\(\crnitrokutdesno\) Diedralni kut– kut koji čine dvije poluravnine i pravac \(a\), koji im je zajednička granica.
\(\blacktriangleright\) Da biste pronašli kut između ravnina \(\xi\) i \(\pi\) , trebate pronaći linearni kut (i začinjeno ili ravno) diedralni kut koji čine ravnine \(\xi\) i \(\pi\) :
Korak 1: neka \(\xi\cap\pi=a\) (crta presjeka ravnina). U ravnini \(\xi\) označimo proizvoljnu točku \(F\) i nacrtamo \(FA\perp a\) ;
Korak 2: izvršite \(FG\perp \pi\) ;
Korak 3: prema TTP (\(FG\) – okomito, \(FA\) – koso, \(AG\) – projekcija) imamo: \(AG\perp a\) ;
Korak 4: Kut \(\kut FAG\) naziva se linearni kut diedralnog kuta koji čine ravnine \(\xi\) i \(\pi\) .
Uočimo da je trokut \(AG\) pravokutan.
Također primijetite da je ravnina \(AFG\) konstruirana na ovaj način okomita na obje ravnine \(\xi\) i \(\pi\) . Stoga možemo reći i drugačije: kut između ravnina\(\xi\) i \(\pi\) je kut između dviju linija koje se sijeku \(c\in \xi\) i \(b\in\pi\) koje tvore ravninu okomitu na i \(\xi\ ) i \(\pi\) .
1. zadatak #2875
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
Dana je četverokutna piramida čiji su svi bridovi jednaki, a baza je kvadrat. Pronađite \(6\cos \alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između njegovih susjednih bočnih strana.
Neka je \(SABCD\) dana piramida (\(S\) je vrh) čiji su bridovi jednaki \(a\) . Prema tome, sve bočne strane su jednaki jednakostranični trokuti. Nađimo kut između stranica \(SAD\) i \(SCD\) .
Učinimo \(CH\perp SD\) . Jer \(\trokut SAD=\trokut SCD\), tada će \(AH\) također biti visina \(\trokuta SAD\) . Prema tome, prema definiciji, \(\kut AHC=\alpha\) je linearni kut diedralnog kuta između stranica \(SAD\) i \(SCD\) .
Budući da je baza kvadrat, tada \(AC=a\sqrt2\) . Primijetite također da je \(CH=AH\) visina jednakostraničnog trokuta sa stranicom \(a\), dakle, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Zatim, prema kosinusnom teoremu iz \(\trokut AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Odgovor: -2
2. zadatak #2876
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
Ravnine \(\pi_1\) i \(\pi_2\) sijeku se pod kutom čiji je kosinus jednak \(0,2\). Ravnine \(\pi_2\) i \(\pi_3\) sijeku se pod pravim kutom, a sjecišna linija ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_2\) paralelna je s presječnom crtom ravnine \(\pi_2\) i \(\ pi_3\) . Odredite sinus kuta između ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_3\) .
Neka je linija presjeka \(\pi_1\) i \(\pi_2\) ravna linija \(a\), linija presjeka \(\pi_2\) i \(\pi_3\) je ravna pravac \(b\), a presjek \(\pi_3\) i \(\pi_1\) – pravac \(c\) . Budući da \(a\paralelno b\) , onda \(c\paralelno a\paralelno b\) (prema teoremu iz odjeljka teorijske literature “Geometrija u prostoru” \(\desna strelica\) “Uvod u stereometriju, paralelizam").
Označimo točke \(A\in a, B\in b\) tako da je \(AB\perp a, AB\perp b\) (ovo je moguće jer je \(a\paralelno b\) ). Označimo \(C\in c\) tako da \(BC\perp c\) , dakle, \(BC\perp b\) . Zatim \(AC\perp c\) i \(AC\perp a\) .
Doista, budući da \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada je \(b\) okomit na ravninu \(ABC\) . Budući da \(c\paralelno a\paralelno b\), tada su pravci \(a\) i \(c\) također okomiti na ravninu \(ABC\), a time i na bilo koji pravac iz te ravnine, posebno , pravac \ (AC\) .
