от неговите редове или колони и техните алгебрични допълнения.

Нека е квадратна матрица с размер . Нека също да бъде даден номер на ред или колона на матрицата. Тогава детерминантата може да се изчисли по следните формули.

Често в университета има задачи по висша математика, в които е необходимо изчисляване на детерминанта на матрицата. Между другото, детерминантата може да бъде само в квадратни матрици. По-долу разглеждаме основните дефиниции на това какви свойства има детерминантата и как да я изчислим правилно. Ще покажем и подробно решение с помощта на примери.

Какво е детерминантата на матрица: изчисляване на детерминанта с помощта на дефиницията

Матричен детерминант

Вторият ред е номерът.

Матричният детерминант се обозначава с - (съкратено от латинското наименование на детерминантите), или.

Ако: тогава се оказва

Припомняме си още няколко спомагателни определения:

Определение

Подреден набор от числа, който се състои от елементи, се нарича ред на пермутация.

За набор, който съдържа елементи, има факториал (n), който винаги се обозначава с удивителен знак: . Пермутациите се различават една от друга само по своя ред. За да стане по-ясно, нека вземем пример:

Помислете за набор от три елемента (3, 6, 7). Има общо 6 пермутации, тъй като .:

Определение

Инверсията в пермутация на реда е подреден набор от числа (нарича се още биекция), където две от тях образуват вид разстройство. Това е, когато по-голямото от числата в дадена пермутация се намира вляво от по-малкото число.

По-горе разгледахме пример с инверсия на пермутация, където имаше числа. И така, нека вземем втория ред, където, съдейки по дадените числа, се оказва, че , и , тъй като вторият елемент е по-голям от третия елемент . Да вземем за сравнение шестия ред, където се намират числата: . Тук има три двойки: , и , тъй като title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Изведено от QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Изведено от QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Няма да изучаваме самата инверсия, но пермутациите ще ни бъдат много полезни при по-нататъшното разглеждане на темата.

Определение

Детерминанта на матрицата x - число:

е пермутация на числа от 1 до безкрайно число и е броят на инверсиите в пермутацията. Така детерминантата включва термини, които се наричат „термини на детерминанта“.

Можете да изчислите детерминанта на матрица от втори ред, трети и дори четвърти. Също така си струва да се спомене:

Определение

детерминантата на матрицата е число, което е равно на

За да разберем тази формула, ще я опишем по-подробно. Детерминантата на квадратна матрица x е сума, която съдържа членове и всеки член е продукт на определен брой матрични елементи. В същото време всеки продукт има елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата.

Може да се появи преди определен термин, ако елементите на матрицата в произведението вървят по ред (по номер на ред), а броят на инверсиите при пермутацията на множеството от номера на колоните е нечетен.

По-горе беше споменато, че детерминантата на матрицата се означава с или , тоест детерминантата често се нарича детерминанта.

И така, обратно към формулата:

От формулата може да се види, че детерминантата на матрица от първи ред е елемент от същата матрица.

Изчисляване на детерминанта на матрица от втори ред

Най-често на практика матричният детерминант се решава по методи от втори, трети и по-рядко от четвърти ред. Помислете как се изчислява детерминантата на матрица от втори ред:

В матрица от втори ред следва, че факториелът . Преди да приложите формулата

Необходимо е да определим какви данни получаваме:

2. пермутации на множества: и ;

3. брой инверсии в пермутацията : и , тъй като title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. съответни произведения: и .

Оказва се:

Въз основа на горното получаваме формула за изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от втори ред, тоест x:

Помислете за конкретен примеркак да изчислим детерминанта на квадратна матрица от втори ред:

Пример

Задача

Изчислете детерминанта на матрицата x :

Решение

И така, получаваме , , , .

За да го разрешите, трябва да използвате обсъдената по-рано формула:

Подменяме числата от примера и намираме:

Отговор

Детерминанта на матрица от втори ред = .

Изчисляване на детерминанта на матрица от трети ред: пример и решение с помощта на формулата

Определение

Детерминантата на матрица от трети порядък е числото, получено от девет дадени числа, подредени в квадратна таблица,

Детерминантата от трети порядък се намира почти по същия начин като детерминантата от втори ред. Единствената разлика е във формулата. Следователно, ако сте добре запознати с формулата, тогава няма да има проблеми с решението.

Помислете за квадратна матрица от трети порядък * :

Въз основа на тази матрица разбираме, че съответно факторният = , което означава, че се получават общите пермутации

За да приложите формулата правилно, трябва да намерите данните:

И така, общите пермутации на множеството:

Броят на инверсията в пермутацията и съответните произведения = ;

Брой инверсии в пермутацията title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Пермутационни инверсии title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; инверси в пермутация title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; инверси в пермутация title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Сега получаваме:

Така получихме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от порядък x:

Намиране на матрица от трети порядък по правилото на триъгълника (правилото на Сарус)

Както бе споменато по-горе, елементите на детерминантата от 3-ти ред са разположени в три реда и три колони. Ако въведем обозначението общ елемент, тогава първият елемент обозначава номера на реда, а вторият елемент от индексите обозначава номера на колоната. Има главни (елементи) и второстепенни (елементи) диагонали на детерминантата. Членовете от дясната страна се наричат термини на детерминанта).

Може да се види, че всеки член на детерминанта е в схемата само с един елемент във всеки ред и всяка колона.

