Primjena b. numerički eksperimenti o kaosu. Generatori kaosa na plisu Model nelinearne kemijske reakcije Resslerov atraktor

1

Članak je posvećen primjeni metode analitičkog dizajna agregatnih regulatora za razvoj zakona upravljanja tipičnih nelinearnih dinamičkih sustava s kaotičnom dinamikom, koji osiguravaju stabilizaciju ravnotežnih stanja u takvim sustavima. U članku je prikazano rješenje jednog od karakterističnih problema antikaotičkog upravljanja, a to je problem potiskivanja aperiodičnih oscilacija u takvim sustavima. Razvijeni su sinergistički zakoni upravljanja za kaotične Lorentzove i Resslerove modele koji osiguravaju stabilizaciju faznih varijabli u tim modelima. Uvođenje sintetizirane povratne sprege dovodi do nastanka stanja ravnoteže u sustavima. Provedena je računalna simulacija sintetiziranih zatvorenih dinamičkih sustava, čime su potvrđene teorijske postavke teorije sinergetskog upravljanja. Sintetizirani zakoni upravljanja mogu se koristiti u različitim tehničkim primjenama kako bi se povećala učinkovitost njihovog funkcioniranja.

Lorenz model

Resslerov model

dinamički sustav

kontrolirati

sinergija

Povratne informacije

samooscilacije

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Predavanja o nelinearnoj dinamici // Izvestiya Vysshikh obrazovne ustanove. Primijenjena nelinearna dinamika. - 2010. - T. 18. - Broj 3. - S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Primijenjena sinergetika: Osnove sinteze sustava. - Taganrog: Izdavačka kuća TTI SFU, 2007. - 384 str.

3. Kolesnikov A.A. Sinergetska teorija upravljanja. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 str.

4. Malinetsky G.G. Kaos. strukture. Računalni eksperiment: Uvod u nelinearnu dinamiku. – M.: Editorial URSS, 2002. – 255 str.

5. Neimark Yu.I., Landa P.S. Stohastičke i kaotične oscilacije. – M.: Nauka, 1987. – 424 str.

6. Suvremena primijenjena teorija upravljanja. Dio II: Sinergetski pristup u teoriji upravljanja / pod. izd. A.A. Kolesnikov. - M.-Taganrog: Izdavačka kuća TRTU, 2000. - 558 str.

7. Lorenz E.N. Determinističko neperiodično strujanje // J. Atmos. sci. - 1963. - br. 20. - str. 130-133.

8 Rossler O.E. Jednadžba za kontinuirani kaos // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57A, br. 5. - Str. 397-398.

Do danas je uporaba pojma "kaos" u znanstvenim istraživanjima povezana s potrebom da se opisuju takvi sustavi koje karakterizira potpuno slučajna, na prvi pogled, dinamika i istodobno prisutnost skrivenog reda u njima.

Dovoljno relevantno znanstveni problem kontrola kaotične dinamike u ovom trenutku nije riješena. Od velikog broja dostupnih aspekata njegovog rješavanja, iznimno je važno izdvojiti proučavanje različitih metoda i zakona koji suzbijaju nepravilne oscilacije u nelinearnim sustavima, koje karakterizira prisutnost kaotične dinamike.

Problemi upravljanja nelinearni sustavi s kaotičnom dinamikom od velike je praktične važnosti. Važno je napomenuti da se ovdje ne radi samo o borbi protiv kaosa, koji često narušava kvalitetu funkcioniranja složenih sustava, već io ideji nastanka takozvanog “reda iz kaosa”. , što je svrsishodno za niz tehnoloških procesa.

Problem suzbijanja nepravilnih oscilacija jedan je od najkarakterističnijih problema upravljanja modelima s kaotičnom dinamikom i sastoji se u takvom oblikovanju upravljačkih djelovanja koje osigurava stabilizaciju prvobitno kaotičnog modela u stabilnom stacionarnom stanju. U nastavku se pretpostavlja da je moguće utjecati na dinamiku modela uz pomoć nekog vanjskog upravljačkog djelovanja koje je aditivno uključeno u desnu stranu jedne od njegovih diferencijalnih jednadžbi.

Svrha studije. U ovom radu rješavamo problem konstruiranja skalarnih zakona upravljanja koji osiguravaju potiskivanje kaotičnih oscilacija u tipičnim kaotičnim sustavima Lorentza i Resslera, pri čemu dolazi do stabilizacije nepravilnih oscilacija izvornih modela u ravnotežnom stacionarnom stanju. Problemi slične vrste nastaju kada je potrebno eliminirati neželjene vibracije konstrukcija, razne zvukove i sl. .

Materijali i metode istraživanja

Jedna od metoda za učinkovito rješavanje složenog problema upravljanja kaosom i sinteze objektivnih zakona upravljanja za nelinearne sustave s kaotičnom dinamikom je metoda analitičkog dizajna agregiranih regulatora (ACAR), koju je predložio profesor A.A. Kolesnikov.

Konstrukcija skalarnih regulatora metodom analitičkog projektiranja agregiranih regulatora temelji se na uvođenju niza invarijantnih mnogostrukosti opadajuće geometrijske dimenzije i naknadnoj dinamičkoj dekompoziciji korak po korak početnog dinamičkog sustava. U ovom slučaju, reprezentativna točka (IP) sustava, počevši se kretati iz proizvoljnog početnog stanja, sekvencijalno se pomiče od jedne površine privlačenja do druge dok ne udari u ciljnu površinu oblika ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. "Unutarnje" mnogostrukosti su topološki ugrađene u "vanjske". Dakle, u sintetiziranom sustavu, unutarnji proces samouprava. Kao rezultat toga, odvija se kaskadna formacija niza internih kontrola, koja komprimira fazni volumen sustava u smjeru od vanjske regije faznog prostora do skupa internih regija ugniježđenih jedna u drugu sve dok IT ne uđe u željeno stanje sustava.

Pretpostavimo da u prostoru stanja zatvorenog sustava postoji privlačna invarijantna mnogostrukost oblika ψ(x) = 0, koja je asimptotska granica faznih trajektorija. Općenito, može postojati nekoliko takvih sorti. U pravilu, broj nepromjenjivih razdjelnika podudara se s brojem upravljačkih kanala. Tada reprezentativna točka sustava počinje težiti sjecištu invarijantnih mnogostrukosti. Nužan uvjet da reprezentativna točka zatvorenog sustava “objekt-regulator” pogodi invarijantnu mnogostrukost ψ(x) = 0 je da njegovo gibanje zadovoljava neku stabilnu diferencijalnu jednadžbu napisanu s obzirom na agregiranu makro varijablu ψ(x). Takva se jednadžba u sinergetskoj teoriji upravljanja naziva funkcionalnom ili evolucijskom. Obično se sustav funkcionalnih jednadžbi zadaje kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda oblika

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Ovdje je m broj zadanih invarijantnih mnogostrukosti; Ts je kontrolni parametar, φ s (ψ s) je funkcija koja mora zadovoljiti sljedeći skup uvjeta:

1) φ s (ψ s ) mora biti kontinuiran, jednovrijedan i diferencijabilan za sve ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 za bilo koju 0,

oni. nestaju samo na mnogoznačnikima φ s = 0, s obzirom na koje je sustav zadanih funkcionalnih jednadžbi kao cjelina asimptotički stabilan.