Iz toga slijedi da \(\kut BAC=\kut (\pi_1, \pi_2)\), \(\kut ABC=\kut (\pi_2, \pi_3)=90^\krug\), \(\kut BCA=\kut (\pi_3, \pi_1)\). Ispada da je \(\trokut ABC\) pravokutan, što znači \[\sin \kut BCA=\cos \kut BAC=0,2.\]
Odgovor: 0,2
Zadatak 3 #2877
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
Date su ravne linije \(a, b, c\) koje se sijeku u jednoj točki, a kut između bilo koje dvije od njih jednak je \(60^\circ\) . Pronađite \(\cos^(-1)\alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između ravnine koju čine pravci \(a\) i \(c\) i ravnine koju čine pravci \( b\ ) i \(c\) . Odgovorite u stupnjevima.
Neka se pravci sijeku u točki \(O\) . Budući da je kut između bilo koje dvije od njih jednak \(60^\circ\), tada sve tri prave ne mogu ležati u istoj ravnini. Označimo točku \(A\) na pravcu \(a\) i nacrtajmo \(AB\perp b\) i \(AC\perp c\) . Zatim \(\trokut AOB=\trokut AOC\) kao pravokutnik uz hipotenuzu i šiljasti kut. Prema tome, \(OB=OC\) i \(AB=AC\) .
Učinimo \(AH\perp (BOC)\) . Zatim po teoremu o tri okomice \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Budući da \(AB=AC\) , onda \(\trokut AHB=\trokut AHC\) kao pravokutnik duž hipotenuze i katete. Prema tome, \(HB=HC\) . To znači da je \(OH\) simetrala kuta \(BOC\) (jer je točka \(H\) jednako udaljena od stranica kuta).
Imajte na umu da smo na ovaj način također konstruirali linearni kut diedralnog kuta koji čine ravnina koju čine pravci \(a\) i \(c\) i ravnina koju čine pravci \(b\) i \(c \) . Ovo je kut \(ACH\) .
Pronađimo ovaj kut. Kako smo točku \(A\) odabrali proizvoljno, izaberimo je tako da je \(OA=2\) . Zatim u pravokutnom \(\trokutu AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Kako je \(OH\) simetrala, onda \(\kut HOC=30^\circ\) , dakle, u pravokutnom \(\trokutu HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Zatim iz pravokutnika \(\trokut ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Odgovor: 3
4. zadatak #2910
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
Ravnine \(\pi_1\) i \(\pi_2\) sijeku se duž pravca \(l\) na kojem leže točke \(M\) i \(N\). Odsječci \(MA\) i \(MB\) okomiti su na ravnu liniju \(l\) i leže u ravninama \(\pi_1\) i \(\pi_2\), redom, i \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Pronađite \(3\cos\alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_2\) .
Trokut \(AMN\) je pravokutan, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), odakle \ Trokut \(BMN\) je pravokutan, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), iz čega \Zapisujemo kosinusni teorem za trokut \(AMB\): \ Zatim \ Budući da je kut \(\alpha\) između ravnina oštar kut, a pokazalo se da je \(\kut AMB\) tup, tada \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Zatim \
Odgovor: 1,25
Zadatak 5 #2911
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je paralelopiped, \(ABCD\) je kvadrat sa stranicom \(a\), točka \(M\) je osnovica okomice spuštene iz točke \(A_1\) na ravninu \ ((ABCD)\) , osim toga, \(M\) je točka presjeka dijagonala kvadrata \(ABCD\) . Poznato je da \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Odredite kut između ravnina \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) . Odgovorite u stupnjevima.
Konstruirajmo \(MN\) okomito na \(AB\) kao što je prikazano na slici.
