Klasifikacija događaja na moguće, vjerojatne i slučajne. Pojmovi jednostavnih i složenih elementarnih događaja. Operacije nad događajima. Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja i njezina svojstva. Elementi kombinatorike u teoriji vjerojatnosti. geometrijska vjerojatnost. Aksiomi teorije vjerojatnosti.

Jedan od temeljnih pojmova teorije vjerojatnosti je pojam događaja. Pod, ispod događaj razumjeti bilo koju činjenicu koja se može pojaviti kao rezultat iskustva ili kušnje. Pod, ispod iskustvo , ili test , shvaća se kao provedba određenog skupa uvjeta.

Primjeri događaja:

• - pogađanje mete pri pucanju iz puške (doživljaj - produkt hica; događaj - pogađanje mete);
• - gubitak dvaju grbova pri trokratnom bacanju novčića (doživljaj - tri puta bacanje novčića; događaj - gubitak dvaju grbova);
• - pojava mjerne pogreške unutar zadanih granica pri mjerenju udaljenosti do cilja (iskustvo - mjerenje udaljenosti; događaj - pogreška mjerenja).

Moglo bi se navesti bezbroj takvih primjera. Događaji su označeni velikim slovima latinice abecede A,B,C itd.

razlikovati zajednički događaji i nekompatibilan . Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nekompatibilnim. Na primjer, bacaju se dvije kocke. Događaj AA je bacanje tri boda na prvoj kockici, događaj B je bacanje tri boda na drugoj kockici. A i B su zajednički događaji.

Neka trgovina primi seriju cipela istog stila i veličine, ali različite boje. Događaj A - nasumično uzeta kutija bit će s crnim cipelama, događaj B - kutija će biti sa smeđim cipelama, A i B su nekompatibilni događaji.

Događaj se zove pouzdan ako se nužno javlja u uvjetima danog eksperimenta.

Kaže se da je događaj nemoguć ako se ne može dogoditi pod uvjetima danog iskustva. Na primjer, slučaj da se standardni dio uzme iz serije standardnih dijelova je siguran, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće , ili slučajan , ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora pojaviti. Primjer slučajnog događaja je otkrivanje nedostataka proizvoda tijekom kontrole serije gotovih proizvoda, odstupanja između veličine prerađenog proizvoda i zadanog, kvara jedne od veza automatiziranog sustava upravljanja.

Događaji se zovu jednako moguće ako, pod uvjetima testa, nijedan od ovih događaja nije objektivno vjerojatniji od ostalih. Na primjer, pretpostavimo da trgovinu opskrbljuje žaruljama (i to u jednakim količinama) nekoliko proizvođača. Događaji koji se sastoje u kupnji žarulje bilo koje od ovih tvornica jednako su vjerojatni.

Važan koncept je puna grupa događaja . Nekoliko događaja u određenom eksperimentu čini potpunu skupinu ako se barem jedan od njih nužno pojavi kao rezultat eksperimenta. Na primjer, u urni se nalazi deset kuglica, od kojih je šest crvenih i četiri bijele, od kojih je pet numerirano.

A - izgled crvene kuglice s jednim izvlačenjem,

B - pojava bijele lopte,

C - izgled kuglice s brojem. Događaji A,B,Cčine cjelovitu skupinu zajedničkih događaja.

Uvedimo pojam suprotnog ili dodatnog događaja. Pod, ispod suprotan događaj

AÍ se shvaća kao događaj koji se nužno mora dogoditi ako se neki događaj nije dogodio

A. Suprotni događaji su nespojivi i jedini mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja.

Plan.

1. Slučajna varijabla (CV) i vjerojatnost događaja.

2. Zakon raspodjele SW.

3. Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija).

4. Poissonova distribucija.

5. Normalna (Gaussova) razdioba.

6. Jednolika raspodjela.

7. Raspodjela studenata.

2.1 Slučajna varijabla i vjerojatnost događaja

Matematička statistika usko je povezana s drugom matematičkom znanošću – teorijom vjerojatnosti i temelji se na njezinom matematičkom aparatu.

Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava obrasce generirane slučajnim događajima.

Pedagoški fenomeni spadaju među masovne: zahvataju velike populacije ljudi, ponavljaju se iz godine u godinu i javljaju se kontinuirano. Pokazatelji (parametri, rezultati) pedagoškog procesa su probabilističke prirode: isti pedagoški utjecaj može dovesti do različitih posljedica (slučajni događaji, slučajne varijable). Ipak, kod opetovane reprodukcije uvjeta, određene se posljedice pojavljuju češće od drugih - to je manifestacija tzv. statističkih pravilnosti (koje proučava teorija vjerojatnosti i matematička statistika).

Slučajna varijabla (CV) - ovo je numerička karakteristika, mjerena tijekom eksperimenta i ovisno o slučajnom ishodu. SW ostvaren tijekom eksperimenta sam je slučajan. Svaki RV definira distribuciju vjerojatnosti.

Glavno svojstvo pedagoških procesa i pojava je njihova vjerojatnost (u danim uvjetima mogu se dogoditi, ostvariti, ali se mogu i ne dogoditi). Za takve događaje bitnu ulogu igra koncept vjerojatnosti.

