Modul je jedna od onih stvari za koje se čini da su svi čuli, ali zapravo ih nitko zapravo ne razumije. Stoga će danas biti velika lekcija posvećena rješavanju jednadžbi s modulima.
Odmah ću reći: lekcija neće biti teška. I općenito, moduli su relativno jednostavna tema. “Da, naravno, nije komplicirano! Oduševljava me!” – reći će mnogi studenti, ali svi ti lomovi mozga nastaju zbog činjenice da većina ljudi nema znanje u glavi, već nekakvo sranje. A cilj ove lekcije je pretvoriti gluposti u znanje. :)
Malo teorije
Pa, idemo. Počnimo s najvažnijom stvari: što je modul? Dopustite mi da vas podsjetim da je modul broja jednostavno isti broj, ali uzet bez znaka minus. To je, na primjer, $\left| -5 \desno|=5$. Ili $\lijevo| -129,5 \desno|=129,5 USD.
Je li tako jednostavno? Da, jednostavno. Kolika je onda apsolutna vrijednost pozitivnog broja? Ovdje je još jednostavnije: modul pozitivnog broja jednak je samom ovom broju: $\left| 5 \desno|=5$; $\lijevo| 129,5 \right|=129,5 $, itd.
Ispada zanimljiva stvar: različiti brojevi mogu imati isti modul. Na primjer: $\lijevo| -5 \desno|=\lijevo| 5 \desno|=5$; $\lijevo| -129,5 \desno|=\lijevo| 129,5\desno|=129,5 USD. Lako je vidjeti kakvi su to brojevi čiji su moduli isti: ti su brojevi suprotni. Dakle, za sebe primjećujemo da su moduli suprotnih brojeva jednaki:
\[\lijevo| -a \desno|=\lijevo| a\desno|\]
Još jedna važna činjenica: modul nikada nije negativan. Koji god broj uzmemo - bio on pozitivan ili negativan - njegov modul uvijek se pokaže pozitivnim (ili, u ekstremnim slučajevima, nula). Zbog toga se modul često naziva i apsolutna vrijednost broja.
Dodatno, spojimo li definiciju modula za pozitivan i negativan broj, dobivamo globalnu definiciju modula za sve brojeve. Naime: modul broja jednak je samom broju ako je broj pozitivan (ili nula), odnosno jednak suprotnom broju ako je broj negativan. Ovo možete napisati kao formulu:
Postoji i nulti modul, ali uvijek postoji jednaka nuli. Osim toga, nula jednina, koji nema suprotnosti.
Stoga, ako razmotrimo funkciju $y=\left| x \right|$ i pokušajte nacrtati njegov graf, dobit ćete nešto poput ovoga:
Graf modula i primjer rješavanja jednadžbe
Iz ove slike je odmah jasno da je $\left| -m \desno|=\lijevo| m \right|$, a graf modula nikada ne pada ispod x-osi. Ali to nije sve: crvena linija označava ravnu liniju $y=a$, koja nam, za pozitivno $a$, daje dva korijena odjednom: $((x)_(1))$ i $((x) _(2)) $, ali o tome ćemo kasnije. :)
Osim čisto algebarska definicija, postoji geometrijski. Recimo da postoje dvije točke na brojevnom pravcu: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. U ovom slučaju, izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je jednostavno udaljenost između navedenih točaka. Ili, ako želite, duljina segmenta koji povezuje ove točke:
Modul je udaljenost između točaka na brojevnom pravcu Ova definicija također implicira da je modul uvijek nenegativan. Ali dosta definicija i teorije - prijeđimo na stvarne jednadžbe. :)
Osnovna formula
U redu, riješili smo definiciju. Ali to ga nije učinilo lakšim. Kako riješiti jednadžbe koje sadrže upravo ovaj modul?
Mirno, samo mirno. Počnimo s najjednostavnijim stvarima. Razmotrite nešto poput ovoga:
\[\lijevo| x\desno|=3\]
Dakle, modul od $x$ je 3. Čemu bi mogao biti jednak $x$? Pa, sudeći po definiciji, sasvim smo zadovoljni s $x=3$. Stvarno:
\[\lijevo| 3\desno|=3\]
Postoje li drugi brojevi? Cap kao da nagovještava da postoji. Na primjer, $x=-3$ je također $\left| -3 \right|=3$, tj. tražena jednakost je zadovoljena.
Pa možda ako tražimo i razmišljamo, nađemo još brojki? Ali da se razumijemo: nema više brojeva. Jednadžba $\lijevo| x \right|=3$ ima samo dva korijena: $x=3$ i $x=-3$.
Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Ispod znaka modula umjesto varijable $x$ neka visi funkcija $f\lijevo(x \desno)$, a umjesto trojke s desne strane stavite proizvoljan broj $a$. Dobivamo jednadžbu:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\]
Pa kako to možemo riješiti? Da vas podsjetim: $f\left(x \right)$ je proizvoljna funkcija, $a$ je bilo koji broj. Oni. Bilo što! Na primjer:
\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\]
\[\lijevo| 10x-5 \desno|=-65\]
Obratimo pozornost na drugu jednadžbu. O njemu možete odmah reći: nema korijena. Zašto? Sve je točno: jer zahtijeva da modul bude jednak negativnom broju, što se nikada ne događa, jer već znamo da je modul uvijek pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula.
