Ovaj video vodič govori o svojstvima funkcija y =tgx, y = ctgx, pokazuje kako konstruirati njihove grafove.

Video vodič počinje pogledom na funkciju y =tgx.

Svojstva funkcije su istaknuta.

1) Domena funkcije y =tgx svi su pozvani realni brojevi, uz iznimku x =π/2 + 2 πk. Oni. na grafu nema točaka koje pripadaju pravoj x =π/2 i x = -π/2, kao i x = 3π/2 i tako dalje (s istom periodičnošću). Dakle, graf funkcije y =tgx sastojat će se od beskonačnog broja grana koje će se nalaziti u međuprostorima između ravnih linija x = - 3π/2 i x = -π/2, x = -π/2 i x = π/2 i tako dalje.

2) Funkcija y =tgx je periodičan, gdje je glavni period π. Time se potvrđuje ravnopravnost tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Te su jednakosti proučavane ranije, autor poziva učenike da ih se prisjete, ističući da za svaku valjanu vrijednost t vrijede jednakosti:

tg(t+ π ) = tg t, i c tg(t+π ) = ctg t. Posljedica ovih jednakosti je da ako jedna grana grafa funkcije y = tan x između redova x = - π/2 i x= π/2, tada se preostale grane mogu dobiti pomicanjem ove grane duž x osi za π, 2π i tako dalje.

3) Funkcija y =tgx je čudno, jer . tg (- x) =- tg x.

Zatim prijeđimo na konstruiranje grafa funkcije y =tgx. Kao što slijedi iz gore opisanih svojstava funkcije, funkcija y =tgx periodične i neparne. Dakle, dovoljno je konstruirati dio grafa - jednu granu u jednom intervalu, a zatim koristiti simetriju za prijenos. Autor daje tablicu u kojoj su izračunate vrijednosti tgx pri određenim vrijednostima x za točnije iscrtavanje. Te su točke označene na koordinatnoj osi i povezane glatkom linijom. Jer Ako je graf simetričan u odnosu na ishodište koordinata, tada se konstruira ista grana, simetrična u odnosu na ishodište koordinata. Kao rezultat, dobivamo jednu granu grafa y =tgx. Zatim, korištenjem pomaka duž x osi za π, 2 π i tako dalje, dobiva se graf y =tgx.

Graf funkcije y =tgx naziva se tangentoid, a tri grane grafa prikazane na slici su glavne grane tangentoida.

4) Funkcija y =tgx u svakom od intervala (- + ; +) raste.

5) Grafikon funkcije y =tgx nema ograničenja gore i dolje.

6) Funkcija y =tgx nema najveću i najmanju vrijednost.

7) Funkcija y =tgx neprekidno u bilo kojem intervalu (- - π/2+π; π/2+π). Pravac π/2+π naziva se asimptota grafa funkcije y =tgx, jer u tim točkama graf funkcije se prekida.

8) Skup vrijednosti funkcije y =tgx nazivaju se svi realni brojevi.

Dalje u video tutorijalu dan je primjer: riješite jednadžbu pomoću tgx. Za rješavanje ćemo konstruirati 2 grafa funkcije na i pronađite sjecišne točke ovih grafova: ovo je beskonačan skup točaka čije se apscise razlikuju za πk. Korijen ove jednadžbe bit će x= π/6 +πk.

Razmotrite graf funkcije y =ctgx. Funkcija se može grafički prikazati na dva načina.

Prva metoda uključuje konstruiranje grafa slično konstruiranju grafa funkcije y =tgx. Izgradimo jednu granu grafa funkcije y = ctgx između redova x= 0u x= π. Zatim ćemo pomoću simetrije i periodičnosti konstruirati ostale grane grafa.

Druga metoda je jednostavnija. Graf funkcije y = stgx može se dobiti transformacijom tangenti pomoću formule redukcije Stgx = - tg(x +π/2). Da bismo to učinili, pomaknimo jednu granu grafa funkcije y = tgx duž x-osi za π/2 udesno. Preostale grane dobiju se pomicanjem ove grane duž osi x za π, 2π i tako dalje. Graf funkcije y = ctg x naziva se i tangentoid, a grana grafa u intervalu (0;π) je glavna grana tangentoida.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Razmotrit ćemo svojstva funkcija y = tan x (y je jednako tangensu x), y = ctg x (y je jednako kotangensu x), te konstruirati njihove grafove. Promotrimo funkciju y = tgx

Prije iscrtavanja funkcije y = tan x, zapišimo svojstva te funkcije.

SVOJSTVO 1. Područje definiranja funkcije y = tan x su svi realni brojevi, osim brojeva oblika x = + πk (x jednak zbroju pi po dva i pi ka).