Budući da je \(ABCD\) kvadrat sa stranicom \(a\) i \(MN\perp AB\) i \(BC\perp AB\) , tada je \(MN\paralelan BC\) . Budući da je \(M\) točka presjeka dijagonala kvadrata, tada je \(M\) sredina \(AC\), dakle, \(MN\) je središnja linija i \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcija \(A_1N\) na ravninu \((ABCD)\), a \(MN\) je okomit na \(AB\), tada, prema teoremu o tri okomice, \ (A_1N\) okomita je na \(AB \), a kut između ravnina \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) je \(\kut A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \kut A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Odgovor: 60
6. zadatak #1854
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) – sjecište dijagonala; \(S\) – ne leži u ravnini kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Odredite kut između ravnina \(ASD\) i \(ABC\) ako je \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Pravokutni trokuti \(\trokut SAO\) i \(\trokut SDO\) jednaki su po dvije stranice i kutu između njih (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\kut SOA = \kut SOD = 90^\krug\); \(AO = DO\) , jer \(O\) – sjecište dijagonala kvadrata, \(SO\) – zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = SD\) \(\Strelica desno\) \(\trokut ASD\ ) – jednakokračan. Točka \(K\) je sredina \(AD\), zatim \(SK\) je visina u trokutu \(\trokut ASD\), a \(OK\) je visina u trokutu \( AOD\) \(\Rightarrow\) ravnina \(SOK\) je okomita na ravnine \(ASD\) i \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\kut SKO\) – linearni kut jednak željenom diedralni kut.
U \(\trokut SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\desna strelica\) \(\trokut SOK\) – jednakokračni pravokutni trokut \(\desna strelica\) \(\kut SKO = 45^\kružnica\) .
Odgovor: 45
7. zadatak #1855
Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita
U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) – sjecište dijagonala; \(S\) – ne leži u ravnini kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Odredite kut između ravnina \(ASD\) i \(BSC\) ako je \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Pravokutni trokuti \(\trokut SAO\) , \(\trokut SDO\) , \(\trokut SOB\) i \(\trokut SOC\) jednaki su po dvije stranice i kutu između njih (\(SO \perp ABC \) \(\desna strelica\) \(\kut SOA = \kut SOD = \kut SOB = \kut SOC = 90^\krug\); \(AO = OD = OB = OC\), jer \(O\) – sjecište dijagonala kvadrata, \(SO\) – zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Strelica desno\) \( \trokut ASD\) i \(\trokut BSC\) su jednakokračni. Točka \(K\) je sredina \(AD\), zatim \(SK\) je visina u trokutu \(\trokut ASD\), a \(OK\) je visina u trokutu \( AOD\) \(\ Desna strelica\) ravnina \(SOK\) je okomita na ravninu \(ASD\) . Točka \(L\) je sredina \(BC\), zatim \(SL\) je visina u trokutu \(\trokut BSC\), a \(OL\) je visina u trokutu \( BOC\) \(\ Desna strelica\) ravnina \(SOL\) (aka ravnina \(SOK\)) je okomita na ravninu \(BSC\) . Dakle, dobivamo da je \(\kut KSL\) linearni kut jednak željenom diedralnom kutu.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\desna strelica\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – visine u jednakim jednakokračnim trokutima, koje se mogu pronaći pomoću Pitagorinog poučka: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Može se primijetiti da \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) za trokut \(\triangle KSL\) vrijedi inverzni Pitagorin teorem \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – pravokutni trokut \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ krug\) .
Odgovor: 90
Priprema učenika za polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike u pravilu počinje ponavljanjem osnovnih formula, uključujući one koje vam omogućuju određivanje kuta između ravnina. Unatoč činjenici da je ovaj dio geometrije pokriven dovoljno detaljno unutar školski plan i program, mnogi maturanti moraju ponoviti osnovno gradivo. Razumijevajući kako pronaći kut između ravnina, srednjoškolci će moći brzo izračunati točan odgovor pri rješavanju problema i računati na dobivanje pristojnih bodova na rezultatima polaganja jedinstvenog državnog ispita.