Ali s prvom jednadžbom sve je zabavnije. Postoje dvije opcije: ili ispod znaka modula stoji pozitivan izraz, a zatim $\lijevo| 2x+1 \right|=2x+1$, ili je ovaj izraz još uvijek negativan, a zatim $\left| 2x+1 \desno|=-\lijevo(2x+1 \desno)=-2x-1$. U prvom slučaju, naša jednadžba će se prepisati na sljedeći način:
\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\desna strelica 2x+1=5\]
I odjednom se ispostavilo da je submodularni izraz $2x+1$ stvarno pozitivan - jednak je broju 5. To je možemo sigurno riješiti ovu jednadžbu - dobiveni korijen bit će dio odgovora:
Oni posebno nepovjerljivi mogu pokušati zamijeniti pronađeni korijen u izvornu jednadžbu i uvjeriti se da ispod modula doista stoji pozitivan broj.
Sada pogledajmo slučaj negativnog submodularnog izraza:
\[\lijevo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna strelica 2x+1=-5\]
Ups! Opet, sve je jasno: pretpostavili smo da je $2x+1 \lt 0$, a kao rezultat smo dobili da je $2x+1=-5$ - doista, ovaj izraz je manji od nule. Rješavamo dobivenu jednadžbu, a već znamo sigurno da će nam pronađeni korijen odgovarati:
Ukupno smo opet dobili dva odgovora: $x=2$ i $x=3$. Da, pokazalo se da je količina izračuna malo veća nego u vrlo jednostavnoj jednadžbi $\left| x \right|=3$, ali ništa se bitno nije promijenilo. Pa možda postoji nekakav univerzalni algoritam?
Da, takav algoritam postoji. A sada ćemo to analizirati.
Uklanjanje znaka modula
Neka nam je dana jednadžba $\left| f\left(x \right) \right|=a$, a $a\ge 0$ (inače, kao što već znamo, nema korijena). Tada se možete riješiti znaka modula koristeći sljedeće pravilo:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm a\]
Dakle, naša jednadžba s modulom se dijeli na dvije, ali bez modula. To je sve što je tehnologija! Pokušajmo riješiti nekoliko jednadžbi. Počnimo s ovim
\[\lijevo| 5x+4 \desno|=10\desna strelica 5x+4=\pm 10\]
Razmotrimo posebno kada je desno plus deset, a posebno kada je minus. Imamo:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna strelica 5x=-14\desna strelica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]
To je sve! Dobili smo dva korijena: $x=1,2$ i $x=-2,8$. Cijelo rješenje trajalo je doslovno dva retka.
Ok, nema sumnje, pogledajmo nešto malo ozbiljnije:
\[\lijevo| 7-5x\desno|=13\]
Opet otvaramo modul s plusom i minusom:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\desna strelica -5x=-20\desna strelica x=4. \\\end(align)\]
Ponovno nekoliko redaka - i odgovor je spreman! Kao što sam rekao, nema ništa komplicirano u vezi s modulima. Samo trebate zapamtiti nekoliko pravila. Stoga idemo dalje i počinjemo s doista složenijim zadacima.
Slučaj varijable s desne strane
Sada razmotrite ovu jednadžbu:
\[\lijevo| 3x-2 \desno|=2x\]
Ova se jednadžba bitno razlikuje od svih prethodnih. Kako? A činjenica da je desno od znaka jednakosti izraz $2x$ - a ne možemo unaprijed znati je li pozitivan ili negativan.
Što učiniti u ovom slučaju? Prvo, to moramo shvatiti jednom zauvijek ako se desna strana jednadžbe pokaže negativnom, tada jednadžba neće imati korijena- već znamo da modul ne može biti jednak negativnom broju.
I drugo, ako je desni dio i dalje pozitivan (ili jednak nuli), tada možete djelovati na potpuno isti način kao i prije: jednostavno otvorite modul odvojeno sa znakom plus i odvojeno sa znakom minus.
Dakle, formuliramo pravilo za proizvoljne funkcije $f\left(x \right)$ i $g\left(x \right)$:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\Desna strelica \lijevo\( \begin(align)& f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno ), \\& g\lijevo(x \desno)\ge 0. \\\end(align) \desno.\]
U odnosu na našu jednadžbu dobivamo:
\[\lijevo| 3x-2 \right|=2x\desna strelica \lijevo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Pa, izborit ćemo se nekako sa zahtjevom $2x\ge 0$. Na kraju, možemo glupo zamijeniti korijene koje smo dobili iz prve jednadžbe i provjeriti vrijedi li nejednakost ili ne.