To znači da na grafu ove funkcije nema točaka koje pripadaju pravcu x = (dobivamo ako je k = 0 ka je jednako nuli) i pravcu x = (x je jednako minus pi za dva) (mi dobiti ako je k = - 1 ka jednako minus jedan), a pravac x = (x je jednako tri pi puta dva) (dobivamo ako je k = 1 jednako jedan), itd. To znači da je graf funkcije y = tan x sastojat će se od beskonačnog broja grana koje će se nalaziti u intervalima između ravnih linija. Naime, u pojasu između x = i x =-; u traci x = - i x = ; u traci x = i x = i tako u nedogled.

SVOJSTVO 2. Funkcija y = tan x je periodična s glavnim periodom π. (Budući da je dvostruka jednakost istinita

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) tangens od x minus pi jednak je tangensu od x i jednak tangensu od x plus pi). Razmotrili smo ovu jednakost kada smo proučavali tangens i kotangens. Podsjetimo ga:

Za svaku dopuštenu vrijednost t vrijede jednakosti:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Iz ove jednakosti slijedi da, konstruirajući granu grafa funkcije y = tan x u intervalu od x = - i x =, dobivamo preostale grane pomicanjem konstruirane grane duž X osi za π, 2π. , i tako dalje.

SVOJSTVO 3. Funkcija y = tan x je neparna funkcija jer vrijedi jednakost tg (- x) = - tan x.

Nacrtajmo funkciju y = tan x

Budući da je ova funkcija periodična, sastoji se od beskonačnog broja grana (u traci između x = i x =, kao i u traci između x = i x =, itd.) i neparna, konstruirat ćemo dio graf točku po točku u intervalu od nule do pi za dva (), a zatim upotrijebite simetriju ishodišta i periodičnosti.

Izgradimo tablicu tangentnih vrijednosti za crtanje.

Pronalazimo prvu točku: znajući da je pri x = 0 tg x = 0(x jednaka nuli tan x je također nula); sljedeća točka: u x = tan x = (x jednako pi sa šest, tangens x je jednako korijenu iz tri sa tri); Zabilježimo sljedeće točke: pri x = tan x = 1 (x jednako pi puta četiri tan x jednako je jedan), a pri x = tg x = (x jednako pi puta tri tan x jednako je kvadratnom korijenu od tri). Označite dobivene točke na koordinatnoj ravnini i povežite ih glatkom linijom (slika 2).

Kako je graf funkcije simetričan s obzirom na koordinatni početak, istu ćemo granu konstruirati simetrično s obzirom na koordinatni početak. (slika 3).

I na kraju, primjenom periodičnosti, dobivamo graf funkcije y = tan x.

Konstruirali smo granu grafa funkcije y = tan x u traci od x = - i x =. Preostale grane gradimo pomicanjem konstruirane grane duž X osi za π, 2π i tako dalje.

Nastali dijagram naziva se tangentoid.

Dio tangentoida prikazan na slici 3 naziva se glavna grana tangentoida.

Na temelju grafa zapisat ćemo još neka svojstva ove funkcije.

SVOJSTVO 4. Funkcija y = tan x raste na svakom od intervala (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

SVOJSTVO 5. Funkcija y = tan x nije ograničena ni gore ni dolje.

SVOJSTVO 6. Funkcija y = tan x nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

SVOJSTVO 7. Funkcija y = tan x je kontinuirana na bilo kojem intervalu oblika (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

Ravnica oblika x = + πk (x je jednak zbroju pi kroz dva i pi ka) je vertikalna asimptota grafa funkcije, budući da u točkama oblika x = + πk funkcija trpi diskontinuitet.

SVOJSTVO 8. Skup vrijednosti funkcije y = tan x su svi realni brojevi, odnosno (e od eff jednako je intervalu od minus beskonačno do plus beskonačno).

PRIMJER 1. Riješite jednadžbu tg x = (tangens x jednak je korijenu iz tri puta tri).

Riješenje. Konstruirajmo grafove funkcija y = tan x u jednom koordinatnom sustavu

(y je jednako tangensu od x) i y = (y je jednako korijenu iz tri podijeljeno s tri).

Dobili smo beskonačno mnogo sjecišnih točaka čije se apscise međusobno razlikuju za πk (pi ka) Kako je tg x = pri x =, onda je apscisa sjecišne točke na glavnoj grani jednaka (pi puta šest).

Sva rješenja ove jednadžbe zapisujemo formulom x = + πk (x je jednako pi puta šest plus pi ka).

Odgovor: x = + πk.

Izgradimo graf funkcije y = stg x.

Razmotrimo dvije metode izgradnje.

Prvi način slično je iscrtavanju funkcije y = tan x.