Vjerojatnost (P) pokazuje stupanj mogućnosti danog događaja, pojave, rezultata. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula str = 0, pouzdan - jedan str = 1 (100%). Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između 0 i 1, ovisno o tome koliko je slučajan događaj.

Ako nas zanima događaj A, onda, najvjerojatnije, možemo promatrati, popraviti činjenice njegovog pojavljivanja. Potreba za pojmom vjerojatnosti i njezinim izračunom očito će se pojaviti tek kada ovaj događaj promatramo ne svaki put, ili shvatimo da se može ili ne mora dogoditi. U oba slučaja korisno je koristiti pojam učestalosti pojavljivanja događaja f(A) - kao omjer broja slučajeva njegovog događanja (povoljnih ishoda) prema ukupnom broju opažanja. Učestalost pojavljivanja slučajnog događaja ne ovisi samo o stupnju slučajnosti samog događaja, već io broju (broju) promatranja ovog SW-a.

Postoje dvije vrste SV uzoraka: ovisan i nezavisna. Ako rezultati mjerenja određenog svojstva u predmetima prvog uzorka ne utječu na rezultate mjerenja tog svojstva u predmetima drugog uzorka, takvi se uzorci smatraju neovisnima. Kada rezultati jednog uzorka utječu na rezultate drugog uzorka, uzorci se uzimaju u obzir ovisan. Klasičan način dobivanja zavisnih mjerenja je dvaput mjerenje istog svojstva (ili različitih svojstava) na članovima iste skupine.

Događaj A ne ovisi o događaju B ako vjerojatnost događaja A ne ovisi o tome je li se dogodio događaj B. Događaji A i B su neovisni ako je P(AB)=P(A)P(B). U praksi se neovisnost događaja utvrđuje od uvjeta iskustva, intuicije istraživača i prakse.

CV je diskretan (možemo numerirati njegove moguće vrijednosti), na primjer, bacanje kockice = 4, 6, 2, i kontinuiran (njegova funkcija distribucije F(x) je kontinuirana), na primjer, vijek trajanja žarulje .

Očekivana vrijednost - numerička karakteristika SW, približno jednak srednjoj vrijednosti SW:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 Zakon raspodjele SW

Podliježu li fenomeni koji su po prirodi slučajni ikakvim zakonima? Da, ali ti se zakoni razlikuju od fizikalnih zakona na koje smo navikli. Vrijednosti SW ne mogu se predvidjeti čak ni pod poznatim eksperimentalnim uvjetima, možemo samo naznačiti vjerojatnosti da će SW poprimiti jednu ili drugu vrijednost. Ali poznavajući distribuciju vjerojatnosti SW-a, možemo izvući zaključke o događajima u kojima te slučajne varijable sudjeluju. Istina, i ti će zaključci biti vjerojatnosne prirode.

Neka je neki SW diskretan, tj. može poprimiti samo fiksne vrijednosti X i . U ovom slučaju, niz vjerojatnosti P(X i) za sve (i=1…n) dopuštene vrijednosti ove veličine naziva se njezinim zakonom raspodjele.

Zakon raspodjele SW je relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti SW i vjerojatnosti s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira SW.

Prilikom konstruiranja matematičkog modela za testiranje statističke hipoteze potrebno je uvesti matematičku pretpostavku o zakonu raspodjele SW (parametarski način izgradnje modela).

Neparametarski pristup opisu matematičkog modela (SW nema parametarski zakon raspodjele) manje je točan, ali ima širi opseg.

Na isti način kao i za vjerojatnost slučajnog događaja, postoje samo dva načina da se ona pronađe za CV zakon distribucije. Ili ćemo izgraditi shemu slučajnog događaja i pronaći analitički izraz (formulu) za izračun vjerojatnosti (možda je to netko već učinio ili će to učiniti prije vas!), ili ćemo morati koristiti eksperiment i na temelju učestalosti opažanja, napraviti neke pretpostavke (postaviti hipoteze) o zakonitosti raspodjele.

Naravno, za svaku od "klasičnih" distribucija taj se posao već dugo radi - široko su poznate i vrlo često korištene u primijenjenoj statistici binomna i polinomna distribucija, geometrijska i hipergeometrijska distribucija, Pascalova i Poissonova distribucija, i mnogi drugi.

Za gotovo sve klasične distribucije odmah su konstruirane i objavljene posebne statističke tablice, koje su se usavršavale kako je točnost izračuna rasla. Bez korištenja mnogih svezaka ovih tablica, bez učenja pravila njihove uporabe, praktična uporaba statistike bila je nemoguća posljednja dva stoljeća.

Danas se situacija promijenila - nema potrebe za pohranjivanjem podataka o izračunu pomoću formula (bez obzira koliko komplicirane bile!), Vrijeme korištenja zakona distribucije za vježbu smanjeno je na minute, pa čak i sekunde. Već sada postoji dovoljan broj raznih paketa primijenjenih računalnih programa za te namjene.