Dakle, riješimo samu jednadžbu:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\desna strelica 3x=0\desna strelica x=0. \\\end(align)\]
Pa, koji od ova dva korijena zadovoljava zahtjev $2x\ge 0$? Da oboje! Stoga će odgovor biti dva broja: $x=(4)/(3)\;$ i $x=0$. To je resenje. :)
Sumnjam da se nekima od učenika već počelo dosađivati? Pa, pogledajmo još složeniju jednadžbu:
\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]
Iako izgleda zlo, zapravo je to još uvijek ista jednadžba oblika “modul jednako funkcija”:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\]
I rješava se na potpuno isti način:
\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \lijevo\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \lijevo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \desno.\]
Kasnije ćemo se baviti nejednakošću - nekako je previše zla (zapravo je jednostavna, ali je nećemo riješiti). Za sada je bolje pozabaviti se rezultirajućim jednadžbama. Razmotrimo prvi slučaj - to je kada se modul proširuje znakom plus:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Pa, nije pametno da trebate skupiti sve s lijeve strane, donijeti slične i vidjeti što će se dogoditi. I evo što se događa:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]
Uzimamo zajednički faktor $((x)^(2))$ iz zagrada i dobivamo vrlo jednostavnu jednadžbu:
\[((x)^(2))\lijevo(2x-3 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \desno.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Ovdje smo iskoristili važno svojstvo umnoška, radi kojeg smo rastavili izvorni polinom na faktore: umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.
Pozabavimo se sada drugom jednadžbom na potpuno isti način, koja se dobiva proširenjem modula s predznakom minus:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\lijevo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\lijevo(-3x+2 \desno)=0. \\\end(align)\]
Opet ista stvar: umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Imamo:
\[\lijevo[ \početak(poravnaj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\kraj(poravnaj) \desno.\]
Pa, imamo tri korijena: $x=0$, $x=1,5$ i $x=(2)/(3)\;$. Pa, što će od ovog skupa ući u konačni odgovor? Da biste to učinili, zapamtite da imamo dodatno ograničenje u obliku nejednakosti:
Kako uzeti u obzir ovaj zahtjev? Zamijenimo pronađene korijene i provjerimo vrijedi li nejednakost za ove $x$ ili ne. Imamo:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna strelica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]
Dakle, korijen $x=1,5$ nam ne odgovara. A kao odgovor bit će samo dva korijena:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Kao što vidite, ni u ovom slučaju nije bilo ništa komplicirano - jednadžbe s modulima uvijek se rješavaju pomoću algoritma. Samo trebate dobro razumjeti polinome i nejednakosti. Stoga prelazimo na složenije zadatke - već neće biti jedan, već dva modula.
Jednadžbe s dva modula
Do sada smo proučavali samo najjednostavnije jednadžbe - postojao je jedan modul i nešto drugo. To “još nešto” poslali smo u drugi dio nejednadžbe, dalje od modula, da bi se na kraju sve svelo na jednadžbu oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$ ili još jednostavnije $\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a$.
Ali Dječji vrtić završio - vrijeme je da razmislite o nečem ozbiljnijem. Počnimo s ovakvim jednadžbama:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\]
Ovo je jednadžba oblika “modul jednak modulu" Temeljno važna točka je odsutnost drugih pojmova i čimbenika: samo jedan modul s lijeve strane, još jedan modul s desne strane - i ništa više.
Netko će sad pomisliti da je takve jednadžbe teže riješiti od onoga što smo do sada proučavali. Ali ne: te je jednadžbe još lakše riješiti. Evo formule:
\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno)\]
Svi! Submodularne izraze jednostavno izjednačavamo stavljanjem znaka plus ili minus ispred jednog od njih. A onda rješavamo dobivene dvije jednadžbe - i korijeni su spremni! Bez dodatnih ograničenja, bez nejednakosti itd. Sve je vrlo jednostavno.
Pokušajmo riješiti ovaj problem:
\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\]
Osnovno Watsone! Proširivanje modula:
\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\desna strelica 2x+3=\pm \lijevo(2x-7 \desno)\]
Razmotrimo svaki slučaj zasebno:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\lijevo(2x-7 \desno)\desna strelica 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]
Prva jednadžba nema korijena. Jer kada je $3=-7$? Na kojim vrijednostima $x$? “Što je dovraga $x$? Jeste li napušeni? Tu uopće nema $x$", kažete. I bit ćeš u pravu. Dobili smo jednakost koja ne ovisi o varijabli $x$, a pritom je jednakost sama po sebi netočna. Zato i nema korijena. :)
S drugom jednadžbom sve je malo zanimljivije, ali i vrlo, vrlo jednostavno:
Kao što vidite, sve je riješeno doslovno u par redaka - nismo ništa drugo ni očekivali od linearne jednadžbe. :)
Kao rezultat, konačni odgovor je: $x=1$.