Kako je ova funkcija periodična, sastoji se od beskonačnog broja grana (u vrpci između x = 0 i x =π, kao i u vrpci između x =π i x = 2π, itd.) i neparna, konstruirat ćemo dio grafa točku po točku na intervalu od nula do pi za dva (), tada ćemo koristiti simetriju i periodičnost.

Upotrijebimo tablicu vrijednosti kotangensa za izradu grafikona.

Označite dobivene točke na koordinatnoj ravnini i povežite ih glatkom linijom.

Kako je graf funkcije relativno simetričan, istu ćemo granu konstruirati simetrično.

Primijenimo periodičnost i dobijemo graf funkcije y = stg x.

Konstruirali smo granu grafa funkcije y = stg x u traci od x = 0 i x =π. Preostale grane konstruiramo pomicanjem konstruirane grane duž x osi za π, - π, 2π, - 2π i tako dalje.

Drugi način iscrtavanje funkcije y =stg x.

Najlakši način da dobijete graf funkcije y =stg x je transformirati tangens, koristeći formulu redukcije (kotangens x je jednak minus tangens zbroja x i pi za dva).

U ovom slučaju prvo pomaknemo granu grafa funkcije y =tg x duž apscisne osi udesno, dobijemo

y = tg (x+), a zatim izvodimo simetriju dobivenog grafa u odnosu na apscisnu os. Rezultat će biti grana grafa funkcije y =stg x (slika 4). Poznavajući jednu granu, možemo izgraditi cijeli graf koristeći periodičnost funkcije. Preostale grane konstruiramo pomicanjem konstruirane grane duž osi x za π, 2π i tako dalje.

Graf funkcije y =stg x naziva se i tangentoid, kao i graf funkcije y =tg x. Grana koja leži u intervalu od nule do pi naziva se glavna grana grafa funkcije y = stg x.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - jednom riječju, na svim segmentima [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], gdje je k Z, i opada na svim segmentima

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], gdje je n Z.

Problem 11.6. Na kojim segmentima funkcija y = cos x raste, a na kojima opada?

Problem 11.8. Poredajte uzlaznim redoslijedom: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafovi tangensa i kotangensa

Nacrtajmo funkciju y = tan x. Najprije ga konstruirajmo za brojeve x koji pripadaju intervalu (−π/2; π/2).

Ako je x = 0, tada je tan x = 0; kada x raste od 0 do π/2, tan x također raste - to se može vidjeti ako pogledate os tangente (Sl. 12.1 a). Kako se x približava π/2, ostajući manji

Riža. 12.2. y = ten x.

π/2, vrijednost tan x raste (točka M na slici 12.1 a ide sve više i više) i može, očito, postati proizvoljno velik pozitivan broj. Slično, kada se x smanji od 0 do −π/2, tan x postaje negativan broj, apsolutna vrijednost koja raste kako se x približava −π/2. Za x = π/2 ili −π/2, funkcija tan x je nedefinirana. Stoga graf y = tan x za x (−π/2; π/2) izgleda približno kao na sl. 12.1 b.

U blizini ishodišta koordinata, naša krivulja je blizu ravne linije y = x x: uostalom, za male oštre kutove vrijedi približna jednakost tg x ≈ x. Možemo reći da pravac y = x dodiruje graf funkcije y = tan x u ishodištu. Osim toga, krivulja na slici 12.1 b je simetrična oko ishodišta. To se objašnjava činjenicom da je funkcija y = tan x neparna, odnosno vrijedi identitet tg(−x) = − tan x.

Da biste nacrtali funkciju y = tan x za sve x, prisjetite se da je tan x periodična funkcija s periodom π. Dakle, da bi se dobio potpuni graf funkcije y = tan x, potrebno je beskonačno mnogo puta ponavljati krivulju na sl. 12.1 b, pomičući ga duž apscise na udaljenosti πn, gdje je n cijeli broj. Konačni prikaz grafa funkcije y = tan x je na sl. 12.2.

Prema grafu još jednom vidimo da je funkcija y = tan x

Riža. 12.3. y = cotg x.

nije definiran za x = π/2 + πn, n Z, odnosno za one x za koje je cos x = 0. Okomite crte s jednadžbama x = π/2, 3π/2,. . . , kojima se grane pristupa grafa nazivaju asimptote grafa.

Na istoj sl. 12.2 prikazana su rješenja jednadžbe tg x = a.

Nacrtajmo funkciju y = cot x. Najlakši način je pomoću formule redukcije ctg x = tan(π/2 − x) dobiti ovaj graf iz grafa funkcije y = tan x koristeći transformacije slične onima koje smo opisali u prethodnom paragrafu. Rezultat je prikazan na sl. 12.3

Problem 12.1. Graf funkcije y = ctg x dobiva se iz grafa funkcije y = tan x primjenom simetrije u odnosu na određeni pravac. Koji? Postoje li druge linije s ovom nekretninom?