U pravilu, ACAR metoda koristi funkcionalne jednadžbe:

oni. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Jednadžbe ovog tipa, kao što se vidi, karakterizira asimptotska stabilnost u odnosu na mnogostrukost ψ s = 0 pod uvjetom da je Ts > 0.

U ovoj situaciji problem sintetiziranja zakona stabilizirajućeg upravljanja kaotičnim modelima u općem slučaju formulira se na sljedeći način. Potrebno je pronaći funkciju uS(x) kao određeni skup povratnih veza koje osiguravaju prijenos reprezentativne točke početnog kaotičnog modela iz proizvoljnih početnih uvjeta u određenom dopustivom području u zadano stanje (skup stanja), koji odgovara stabilnom režimu . U najjednostavnijem slučaju upravljanje ulazi samo u jednu diferencijalnu jednadžbu izvornog sustava. Mogu postojati opcije kada je ista radnja upravljanja u različitim linijama izvornog sustava.

Poseban aspekt formulacije problema sinergijske sinteze zakona upravljanja je prisutnost dodatnog zahtjeva za kretanje sustava od početnog stanja do konačnog, koji se sastoji u asimptotskom privlačenju faznih putanja sustava nekom invarijantnom mnogoznačniku (sjecištu mnogostrukosti) u prostoru stanja (PS) sustava.

Uvođenje stabilizirajuće povratne sprege u jednadžbe izvornog modela dovodi do svrhovite promjene u topologiji njegovog prostora stanja. Kao rezultat takvog preslagivanja, kaotični atraktor nestaje i nastaje pravilan atraktor tipa “točke” koji odgovara željenom ravnotežnom načinu ponašanja.

Rezultati istraživanja i rasprava

Razmotrimo faze provedenog postupka za sintezu stabilizirajućeg zakona upravljanja ACAR metodom za kaotični Lorentzov sustav.

Lorenzov model izvorno je izveden iz Navier-Stokesovih jednadžbi i jednadžbi provođenja topline kako bi se istražila mogućnost predviđanja vremenskih uvjeta s različitim kontrolnim parametrima. Model opisuje gibanje konvektivnih valjaka u tekućini s temperaturnim gradijentom.

Model je sljedeći sustav od tri obične diferencijalne jednadžbe:

gdje je σ Prandtlov broj; ρ je normalizirani Rayleighov broj; parametar b ovisi o udaljenosti između ravnina i horizontalnoj periodi.

Riža. 1. Kaotični atraktor Lorentzovog sustava

U ovom sustavu pod određenim uvjetima dolazi do stvaranja kaotičnih oscilacija. Na sl. Na slici 1. prikazana je fazna putanja sustava za parametre σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 u determinističkom kaosu. U ovom dinamičkom sustavu po prvi su put proučavane stohastičke vlastite oscilacije. Kaotični atraktor sustava (1) bitno se razlikuje od kaotičnih atraktora većine modela nelinearne dinamike. Njegova struktura u potpunosti odgovara čudnom atraktoru i karakterizirana je prisutnošću samo sedlastog tipa gibanja.

Pretpostavimo da upravljačko djelovanje u1 ulazi u prvu jednadžbu sustava (1) u obliku interne povratne veze:

Uvedimo jednu invarijantnu mnogoznačnik forme

gdje je μ neki kontrolni parametar.

Ako diferenciramo funkciju ψ1 (3) s obzirom na vrijeme i zamijenimo njenu derivaciju u funkcionalnu jednadžbu

dobivamo željeni zakon upravljanja:

Regulacijski zakon (5) osigurava prijenos reprezentativne točke sustava (2), zatvorenog povratnom spregom (5), na invarijantnu mnogostrukost ψ1 = 0.

Dinamika gibanja reprezentativne točke modela duž ove invarijantne mnogostrukosti opisana je pomoću diferencijalnih jednadžbi dekomponiranog modela koje nastaju supstitucijom izraza iz jednakosti ψ1 = 0 (3) u drugu i treću jednadžbu sustav (2):

(6)

Riža. 2. Fazni portreti sustava (2), (5) i (6)

Riža. Slika 2. prikazuje rezultate numeričke simulacije sustava (2), (5) za vrijednosti upravljačkih parametara σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, karakteristične za postojanje kaotičnog Lorentzovog atraktora. , te vrijednosti parametara regulatora T1 = 0,1, μ = 4, koji potvrđuju učinkovitost teorijskih principa ACAR metode. Prva jednadžba u dekomponiranom sustavu (6) potpuno je identična osnovnoj evolucijskoj jednadžbi sinergetike s bifurkacijom "rašlje".

Konstruirajmo stabilizirajući zakon upravljanja ACAR metodom za Resslerov model. Resslerov model je nelinearni dinamički sustav diferencijalnih jednadžbi trećeg reda oblika:

gdje su a, b, c kontrolni parametri.

Sustav (7) predložio je Ressler za modeliranje procesa interakcije serija kemijske tvari. Ovaj sustav se vrlo često koristi u raznim znanstvenim studijama fenomena različite prirode zbog prisutnosti znakova pojave i postojanja kaotične dinamike koja je za njih karakteristična. Riža. 3 prikazuje kaotični atraktor Resslerovog sustava za vrijednosti parametra a = b = 0,2; c = 9.

Pretpostavimo da je upravljačka radnja uključena u drugu jednadžbu izvornog sustava (7):

Vrsta nepromjenljive mnogostrukosti

i funkcionalna jednadžba (4) omogućuju nam da dobijemo željeni zakon upravljanja:

(10)

Zakon upravljanja (10) jamči prijenos reprezentativne točke upravljanog sustava (8), koji je zatvoren povratnom spregom (10), na invarijantnu mnogostrukost ψ2 = 0 (9).

Riža. 3. Kaotični atraktor Roesslerovog sustava

Priroda gibanja sustava duž invarijantne mnogostrukosti ψ2 = 0 opisuje se dekomponiranim modelom:

(11)

gdje je u prvom retku prisutna bifurkacijska jednadžba tipa "rašlje".

Riža. 4. Fazni portreti sustava (8), (10) i (11)

Riža. Slika 4 prikazuje dobivene rezultate numeričke simulacije zatvorenog sustava (8), (10) za vrijednosti upravljačkih parametara modela a = b = 0,2; c = 9, koji su tipični za pojavu atraktora kaotičnog tipa, kao i vrijednosti parametara regulatora T2 = 0,1; μ = 25.