Pa kako? teško? Naravno da ne. Pokušajmo nešto drugo:
\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]
Opet imamo jednadžbu oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|$. Stoga ga odmah prepisujemo, otkrivajući znak modula:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \lijevo(x-1 \desno)\]
Možda će netko sad pitati: “Hej, kakve gluposti? Zašto se "plus-minus" pojavljuje na desnom izrazu, a ne na lijevom?" Smiri se, sad ću sve objasniti. Zaista, na dobar način, trebali smo prepisati našu jednadžbu na sljedeći način:
Zatim trebate otvoriti zagrade, pomaknuti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti (budući da će jednadžba, očito, biti kvadratna u oba slučaja), a zatim pronaći korijene. Ali morate priznati: kada se "plus-minus" pojavljuje ispred tri člana (pogotovo kada je jedan od tih članova kvadratni izraz), to nekako izgleda kompliciranije od situacije kada se "plus-minus" pojavljuje ispred samo dva člana.
Ali ništa nas ne sprječava da prepišemo izvornu jednadžbu na sljedeći način:
\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\]
Što se dogodilo? Ništa posebno: samo su zamijenili lijevu i desnu stranu. Sitnica koja će nam u konačnici barem malo olakšati život. :)
Općenito, rješavamo ovu jednadžbu, razmatrajući opcije s plusom i minusom:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\lijevo(x-1 \desno)\Desna strelica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]
Prva jednadžba ima korijene $x=3$ i $x=1$. Drugi je općenito točan kvadrat:
\[((x)^(2))-2x+1=((\lijevo(x-1 \desno))^(2))\]
Stoga ima samo jedan korijen: $x=1$. Ali ovaj smo korijen već dobili ranije. Dakle, samo dva broja će ući u konačni odgovor:
\[((x)_(1))=3;\kvad ((x)_(2))=1.\]
Misija izvršena! Možete uzeti pitu s police i pojesti je. Ima ih 2, tvoja je srednja. :)
Važna nota. Prisutnost identičnih korijena za različite opcije proširenje modula znači da su izvorni polinomi faktorizirani, a među tim faktorima sigurno će biti zajednički. Stvarno:
\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\& \lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| \lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x-2 \desno) \desno|. \\\end(align)\]
Jedno od svojstava modula: $\left| a\cdot b \desno|=\lijevo| a \right|\cdot \lijevo| b \right|$ (tj. modul umnoška jednak umnošku modula), tako da se izvorna jednadžba može prepisati na sljedeći način:
\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|\]
Kao što vidite, stvarno imamo zajednički faktor. Sada, ako sakupite sve module s jedne strane, možete izbaciti ovaj faktor iz zagrade:
\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|; \\& \lijevo| x-1 \desno|-\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|=0; \\& \lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo(1-\lijevo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\end(align)\]
Pa, zapamtite da je umnožak jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:
\[\lijevo[ \begin(align)& \lijevo| x-1 \desno|=0, \\& \lijevo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]
Tako je izvorna jednadžba s dva modula svedena na dvije najjednostavnije jednadžbe o kojima smo govorili na samom početku lekcije. Takve se jednadžbe mogu riješiti doslovno u par redaka. :)
Ova se primjedba može činiti nepotrebno složenom i neprimjenjivom u praksi. Međutim, u stvarnosti se možete susresti s mnogo složenijim problemima od onih koje danas promatramo. U njima se moduli mogu kombinirati s polinomima, aritmetičkim korijenima, logaritmima itd. I u takvim situacijama, mogućnost snižavanja ukupnog stupnja jednadžbe izbacivanjem nečega iz zagrada može biti vrlo, vrlo korisna. :)
Sada bih želio pogledati još jednu jednadžbu, koja se na prvi pogled može činiti ludom. Mnogi studenti zapnu na tome, čak i oni koji misle da dobro razumiju module.
Međutim, ovu je jednadžbu još lakše riješiti od one koju smo ranije pogledali. A ako razumijete zašto, dobit ćete još jedan trik za brzo rješavanje jednadžbi s modulima.
Dakle, jednadžba je:
\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]
Ne, ovo nije tipfeler: to je plus između modula. I trebamo pronaći na kojem je $x$ zbroj dvaju modula jednak nuli. :)
U čemu je uopće problem? Ali problem je u tome što je svaki modul pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula. Što se događa ako zbrojite dva pozitivna broja? Očito opet pozitivan broj:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]
Zadnji redak bi vam mogao dati ideju: jedini put kada je zbroj modula nula je ako je svaki modul nula:
\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0. \\\end(align) \desno.\]
A kada je modul jednak nuli? Samo u jednom slučaju - kada je submodularni izraz jednak nuli:
\[((x)^(2))+x-2=0\desna strelica \lijevo(x+2 \desno)\lijevo(x-1 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]
Dakle, imamo tri točke u kojima se prvi modul vraća na nulu: 0, 1 i −1; kao i dvije točke u kojima se drugi modul vraća na nulu: −2 i 1. Međutim, potrebno je da se oba modula vraćaju na nulu u isto vrijeme, pa među pronađenim brojevima trebamo odabrati one koji su uključeni u oba skupa. Očito, postoji samo jedan takav broj: $x=1$ - to će biti konačan odgovor.
