Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivat, što je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

Složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku ​​razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo učvrstiti pređeno gradivo, pogledati složenije izvode, a također se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebice s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, koji će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav “Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivacija složene funkcije Pogledali smo brojne primjere s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) opisivati ​​primjere u detalje. Stoga ćemo usmeno vježbati pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija :

Kod budućeg proučavanja drugih matan tema najčešće nije potrebna tako detaljna evidencija, pretpostavlja se da student zna pronaći takve izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva X-a?" Nakon toga bi trebao uslijediti gotovo trenutačni i pristojni odgovor: .

Prvi primjer bit će odmah namijenjen neovisna odluka.

Primjer 1

Pronađi usmeno, jednom radnjom, sljedeće izvedenice, npr.: . Za dovršenje zadatka trebate samo koristiti tablica derivacija elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se da nema grešaka...

(1) Izvadite kvadratni korijen.

(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).

(4) Uzmite derivaciju kosinusa.

(5) Uzmite derivaciju logaritma.

(6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za vas da sami riješite.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, tada bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li stvarno – ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Također se možete uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju bolje je ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje, u uzorku je riješeno prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:

Ili ovako:

No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatnice frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada je "strašni" logaritam predložen za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, najprije se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule izravno tamo. Ako nemate bilježnicu, prepišite ih na list papira, budući da će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje može se napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se za diferencijaciju predlaže sličan logaritam, uvijek ga je preporučljivo "raščlaniti".

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori su na kraju lekcije.

Logaritamska derivacija

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje: je li moguće u nekim slučajevima umjetno organizirati logaritam? Limenka! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. Što uraditi? Možete redom primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete golemu trokatnicu, s kojom uopće ne želite imati posla.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "okače" s obje strane:

Bilješka : jer funkcija može imati negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, koji je prema zadanim postavkama uzet u obzir kompleks značenja. Ali ako u svoj strogosti, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu da.

Sada morate "rastaviti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod prajmom:

Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati jer ako čitate ovaj tekst trebali biste se s njom sigurno snaći.

Što je s lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - SAM JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno navedene funkcije). Stoga je logaritam vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao čarolijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tijekom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ogledni dizajn primjera ove vrste nalazi se na kraju lekcije.

Pomoću logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.

Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Power-eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:

U pravilu se na desnoj strani stupanj vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo produkt dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivat; da bismo to učinili, oba dijela stavljamo ispod poteza:

Daljnje radnje su jednostavne:

Konačno:

Ako neka pretvorba nije posve jasna, molimo ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima potencna eksponencijalna funkcija uvijek će biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamsku derivaciju.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - “x” i “logaritam logaritma x” (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je konstantu odmah maknuti iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Ako slijedite definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ g na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte upotrijebiti ovu formulu za izračunavanje, recimo, izvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno ćete zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo izdvojiti tzv. elementarne funkcije. To su relativno jednostavni izrazi, čije su derivacije odavno izračunate i tablice. Takve je funkcije prilično lako zapamtiti - zajedno s njihovim izvedenicama.

Izvodnice elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve dolje navedene. Derivati ​​ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, uopće ih nije teško zapamtiti - zato su elementarne.

Dakle, izvodnice elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Izvedenica
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−grijeh x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ul a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu uzeti iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito, elementarne funkcije se mogu zbrajati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, ne više osobito elementarne, već također diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivacija zbroja i razlike

Neka su zadane funkcije f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo govorili gore. Zatim možete pronaći izvod zbroja i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Može biti više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2 + grijeh x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa gledišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logična znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, tada je derivacija umnoška štrajk">jednako umnošku izvedenica. Ali jebite se! Izvodnica umnoška izračunava se pomoću potpuno drugačije formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, nego i studenti. Rezultat su netočno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− grijeh x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi faktor je malo kompliciraniji, ali opća shema ovo se ne mijenja. Očito, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegova derivacija je derivacija zbroja. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da se u zadnjem koraku izvod faktorizira. Formalno, to nije potrebno učiniti, ali većina izvedenica se ne izračunava sama za sebe, već radi ispitivanja funkcije. To znači da će se nadalje derivacija izjednačiti s nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je faktorizirati izraz.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju također možete pronaći izvod:

Nije slabo, ha? Otkud minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez bočice. Stoga je bolje proučavati dalje konkretni primjeri.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, pa sve što nam treba je formula za derivaciju kvocijenta:

Prema tradiciji, faktorizirajmo brojnik - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. Sredit će se f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Također ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći korištenjem gore navedenih pravila.