U oba dobivena dekomponirana modela (6), (11) jednadžbe smještene u prvom retku podudaraju se s osnovnom evolucijskom jednadžbom sinergije s bifurkacijom tipa vilice. U tom smislu možemo ustvrditi prirodnu prirodu sintetiziranih zakona stabilizirajućeg upravljanja početnim kaotičnim sustavima i postojeće jedinstvo i unutarnju povezanost univerzalnih evolucijskih jednadžbi nelinearne teorije samoorganizacije i sinergetike.

Prirodni karakter sintetiziranih zakona upravljanja posljedica je, prije svega, prisutnosti skupa tipičnih svojstava bifurkacije u zatvorenim sustavima.

Kao rezultat studije, sintetiziran je skup povratnih informacija, kada su početni kaotični sustavi zatvoreni, dolazi do promjene u prirodi njihovog ponašanja i transformacije atraktora kaotičnog tipa u atraktor "točkastog" tipa. Rezultirajući zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) zajamčeno osiguravaju asimptotsku stabilnost u cijelom faznom prostoru u odnosu na željena ravnotežna stanja za vrijednosti parametra μ< 0 или μ >0 za odgovarajuće početne kaotične modele. Rezultirajući zakoni u1 (5) i u2 (10) pripadaju klasi objektivnih zakona upravljanja koji pretvaraju Lorentzove i Resslerove sustave, koji imaju kaotičnu dinamiku, u osnovne evolucijske jednadžbe teorije samoorganizacije i sinergetike.

Sintetizirani zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) su originalni i univerzalni. Mogu se koristiti u projektiranju upravljanih sustava za različite namjene, značajno povećavajući učinkovitost njihovog rada.

Bibliografska poveznica

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. PRIMJENA AKAR METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA STABILIZIRANJA RAVNOTEŽNIH STANJA TIPIČNIH NELINEARNIH SUSTAVA // Fundamentalna istraživanja. - 2016. - br. 5-2. – Str. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"

Bok svima!

Ovaj je članak posvećen nevjerojatnim značajkama u svijetu kaosa. Pokušat ću govoriti o tome kako obuzdati tako čudnu i složenu stvar kao što je kaotični proces i naučiti kako stvoriti vlastite jednostavne generatore kaosa. Zajedno s vama ćemo od suhoparne teorije doći do izvrsne vizualizacije kaotičnih procesa u prostoru. Konkretno, na primjeru dobro poznatih kaotičnih atraktora, pokazat ću kako stvoriti dinamičke sustave i koristiti ih u zadacima vezanim uz logičke integrirane sklopove koji se mogu programirati u polju (FPGA).

Uvod

Teorija kaosa je neobična i mlada znanost koja opisuje ponašanje nelinearnih dinamičkih sustava. U procesu svog nastanka, teorija kaosa se jednostavno okrenula moderna znanost! Uzbudilo je umove znanstvenika i učinilo ih sve više i više uronjenima u proučavanje kaosa i njegovih svojstava. Za razliku od buke koja je slučajni proces, kaos je određen. To jest, za kaos postoji zakon promjene u veličinama uključenim u jednadžbe za opisivanje kaotičnog procesa. Čini se da se s takvom definicijom kaos ne razlikuje od bilo koje druge oscilacije opisane kao funkcija. Ali nije. Kaotični sustavi vrlo su osjetljivi na početne uvjete i najmanja promjena u njima može dovesti do ogromnih razlika. Te razlike mogu biti toliko jake da će biti nemoguće reći je li jedan ili više sustava testirano. Iz popularnoznanstvenih izvora, ovo svojstvo kaosa najbolje opisuje proces zvan " efekt leptira". Mnogi su čuli za to, pa čak i čitali knjige i gledali filmove koji su koristili tehniku ​​pomoću efekta leptira. U biti, efekt leptira odražava glavno svojstvo kaosa.

Američki znanstvenik Edward Lorenz, jedan od pionira na polju kaosa, jednom je rekao:

Leptir koji maše krilima u Iowi može izazvati lavinu učinaka koji mogu kulminirati u kišnoj sezoni u Indoneziji.

Dakle, zaronimo u teoriju kaosa i vidimo koja improvizirana sredstva mogu generirati kaos.

Teorija

Prije predstavljanja glavnog materijala, želio bih dati nekoliko definicija koje će pomoći razumjeti i razjasniti neke točke u članku.

dinamički sustav je određeni skup elemenata za koje je određena funkcionalna ovisnost između vremenske koordinate i položaja u faznom prostoru svakog elementa sustava. Jednostavno rečeno, dinamički sustav je sustav čije se stanje u prostoru mijenja tijekom vremena.
Mnogi fizikalni procesi u prirodi opisuju se sustavima jednadžbi, koji su dinamički sustavi. Na primjer, to su procesi izgaranja, strujanje tekućina i plinova, ponašanje magnetskih polja i električnih oscilacija, kemijske reakcije, meteorološki fenomeni, promjene u populacijama biljaka i životinja, turbulencije u morske struje, kretanje planeta pa čak i galaksija. Kao što vidite, mnogi fizički fenomeni mogu se donekle opisati kao kaotični procesi.

Fazni portret je koordinatna ravnina u kojoj svaka točka odgovara stanju dinamičkog sustava u određenom trenutku vremena. Drugim riječima, ovo je prostorni model sustava (može biti dvodimenzionalan, trodimenzionalan, pa čak i četverodimenzionalan ili više).

atraktor je neki skup faznog prostora dinamičkog sustava, za koji se sve putanje privlače u ovaj skup tijekom vremena. Ako na vrlo jednostavnom jeziku, onda je to određeno područje u kojem je koncentrirano ponašanje sustava u prostoru. Mnogi kaotični procesi su atraktori, jer su koncentrirani u određenom području prostora.

Provedba

U ovom članku želio bih govoriti o četiri glavna atraktora - Lorentz, Ressler, Rikitaka i Nose-Hoover. Osim teorijskog opisa, u članku se razmatraju aspekti stvaranja dinamičkih sustava u okruženju MATLAB Simulink te njihovu daljnju integraciju u FPGA tvrtke Xilinx uz pomoć alata Generator sustava. Zašto ne VHDL/Verilog? Atraktore možete sintetizirati i pomoću RTL jezika, ali za bolju vizualizaciju svih procesa idealan je MATLAB. Neću se doticati kompliciranih pitanja povezanih s izračunom spektra Lyapunovljevih eksponenata ili konstrukcijom Poincaréovih presjeka. Štoviše, neće biti glomaznih matematičkih formula i zaključaka. Pa krenimo.

Za stvaranje generatora kaosa potreban nam je sljedeći softver:

• MATLAB R2014 licenciran za Simulink i DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 s licencom System-Generator (DSP Edition).

Ovi programi su prilično teški, pa budite strpljivi kada ih instalirate. Bolje je započeti instalaciju s MATLAB-om, a tek onda instalirati Xilinx softver (s drugačijim slijedom, neki moji prijatelji nisu uspjeli integrirati jednu aplikaciju u drugu). Prilikom instaliranja potonjeg, pojavljuje se prozor u kojem možete povezati Simulink i System Generator. U instalaciji nema ništa komplicirano i neobično, pa ćemo preskočiti ovaj proces.