Можете да изчислите детерминанта, като използвате правилото за правоъгълник, което е показано като диаграма. Определящите елементи от елементите на главния диагонал са подчертани в червено, както и членовете от елементите, които са в горната част на триъгълниците, които имат една страна, са успоредни на главния диагонал (лява диаграма), са взети с Знакът.

Със знака се вземат термините със сини стрелки от елементите на страничния диагонал, както и от елементите, които са във върховете на триъгълници, които имат страни, успоредни на страничния диагонал (дясна диаграма).

В следващия пример ще научим как да изчислим детерминанта на квадратна матрица от трети порядък.

Пример

Задача

Изчислете детерминанта на матрицата от трети ред:

Решение

В този пример:

Ние изчисляваме детерминанта, използвайки формулата или схемата, обсъдена по-горе:

Отговор

Матричен детерминант от трети порядък =

Основни свойства на матричните детерминанти от трети порядък

Въз основа на предишните определения и формули, разгледайте основните свойства на детерминанта на матрицата.

1. Размерът на детерминанта няма да се промени, когато съответните редове, колони се заменят (такава замяна се нарича транспониране).

Използвайки пример, уверете се, че детерминантата на матрицата е равна на детерминантата на транспонираната матрица:

Припомнете си формулата за изчисляване на детерминанта:

Транспонираме матрицата:

Изчисляваме детерминанта на транспонираната матрица:

Уверихме се, че детерминантата на транспортираната матрица е равна на оригиналната матрица, което показва правилното решение.

2. Знакът на детерминантата ще се промени на противоположен, ако в нея се разменят две от нейните колони или два реда.

Нека да разгледаме пример:

Дадени са две матрици от трети порядък ( x ):

Необходимо е да се покаже, че детерминантите на тези матрици са противоположни.

Решение

В матрицата и в матрицата редовете са се променили (третият от първия и от първия към третия). Според второто свойство детерминантите на две матрици трябва да се различават по знак. Тоест, едната матрица е положителна, а другата е отрицателна. нека проверим това свойство, като приложим формулата за изчисляване на детерминанта.

Свойството е вярно, защото .

3. Детерминантът е равен на нула, ако има същите съответни елементи в два реда (колони). Нека детерминантата има същите елементи от първата и втората колона:

Разменяйки същите колони, ние, според свойство 2, получаваме нов детерминант: = . От друга страна, новият детерминант е същият като оригиналния, тъй като отговорите са едни и същи елементи, т.е. = . От тези равенства получаваме: = .

4. Детерминантът е равен на нула, ако всички елементи от един ред (колона) са нули. Това твърдение произтича от факта, че всеки член на детерминантата съгласно формула (1) има един и само един елемент от всеки ред (колона), който има само нули.

Нека да разгледаме пример:

Нека покажем, че детерминантата на матрицата е равна на нула:

Нашата матрица има две еднакви колони (втора и трета), следователно, въз основа на това свойство, детерминантът трябва да бъде равен на нула. Да проверим:

Всъщност детерминантата на матрица с две еднакви колони е нула.

5. Общият фактор на елементите от първия ред (колона) може да бъде изваден от знака детерминанта:

6. Ако елементите на един ред или една колона на детерминанта са пропорционални на съответните елементи от втория ред (колона), тогава такъв детерминант е равен на нула.

Действително, след свойство 5, коефициентът на пропорционалност може да бъде изваден от знака на детерминанта, след което може да се използва свойство 3.

7. Ако всеки от елементите на редовете (колони) на детерминанта е сбор от два члена, тогава този детерминант може да бъде даден като сбор от съответните детерминанти:

За проверка е достатъчно да напишете в разширен вид според (1) детерминантата, която е от лявата страна на равенството, след което отделно групирайте термините, които съдържат елементи и . Всяка от получените групи от термини ще бъде първата и втори детерминанти от дясната страна на равенството, съответно.

8. Стойностите на дефиницията няма да се променят, ако съответните елементи от втория ред (колона), умножени по същото число, се добавят към елемента на един ред или една колона:

Това равенство се получава от свойства 6 и 7.

9. Детерминантата на матрицата , , е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.

Тук чрез алгебричното допълнение на матричния елемент. Използвайки това свойство, можете да изчислите не само матрици от трети порядък, но и матрици от по-висок порядък ( x или x ). С други думи, това е рекурсивна формула, която е необходима, за да се изчисли детерминантата на матрица от която и да е поръчка. Запомнете го, тъй като често се използва на практика.

Струва си да се каже, че с помощта на деветото свойство може да се изчислят детерминантите на матрици не само от четвърти, но и от по-високи порядки. В този случай обаче трябва да извършите много изчислителни операции и да бъдете внимателни, тъй като най-малката грешка в знаците ще доведе до неправилно решение. Матриците от по-висок порядък се решават най-удобно по метода на Гаус и за това ще говорим по-късно.

10. Определител на произведението на матрици от същия ред е равно на продуктатехните детерминанти.

Нека да разгледаме пример:

Пример

Задача

Уверете се, че определителят на двете матрици и е равен на произведението на техните детерминанти. Дадени са две матрици:

Решение

Първо, намираме произведението на детерминантите на две матрици и .

Сега извършваме умножението на двете матрици и по този начин изчисляваме детерминанта:

Отговор

Уверихме се в това