Među svim distribucijama vjerojatnosti postoje one koje se najčešće koriste u praksi. Ove distribucije su detaljno proučavane i njihova svojstva su dobro poznata. Mnoge od ovih distribucija čine temelj čitavih područja znanja, kao što su teorija čekanja u redu, teorija pouzdanosti, kontrola kvalitete, teorija igara itd.

2.3 Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija)

Javlja se u onim slučajevima kada se postavlja pitanje: koliko se puta događa neki događaj u nizu određenog broja neovisnih opažanja (eksperimenata) izvedenih pod istim uvjetima.

Radi praktičnosti i jasnoće, pretpostavit ćemo da znamo vrijednost p - vjerojatnost da će posjetitelj koji ulazi u trgovinu biti kupac i (1 - p) = q - vjerojatnost da posjetitelj koji ulazi u trgovinu neće biti kupac.

Ako je X broj kupaca od ukupno n posjetitelja, tada je vjerojatnost da među n posjetitelja bude k kupaca jednaka

P(X= k) = , gdje je k=0,1,…n (1)

Formula (1) naziva se Bernoullijeva formula. Na veliki brojevi testovi binomne distribucije teže normalnoj.

2.4 Poissonova distribucija

Igra važnu ulogu u nizu pitanja u fizici, teoriji komunikacije, teoriji pouzdanosti, teoriji čekanja itd. Svugdje gdje se tijekom određenog vremena može dogoditi slučajan broj nekih događaja (radioaktivni raspadi, telefonski pozivi, kvarovi opreme, nesreće itd.).

Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj se pojavljuje Poissonova distribucija. Neka se neki događaji (kupnje u trgovini) dogode u nasumično vrijeme. Odredimo broj pojavljivanja takvih događaja u vremenskom intervalu od 0 do T.

Slučajni broj događaja koji su se dogodili u vremenu od 0 do T raspoređuje se prema Poissonovom zakonu s parametrom l=aT, gdje je a>0 parametar zadatka koji odražava prosječnu učestalost događaja. Vjerojatnost k kupnji u velikom vremenskom intervalu (na primjer, dan) bit će

P(Z=k) =

(2)

2.5 Normalna (Gaussova) distribucija

Središnje mjesto u teoriji i praksi probabilističko-statističkih istraživanja zauzima normalna (Gaussova) razdioba. Kao kontinuiranu aproksimaciju binomne distribucije prvi ju je razmatrao A. De Moivre 1733. godine. Nakon nekog vremena normalnu distribuciju ponovno su otkrili i proučavali K. Gauss (1809.) i P. Laplace, koji su došli do normale funkcija u vezi s radom na teoriji observation errors.

Kontinuirana slučajna varijabla x nazvao raspoređeni prema normalnom zakonu, ako je njegova gustoća distribucije jednaka

gdje

poklapa se s matematičkim očekivanjem X:
=M(X), parametar s podudara se sa standardnom devijacijom X: s =s(X). Graf funkcije normalne distribucije, kao što se može vidjeti sa slike, ima oblik kupolaste krivulje, koja se naziva Gaussova, maksimalna točka ima koordinate (a;

Ova krivulja pri μ=0, σ=1 dobila je status standarda, zove se jedinična normalna krivulja, odnosno sve prikupljene podatke nastoji se transformirati tako da njihova distribucijska krivulja bude što bliža ovoj standardnoj krivulji .

Normalizirana krivulja je izmišljena za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti, ali se u praksi pokazalo da ona savršeno aproksimira distribuciju frekvencija s velikim brojem opažanja za mnoge varijable. Može se pretpostaviti da se bez materijalnih ograničenja broja objekata i vremena pokusa statistička studija svodi na normalnu krivulju.

2.6 Jednolika raspodjela

Uniformna distribucija vjerojatnosti je najjednostavnija i može biti diskretna ili kontinuirana. Diskretna jednolika raspodjela- ovo je takva distribucija za koju je vjerojatnost svake od vrijednosti CB ista, to jest:

gdje je N broj mogućih SW vrijednosti.

Distribucija vjerojatnosti kontinuiranog CB X, uzimajući sve svoje vrijednosti iz segmenta [a; b] naziva se uniformnom ako je njegova gustoća vjerojatnosti na ovom segmentu konstantna, a izvan nje jednaka nuli:

(5)

2.7 Studentova raspodjela

Ova raspodjela je povezana s normalnom raspodjelom. Ako su RV x 1 , x 2 , … x n neovisni, a svaki od njih ima standardnu ​​normalnu distribuciju N(0,1), tada RV ima distribuciju tzv. distribucija Student:

Mnogi se, suočeni s pojmom "teorije vjerojatnosti", uplaše, misleći da je to nešto neodoljivo, vrlo složeno. Ali zapravo nije sve tako tragično. Danas ćemo razmotriti osnovni koncept teorije vjerojatnosti, naučiti kako riješiti probleme koristeći konkretne primjere.