Lorentzov atraktor

Lorentzov atraktor- ovo je možda najpoznatiji dinamički sustav u teoriji kaosa. Već nekoliko desetljeća privlači veliku pažnju mnogih istraživača za opis pojedinih fizički procesi. Prvi spomen atraktora dat je 1963. godine u radovima E. Lorenza, koji se bavio modeliranjem atmosferskih pojava. Lorentzov atraktor je trodimenzionalni dinamički sustav nelinearnih autonomnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Ima složenu topološku strukturu, asimptotski je stabilan i stabilan u smislu Ljapunova. Lorentzov atraktor opisuje se sljedećim sustavom diferencijalnih jednadžbi:

U formuli, točka iznad parametra znači uzimanje derivacije, koja odražava brzinu promjene vrijednosti u odnosu na parametar (fizičko značenje derivacije).

Za vrijednosti parametara σ = 10, r= 28 i b= 8/3 ovaj jednostavan dinamički sustav dobio je E. Lorenz. Dugo nije mogao shvatiti što se događa s njegovim računalom, sve dok konačno nije shvatio da sustav pokazuje kaotična svojstva! Dobiven je tijekom eksperimenata za problem modeliranja konvekcije fluida. Osim toga, ovaj dinamički sustav opisuje ponašanje sljedećih fizičkih procesa:

• je jednomodni laserski model,
• – konvekcija u zatvorenoj petlji i ravnom sloju,
• – rotacija vodenog kotača,
• – harmonijski oscilator s inercijalnom nelinearnošću,
• – vrtlozi oblačnih masa itd.

Sljedeća slika prikazuje Lorentzov atraktorski sustav u MATLAB okruženju:

Slika koristi nekoliko sljedećih simbola:

• oduzimači: SUB0-3;
• stalni množitelji: SIGMA, B, R;
• množitelji: MULT0-1;
• integratori s ćelijom za određivanje početnog stanja: INTEGRATOR X,Y,Z;
• izlazni portovi OUT: PODACI X,Y,Z za signale XSIG, YSIG, ZSIG;

Osim toga, dijagram predstavlja pomoćne alate za analizu, a to su:

• spremanje rezultata izračuna u datoteku: Do radnog prostora X,Y,Z;
• konstrukcija prostornih grafova: Grafikon XY, YZ, XZ;
• izgradnja vremenskih grafikona: Opseg XYZ;
• alati za procjenu zauzetih resursa kristala i generiranje HDL koda iz modela " Procjenitelj resursa" i " Generator sustava».

Unutar svakog čvora matematičkih operacija morate odrediti bitnu dubinu međupodataka i njihovu vrstu. Nažalost, nije lako raditi s pomičnim zarezom u FPGA-ima iu većini slučajeva sve se operacije izvode u formatu s fiksnim zarezom. Pogrešno postavljanje parametara može dovesti do netočnih rezultata i frustrirati vas prilikom izgradnje sustava. Eksperimentirao sam s različitim vrijednostima, ali sam se odlučio za sljedeću vrstu podataka: 32-bitni vektor brojeva s predznakom u formatu fiksne točke. 12 bita je dodijeljeno za cijeli dio, 20 bita za razlomak.

Postavljanjem integratora X, Y, Z u bloku okidača na početnu vrijednost sustava, npr. {10, 0, 0} , pokrenuo sam model. U vremenskoj bazi mogu se uočiti sljedeća tri signala:


Čak i ako vrijeme simulacije teži beskonačnosti, tada se implementacija u vremenu nikada neće ponoviti. Kaotični procesi su neperiodični.

U tri dimenzije Lorentzov atraktor izgleda ovako:

Vidi se da atraktor ima dvije točke privlačenja, oko kojih se odvija cijeli proces. Uz malu promjenu početnih uvjeta, proces će se također koncentrirati oko ovih točaka, ali će se njegove putanje značajno razlikovati od prethodne verzije.

Rösslerov atraktor

Drugi atraktor po broju referenci u znanstvenim člancima i publikacijama. Za Rösslerov atraktor karakteristična je prisutnost granične točke za manifestaciju kaotičnih ili periodičnih svojstava. Pri određenim parametrima dinamičkog sustava oscilacije prestaju biti periodične i nastaju kaotične oscilacije. Jedno od izvanrednih svojstava Rösslerovog atraktora je fraktalna struktura u faznoj ravnini, odnosno fenomen samosličnosti. Vidi se da i drugi atraktori u pravilu imaju ovo svojstvo.

Rösslerov atraktor promatra se u mnogim sustavima. Na primjer, koristi se za opisivanje tokova fluida, kao i za opisivanje ponašanja raznih kemijskih reakcija i molekularnih procesa. Rösslerov sustav opisan je sljedećim diferencijalnim jednadžbama:

U MATLAB okruženju, atraktor se gradi na sljedeći način:

Vremenska implementacija prostornih veličina:

Trodimenzionalni model Rösslerovog atraktora:

Prasak! Vrijednosti su se malo promijenile:

Atraktor pod blago promijenjenim početnim uvjetima (putnje su drugačije!)

Atraktor s drugim koeficijentima u sustavu jednadžbi (kaotični proces se pretvorio u periodični!)

Usporedite slike 3D atraktora s različitim početnim uvjetima i koeficijentima u sustavu jednadžbi. Vidite li kako su se putanje kretanja dramatično promijenile u prvom slučaju? Ali na ovaj ili onaj način, oni su koncentrirani u blizini jednog područja privlačnosti. U drugom slučaju, atraktor je općenito prestao pokazivati ​​znakove kaosa, pretvarajući se u zatvorenu periodičku petlju (granični ciklus).

Atraktor Rikitake

Dinamo Rikitake je jedan od dobro poznatih dinamičkih sustava trećeg reda s kaotičnim ponašanjem. To je model dinama s dva diska i prvi put je predložen u problemima kaotične inverzije Zemljinog geomagnetskog polja. Znanstvenik Rikitake istraživao je dinamo sustav s dva međusobno povezana diska konstruirana na način da struja iz jednog svitka diska teče u drugi i pobuđuje drugi disk i obrnuto. U nekom trenutku sustav je počeo otkazivati ​​i pokazivati ​​nepredvidive stvari. Aktivna istraživanja atraktora omogućila su projiciranje Rikitakeovog dinama na model povezanosti velikih vrtloga magnetskog polja u Zemljinoj jezgri.

Dinamo Rikitake opisan je sljedećim sustavom jednadžbi:

Rikitakeov model dinama u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

Atraktor (prva verzija):

Dinamo (druga verzija)

Vidite da je Rikitake dinamo donekle sličan Lorenzovom atraktoru, ali to su potpuno različiti sustavi i opisuju različite fizikalne procese!