Glavne nijanse
Kako bi se osiguralo da pitanje kako pronaći dihedralni kut ne uzrokuje poteškoće, preporučujemo da slijedite algoritam rješenja koji će vam pomoći da se nosite sa zadacima Jedinstvenog državnog ispita.
Prvo morate odrediti ravnu liniju duž koje se ravnine sijeku.
Zatim trebate odabrati točku na ovoj liniji i nacrtati dvije okomice na nju.
Sljedeći korak je pronalaženje trigonometrijska funkcija dihedral kut koji čine okomice. Najprikladniji način za to je uz pomoć dobivenog trokuta, čiji je kut dio.
Odgovor će biti vrijednost kuta ili njegova trigonometrijska funkcija.
Priprema za ispitni test uz Shkolkovo ključ je vašeg uspjeha
Tijekom nastave uoči polaganja Jedinstvenog državnog ispita, mnogi se učenici suočavaju s problemom pronalaženja definicija i formula koje im omogućuju izračunavanje kuta između 2 ravnine. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci baš kad je potreban. A da biste pronašli potrebne formule i primjere njihove ispravne primjene, uključujući i pronalaženje kuta između ravnina na internetu, ponekad morate potrošiti puno vremena.
Matematički portal Shkolkovo nudi novi pristup pripremi za državnu maturu. Nastava na našoj web stranici pomoći će učenicima da sami prepoznaju najteže dijelove i popune praznine u znanju.
Pripremili smo i pregledno predstavili sav potreban materijal. Osnovne definicije i formule prikazane su u odjeljku “Teoretske informacije”.
Za bolje razumijevanje gradiva predlažemo i vježbanje odgovarajućih vježbi. Veliki izbor zadataka različitih stupnjeva složenosti, na primjer, na, predstavljen je u odjeljku "Katalog". Svi zadaci sadrže detaljan algoritam za pronalaženje točnog odgovora. Popis vježbi na web stranici stalno se nadopunjuje i ažurira.
Dok vježbaju rješavanje zadataka koji zahtijevaju pronalaženje kuta između dvije ravnine, učenici imaju priliku spremiti bilo koji zadatak online kao "Favoriti". Zahvaljujući tome, moći će mu se vraćati onoliko puta koliko je potrebno i razgovarati s njim o napretku njegovog rješenja školski učitelj ili učitelj.
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
DIEDRALNI KUT Profesor matematike GOU srednja škola br. 10 Eremenko M.A.
Glavni ciljevi lekcije: Uvesti pojam diedralnog kuta i njegovog linearnog kuta Razmotriti zadatke za primjenu ovih pojmova.
Definicija: Diedralni kut je lik kojeg tvore dvije poluravnine sa zajedničkim graničnim pravcem.
Veličina diedralnog kuta je veličina njegovog linearnog kuta. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - linearni diedarski kut ACD B
Dokažimo da su svi linearni kutovi diedralnog kuta međusobno jednaki. Promotrimo dva linearna kuta AOB i A 1 OB 1. Zrake OA i OA 1 leže na istoj plohi i okomite su na OO 1, pa su susmjerne. Zrake OB i OB 1 također su suusmjerene. Dakle, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (poput kutova sa suusmjerenim stranicama).
Primjeri diedralnih kutova:
Definicija: Kut između dviju ravnina koje se sijeku je najmanji od diedarskih kutova koje čine te ravnine.
1. zadatak: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i CDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 2: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i CDA 1. Odgovor: 45 o.
Zadatak 3: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 4: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ACC 1 i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 5: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina BC 1 D i BA 1 D. Rješenje: Neka je O polovište B D. A 1 OC 1 – linearni kut diedralnog kuta A 1 B D C 1.
Zadatak 6: U tetraedru DABC svi bridovi su jednaki, točka M je sredina brida AC. Dokažite da je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta BACD .
Rješenje: Trokuti ABC i ADC su pravilni, pa je BM ⊥ AC i DM ⊥ AC pa je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta DACB.