Znanost

Što proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Ona bilježi uzorke i veličine. Znanstvenici su se za ovu problematiku prvi put zainteresirali još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni pojam teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili opažanjem. Ali što je iskustvo? Drugi temeljni koncept teorije vjerojatnosti. Znači da ovakav splet okolnosti nije nastao slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je jednostavno svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na ono što se događa.

Razvoj događaja

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi oni spadaju u sljedeće kategorije:

• Pouzdan.
• Nemoguće.
• Slučajno.

Bez obzira na vrstu događaja koji se promatraju ili stvaraju tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Nudimo da se upoznate sa svakom od vrsta zasebno.

Vjerodostojan događaj

To je okolnost pred kojom je poduzet potreban niz mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Ovom zakonu podliježu i fizika, i kemija, i ekonomija, i viša matematika. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao što je određeni događaj. Evo nekoliko primjera:

• Radimo i primamo naknadu u obliku plaće.
• Dobro smo položili ispite, prošli na natječaju, za to dobivamo nagradu u vidu upisa u obrazovna ustanova.
• Novac smo uložili u banku, ako treba, vratit ćemo ga.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, onda ćemo sigurno dobiti očekivani rezultat.

Nemogući događaji

Sada ćemo razmotriti elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo prijeći na objašnjenje sljedeće vrste događaja, naime nemogućeg. Za početak ćemo odrediti najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Nemoguće je odstupiti od ove formulacije pri rješavanju problema. Da pojasnimo, evo primjera takvih događaja:

• Voda se smrzavala na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Nedostatak električne energije ni na koji način ne utječe na proizvodnju (jednako nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Ne treba navoditi više primjera, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi tijekom iskustva ni pod kojim okolnostima.

slučajni događaji

Prilikom proučavanja elemenata posebnu pozornost treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može ili ne mora dogoditi. Osim toga, test se može ponavljati neograničeni broj puta. Istaknuti primjeri su:

• Bacanje novčića je iskustvo, ili test, udarac glavom je događaj.
• Izvlačenje lopte na slijepo iz vreće je test, uhvaćena crvena lopta je događaj i tako dalje.

Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Kako bi se sažeto i sistematiziralo stečeno znanje o događajima, dana je tablica. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih.

Zakoni

Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost događanja događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:

• Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Pri proračunu mogućnosti kompleksa može se koristiti kompleks jednostavnih događaja da bi se rezultat postigao na lakši i brži način. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju uz pomoć nekih teorema. Počnimo s prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

• Niz slučajnih varijabli je konvergentan u vjerojatnosti.
• Skoro nemoguće.
• RMS konvergencija.
• Konvergencija distribucije.

Dakle, u hodu je vrlo teško doći do dna. Evo nekoliko definicija koje će vam pomoći da razumijete ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se zove konvergentan u vjerojatnosti, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizak jedinici.

Prijeđimo na sljedeća vrsta,skoro sigurno. Za niz se kaže da konvergira skoro sigurno slučajnoj varijabli pri čemu n teži beskonačnosti, a P teži vrijednosti bliskoj jedinici.

Sljedeća vrsta je RMS konvergencija. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektora slučajni procesi svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.

Ostaje posljednja vrsta, ukratko je analizirajmo kako bismo izravno prešli na rješavanje problema. Distribucijska konvergencija ima još jedno ime - "slaba", u nastavku ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.

Obećanje ćemo svakako ispuniti: slaba konvergencija se od svega navedenog razlikuje po tome što slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo pomoću distribucijskih funkcija.

Zakon velikih brojeva

Izvrsni pomoćnici u dokazivanju ovog zakona bit će teoremi teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Čebiševljeva nejednakost.
• Čebiševljev teorem.
• Generalizirani Čebiševljev teorem.
• Markovljev teorem.

Ako uzmemo u obzir sve te teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Pozivamo vas da to učinite upravo sada. Ali prije toga, razmotrimo aksiome teorije vjerojatnosti, oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.

Aksiomi

Prvog smo već upoznali kada smo pričali o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Dali smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzijusa.

Drugi je sljedeći: određeni događaj se događa s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada pokažimo kako to napisati matematičkim jezikom: P(B)=1.

Treće: Slučajni događaj se može ili ne mora dogoditi, ali mogućnost se uvijek kreće od nula do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veća je šansa; ako se vrijednost približava nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Zapišimo to matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dvaju događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Matematičkim jezikom pišemo: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja se lako pamte. Pokušajmo riješiti neke probleme, na temelju već stečenog znanja.

Listić lutrije

Za početak, razmotrite najjednostavniji primjer - lutriju. Zamislite da ste kupili jednu srećku za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno tisuću ulaznica sudjeluje u cirkulaciji, od kojih jedna ima nagradu od pet stotina rubalja, deset od sto rubalja, pedeset od dvadeset rubalja i sto od pet. Problemi u teoriji vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnosti sreće. Pogledajmo zajedno rješenje gornjeg problema.

Ako slovom A označimo dobitak od pet stotina rubalja, tada će vjerojatnost dobivanja A biti 0,001. Kako smo ga dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" listića s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti jednaka 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)

C - dobitak je jednak dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerojatnost, ona je jednaka 0,05.

Preostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od onog navedenog u uvjetima. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost da dobijete najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost nastanka ovog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim koracima. Ostaje samo dodati potrebne podatke, u odgovoru dobivamo 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.

špil karata

Problemi u teoriji vjerojatnosti također su složeniji, na primjer, uzmite sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte u nizu bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.

Za početak, nalazimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to dijelimo četiri sa trideset šest. Stavili su ga na stranu. Izvadimo drugu kartu, to će biti as s vjerojatnošću tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, zanima nas je li to bio as ili ne. Slijedi da događaj B ovisi o događaju A.

Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost istodobne provedbe, odnosno množimo A i B. Njihov umnožak nalazimo na sljedeći način: množimo vjerojatnost jednog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog, koju izračunavamo, pretpostavljajući da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa s prvom kartom.

Kako bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunato na sljedeći način: P(B/A).

Nastavimo s rješenjem našeg problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) ili P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Vjerojatnost je (4/36) * ((3/35)/(4/36). Izračunajte zaokruživanjem na stotinke. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Vjerojatnost da će izvući dva asa za redom je devet stotinki. Vrijednost je vrlo mala, iz ovoga slijedi da je vjerojatnost nastanka događaja izuzetno mala.

Zaboravljeni broj

Predlažemo da analiziramo još nekoliko opcija za zadatke koje proučava teorija vjerojatnosti. Već ste vidjeli primjere rješavanja nekih od njih u ovom članku, pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio posljednju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali budući da je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom. Moramo izračunati vjerojatnost da neće nazvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.

Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da zadnja znamenka može biti od nula do devet, odnosno ukupno ima deset vrijednosti. Vjerojatnost da dobijete pravu je 1/10.

Zatim, moramo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak dobro pogodio i odmah pogodio točan rezultat, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv je promašaj, a drugi je na meti. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, kao rezultat također dobivamo 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv pokazali su se na krivoj adresi, tek je s trećeg dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: množimo 9/10 s 8/9 i s 1/8, kao rezultat dobivamo 1/10. Prema uvjetu zadatka, druge opcije nas ne zanimaju, pa nam preostaje da zbrojimo rezultate, kao rezultat imamo 3/10. Odgovor: Vjerojatnost da dječak ne nazove više od tri puta je 0,3.

Kartice s brojevima

Pred vama je devet karata od kojih svaka sadrži broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito promiješali. Morate izračunati vjerojatnost da

• pojavit će se paran broj;
• dvoznamenkasti.

Prije nego prijeđemo na rješenje, uvjetujmo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Odredite vjerojatnost da je broj paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, to će biti naše m, ukupno ima devet opcija, odnosno m = 9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9.

Razmatramo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može uopće biti uspješnih ishoda, odnosno m je jednako nula. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula.

probability event kombinatorička statistika

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava. Slučajne pojave su pojave s neizvjesnim ishodom koje se javljaju kada se određeni skup uvjeta opetovano ponavlja. Formiranje i razvoj teorije vjerojatnosti povezuje se s imenima velikih znanstvenika kao što su: Cardano, Pascal, Fermat, Bernoulli, Gauss, Chebyshev, Kalmogorov i mnogi drugi. Obrasci slučajnih pojava prvi put su otkriveni u 16. - 17. stoljeću. na primjeru kockanja, slično igri s kockom. Zakoni rađanja i smrti također su poznati već jako dugo. Na primjer, je li poznato da je vjerojatnost da novorođenče bude dječak? 0,515. U 19. i 20.st velik broj uzoraka otkriven je u fizici, kemiji, biologiji itd. Trenutno se metode teorije vjerojatnosti široko koriste u raznim granama prirodnih znanosti i tehnologije: u teoriji pouzdanosti, teoriji čekanja, teorijskoj fizici, geodeziji, astronomiji, streljaštvu teoriji, teoriji opažačkih pogrešaka, teoriji automatskog upravljanja, općoj teoriji komunikacije te u mnogim drugim teorijskim i primijenjenim znanostima. Teorija vjerojatnosti služi i za potkrepljenje matematičke i primijenjene statistike, koja se, pak, koristi u planiranju i organizaciji proizvodnje, analizi tehnoloških procesa, preventivnoj i prijemnoj kontroli kvalitete proizvoda te u mnoge druge svrhe. Posljednjih godina metode teorije vjerojatnosti sve više prodiru u razna područja znanosti i tehnologije pridonoseći njihovom napretku.