Metoda cijepanja
Pa, već smo obradili hrpu problema i naučili puno tehnika. Mislite li da je to sve? Ali ne! Sada ćemo pogledati konačnu tehniku – a ujedno i najvažniju. Govorit ćemo o jednadžbama cijepanja s modulom. O čemu ćemo uopće razgovarati? Vratimo se malo unatrag i pogledajmo jednu jednostavnu jednadžbu. Na primjer ovo:
\[\lijevo| 3x-5 \desno|=5-3x\]
U principu već znamo kako riješiti takvu jednadžbu, jer se radi o standardnoj konstrukciji oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$. Ali pokušajmo ovu jednadžbu pogledati iz malo drugačijeg kuta. Točnije, razmotrite izraz pod znakom modula. Podsjećam vas da modul bilo kojeg broja može biti jednak samom broju ili može biti suprotan ovom broju:
\[\lijevo| a \right|=\lijevo\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Zapravo, u toj dvosmislenosti je cijeli problem: budući da se broj ispod modula mijenja (ovisi o varijabli), nije nam jasno je li pozitivan ili negativan.
Ali što ako u početku zahtijevate da taj broj bude pozitivan? Na primjer, zahtijevamo da $3x-5 \gt 0$ - u ovom slučaju zajamčeno ćemo dobiti pozitivan broj ispod predznaka modula, a možemo se u potpunosti riješiti upravo tog modula:
Tako će se naša jednadžba pretvoriti u linearnu, koja se lako može riješiti:
Istina, sve ove misli imaju smisla samo pod uvjetom $3x-5 \gt 0$ - sami smo uveli ovaj zahtjev kako bismo nedvosmisleno otkrili modul. Stoga, zamijenimo pronađeno $x=\frac(5)(3)$ u ovaj uvjet i provjerimo:
Ispada da za navedenu vrijednost $x$ naš zahtjev nije ispunjen, jer ispostavilo se da je izraz jednak nuli, a potrebno nam je da bude striktno veći od nule. Tužno. :(
Ali u redu je! Uostalom, postoji još jedna opcija $3x-5 \lt 0$. Štoviše: postoji i slučaj $3x-5=0$ - to također treba uzeti u obzir, inače će rješenje biti nepotpuno. Dakle, razmotrite slučaj $3x-5 \lt 0$:
Očito, modul će se otvoriti sa znakom minus. Ali tada dolazi do čudne situacije: i s lijeve i s desne strane u izvornoj jednadžbi stršit će isti izraz:
Zanima me pri koliko $x$ će izraz $5-3x$ biti jednak izrazu $5-3x$? I kapetan Očiglednost bi se ugušio u slini od takvih jednadžbi, ali znamo: ova jednadžba je identitet, t.j. vrijedi za bilo koju vrijednost varijable!
To znači da će nam odgovarati bilo koji $x$. Međutim, imamo ograničenje:
Drugim riječima, odgovor neće biti jedan broj, već cijeli interval:
Na kraju, ostaje još jedan slučaj za razmatranje: $3x-5=0$. Ovdje je sve jednostavno: pod modulom će biti nula, a modul nule također je jednak nuli (ovo izravno proizlazi iz definicije):
Ali onda je izvorna jednadžba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bit će prepisano na sljedeći način:
Već smo dobili ovaj korijen gore kada smo razmatrali slučaj $3x-5 \gt 0$. Štoviše, ovaj korijen je rješenje jednadžbe $3x-5=0$ - ovo je ograničenje koje smo sami uveli za resetiranje modula. :)
Tako ćemo se osim intervalom zadovoljiti i brojem koji se nalazi na samom kraju ovog intervala:
Kombiniranje korijena u modulo jednadžbama Ukupni konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Nije baš uobičajeno vidjeti takvo sranje u odgovoru na prilično jednostavnu (u suštini linearnu) jednadžbu s modulom, Pa, naviknite se na to: poteškoća modula je u tome što odgovori u takvim jednadžbama mogu biti potpuno nepredvidivi.
Nešto drugo je puno važnije: upravo smo analizirali univerzalni algoritam za rješavanje jednadžbe s modulom! A ovaj se algoritam sastoji od sljedećih koraka:
- Izjednačite svaki modul u jednadžbi s nulom. Dobivamo nekoliko jednadžbi;
- Riješite sve ove jednadžbe i označite korijene na brojevnoj crti. Kao rezultat toga, ravna linija će biti podijeljena u nekoliko intervala, u svakom od kojih su svi moduli jedinstveno otkriveni;
- Riješite izvornu jednadžbu za svaki interval i kombinirajte svoje odgovore.
To je sve! Ostaje samo jedno pitanje: što učiniti s korijenima dobivenim u koraku 1? Recimo da imamo dva korijena: $x=1$ i $x=5$. Podijelit će brojevnu liniju na 3 dijela:
Rastavljanje brojevnog pravca na intervale pomoću točaka Dakle, koji su intervali? Jasno je da ih ima tri:
- Krajnji lijevi: $x \lt 1$ — sama jedinica nije uključena u interval;
- Centralno: $1\le x \lt 5$ - ovdje je jedan uključen u interval, ali pet nije uključen;
- Krajnje desno: $x\ge 5$ - pet je uključeno samo ovdje!