7. zadatak: Iz vrha B trokuta ABC, čija stranica AC leži u ravnini α, povučena je okomica BB 1 na tu ravninu. Odredite udaljenost od točke B do pravca AC i ravnine α ako je AB=2, ∠VAS=150 0 i diedarski kut VASV 1 jednak 45 0.
Rješenje: ABC je tupokutni trokut s tupim kutom A, stoga osnovica visine BC leži na produžetku stranice AC. VC – udaljenost od točke B do AC. BB 1 – udaljenost od točke B do ravnine α
2) Kako je AC ⊥BK, onda je AC⊥KB 1 (po teoremu inverznom teoremu o tri okomice). Dakle, ∠VKV 1 je linearni kut diedralnog kuta BASV 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 =VK· sin 45 0 , VV 1 =
TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:
U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i točke. Zrake koje izlaze iz jedne točke tvore jedan od njihovih geometrijskih oblika - kut.
Znamo da se linearni kut mjeri u stupnjevima i radijanima.
U stereometriji se objektima dodaje ravnina. Lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkim rubom a koje ne pripadaju istoj ravnini u geometriji se naziva diedarski kut. Poluravnine su plohe diedralnog kuta. Ravnica a je brid diedralnog kuta.
Diedralni kut, kao i linearni kut, može se imenovati, mjeriti i konstruirati. To je ono što moramo saznati u ovoj lekciji.
Nađimo diedarski kut na modelu tetraedra ABCD.
Diedralni kut s rubom AB naziva se CABD, gdje točke C i D pripadaju različitim plohama kuta, a brid AB se naziva u sredini
Oko nas ima dosta predmeta s elementima u obliku diedralnog kuta.
U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je izrađena u obliku dvije nagnute ravnine koje se spajaju prema središtu.
Pri gradnji kuća često se koristi takozvani zabatni krov. Na ovoj kući krov je napravljen u obliku diedralnog kuta od 90 stupnjeva.
Diedralni kut se također mjeri u stupnjevima ili radijanima, ali kako to izmjeriti.
Zanimljivo je da se krovovi kuća oslanjaju na rogove. A obloga splavi oblikuje dvije krovne padine pod određenim kutom.
Prenesimo sliku na crtež. Na crtežu je za pronalaženje diedralnog kuta na njegovom rubu označena točka B. Iz te točke povučene su dvije zrake BA i BC okomite na rub kuta. Kut ABC koji čine te zrake naziva se linearni diedarski kut.
Stupanjska mjera diedarskog kuta jednaka je stupnjevskoj mjeri njegovog linearnog kuta.
Izmjerimo kut AOB.
Mjera stupnja danog diedralnog kuta je šezdeset stupnjeva.
Za diedarski kut može se nacrtati beskonačno mnogo linearnih kutova, važno je znati da su svi jednaki.
Promotrimo dva linearna kuta AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj plohi i okomite su na pravac OO1, pa su susmjerne. Zrake OB i O1B1 također su suusmjerene. Dakle, kut AOB jednak je kutu A1O1B1 kao kutovi s istosmjernim stranicama.
Dakle, diedralni kut karakterizira linearni kut, a linearni kutovi su oštri, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedarskih kutova.
Tupi kut je ako je njegov linearni kut između 90 i 180 stupnjeva.
Pravi kut ako je njegov linearni kut 90 stupnjeva.
Oštri kut, ako je njegov linearni kut od 0 do 90 stupnjeva.
Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog kuta.
Ravnina linearnog kuta okomita je na brid diedralnog kuta.
Neka je kut AOB linearni kut danog diedralnog kuta. Po konstrukciji su zrake AO i OB okomite na pravac a.
Ravnina AOB prolazi kroz dva siječna pravca AO i OB prema teoremu: Ravnina prolazi kroz dva siječna pravca i to samo jedan.
Pravac a je okomit na dva pravca koji se sijeku u toj ravnini, što znači da je, na temelju okomitosti pravca i ravnine, pravac a okomit na ravninu AOB.