suđenje. Događaj. Klasifikacija događaja

Test je ponovljena reprodukcija istog skupa uvjeta pod kojima je promatranje izvršeno. Kvalitativni rezultat testa je događaj. Primjer 1: Urna sadrži kuglice u boji. Iz urne se uzima jedna kuglica za sreću. Test - vađenje kuglice iz urne; Događaj je pojava kuglice određene boje. A.2: Skup međusobno isključivih ishoda jednog pokusa naziva se skup elementarnih događaja ili elementarnih ishoda. Primjer 2: Kocka se baca jednom. Test - bacanje kosti; Događaj - gubitak određenog broja bodova. Skup elementarnih ishoda je (1,2,3,4,5,6). Događaji se označavaju velikim slovima latinične abecede: A 1, A 2, ..., A, B, C, ... Promatrane događaje (pojave) možemo podijeliti u tri vrste: pouzdane, nemoguće, slučajne. O. 3: Događaj se naziva sigurnim ako će se, kao rezultat testa, sigurno dogoditi. A4: Za događaj se kaže da je nemoguć ako se, kao rezultat testa, nikada neće dogoditi. A.5: Događaj se naziva slučajnim ako se, kao rezultat testa, može dogoditi ili ne dogoditi. Primjer 3: Test - lopta je bačena uvis. Događaj A = (loptica će pasti) - pouzdano; Događaj B=(lopta će visjeti u zraku) je nemoguć; Događaj C=(lopta će pasti na glavu bacača) je slučajan. Slučajne događaje (pojave) možemo podijeliti na sljedeće vrste: zajedničke, nekompatibilne, suprotne, jednako moguće. O. 6: Dva događaja se nazivaju zajedničkim ako, u jednom pokušaju, pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. O. 7: Za dva događaja se kaže da su nekompatibilna ako, u jednom pokušaju, pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Primjer 4: Novčić je bačen dva puta. Događaj A - (Amblem je ispao prvi put); Događaj B - (Ispao drugi grb); Događaj C - (Prvi put glave). Događaji A i B su zajednički, A i C su nekompatibilni. O. 8: Nekoliko događaja čini potpunu skupinu u danom pokusu ako su u paru nekompatibilni i kao rezultat pokusa jedan od tih događaja će se sigurno pojaviti. Primjer 5: Dječak baca novčić u automat. Događaj A = (dječak pobjeđuje); Događaj B=(dječak neće pobijediti); A i B - čine potpunu skupinu događaja. A.9: Dva nekompatibilna događaja koji čine potpunu skupinu nazivaju se suprotnim. Događaj suprotan događaju A je označen. Primjer 6. Ispaljen je jedan hitac u metu. Događaj A - pogodak; Događaj je promašen.

Klasifikacija događaja na moguće, vjerojatne i slučajne. Pojmovi jednostavnih i složenih elementarnih događaja. Operacije nad događajima. Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja i njezina svojstva. Elementi kombinatorike u teoriji vjerojatnosti. geometrijska vjerojatnost. Aksiomi teorije vjerojatnosti.

Klasifikacija događaja

Jedan od temeljnih pojmova teorije vjerojatnosti je pojam događaja. Pod, ispod događaj razumjeti bilo koju činjenicu koja se može pojaviti kao rezultat iskustva ili kušnje. Pod, ispod iskustvo, ili test, shvaća se kao provedba određenog skupa uvjeta.

Primjeri događaja:

- pogađanje mete pri pucanju iz puške (doživljaj - produkt hica; događaj - pogađanje mete);
- gubitak dvaju grbova pri trostrukom bacanju novčića (doživljaj - trostruko bacanje novčića; događaj - gubitak dvaju grbova);
- pojava pogreške mjerenja unutar zadanih granica pri mjerenju udaljenosti do cilja (pokus - mjerenje udaljenosti; događaj - pogreška mjerenja).

Moglo bi se navesti bezbroj takvih primjera. Događaji su označeni velikim slovima latinične abecede itd.

razlikovati zajednički događaji i nekompatibilan. Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nekompatibilnim. Na primjer, bacaju se dvije kocke. Događaj je bacanje tri boda na prvoj kockici, događaj je bacanje tri boda na drugoj kockici. i - zajednička događanja. Neka trgovina primi seriju cipela istog stila i veličine, ali različite boje. Događaj - nasumično uzeta kutija bit će s crnim cipelama, događaj - kutija će biti sa smeđim cipelama i - nekompatibilni događaji.

Događaj se zove pouzdan ako se nužno javlja u uvjetima danog eksperimenta.

Kaže se da je događaj nemoguć ako se ne može dogoditi pod uvjetima danog iskustva. Na primjer, slučaj da se standardni dio uzme iz serije standardnih dijelova je siguran, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće, ili slučajan, ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora pojaviti. Primjer slučajnog događaja je otkrivanje nedostataka proizvoda tijekom kontrole serije gotovih proizvoda, odstupanja između veličine prerađenog proizvoda i zadanog, kvara jedne od veza automatiziranog sustava upravljanja.

Događaji se zovu jednako moguće ako, pod uvjetima testa, nijedan od ovih događaja nije objektivno vjerojatniji od ostalih. Na primjer, pretpostavimo da trgovinu opskrbljuje žaruljama (i to u jednakim količinama) nekoliko proizvođača. Događaji koji se sastoje u kupnji žarulje bilo koje od ovih tvornica jednako su vjerojatni.

Važan koncept je puna grupa događaja. Nekoliko događaja u određenom eksperimentu čini potpunu skupinu ako se barem jedan od njih nužno pojavi kao rezultat eksperimenta. Na primjer, u urni se nalazi deset kuglica, od kojih je šest crvenih i četiri bijele, od kojih je pet numerirano. - izgled crvene kuglice s jednim crtežom, - izgled bijele kuglice, - izgled kuglice s brojem. Događaji čine cjelovitu skupinu zajedničkih događaja.

