Funkcijski graf vizualni je prikaz ponašanja neke funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafički prikazi pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete graditi grafove mnogih funkcija, a svaka od njih bit će zadana određenom formulom. Graf bilo koje funkcije se gradi prema određenom algoritmu (ako ste zaboravili točan proces crtanja grafa određene funkcije).
Koraci
Crtanje linearne funkcije
- Ako je nagib negativan, funkcija se smanjuje.
-
Od točke gdje se pravac siječe s Y osi, nacrtajte drugu točku koristeći vertikalne i horizontalne udaljenosti. Linearna funkcija može se nacrtati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka presjeka s Y-osi ima koordinate (0,5); od ove točke pomaknite se za 2 mjesta gore, a zatim 1 razmak udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.
Pomoću ravnala povucite ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva graf se može izgraditi pomoću dvije točke. Dakle, nacrtali ste linearnu funkciju.
Crtanje točaka na koordinatnoj ravnini
-
Definirajte funkciju. Funkcija je označena kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivaju se rasponom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivaju se domenom funkcije. Na primjer, razmotrite funkciju y = x+2, naime f(x) = x+2.
Nacrtajte dvije okomite linije koje se sijeku. Horizontalna linija je os X. Okomita linija je Y-os.
Označite koordinatne osi. Svaku os razbijte na jednake segmente i numerirajte ih. Točka presjeka osi je 0. Za os X: s desne strane (od 0) ucrtani su pozitivni brojevi, a lijevo negativni brojevi. Za Y-os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.
Pronađite "y" vrijednosti od "x" vrijednosti. U našem primjeru f(x) = x+2. Zamijenite određene vrijednosti "x" u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće vrijednosti "y". Ako je data složena funkcija, pojednostavite je izolacijom "y" na jednoj strani jednadžbe.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Nacrtajte točke na koordinatnoj ravnini. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na osi x i nacrtajte okomitu crtu (isprekidana crta); pronađite odgovarajuću vrijednost na y-osi i nacrtajte vodoravnu crtu (isprekidanu). Označite točku sjecišta dviju točkastih linija; dakle, nacrtali ste točku grafa.
Izbrišite točkaste linije. Učinite to nakon što nacrtate sve točke grafa na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je ravna crta koja prolazi središtem koordinata [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravom f(x) = x, ali pomaknut za dvije jedinice prema gore i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .
Iscrtavanje složene funkcije
Pronađite nule funkcije. Funkcije nule su vrijednosti varijable "x" na kojima je y = 0, odnosno to su točke presjeka grafa s osom x. Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali ovo je prvi korak u procesu crtanja bilo kojeg grafa funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, postavite je na nulu. Na primjer:
Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je pravac kojoj se graf funkcije približava, ali nikad ne prelazi (to jest, funkcija nije definirana u ovom području, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu isprekidanom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), namjestite nazivnik na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru nacrtajte isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete podijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:
-
Odrediti je li funkcija linearna. Linearna funkcija je data formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez eksponenata, predznaka korijena i slično. S obzirom na funkciju sličnog oblika, crtanje takve funkcije je prilično jednostavno. Evo drugih primjera linearnih funkcija:
Koristite konstantu da označite točku na y-osi. Konstanta (b) je koordinata “y” točke presjeka grafa s Y-osom. To jest, to je točka čija je “x” koordinata 0. Dakle, ako je x = 0 zamijenjeno u formulu , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je 5, odnosno točka presjeka s Y-osi ima koordinate (0,5). Ucrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.
Pronaći nagib ravno. Jednaka je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s varijablom "x" je faktor 2; dakle, nagib je 2. Nagib određuje kut nagiba ravne na os X, odnosno što je veći nagib, funkcija se brže povećava ili smanjuje.
Zapiši nagib kao razlomak. Nagib jednaka tangenti kut nagiba, odnosno omjer okomite udaljenosti (između dviju točaka na ravnoj crti) i vodoravne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, pa možemo reći da je okomita udaljenost 2, a horizontalna 1. Napišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Izgradite funkciju
Predstavljamo Vam uslugu za online iscrtavanje funkcionalnih grafova na koju sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor grafikona, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja
- Vizualni prikaz uvedenih funkcija
- Izrada vrlo složenih grafova
- Iscrtavanje implicitno definiranih grafova (npr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i dobivanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola skale, boja linije
- Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenje konstanti
- Konstrukcija više grafova funkcija u isto vrijeme
- Ucrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je lako izgraditi grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja je gotova trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikaz grafova za njihov daljnji prijenos u Word dokument kao ilustracije za rješavanje problema, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Najbolji preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici stranice je Google Chrome. Kada koristite druge preglednike, ispravan rad nije zajamčen.
Konstrukcija grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće školarcima. Međutim, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje ovakvih problema, a lako možete izgraditi graf čak i za naizgled složena funkcija. Pogledajmo koji su to algoritmi.
1. Ucrtavanje funkcije y = |f(x)|
Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze potpuno u gornjoj poluravni.
Ucrtavanje funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.
1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).
2) Ostavite nepromijenjene sve točke grafa koje su iznad ili na osi 0x.
3) Dio grafikona koji leži ispod osi 0x, prikazati simetrično oko osi 0x.
Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 - 4x + 3|
1) Gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4x + 3. Očito je da je graf ove funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka presjeka parabole s koordinatnim osi i koordinate vrha parabole.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Stoga parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Stoga parabola siječe os 0y u točki (0, 3).