Nose-Hooverov atraktor

Manje poznat ali ništa manje važan trodimenzionalni dinamički sustav je Nose-Hoover termostat. Korišteno u molekularna teorija kao vremenski reverzibilni termostatski sustav. Nažalost, o ovom atraktoru ne znam toliko koliko o ostalima, ali učinio mi se zanimljivim i uključila sam ga u recenziju.

Nose-Hoover termostat opisan je sljedećim sustavom jednadžbi:

Nose-Hoover model u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Rösslerov atraktor- kaotični atraktor, koji ima sustav Rösslerovih diferencijalnih jednadžbi:

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$ ;

gdje $a,b,c$ su pozitivne konstante. Za vrijednosti parametara $a=b=0,2$ i $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$ Rösslerove jednadžbe imaju stabilan granični ciklus. S ovim vrijednostima parametara, period i oblik graničnog ciklusa izvode niz udvostručenja perioda. Odmah nakon točke $c\; =\; 4,2$ javlja se fenomen kaotičnog atraktora. Dobro definirane linije graničnih ciklusa zamagljuju i ispunjavaju fazni prostor beskonačnim prebrojivim skupom putanja koje imaju svojstva fraktala.

Ponekad se Rösslerovi atraktori konstruiraju za ravninu, odnosno sa $z\; =\; 0$.

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Održiva rješenja za $x,\; y$ može se pronaći izračunavanjem svojstvenog vektora Jacobijeve matrice oblika , za koji $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Iz ovoga je jasno da kada , svojstveni vektori su složeni i imaju pozitivne realne komponente, što atraktor čini nestabilnim. Sada ćemo razmotriti avion $Z$ u istom rasponu $a$. Pozdrav $x$ manje $c$, parametar $c$ zadržat će putanju blizu aviona $x,\; y$. Jednom $x$ postat će više $c$, $z$-koordinata će se početi povećavati, a nešto kasnije i parametar $-z$ usporit će rast $x$ u $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Točke ravnoteže

Za pronalaženje točaka ravnoteže, tri Rösslerove jednadžbe postavljaju se jednake nuli i $xyz$-koordinate svake ravnotežne točke nalaze se rješavanjem dobivenih jednadžbi. Eventualno:

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash lijevo(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash desno)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Kao što je prikazano u opće jednadžbe Rösslerov atraktor, jedan od ovih fiksne točke koji se nalazi u središtu atraktora, dok drugi leže relativno daleko od središta.

Mijenjanje parametara a, b i c

Ponašanje Rösslerovog atraktora uvelike ovisi o vrijednostima konstantnih parametara. Promjena svakog parametra daje određeni učinak, zbog čega sustav može konvergirati u periodičnu orbitu, u fiksnu točku ili juriti u beskonačnost. Broj perioda Rösslerovog atraktora određen je brojem njegovih okretaja oko središnje točke koji se događaju prije niza petlji.

Bifurkacijski dijagrami standardni su alat za analizu ponašanja dinamičkih sustava, koji uključuju Rösslerov atraktor. Nastaju rješavanjem jednadžbi sustava u kojem su dvije varijable fiksne, a jedna se mijenja. Prilikom konstruiranja takvog dijagrama dobivaju se gotovo potpuno "osjenčana" područja; ovo je carstvo dinamičkog kaosa.

Promjena parametra a

Idemo popraviti $b\; =\; 0,2$, $c=5,7$ i mi ćemo se promijeniti $a$.

Kao rezultat, empirijski dobivamo sljedeću tablicu:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergiranje u stabilnu točku.
• $a\; =\; 0,1$: Okretanje s periodom od 2.
• $a\; =\; 0,2$: Kaos (standardni parametar Rösslerovih jednadžbi) .
• $a\; =\; 0,3$: Kaotični atraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Slično prethodnom, ali je kaos izraženiji.
• $a\; =\; 0,38$: Slično prethodnom, ali kaos je još jači.

Promjena parametra b

Idemo popraviti $a\; =\; 0,2$, $c=5,7$ a sada ćemo promijeniti parametar $b$. Kao što se može vidjeti sa slike, na $b$ teži nuli, atraktor je nestabilan. Kada $b$ postat će više $a$ i $c$, sustav će biti uravnotežen i prijeći u stacionarno stanje.

Promjena parametra c

Idemo popraviti $a=b=0,1$ i mi ćemo se promijeniti $c$. Iz bifurkacijskog dijagrama se vidi da za male $c$ sustav je periodičan, ali brzo postaje kaotičan kako se povećava. Slike točno pokazuju kako se slučajnost sustava mijenja s porastom $c$. Na primjer, kada $c$= 4 atraktor će imati period jednak jedan, a na dijagramu će biti samo jedna linija, isto će se dogoditi kada $c$= 3 i tako dalje; Pozdrav $c$ neće postati veći od 12: posljednje periodično ponašanje karakterizira ova vrijednost, tada kaos ide posvuda.

Dajemo ilustracije ponašanja atraktora u navedenom rasponu vrijednosti $c$, koji ilustriraju općenito ponašanje takvih sustava - česte prijelaze iz periodičnosti u dinamički kaos.

Napišite recenziju na članak "Rösslerov atraktor"

Bilješke

Linkovi

• Konstruktor

Književnost

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderna fizika: Tutorial. M., KomKniga, 2005., 512 str., ISBN 5-484-00058-0, pogl. 2 Fizika otvorenih sustava. pp 2.4 Rösslerov kaotični atraktor.