Što da napravim? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x zamjenjuje se sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom kvocijenta. Stoga je također bolje objasniti ga na konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 bit će lako x, onda će uspjeti elementarna funkcija f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Derivaciju složene funkcije tražimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pozor! Izvodimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sada pogledajmo funkciju g(x). Očito ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. Zatim:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje izvoda zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) jer ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama, umjesto pojma "derivacija", koristim riječ "prim". Na primjer, premijer od iznosa jednak zbroju udarci. Jel to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata svodi se na uklanjanje tih istih udaraca prema gore razmotrenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivaciju potencije s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5. Što ako ispod korijena postoji nešto otmjeno? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije testovi i ispiti.

Zadatak. Pronađite izvod funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao potenciju s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Derivaciju nalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Napravimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na kraju, povratak korijenima:

Ako g(x) I f(u) – diferencijabilne funkcije njihovih argumenata, odnosno u točkama x I u= g(x), tada je i kompleksna funkcija diferencijabilna u točki x a nalazi se formulom

Tipična pogreška kod rješavanja zadataka o derivacijama je mehanički prijenos pravila diferenciranja jednostavne funkcije za složene funkcije. Naučimo izbjeći ovu grešku.

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje: izračunajte prirodni logaritam svakog člana u zagradama i potražite zbroj izvedenica:

Točno rješenje: opet određujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je prirodni logaritam izraza u zagradama "jabuka", to jest funkcija preko srednjeg argumenta u, a izraz u zagradama je “mljeveno meso”, odnosno posredni argument u nezavisnom varijablom x.

Zatim (koristeći formulu 14 iz tablice izvedenica)

U mnogim problemima iz stvarnog života, izraz s logaritmom može biti nešto kompliciraniji, zbog čega postoji lekcija

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje:

Točno rješenje. Još jednom određujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je kosinus izraza u zagradama (formula 7 u tablici izvedenica) "jabuka", pripremljena je u modusu 1, koji utječe samo na nju, a izraz u zagradama (izvodnica stupnja je broj 3) u tablici izvedenica) je “mljeveno meso”, priprema se pod načinom 2 koji utječe samo na njega. I kao i uvijek, znakom proizvoda povezujemo dvije izvedenice. Proizlaziti:

Derivacija složene logaritamske funkcije čest je zadatak na kolokvijima, stoga Vam toplo preporučamo da prisustvujete lekciji “Derivacija logaritamske funkcije”.

Prvi primjeri bili su na složenim funkcijama, u kojima je posredni argument na nezavisnoj varijabli bila jednostavna funkcija. Ali u praktičnim zadacima često je potrebno pronaći izvod složene funkcije, gdje je srednji argument ili sam složena funkcija ili sadrži takvu funkciju. Što učiniti u takvim slučajevima? Pronađite izvode takvih funkcija pomoću tablica i pravila diferenciranja. Kada se pronađe derivat posrednog argumenta, on se jednostavno zamijeni na pravo mjesto u formuli. Ispod su dva primjera kako se to radi.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može prikazati kao lanac od tri funkcije

tada bi se njegova derivacija trebala pronaći kao produkt derivacija svake od ovih funkcija:

Mnogi od vaših domaćih zadataka mogu zahtijevati da otvorite svoje vodiče u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije, ne zaboravljajući da u rezultirajućem umnošku derivacija postoji posredni argument u odnosu na nezavisnu varijablu x ne mijenja se:

Pripremamo drugi faktor umnoška i primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja:

Drugi izraz je korijen, dakle

Stoga smo otkrili da međuargument, koji je zbroj, sadrži složenu funkciju kao jedan od izraza: podizanje na potenciju je složena funkcija, a ono što se podiže na potenciju je međuargument u odnosu na neovisnu varijabla x.

Stoga ponovno primjenjujemo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Stupanj prvog faktora pretvaramo u korijen, a pri diferenciranju drugog faktora ne zaboravimo da je derivacija konstante jednaka nuli:

Sada možemo pronaći derivaciju srednjeg argumenta potrebnog za izračunavanje derivacije složene funkcije koja je potrebna u izjavi problema g:

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Prvo koristimo pravilo za razlikovanje zbroja:

Dobili smo zbroj derivacija dviju složenih funkcija. Pronađimo prvu:

Ovdje je podizanje sinusa na potenciju složena funkcija, a sam sinus je srednji argument za nezavisnu varijablu x. Stoga ćemo usput koristiti pravilo diferenciranja složene funkcije uzimanje faktora iz zagrada :

Sada nalazimo drugi član derivacija funkcije g:

Ovdje je podizanje kosinusa na potenciju složena funkcija f, a sam kosinus je posredni argument u nezavisnoj varijabli x. Poslužimo se opet pravilom za razlikovanje složene funkcije:

Rezultat je tražena derivacija:

Tablica derivacija nekih složenih funkcija

Za složene funkcije, na temelju pravila diferenciranja složene funkcije, formula za derivaciju jednostavne funkcije ima drugačiji oblik.