Za rješavanje problema važno je znati konstruirati linearni kut zadanog diedralnog kuta. Konstruirajte linearni kut diedarskog kuta s bridom AB za tetraedar ABCD.
Riječ je o diedralnom kutu kojeg prvo tvore brid AB, jedna stranica ABD, a druga stranica ABC.
Evo jednog načina da ga izgradite.
Povucimo okomicu iz točke D na ravninu ABC.Označimo točku M kao osnovicu okomice. Podsjetimo se da se u tetraedru baza okomice poklapa sa središtem upisane kružnice u osnovici tetraedra.
Povucimo nagnuti pravac iz točke D okomito na rub AB, označimo točku N kao osnovicu nagnutog pravca.
U trokutu DMN isječak NM bit će projekcija nagnute DN na ravninu ABC. Prema teoremu o tri okomice, brid AB bit će okomit na projekciju NM.
To znači da su stranice kuta DNM okomite na brid AB, što znači da je konstruirani kut DNM željeni linearni kut.
Razmotrimo primjer rješavanja problema izračuna diedralnog kuta.
Jednakokračni trokut ABC i pravilni trokut ADB ne leže u istoj ravnini. Dužina CD je okomita na ravninu ADB. Odredi diedarski kut DABC ako je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Diedarski kut DABC jednak je njegovom linearnom kutu. Izgradimo ovaj kut.
Povucimo nagnutu CM okomito na brid AB, budući da je trokut ACB jednakokračan, tada će se točka M podudarati sa sredinom brida AB.
Pravac CD okomit je na ravninu ADB, što znači da je okomit na pravac DM koji leži u toj ravnini. A segment MD je projekcija nagnute CM na ravninu ADV.
Pravac AB konstrukcijski je okomit na nagnutu CM, što znači da je prema teoremu o tri okomice okomit na projekciju MD.
Dakle, na brid AB nalaze se dvije okomice CM i DM. To znači da tvore linearni kut CMD diedralnog kuta DABC. I sve što trebamo učiniti je pronaći ga iz pravokutnog trokuta CDM.
Dakle, isječak SM je središnja i visina jednakokračnog trokuta ACB, tada je prema Pitagorinom poučku krak SM jednak 4 cm.
Iz pravokutnog trokuta DMB, prema Pitagorinom poučku, krak DM jednak je dvama korijenima iz tri.
Kosinus kuta iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjedne krake MD i hipotenuze CM i jednak je trima korijenima od tri puta dva. To znači da je kut CMD 30 stupnjeva.
Stereometrija
Poglavlje 9. Pravci i ravnine u prostoru
9.8. Diedralni kut i njegov linearni kut
Ravnina je podijeljena pravcem koji u njoj leži na dvije poluravnine.
Definicija 1
Lik kojeg čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne crte, zajedno s dijelom prostora ograničenim tim poluravninama, naziva se diedarski kut. Poluravnine nazivamo plohama, a njihov zajednički pravac bridom diedralnog kuta.
Stranice diedarskog kuta dijele prostor na dva područja: unutarnje područje zadanog diedralnog kuta i njegovo vanjsko područje.
Definicija 2
Dva diedarska kuta su jednaka ako se jedan od njih može spojiti s drugim tako da su njihova unutarnja područja poravnata.
Definicija 3
Kut između dviju okomica na brid diedarskog kuta, povučenih na njegovim plohama iz jedne točke na bridu, naziva se linearni kut diedralnog kuta.
1 . Kut () dobiven kada se diedarski kut presječe ravninom okomitom na njegov rub je linearni kut zadanog diedralnog kuta.
2. Veličina linearnog kuta ne ovisi o položaju njegova vrha na rubu, tj.
3. Linearni kutovi jednakih diedarskih kutova su jednaki (slijedi iz definicija 2 i 3).
Definicija 4
Od dva dvostrana kuta, onaj koji ima veći (manji) linearni kut naziva se veći (manji). Mjerne jedinice za diedarske kutove su oni diedarski kutovi čiji su linearni kutovi jednaki
Pojam diedralnog kuta
Da bismo uveli pojam diedralnog kuta, prvo se prisjetimo jednog od aksioma stereometrije.