Odlomak koji karakterizira Rösslerov atraktor

„Pustite me da prođem, kažem vam“, opet je ponovio princ Andrej, napućivši usne.
- A tko si ti? iznenada se časnik okrenuo prema njemu s pijanim bijesom. - Tko si ti? Ti si (posebno je počivao na tebi) šef, ili što? Ja sam ovdje šef, a ne ti. Tebe, natrag, - ponovio je, - razbit ću u tortu.
Taj se izraz očito svidio časniku.
- Ađutant se važno obrijao - čuo se glas iza leđa.
Knez Andrej je vidio da je časnik u onom pijanom napadu bezrazložnog bijesa, u kojem se ljudi ne sjećaju što govore. Vidio je da je njegovo zauzimanje za doktorovu ženu u vagonu bilo ispunjeno onim čega se najviše na svijetu bojao, onoga što se zove podsmijeh [smiješno], ali njegov instinkt je govorio drugačije. Prije nego što je časnik uspio dovršiti svoje posljednje riječi, princ Andrej, s licem unakaženim od bjesnila, dojahao je do njega i podigao bič:
- Pusti me iz svoje oporuke!
Policajac je odmahnuo rukom i žurno se odvezao.
"Sve od ovih, od osoblja, cijeli nered", gunđao je. - Učini kako želiš.
Princ Andrej se žurno, ne podižući pogled, odvezao od doktorove žene, koja ga je nazivala spasiteljem, i, s gnušanjem se prisjećajući i najmanjih detalja ove ponižavajuće scene, odgalopirao do sela gdje je, kako mu je rečeno, zapovjednik- glavni je bio.
Ušavši u selo, sišao je s konja i otišao do prve kuće s namjerom da se barem na minut odmori, nešto pojede i raščisti sve te uvredljive misli koje su ga mučile. “Ovo je gomila nitkova, a ne vojska”, pomislio je prilazeći prozoru prve kuće, kad ga je poznati glas pozvao po imenu.
Osvrnuo se. Nesvitskyjevo lijepo lice stršilo je kroz prozorčić. Nesvitsky, žvačući nešto svojim sočnim ustima i mašući rukama, pozva ga k sebi.
- Bolkonski, Bolkonski! Zar ne čuješ, zar ne? Idi brže, viknuo je.
Ušavši u kuću, knez Andrej je ugledao Nesvitskog i drugog ađutanta kako nešto jedu. Žurno su se obratili Bolkonskom s pitanjem zna li što novo. Na njihovim tako poznatim licima princ Andrej je pročitao izraz zabrinutosti i tjeskobe. Ovaj izraz bio je posebno uočljiv na uvijek nasmijanom licu Nesvitskog.
Gdje je vrhovni zapovjednik? upita Bolkonski.
"Ovdje, u toj kući", odgovori ađutant.
- Pa je li istina da mir i kapitulacija? upita Nesvitsky.
- Pitam te. Ne znam ništa osim da sam silom došao do tebe.
- Što je s nama, brate? Užas! Žao mi je, brate, smijali su se Macku, ali njima je još gore”, rekao je Nesvitsky. - Sjedni i pojedi nešto.
E sad, kneže, kola nećete naći, a vaš Petar bog zna gdje, reče drugi ađutant.
- Gdje je glavni stan?
- Prenoćit ćemo u Znaimu.
“I tako sam spakirao sve što sam trebao za sebe na dva konja,” rekao je Nesvitsky, “i napravili su izvrsne pakete za mene. Iako kroz češke planine da pobjegne. Loše, brate. Što ti je, stvarno loše, zašto tako drhtiš? upita Nesvitsky, primijetivši kako se knez Andrej trznuo, kao da je dotaknuo leydensku teglu.
"Ništa", odgovori princ Andrej.
U tom se trenutku sjetio svog nedavnog susreta s doktorovom ženom i furštatskim časnikom.
Što vrhovni zapovjednik radi ovdje? - upitao.
"Ništa ne razumijem", rekao je Nesvitsky.
"Ja samo razumijem da je sve podlo, podlo i podlo", rekao je princ Andrej i otišao do kuće u kojoj je stajao vrhovni zapovjednik.
Prolazeći pored Kutuzovljeve kočije, izmučenih jahaćih konja iz pratnje i kozaka koji su međusobno glasno razgovarali, princ Andrej je ušao u hodnik. Sam Kutuzov, kako je rečeno princu Andreju, bio je u kolibi s princem Bagrationom i Weyrotherom. Weyrother je bio austrijski general koji je zamijenio ubijenog Schmitta. U prolazu je mali Kozlovsky čučao ispred službenika. Službenik je na preokrenutoj kadi, podigao manšete uniforme, žurno napisao. Lice Kozlovskog bilo je iscrpljeno - on, očito, također nije spavao noć. Bacio je pogled na princa Andreja i nije mu ni kimnuo glavom.
- Drugi red ... Jeste li napisali? - nastavio je, diktirajući službeniku, - Kijevski grenadir, Podolski ...
"Nećete stići na vrijeme, vaša visosti", odgovorio je službenik bez poštovanja i ljutito, osvrnuvši se na Kozlovskog.
U to se vrijeme iza vrata začuo živahni nezadovoljni glas Kutuzova, prekinut drugim, nepoznatim glasom. Po zvuku tih glasova, po nepažnji kojom ga je Kozlovski gledao, po nepoštovanja iscrpljenog činovnika, po činjenici da su činovnik i Kozlovski sjedili tako blizu vrhovnog zapovjednika na podu kraj kade. , i po tome što su se kozaci koji su držali konje glasno smijali ispod prozora kuće - zbog svega toga princ Andrej je osjećao da će se dogoditi nešto važno i nesretno.
Knez Andrej tjerao je Kozlovskog pitanjima.
"Sada, kneže", rekao je Kozlovsky. - Raspolaganje Bagrationu.
Što je s predajom?
- Ne postoji; izdane su naredbe za bitku.
Knez Andrej je otišao do vrata kroz koja su se čuli glasovi. Ali baš kad je htio otvoriti vrata, glasovi u sobi utihnuše, vrata se otvoriše sama od sebe, a na pragu se pojavi Kutuzov s orlovskim nosom na punašnom licu.
Knez Andrej stajao je točno nasuprot Kutuzovu; ali po izrazu jedinog vidnog oka vrhovnog zapovjednika bilo je jasno da su ga misao i briga toliko zaokupili da mu se činilo da mu zamagljuje vid. Gledao je ravno u lice svog ađutanta i nije ga prepoznao.
- Pa, jesi li završio? obratio se Kozlovskom.
“Samo trenutak, vaša ekselencijo.
Bagration, nizak, s istočnjačkim tipom tvrdog i nepomičnog lica, suh, još nestar čovjek, slijedio je vrhovnog zapovjednika.
"Imam čast pojaviti se", prilično je glasno ponovio knez Andrej, pružajući omotnicu.
"Ah, iz Beča?" Dobro. Poslije, poslije!
Kutuzov je izašao s Bagrationom na trijem.
"Pa, zbogom, kneže", rekao je Bagrationu. “Krist je s vama. Blagoslivljam te za veliko postignuće.
Kutuzovo se lice odjednom smekšalo, a u očima su mu se pojavile suze. Lijevom rukom privukao je Bagrationa k sebi, a desnom rukom, na kojoj je bio prsten, očito ga je uobičajenim pokretom prekrižio i pružio mu punasti obraz, umjesto čega ga je Bagration poljubio u vrat.

U ovoj knjizi zauzeli smo empirijski pristup kaotičnim oscilacijama i predstavili niz različitih fizičke pojave, u kojem kaotična dinamika igra važnu ulogu. Naravno, nemaju svi čitatelji pristup laboratoriju niti imaju sklonost eksperimentiranju, iako većina njih zna koristiti digitalna računala. Imajući to na umu, u ovom dodatku predstavljamo niz numeričkih eksperimenata koji se mogu izvesti ili na osobnom računalu ili na mikroračunalu, u nadi da će pomoći čitatelju da istraži dinamiku sada već klasičnih modela kaosa.