Mislim da već razumijete obrazac. Svaki interval uključuje lijevi kraj, ali ne uključuje desni.
Na prvi pogled takav unos može izgledati nezgodno, nelogično i općenito pomalo ludo. Ali vjerujte mi: nakon malo vježbe, vidjet ćete da je ovaj pristup najpouzdaniji i ne ometa nedvosmisleno otvaranje modula. Bolje je koristiti takvu shemu nego razmišljati svaki put: dati lijevi / desni kraj trenutnom intervalu ili ga "baciti" u sljedeći.
Ovo zaključuje lekciju. Preuzmite zadatke za neovisna odluka, vježbajte, uspoređujte s odgovorima - i vidimo se na sljedećoj lekciji koja će biti posvećena nejednakostima s modulima. :)
Ispod znaka modula prvo definiramo znak izraza, a zatim modul proširujemo:
- ako je vrijednost izraza veća od nule, onda je jednostavno uklonimo ispod znaka modula,
- ako je izraz manji od nule, tada ga uklanjamo ispod znaka modula, mijenjajući znak, kao što smo učinili ranije u primjerima.
Pa, hoćemo li pokušati? Procijenimo:
(Zaboravio, ponovi.)
Ako da, koji znak ima? Pa naravno, !
I stoga proširujemo predznak modula promjenom predznaka izraza:
kužiš Onda pokušajte sami:
odgovori:
Koja druga svojstva ima modul?
Ako trebamo množiti brojeve unutar znaka modula, lako možemo množiti module tih brojeva!!!
U matematičkom smislu, Modul umnoška brojeva jednak je umnošku modula tih brojeva.
Na primjer:
Što ako dva broja (izraza) trebamo podijeliti pod znakom modula?
Da, isto kao i kod množenja! Rastavimo ga na dva odvojena broja (izraza) pod znakom modula:
pod uvjetom da (budući da ne možete dijeliti s nulom).
Vrijedno je zapamtiti još jedno svojstvo modula:
Modul zbroja brojeva uvijek je manji ili jednak zbroju modula ovih brojeva:
Zašto je to? Sve je vrlo jednostavno!
Kao što se sjećamo, modul je uvijek pozitivan. Ali pod znakom modula može biti bilo koji broj: i pozitivan i negativan. Pretpostavimo da su brojevi i pozitivni. Tada će lijevi izraz biti jednak desnom izrazu.
Pogledajmo primjer:
Ako je ispod znaka modula jedan broj negativan, a drugi pozitivan, lijevi izraz će uvijek biti manji od desnog:
Čini se da je sve jasno s ovim svojstvom, pogledajmo još nekoliko korisnih svojstava modula.
Što ako imamo ovaj izraz:
Što možemo učiniti s ovim izrazom? Vrijednost x nam je nepoznata, ali već znamo što, što znači.
Broj je veći od nule, što znači da možete jednostavno napisati:
Tako dolazimo do drugog svojstva, koje se općenito može prikazati na sljedeći način:
Čemu je jednak ovaj izraz:
Dakle, moramo definirati znak ispod modula. Treba li ovdje definirati znak?
Naravno da ne, ako se sjetite da je svaki broj na kvadrat uvijek veći od nule! Ako se ne sjećate pogledajte temu. Pa što se događa? Evo što:
Sjajno, zar ne? Sasvim povoljno. A sada konkretan primjer osigurati:
Pa, čemu sumnje? Djelujmo hrabro!
Jeste li sve shvatili? Zatim samo naprijed i vježbajte s primjerima!
1. Odredi vrijednost izraza if.
2. Koji brojevi imaju isti modul?
3. Pronađite značenje izraza:
Ako još nije sve jasno i postoje poteškoće u rješenjima, onda ćemo to shvatiti:
Rješenje 1:
Dakle, zamijenimo vrijednosti i u izraz
Rješenje 2:
Kao što se sjećamo, suprotni brojevi jednaki su po modulu. To znači da je vrijednost modula jednaka dvama brojevima: i.
Rješenje 3:
A)
b)
V)
G)
Jeste li sve uhvatili? Onda je vrijeme da prijeđete na nešto složenije!
Pokušajmo pojednostaviti izraz
Riješenje:
Dakle, sjećamo se da vrijednost modula ne može biti manja od nule. Ako znak modula ima pozitivan broj, tada možemo jednostavno odbaciti znak: modul broja bit će jednak ovom broju.
Ali ako ispod znaka modula stoji negativan broj, tada je vrijednost modula jednaka suprotnom broju (to jest, broju uzetom sa znakom "-").
Kako biste pronašli modul bilo kojeg izraza, prvo morate saznati ima li on pozitivnu ili negativnu vrijednost.
Ispada da vrijednost prvog izraza pod modulom.