1. Izvedenica složenice funkcija snage, Gdje u x
2. Izvedenica korijena izraza
3. Derivacija eksponencijalne funkcije
4. Poseban slučaj eksponencijalne funkcije
5. Derivacija logaritamske funkcije s proizvoljnom pozitivnom bazom A
6. Derivacija složene logaritamske funkcije, gdje je u– diferencijabilna funkcija argumenta x
7. Derivacija sinusa
8. Derivacija kosinusa
9. Derivacija tangente
10. Derivacija kotangensa
11. Derivacija arcsinusa
12. Derivacija ark kosinusa
13. Derivacija arktangensa
14. Derivacija ark kotangensa

Ova lekcija posvećena je temi „Razlikovanje složenih funkcija. Problem iz prakse pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike.” Ova lekcija istražuje razlikovanje složenih funkcija. Sastavlja se tablica derivacija složene funkcije. Osim toga, razmatra se primjer rješavanja problema iz prakse pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

Tema: Derivacija

Lekcija: Razlikovanje složene funkcije. Vježbeni zadatak za pripremu za Jedinstveni državni ispit iz matematike

Kompleksfunkcija već smo diferencirali, ali argument je bila linearna funkcija, naime znamo diferencirati funkciju . Na primjer, . Sada ćemo na isti način pronaći izvode složene funkcije, gdje umjesto linearna funkcija možda postoji još jedna funkcija.

Počnimo s funkcijom

Dakle, pronašli smo izvod sinusa iz složene funkcije, gdje je argument sinusa bila kvadratna funkcija.

Ako trebate pronaći vrijednost derivacije u određenoj točki, tada se ta točka mora zamijeniti u pronađenu derivaciju.

Dakle, u dva primjera vidjeli smo kako pravilo funkcionira diferencijacija kompleks funkcije.

2.

3. . Podsjetimo da .

7.

8. .

Tako ćemo u ovoj fazi završiti tablicu diferencijacije složenih funkcija. Dalje će se, naravno, još više generalizirati, ali sada prijeđimo na specifične probleme na derivatu.

U praksi pripreme za Jedinstveni državni ispit predlažu se sljedeći zadaci.

Pronađite minimum funkcije .

ODZ: .

Nađimo izvod. Podsjetimo se, .

Izjednačimo izvod s nulom. Točka je uključena u ODZ.

Nađimo intervale konstantnog predznaka derivacije (intervale monotonosti funkcije) (vidi sliku 1).

Riža. 1. Intervali monotonosti za funkciju .

Pogledajmo točku i saznajmo je li to točka ekstrema. Dovoljan znak ekstremuma je da derivacija mijenja predznak kada prolazi kroz točku. U tom slučaju derivacija mijenja predznak, što znači da je točka ekstrema. Budući da derivacija mijenja predznak s “-” na “+”, onda je to minimalna točka. Nađimo vrijednost funkcije u točki minimuma: . Nacrtajmo dijagram (vidi sl. 2).

sl.2. Ekstrem funkcije .

Na intervalu - funkcija opada, na - funkcija raste, točka ekstrema je jedinstvena. Funkcija dobiva najmanju vrijednost samo u točki .

Tijekom lekcije pogledali smo razlikovanje složenih funkcija, sastavili tablicu i pogledali pravila za razlikovanje složene funkcije i dali primjer korištenja izvedenice iz prakse pripreme za Jedinstveni državni ispit.

1. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Udžbenik za općeobrazovne ustanove ( razini profila) izd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (razina profila), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematika za 10. razred ( tutorial za učenike škola i razreda s produbljenim proučavanjem matematike).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje algebre i matematičke analize.-M .: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka problema iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (uredio M. I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina algebra i počeci analize. 8-11 razreda: Priručnik za škole i razrede s produbljenim proučavanjem matematike (didaktički materijali). - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi algebre i načela analize (priručnik za učenike 10-11 razreda općeobrazovnih ustanova). - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i načela analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. s dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

10. Glazer G.I. Povijest matematike u školi. Razredi 9-10 (priručnik za učitelje).-M .: Obrazovanje, 1983

Dodatni web resursi

2. Portal prirodnih znanosti ().

Napravite ga kod kuće

Br. 42.2, 42.3 (Algebra i počeci analize, 10. razred (u dva dijela). Zbirka zadataka za općeobrazovne ustanove (razina profila) uredio A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)