B.1. LOGISTIČKA JEDNADŽBA: UDVOSTRUČAVANJE PERIODA

Jedan od najjednostavnijih problema za početak u novoj dinamici mora biti model rasta stanovništva ili logistička jednadžba

Fenomen udvostručenja perioda promatrali su razni istraživači (vidi, na primjer, Mayev rad) i, naravno, Feigenbaum, koji je otkrio poznate zakone sličnosti parametara (vidi poglavlja 1 i 5). Osobno računalo izuzetno olakšava reprodukciju dva numerička eksperimenta.

U prvom eksperimentu imamo graf ovisnosti o u rasponu . Način udvostručenja perioda promatra se na vrijednostima u nastavku. Počevši od možete vidjeti putanju s periodom 1. Da biste vidjeli duže putanje, označite prvih 30-50 ponavljanja točkama, a sljedeće ponavljanja drugim simbolom.

Naravno, crtanjem ovisnosti o , moći ćete uočiti prijelazni i stacionarni režim. Kaotične putanje mogu se detektirati na . U blizini se može detektirati putanja s periodom od 3 .

Sljedeći numerički eksperiment vezan je uz konstrukciju bifurkacijskog dijagrama. Da biste to učinili, potrebno je nacrtati ovisnost u cjelini o kontrolnom parametru. Odaberite neki početni uvjet (na primjer, napravite 100 iteracija prikaza. Zatim iscrtajte vrijednosti dobivene iz sljedećih 50 iteracija na okomitu os, a odgovarajuću vrijednost na vodoravnu os (ili obrnuto). Korak po odaberite oko 0,01 i proći kroz raspon Na dijagramu u točkama udvostručenja perioda treba proizvesti klasične bifurkacije tipa vile. Možete li odrediti Feigenbaumov broj iz podataka numeričkog eksperimenta?

May također daje popis numeričkih eksperimenata s drugim jednodimenzionalnim preslikavanjima, na primjer, s preslikavanjem

On opisuje ovo mapiranje kao model rasta populacije jedne vrste, regulirane epidemijskom bolešću. Istražite područje. Točka akumulacije udvostručenja perioda i početak kaosa odgovaraju . Mayin članak također sadrži podatke o nekim drugim numeričkim eksperimentima.

B.2. LORENTZOVE JEDNADŽBE

Izvanredan numerički eksperiment, nedvojbeno vrijedan ponavljanja, sadržan je u originalnom Lorentzovom djelu. Lorentz je pojednostavio jednadžbe koje je Saltzman izveo iz jednadžbi toplinske konvekcije u tekućini (vidi poglavlje 3). Prioritet u otkrivanju neperiodičnih rješenja jednadžbi konvekcije, prema Lorentzu, pripada Salzmanu. Za proučavanje kaotičnih gibanja Lorentz je odabrao sada već klasične vrijednosti parametara u jednadžbama

Podaci prikazani na sl. 1 i 2 Lorentzova članka, može se reproducirati odabirom početnih uvjeta i vremenskog koraka te projiciranjem rješenja bilo na ravninu ili na ravninu

Kako bi dobio jednodimenzionalno preslikavanje inducirano ovim protokom, Lorentz je razmatrao uzastopne maksimume varijable z, koje je označio. Grafik ovisnosti pokazao je da je u ovom slučaju preslikavanje zadano krivuljom koja podsjeća na oblik krova kuća. Lorentz je zatim istražio pojednostavljenu verziju ove karte, nazvanu "karta tipa kuće", bilinearna verzija logističke jednadžbe

B.3. Intermitencija i Lorentzove jednadžbe

Ilustrativan primjer intermitentnosti može se pronaći numeričkom integracijom Lorentzovih jednadžbi pomoću računala:

s parametrima prema metodi Runge-Kutta. Na , dobit ćete periodičku putanju, ali na i više, pojavit će se "rafali", ili kaotični šumovi (vidi rad Mannevillea i Pomoa). Mjerenjem prosječnog broja N periodičnih ciklusa između praska (laminarna faza), trebali biste dobiti zakon skaliranja

B.4. OENON ATRAKTOR

Generalizaciju kvadratnog preslikavanja na pravac za dvodimenzionalni slučaj (na ravnini) predložio je francuski astronom Hénon:

Kada je , Hénonovo preslikavanje svodi se na logističko preslikavanje koje su istraživali May i Feigenbaum. Vrijednosti a i b na kojima se javlja neobičan atraktor uključuju, posebno, . Izgradite graf ovog preslikavanja na ravninu, omeđujući je pravokutnikom. Nakon što ste primili atraktor, usredotočite svoju pozornost na neki njegov mali dio i povećajte taj dio pomoću transformacije sličnosti. Slijedite značajno veći broj ponavljanja preslikavanja i pokušajte otkriti finu fraktalnu strukturu. Ako imate strpljenja ili vam je pri ruci brzo računalo, izvedite još jednu transformaciju sličnosti i ponovite sve iznova za još manju površinu atraktora (vidi sl. 1.20, 1.22).

Ako imate program za izračun Ljapunovljevih eksponenata, tada je korisno imati na umu da je vrijednost Ljapunovljevog eksponenta navedena u literaturi, a fraktalna dimenzija atraktora u Hénonovoj karti je . Variranjem parametara a i b, može se pokušati odrediti područje onih vrijednosti za koje postoji atraktor i pronaći područje udvostručenja perioda na ravnini (a, b).

B.5. DUFFINGOVA JEDNADŽBA: UEDA ATRAKTOR

Ovaj model električnog kruga s nelinearnim induktivitetom razmatran je u Pogl. 3. Jednadžbe ovog modela, napisane kao sustav jednadžbi prvog reda, imaju oblik

Kaotične oscilacije u ovom modelu vrlo je detaljno proučavao Ueda. Koristite neki standardni algoritam numeričke integracije, kao što je Runge-Kutta shema četvrtog reda, i razmotrite slučaj. Na , trebali biste dobiti periodičnu putanju s periodom 3. (Smjestite Poincaréov presjek na ) U blizini vrijednosti, putanja s periodom 3 trebala bi se nakon bifurkacije pretvoriti u kaotično gibanje.

Na , periodičnost se ponovno uspostavlja s prolaznim kaotičnim režimom (vidi sliku 3.13).

Usporedite fraktalnu prirodu atraktora kako se prigušenje smanjuje, uz pretpostavku i 0,05. Imajte na umu da pri , ostaje samo mali dio atraktora, a pri , gibanje postaje periodično.

B.6. DUFFINGOVA JEDNADŽBA S DVIJE POTENCIJALNE JAŽINE: HOLMESOV ATRAKTOR

Ovaj primjer je razmatran u našoj knjizi. Nekoliko numeričkih eksperimenata zaslužuje ponavljanje. Bezdimenzionalne jednadžbe u ovom slučaju imaju oblik

(Uz pretpostavku i uvođenje dodatne jednadžbe z = w, oni se mogu napisati kao autonomni sustav trećeg reda.) Faktor 1/2 čini prirodnu frekvenciju malih oscilacija u svakoj potencijalnoj jažici jednakom jedinici. Kriterij kaosa za fiksni koeficijent prigušenja i varijable razmatrali smo u Pogl. 5. Područje interesa istraživanja je . U ovom području treba postojati prijelaz iz periodičkog režima u kaotični, periodički prozori u kaotičnom režimu i izlaz iz kaotičnog režima na . Postoji još jedno područje interesa: u svim studijama, snažno preporučujemo čitatelju da koristi Poincaréovo preslikavanje. Kada koristite osobno računalo, velika brzina obrade informacija može se postići posebnim trikovima pri sastavljanju programa (vidi sl. 5.3).