Stoga je izraz pod znakom modula negativan. Drugi izraz ispod znaka modula je uvijek pozitivan, jer zbrajamo dva pozitivna broja.
Dakle, vrijednost prvog izraza pod znakom modula je negativna, drugi je pozitivan:
To znači da kada proširujemo predznak modula prvog izraza, ovaj izraz moramo uzeti sa predznakom “-”. Kao ovo:
U drugom slučaju jednostavno odbacujemo znak modula:
Pojednostavimo ovaj izraz u cijelosti:
Modul broja i njegova svojstva (stroge definicije i dokazi)
Definicija:
Modul ( apsolutna vrijednost) brojevi su sam broj, ako, i broj, ako:
Na primjer:
Primjer:
Pojednostavite izraz.
Riješenje:
Osnovna svojstva modula
Za sve:
Primjer:
Dokažite svojstvo br. 5.
Dokaz:
Pretpostavimo da postoje takvi da
Kvadriramo lijevu i desnu stranu nejednakosti (to se može učiniti jer su obje strane nejednakosti uvijek nenegativne):
a to je u suprotnosti s definicijom modula.
Dakle, takvi ljudi ne postoje, što znači da nejednakost vrijedi za sve
Primjeri neovisnih rješenja:
1) Dokažite svojstvo br. 6.
2) Pojednostavite izraz.
odgovori:
1) Iskoristimo svojstvo br. 3: , a budući da, onda
Radi pojednostavljenja, morate proširiti module. A da biste proširili module, morate saznati jesu li izrazi ispod modula pozitivni ili negativni?
a. Usporedimo brojeve i i:
b. Sada usporedimo:
Zbrajamo vrijednosti modula:
Apsolutna vrijednost broja. Ukratko o glavnom.
Modul (apsolutna vrijednost) broja je sam broj, ako, i broj, ako:
Svojstva modula:
- Modul broja je nenegativan broj: ;
- Moduli suprotnih brojeva su jednaki: ;
- Modul umnoška dvaju (ili više) brojeva jednak je umnošku njihovih modula: ;
- Modul kvocijenta dvaju brojeva jednak je kvocijentu njihovih modula: ;
- Modul zbroja brojeva uvijek je manji ili jednak zbroju modula ovih brojeva: ;
- Konstantni pozitivni množitelj može se uzeti iz znaka modula: at;
Modul brojeva naziva se sam ovaj broj ako je nenegativan, ili isti broj sa suprotnim predznakom ako je negativan.
Na primjer, modul broja 5 je 5, a modul broja –5 također je 5.
To jest, modul broja se shvaća kao apsolutna vrijednost, apsolutna vrijednost ovog broja bez uzimanja u obzir njegovog znaka.
Označava se kako slijedi: |5|, | x|, |A| itd.
Pravilo:
Obrazloženje:
|5| = 5
Ona glasi ovako: modul broja 5 je 5.
|–5| = –(–5) = 5
Ona glasi ovako: modul broja –5 je 5.
|0| = 0
Ona glasi ovako: modul nule je nula.
Svojstva modula:
1) Modul broja je nenegativan broj: |A| ≥ 0 2) Moduli suprotnih brojeva su jednaki: |A| = |–A| 3) Kvadrat modula broja jednak je kvadratu ovog broja: |A| 2 = a 2 4) Modul umnoška brojeva jednak je umnošku modula ovih brojeva: |A · b| = |A| · | b| 6) Modul kvocijenta broja jednak je omjeru modula ovih brojeva: |A : b| = |A| : |b| 7) Modul zbroja brojeva manji je ili jednak zbroju njihovih modula: |A + b| ≤ |A| + |b| 8) Modul razlike brojeva manji je ili jednak zbroju njihovih modula: |A – b| ≤ |A| + |b| 9) Modul zbroja/razlike brojeva veći je ili jednak modulu razlike njihovih modula: |A ± b| ≥ ||A| – |b|| 10) Konstantni pozitivni množitelj može se uzeti iz predznaka modula: |m · a| = m · | A|, m >0 11) Potenciju broja možemo uzeti iz znaka modula: |A k | = | A| k ako k postoji 12) Ako | A| = |b|, zatim a = ± b |
Geometrijsko značenje modula.
Modul broja je udaljenost od nule do tog broja.
Na primjer, uzmimo opet broj 5. Udaljenost od 0 do 5 je ista kao od 0 do –5 (slika 1). A kada nam je važno znati samo duljinu segmenta, tada znak nema samo značenje, već i značenje. Međutim, to nije sasvim točno: udaljenost mjerimo samo pozitivnim brojevima – ili nenegativnim brojevima. Neka je podjela naše ljestvice 1 cm, tada je duljina odsječka od nula do 5 5 cm, od nula do –5 također 5 cm.
U praksi se udaljenost često mjeri ne samo od nule - referentna točka može biti bilo koji broj (slika 2). Ali to ne mijenja suštinu. Zapis oblika |a – b| izražava udaljenost između točaka A I b na brojevnoj crti.
Primjer 1. Riješite jednadžbu | x – 1| = 3.