Problem 12.2. Kako izgleda jednadžba pravca tangente na graf funkcije y = cot x u točki s koordinatama (π/2; 0)?

Problem 12.3. Usporedite brojeve: a) tg(13π/11) i tg 3,3π; b) tan 9,6π i ctg(−11,3π).

Problem 12.4. Poredajte brojeve u rastućem redoslijedu: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Problem 12.5. Grafički nacrtajte funkcije:

a) y = tan(2x − π/3);	b) y = 2 cot(π/4 − x).
Problem 12.6. Grafički nacrtajte funkcije:
a) y = arctan x;	b) y = arcctg x.

Problem 12.7. Nacrtajte funkciju y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Čemu je jednako sin x + cos x?

U ovom dijelu pokušat ćemo riješiti sljedeći problem: što je najviše veliki značaj može uzeti izraz sin x+cos x?

Ako ste dobro brojali, trebali ste otkriti da je od svih x uključenih u ovu tablicu najveća vrijednost sin x + cos x

dobiva se za x blizu 45◦, ili, u radijanskim mjerama, do π/4.

Ako je x = π/4, točna vrijednost sin x+cos x je 2. Ispada da je naš rezultat dobiven eksperimentalno, au

je zapravo točno: za sve x nejednakost sin x + cos x 6 je istinita

2, tako da je 2 najveća vrijednost koju prihvaća ovaj izraz.

Još nemamo dovoljno sredstava da tu nejednakost dokažemo na najprirodniji način. Za sada ćemo pokazati kako to svesti na planimetrijski problem.

Ako je 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и oštar kut x (slika 13.1).

Stoga je naš zadatak preformuliran na sljedeći način: dokazati da će zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom 1 biti maksimalan ako je taj trokut jednakokračan.

Problem 13.1. Dokažite ovu tvrdnju.

Budući da je jednakokračni pravokutni trokut s hi-

Potenuza 1, zbroj duljina kateta jednak je 2√, rezultat ovog problema implicira nejednakost sin x + cos x 6 2 za sve x koji leže u intervalu (0; π/2). Odavde nije teško zaključiti da ova nejednakost vrijedi za sve x općenito.

Rezultat zadatka 13.1 ne vrijedi samo za pravokutne trokute.

Problem 13.2. Dokažite da će među svim trokutima sa zadanim vrijednostima stranice AC i kuta B najveći zbroj AB + BC imati jednakokračni trokut s osnovicom AC.

Vratimo se trigonometriji.

Problem 13.3. Pomoću tablice sinusa iz § 3 konstruirajte točku po točku graf funkcije y = sin x + cos x.

Bilješka. Zapamtite da x mora biti izražen u radijanima; Za vrijednosti x izvan intervala koristite formule redukcije.

Ako ste sve napravili ispravno, trebali biste imati krivulju koja izgleda kao sinusni val. Kasnije ćemo vidjeti da ova krivulja nije samo slična, već je sinusoida. Također ćemo naučiti pronaći najveće vrijednosti izraza kao što je 3 sin x + 4 cos x (usput, graf funkcije y = 3 sin x + 4 cos x također je sinusoida!).

Središte u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Tangenta ( tan α) - Ovo trigonometrijska funkcija, ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednakom omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .

Kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| .

Tangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Graf funkcije tangensa, y = tan x

Kotangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također su prihvaćene sljedeće oznake:
;
;
.

Graf kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangensa i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične s periodom π.

Paritet

Funkcije tangens i kotangens su neparne.

Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje

Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli).

	y = tg x	y = ctg x
Opseg i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Povećavajući se		-
Silazni	-
Krajnosti	-	-
Nule, y = 0
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 0	-

Formule

Izrazi koji koriste sinus i kosinus

; ;
; ;
;

Formule za tangens i kotangens iz zbroja i razlike

Preostale formule lako je dobiti, na primjer

Umnožak tangenti

Formula za zbroj i razliku tangensa

Ova tablica predstavlja vrijednosti tangensa i kotangenata za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi koji koriste složene brojeve

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>>

Integrali

Proširenja serije

Da biste dobili proširenje tangente u potencije x, trebate uzeti nekoliko članova proširenja u niz potencija za funkcije grijeh x I cos x i podijelite te polinome jedan s drugim, . Ovo proizvodi sljedeće formule.

U .

u .
Gdje Bn- Bernoullijevi brojevi. Oni se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangensa i kotangensa su arktangens i arkotangens.

Arktangens, arctg

, Gdje n- cijeli.

Arccotangens, arcctg

, Gdje n- cijeli.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za znanstvenike i inženjere, 2012.