Još jedan zanimljiv numerički eksperiment je fiksiranje parametara, na primjer, postavljanje i mijenjanje faze Poincaréovog preslikavanja, tj. iscrtavanje točaka na promjenom od 0 do Obratite pažnju na obrnuto preslikavanje na Je li to povezano sa simetrijom jednadžbe ? (Pogledajte sliku 4.8.)

B.7. KUBIČNO MAPIRANJE (HOLMES)

Na primjeru atraktora u modelu s dvije potencijalne jame ilustrirali smo mnoge pojmove teorije kaotičnih oscilacija. Dinamika takvog modela opisana je običnom nelinearnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda (vidi pogl.

2 i 3), ali eksplicitna formula za Poincaréovu kartu takvog atraktora nije poznata. Holmes je predložio dvodimenzionalno kubično preslikavanje koje ima neka od svojstava Duffingovog oscilatora s negativnom krutošću:

Kaotični atraktor može se pronaći u blizini vrijednosti parametra

B.8. PRIKAZ LOPTE koja odskače (STANDARDNI PRIKAZ)

(Vidi članak Holmesa i knjigu Lichtenberga i Liebermana.) Kao što je navedeno u Pogl. 3, Poincaré mapa za lopticu koja skače na vibrirajućem stolu može se točno napisati u smislu bezdimenzionalne brzine loptice koja udara o stol i faze kretanja stola.

gdje je gubitak energije tijekom sudara.

Slučaj (konzervativni kaos). Ovaj slučaj je istražen u knjizi Lichtenberga i Liebermana kao model ubrzanja elektrona u elektromagnetska polja. Nakon ponavljanja prikaza primijenite dobivene točke na ravninu. Za izračunavanje koristite izraz

u poboljšanoj verziji BASIC-a. Da biste dobili dobru sliku, morate mijenjati početne uvjete. Na primjer, odaberite i slijedite nekoliko stotina ponavljanja mapiranja na različitim v iz intervala -

Naći ćete zanimljive slučajeve sa. Na , mogu se promatrati kvaziperiodične zatvorene putanje oko periodičnih fiksnih točaka preslikavanja. Na , područja konzervativnog kaosa trebala bi se pojaviti u blizini točaka separatrisa (vidi sl. 5.21).

slučaj. Ovaj slučaj odgovara disipativnom preslikavanju, gdje se energija gubi pri svakom sudaru između lopte i stola. Početi sa . Imajte na umu da iako prve iteracije izgledaju kaotično, kao u slučaju 1, kretanje postaje periodično. Da biste dobili kaos poput fraktala, vrijednosti K moraju se povećati na . Čudan atraktor, koji još više podsjeća na fraktal, dobivate postavljanjem .

B.9. MAPIRANJE KRUGA NA SEBE: SINKRONIZACIJA BROJA ROTACIJA I VILINSKOG STABLA

Točka koja se kreće po površini torusa može poslužiti kao apstraktni matematički model dinamike dvaju spregnutih oscilatora. Amplitude gibanja oscilatora služe kao mali i veliki radijusi torusa i često se pretpostavlja da su fiksne. Faze oscilatora odgovaraju dvama kutovima koji određuju položaj točke duž malog kruga (meridijana) i velikog kruga (paralele) na površini torusa. Poincaréov presjek duž malih kružnica torusa generira jednodimenzionalnu diferencijsku jednadžbu koja se naziva samopreslikavanje kružnice:

gdje je periodična funkcija.

Svaka iteracija ovog preslikavanja odgovara putanji jednog oscilatora duž velike kružnice torusa. Popularan predmet proučavanja je takozvano standardno kružno preslikavanje (normalizirano na )

Moguća kretanja promatrana u ovom preslikavanju su: periodični, kvaziperiodični i kaotični načini. Da biste vidjeli periodične cikluse, iscrtajte točke na krug s pravokutnim koordinatama

Kada je parametar 0, ne postoji ništa osim broja rotacija - omjer dviju frekvencija nepovezanih oscilatora.

Kada preslikavanje može biti periodično, a kada je iracionalan broj. U tom slučaju se kaže da su oscilatori zaključani ili da je došlo do povlačenja moda. Na , mogu se promatrati sinkronizirana ili periodična gibanja u područjima konačne širine duž O osi, koja, naravno, sadrže iracionalne vrijednosti parametra . Na primjer, kada se ciklus s periodom 2 može pronaći u intervalu, a ciklus s periodom 3 može se pronaći u intervalu. Za pronalaženje ovih intervala na izračunajte broj rotacija W kao funkciju parametra na 0 01. Izračunavamo broj okretaja ako odbacimo radnju usporedbe s i prijeđemo na granicu

U praksi, da biste dobili broj rotacija s dovoljnom točnošću, morate uzeti N > 500. Iscrtavanjem W u odnosu na , vidjet ćete niz platoa koji odgovaraju područjima sinkronizacije. Da biste vidjeli više regija sinkronizacije, treba odabrati malu AP regiju i konstruirati W za veliki broj točaka u ovoj maloj regiji.

Svaki sinkronizacijski plato na grafu ) odgovara racionalnom broju - omjeru ciklusa jednog oscilatora prema q ciklusa drugog oscilatora. Odnosi su poredani u nizu poznatom kao Vilinsko stablo. Ako su za vrijednosti parametara navedena dva područja sinkronizacije načina rada, tada će između njih u intervalu sigurno biti još jedno područje sinkronizacije s brojem okretaja

Počevši od 0/1 at i 1/1 at , može se konstruirati cijeli beskonačni niz sinkronizacijskih područja. Većina ih je vrlo uska.

Imajte na umu da širina ovih područja teži nuli na i postaje veća na Sinkronizacijske regije u () ravnini su u obliku dugih izbočina, a ponekad se nazivaju Arnoldovim jezicima.

B.10. Rösslerov ATRAKTOR: KEMIJSKE REAKCIJE, JEDNODIMENZIONALNA APROKSIMACIJA VIŠEDIMENZIONALNIH SUSTAVA

Svako od glavnih područja klasične fizike stvorilo je vlastiti model kaotične dinamike: hidromehanika - Lorentzove jednadžbe, strukturna mehanika - Duffing-Holmesov atraktor s dvije potencijalne jame, elektrotehnika - Duffing-Ueda atraktor. Još jedan jednostavan model nastao je u dinamici kemijskih reakcija koje se odvijaju u određenom spremniku uz miješanje. Rbssler je to predložio.