Uvedimo pojam suprotnog ili dodatnog događaja. Pod, ispod suprotan događaj je događaj koji se nužno mora dogoditi ako se neki događaj ne dogodi. Suprotni događaji su nespojivi i jedini mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja. Na primjer, ako se serija proizvedenih proizvoda sastoji od dobrih i neispravnih proizvoda, tada kada se jedan proizvod ukloni, može se pokazati da je ili dobar događaj ili neispravan događaj.

Operacije nad događajima

Pri razvoju aparature i metodologije za proučavanje slučajnih događaja u teoriji vjerojatnosti vrlo je važan koncept zbroja i umnoška događaja.

Zbroj ili unija nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od tih događaja.

Zbroj događaja prikazan je na sljedeći način:

Na primjer, ako je događaj pogodak u metu tijekom prvog hica, događaj - kod drugog, onda je događaj pogodak u metu općenito, bez obzira na to koji je hitac - prvi, drugi ili oba zajedno.

Proizvod ili presjek nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih tih događaja.

Umnožak događaja je označen

Na primjer, ako je događaj pogodak u metu kod prvog hica, a događaj kod drugog, tada je događaj da je meta pogođena kod oba hica.

Koncepti zbroja i umnoška događaja imaju jasno geometrijsko tumačenje. Neka se događaj sastoji u pogađanju točke u području , događaj - u pogađanju područja , tada se događaj sastoji u pogađanju točke u području osjenčanom na sl. 1, i događaj - kada točka pogodi područje osjenčano na sl. 2.

Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja

Za kvantitativnu usporedbu događaja prema stupnju mogućnosti njihova događanja uvodi se brojčana mjera koja se naziva vjerojatnost događaja.

Vjerojatnost događaja je broj koji je izraz mjere objektivne mogućnosti da se događaj dogodi.

Vjerojatnost događaja označit ćemo simbolom .

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja za njega povoljnih slučajeva, od ukupnog broja jedinstvenih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju tj.

Ovo je klasična definicija vjerojatnosti. Dakle, da bi se pronašla vjerojatnost događaja, potrebno je, nakon razmatranja različitih ishoda testa, pronaći skup jedinih mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupni broj, broj slučajeva koji pogoduju ovom događaja, a zatim izvršite izračun prema formuli (1.1).

Iz formule (1.1) slijedi da je vjerojatnost događaja nenegativan broj i može varirati od nule do jedan, ovisno o udjelu povoljnog broja slučajeva u ukupnom broju slučajeva:

Svojstva vjerojatnosti

Svojstvo 1. Ako su svi slučajevi povoljni za određeni događaj, tada će se taj događaj sigurno dogoditi. Stoga je događaj koji se razmatra pouzdan, a vjerojatnost njegovog pojavljivanja je , budući da je u ovom slučaju

Svojstvo 2. Ako ne postoji niti jedan povoljan slučaj za dati događaj, tada se taj događaj ne može dogoditi kao rezultat iskustva. Dakle, događaj koji se razmatra je nemoguć, a vjerojatnost njegovog pojavljivanja je , budući da je u ovom slučaju:

Svojstvo 3. Vjerojatnost pojavljivanja događaja koji čine potpunu grupu jednaka je jedinici.

Svojstvo 4. Vjerojatnost događanja suprotnog događaja definirana je na isti način kao i vjerojatnost događanja događaja:

gdje je broj slučajeva koji pogoduju pojavi suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost da se dogodi suprotni događaj jednaka je razlici između jedinice i vjerojatnosti da se događaj dogodi:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je u tome što se pomoću nje vjerojatnost događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na temelju logičkog zaključivanja.

Primjer 1. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu znamenku i nazvao ju je nasumično. Odredite vjerojatnost da je željena znamenka birana.

Riješenje. Označimo događaj, koji se sastoji u činjenici da je traženi broj biran. Pretplatnik može birati bilo koju od 10 znamenki, tako da je ukupan broj mogućih ishoda 10. Ovi ishodi su jedini mogući (jedna od znamenki je obavezna) i jednako mogući (znamenka se bira nasumično). Samo jedan ishod daje prednost događaju (traženi broj je samo jedan). Željena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju događaju i broja svih ishoda:

Elementi kombinatorike

U teoriji vjerojatnosti često se koriste postavljanja, permutacije i kombinacije. Ako je dan set, onda plasman (kombinacija) od elemenata po je bilo koji uređeni (neuređeni) podskup elemenata skupa . Kada se pozove plasman permutacija od elemenata.

Neka je, na primjer, dan skup . Raspored tri elementa ovog skupa, dva po dva, jesu , , , , , ; kombinacije - , , .

Dvije kombinacije se razlikuju po najmanje jednom elementu, a plasmani se razlikuju ili u samim elementima ili u njihovom redoslijedu. Broj kombinacija elemenata po izračunava se formulom

je broj postavljanja elemenata prema ; je broj permutacija elemenata.