Koordinate vrha parabole:
x u \u003d - (-4/2) \u003d 2, y u \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Prema tome, točka (2, -1) je vrh ove parabole.
Nacrtajte parabolu koristeći primljene podatke (Sl. 1)
2) Dio grafa koji leži ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na os 0x.
3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazana točkastom linijom).
2. Iscrtavanje funkcije y = f(|x|)
Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.
Iscrtavanje funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.
1) Nacrtaj funkciju y = f(x).
2) Ostavite onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikažite dio grafa naveden u stavku (2) simetrično na os 0y.
4) Kao konačni grafikon odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3
Budući da je x 2 = |x| 2 , tada se izvorna funkcija može prepisati kao sljedeći obrazac: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. A sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.
1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4 x + 3 (vidi također riža. jedan).
2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikaži desnu stranu grafa simetrično na os 0y.
(slika 3).
Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|
Primjenjujemo gornju shemu.
1) Grafikon funkcije y = log 2 x (slika 4).
3. Ucrtavanje funkcije y = |f(|x|)|
Imajte na umu da funkcije oblika y = |f(|x|)| također su čak. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su im grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija nalaze se potpuno u gornjoj poluravnini.
Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:
1) Konstruirajte uredan graf funkcije y = f(|x|).
2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na osi 0x.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x trebao bi biti prikazan simetrično u odnosu na os 0x.
4) Kao konačni grafikon odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Imajte na umu da je x 2 = |x| 2. Dakle, umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - jedan
možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, budući da su im grafovi isti.
Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za to koristimo algoritam 2.
a) Nacrtamo funkciju y \u003d -x 2 + 2x - 1 (slika 6).
b) Ostavljamo onaj dio grafa, koji se nalazi u desnoj poluravni.
c) Dobiveni dio grafa prikazati simetrično na os 0y.
d) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (slika 7).
2) Nema točaka iznad osi 0x, ostavljamo točke na osi 0x nepromijenjene.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.
4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (slika 8).
Primjer 5. Grafikon funkcije y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Prvo morate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na algoritam 2.
a) Pažljivo nacrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (slika 9).
Imajte na umu da je ova funkcija linearno-frakcijska i da je njen graf hiperbola. Da biste izgradili krivulju, prvo morate pronaći asimptote grafa. Horizontalno - y \u003d 2/1 (omjer koeficijenata na x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito - x \u003d -3.
2) Dio grafikona koji je iznad ili na osi 0x ostat će nepromijenjen.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.
4) Konačni grafikon je prikazan na slici (slika 11).
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
Ponekad u zadacima nema sasvim običnih funkcija, gdje u formuli funkcije postoji samo "y" ili samo "x".
Postavlja se pitanje: " Kako nacrtati takvu funkciju?».
Zapamtiti!
Graf funkcije oblika "y \u003d 7" i "x \u003d 2" (funkcije u kojima postoji samo "y" ili samo "x") je ravna crta koja je paralelna s jednom od koordinatnih osi.
Kako nacrtati funkciju " y \u003d 7"
Pogledajmo primjer. Razmotrimo funkciju "y = 7".
U formuli funkcije " y \u003d 7"Postoji samo" y". To znači da sve točke grafa funkcije " y \u003d 7" imaju koordinate duž osi" y "( ordinate) jednako "7".
Funkcijski argument "x" očito je odsutan u formuli funkcije "y = 7", ali ipak "x", iako "nevidljivo", ali je u funkciji i poprima bilo koje numeričke vrijednosti.
Imajući na umu gore navedeno, pronađimo neke točke grafičke umjetnosti
funkcije " y \u003d 7 ". Odaberimo tri proizvoljne numeričke vrijednosti za "x". Na primjer, brojevi "1", "2" i "3".
Ako spojimo dobivene točke grafa funkcije " y \u003d 7", tada ćemo dobiti ravnu liniju koja je paralelna s osi "Ox".
Kako nacrtati funkciju " x \u003d 2"
Funkcije u kojima postoji samo "x"Građene su na sličnom principu kao funkcije gdje postoji samo "y", Jedina razlika je u tome što sada radimo s osi"Ox".
Pogledajmo primjer. Razmotrimo funkciju "x = 2".
U formuli funkcije " x \u003d 2"Postoji samo" x".
To znači da sve točke grafa funkcije "x \u003d 2" imaju koordinate duž osi "x" ( apscisa) jednako "2".
Vrijednost funkcije "y" jasno je odsutna u funkciji "x \u003d 2", ali je ipak "y" "nevidljivo" u funkciji i poprima bilo koje numeričke vrijednosti.
Imajući gore navedeno na umu, pronađimo nekoliko točaka na grafikonu
funkcije " x \u003d 2".
Odaberimo tri proizvoljne numeričke vrijednosti za "y". Na primjer, brojevi "1", "2" i "3".
Dobivene točke označavamo na koordinatnom sustavu.
Ako spojimo dobivene točke grafa funkcije " x \u003d 2", tada ćemo dobiti ravnu liniju koja je paralelna s osi "Oy".
Kako zapamtiti pravila za konstruiranje grafova funkcije oblika " y \u003d 7" i " x \u003d 2"
Za crtanje funkcije oblika " y \u003d 7"I" x \u003d 2"Trebali biste zapamtiti sljedeće pravilo.