Bilo koja ravnina se može podijeliti na dvije poluravnine pravca $a$ koje leže u toj ravnini. U tom slučaju točke koje leže u istoj poluravnini nalaze se s jedne strane pravca $a$, a točke koje leže u različitim poluravninama nalaze se na suprotnim stranama pravca $a$ (slika 1).
Slika 1.
Na ovom aksiomu temelji se princip konstruiranja diedralnog kuta.
Definicija 1
Figura se zove diedralni kut, ako se sastoji od pravca i dviju poluravnina ovog pravca koje ne pripadaju istoj ravnini.
U tom slučaju nazivaju se poluravnine diedarskog kuta rubovi, a pravac koji razdvaja poluravnine je diedral brid(Sl. 1).
Slika 2. Diedralni kut
Stupanjska mjera diedralnog kuta
Definicija 2
Izaberimo proizvoljnu točku $A$ na bridu. Kut između dviju ravnina koje leže u različitim poluravninama, okomite na brid i sijeku se u točki $A$ naziva se linearni diedarski kut(slika 3).
Slika 3.
Očito je da svaki diedarski kut ima beskonačan broj linearnih kutova.
Teorem 1
Svi linearni kutovi jednog dvostranog kuta međusobno su jednaki.
Dokaz.
Razmotrimo dva pravocrtna kuta $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (slika 4).
Slika 4.
Budući da zrake $OA$ i $(OA)_1$ leže u istoj poluravnini $\alpha $ i okomite su na isti pravac, onda su one suusmjerene. Budući da zrake $OB$ i $(OB)_1$ leže u istoj poluravnini $\beta $ i okomite su na isti pravac, onda su one susmjerne. Stoga
\[\kut AOB=\kut A_1(OB)_1\]
Zbog proizvoljnosti izbora linearnih kutova. Svi linearni kutovi jednog dvostranog kuta međusobno su jednaki.
Teorem je dokazan.
Definicija 3
Stupanjska mjera diedarskog kuta je stupanjska mjera linearnog kuta diedralnog kuta.
Uzorak problema
Primjer 1
Neka su nam zadane dvije neokomite ravnine $\alpha $ i $\beta $ koje se sijeku duž pravca $m$. Točka $A$ pripada ravnini $\beta$. $AB$ je okomit na pravac $m$. $AC$ je okomita na ravninu $\alpha $ (točka $C$ pripada $\alpha $). Dokažite da je kut $ABC$ linearni kut diedralnog kuta.
Dokaz.
Nacrtajmo sliku prema uvjetima zadatka (sl. 5).
Slika 5.
Da bismo to dokazali, prisjetimo se sljedećeg teorema
Teorem 2: Ravna linija koja prolazi kroz bazu nagnute je okomita na nju, okomita na njegovu projekciju.
Kako je $AC$ okomit na ravninu $\alpha $, tada je točka $C$ projekcija točke $A$ na ravninu $\alpha $. Dakle, $BC$ je projekcija kose $AB$. Prema teoremu 2, $BC$ je okomit na rub diedralnog kuta.
Tada kut $ABC$ zadovoljava sve uvjete za definiranje linearnog diedralnog kuta.
Primjer 2
Diedralni kut je $30^\circ$. Na jednoj plohi leži točka $A$ koja je od druge plohe udaljena $4$ cm. Odredite udaljenost od točke $A$ do ruba diedralnog kuta.
Riješenje.
Pogledajmo sliku 5.
Prema uvjetu, imamo $AC=4\cm$.
A-priorat stupanjska mjera diedralski kut, imamo da je kut $ABC$ jednak $30^\circ$.
Trokut $ABC$ je pravokutni trokut. Po definiciji sinusa oštrog kuta
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