Primjer 2. U seriji od 10 dijelova nalazi se 7 standardnih dijelova. Odredite vjerojatnost da se među 6 slučajno odabranih dijelova nađu točno 4 standardna.

Riješenje. Ukupan broj mogućih ishoda testa jednak je broju načina na koje se iz 10 može izdvojiti 6 dijelova, tj. jednak je broju kombinacija 10 elemenata po 6. Broj ishoda koji pogoduju događaju (među 6 uzetih dijelova točno 4 standardna) određuje se na sljedeći način: 4 standardna dijela mogu se uzeti iz 7 standardnih dijelova na različite načine; dok ostali detalji moraju biti nestandardni; možete uzeti 2 nestandardna dijela iz nestandardnih dijelova na različite načine. Stoga je broj povoljnih ishoda . Početna vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju događaju i broja svih ishoda:

Statistička definicija vjerojatnosti

Formula (1.1) koristi se za izravno izračunavanje vjerojatnosti događaja samo kada se iskustvo svede na shemu slučajeva. U praksi je klasična definicija vjerojatnosti često neprimjenjiva iz dva razloga: prvo, klasična definicija vjerojatnosti pretpostavlja da ukupni broj pojavljivanja mora biti konačan. Zapravo, često nije ograničen. Drugo, ishode iskustva često je nemoguće prikazati u obliku jednako mogućih i nekompatibilnih događaja.

Učestalost pojavljivanja događaja u ponovljenim eksperimentima nastoji se stabilizirati oko neke konstantne vrijednosti. Dakle, uz promatrani događaj moguće je povezati određenu konstantnu vrijednost oko koje se grupiraju frekvencije i koja je karakteristika objektivne veze između skupa uvjeta u kojima se pokusi izvode i događaja.

Vjerojatnost slučajnog događaja je broj oko kojeg se grupiraju učestalosti ovog događaja kako se broj pokusa povećava.

Ova definicija vjerojatnosti naziva se statistički.

Prednost statističke metode određivanja vjerojatnosti je u tome što se temelji na stvarnom eksperimentu. Međutim, njegov značajan nedostatak je što je za određivanje vjerojatnosti potrebno izvesti veliki broj eksperimenata koji su vrlo često povezani s materijalnim troškovima. Statistička definicija vjerojatnosti događaja, iako prilično potpuno otkriva sadržaj ovog pojma, ali ne omogućuje stvarno izračunavanje vjerojatnosti.

Klasična definicija vjerojatnosti razmatra potpunu skupinu konačnog broja jednako vjerojatnih događaja. U praksi je vrlo često broj mogućih ishoda suđenja beskonačan. U takvim slučajevima ne vrijedi klasična definicija vjerojatnosti. Međutim, ponekad u takvim slučajevima možete koristiti drugu metodu izračuna vjerojatnosti. Radi određenosti, ograničit ćemo se na dvodimenzionalni slučaj.

Neka je na ravnini zadana neka površina površine koja sadrži drugu površinu (slika 3). Točka se nasumično baca u područje. Kolika je vjerojatnost da će točka pasti u područje? Pretpostavlja se da nasumično bačena točka može pogoditi bilo koju točku u području, a vjerojatnost ulaska u bilo koji dio područja proporcionalna je površini dijela i ne ovisi o njegovom položaju i obliku. U ovom slučaju, vjerojatnost pogađanja područja pri nasumičnom bacanju točke u područje

Dakle, u općem slučaju, ako mogućnost slučajnog pojavljivanja točke unutar određenog područja na ravnoj liniji, ravnini ili u prostoru nije određena položajem tog područja i njegovim granicama, već samo njegovom veličinom, tj. duljina, površina ili volumen, dakle vjerojatnost da slučajna točka padne unutar određenog područja definira se kao omjer veličine tog područja prema veličini cijelog područja u kojem se ta točka može pojaviti. Ovo je geometrijska definicija vjerojatnosti.

Primjer 3. Okrugla meta rotira konstantnom kutnom brzinom. Peti dio mete obojen je zeleno, a ostatak bijelo (sl. 4). Puca se u metu tako da je pogađanje mete pouzdan događaj. Potrebno je odrediti vjerojatnost pogađanja ciljanog sektora, obojenog zelenom bojom.

Riješenje. Označimo - "pucanj je došao do sektora obojenog zelenom bojom". Zatim . Vjerojatnost se dobiva kao omjer površine zeleno obojenog dijela mete prema cijeloj površini mete, budući da je pogađanje bilo kojeg dijela mete jednako moguće.

Aksiomi teorije vjerojatnosti

Iz statističke definicije vjerojatnosti slučajnog događaja proizlazi da je vjerojatnost događaja broj oko kojeg se grupiraju eksperimentalno opažene učestalosti tog događaja. Stoga se aksiomi teorije vjerojatnosti uvode na način da vjerojatnost događaja ima osnovna svojstva učestalosti.

Aksiom 1. Svakom događaju odgovara određeni broj koji zadovoljava uvjet i naziva se njegova vjerojatnost.