Riješenje .
Smisao jednadžbe je da udaljenost između točaka x a 1 je jednako 3 (slika 2). Dakle, od točke 1 brojimo tri podjeljka lijevo i tri podeljka desno - i jasno vidimo obje vrijednosti x:
x 1 = –2, x 2 = 4.
Možemo to izračunati.
│x – 1 = 3
│x – 1 = –3
│x = 3 + 1
│x = –3 + 1
│x = 4
│ x = –2.
odgovor: x 1 = –2; x 2 = 4.
Primjer 2. Pronađite modul izraza:
Riješenje .
Prvo, saznajmo je li izraz pozitivan ili negativan. Da bismo to učinili, transformiramo izraz tako da se sastoji od homogenih brojeva. Nemojmo tražiti korijen od 5 - prilično je teško. Učinimo to jednostavnije: podignimo 3 i 10 na korijen. Zatim usporedimo veličinu brojeva koji čine razliku:
3 = √9. Prema tome, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Vidimo da je prvi broj manji od drugog. To znači da je izraz negativan, odnosno da je njegov odgovor manji od nule:
3√5 – 10 < 0.
Ali prema pravilu, modul negativnog broja je isti broj sa suprotnim predznakom. Imamo negativan izraz. Stoga je potrebno promijeniti njegov predznak u suprotan. Suprotan izraz za 3√5 – 10 je –(3√5 – 10). Otvorimo zagrade u njemu i dobijemo odgovor:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
odgovori .
upute
Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x
Modul je nula, a modul bilo kojeg pozitivnog broja je . Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Iz toga slijedi zaključak da su moduli suprotnosti jednaki: |-x| = |x| = x.
Modul složeni broj nalazi se po formuli: |a| = √b² + c², i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan broj kao množitelj, tada se može izvaditi iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.
Ako je argument predstavljen kao složeni broj, tada je radi lakšeg izračuna dopušten redoslijed članova izraza unutar pravokutnih zagrada: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.
Argument podignut na potenciju je istovremeno pod predznakom korijena istog reda - rješava se pomoću: √a² = |a| = ±a.
Ako imate zadatak u kojem nije naveden uvjet za proširenje zagrada modula, nema potrebe da ih se riješite - to će biti krajnji rezultat. A ako ih trebate otvoriti, morate označiti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b))². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Budući da je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| >
Modul nule jednak je nuli, a modul bilo kojeg pozitivnog broja jednak je samom sebi. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Iz toga slijedi zaključak da su moduli suprotnih brojeva jednaki: |-x| = |x| = x.
Modul kompleksnog broja nalazi se po formuli: |a| = √b² + c², i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivni cijeli broj kao faktor, tada se može izvaditi iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.
Modul ne može biti negativan, pa se svaki negativni broj pretvara u pozitivan: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.
Ako je argument predstavljen u obliku složenog broja, tada je radi praktičnosti izračuna dopušteno promijeniti redoslijed članova izraza unutar pravokutnih zagrada: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.
Ako imate zadatak u kojem nije naveden uvjet za proširenje zagrada modula, nema potrebe da ih se riješite - to će biti krajnji rezultat. A ako ih trebate otvoriti, morate označiti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b))². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Budući da je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| > 0, tada će rezultat biti 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Nepoznati element također se može postaviti na određeni broj, o čemu treba voditi računa jer to će utjecati na znak izraza.
Slično, razlika z 1 - z 2 kompleksnih brojeva z 1 i z 2 odgovara razlici vektora koji odgovaraju brojevima z 1 i z 2. Modul dvaju kompleksnih brojeva z 1 i z 2, prema definiciji modula , je duljina vektora z 1 - z 2. Konstruirajmo vektor , kao zbroj dva vektora z 2 i (- z 1). Dobivamo vektor jednak vektoru.Zbog toga postoji duljina vektora, odnosno modul razlike dva kompleksna broja je udaljenost točaka kompleksne ravnine koje odgovaraju tim brojevima.
6. Argumenti složenih brojeva. Argument kompleksnog broja z= a + ib je veličina kuta između pozitivnog smjera realne osi i vektora z; kut se smatra pozitivnim ako se broji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim ako se broji u smjeru kazaljke na satu.
Da biste označili činjenicu da je broj j argument broja z= a+ ib, napišite j=argz ili j=arg (a+ib).
Za broj z=0 argument nije definiran. Stoga ćemo u svim narednim argumentima vezanim uz pojam argumenta pretpostaviti da: Imajte na umu da se specificiranjem modula i argumenta kompleksni broj određuje jedinstveno; broj z=0 je jedini broj koji se određuje navođenjem samo njegovog modula.
S druge strane, ako je zadan kompleksan broj, tada je, očito, modul tog broja uvijek jednoznačno definiran, za razliku od argumenta, koji se uvijek određuje višeznačno: ako je j neki argument broja z, tada je kutovi j + 2pk također su argumenti broja z.
Iz definicije trigonometrijskih funkcija slijedi da ako je j=arg (a+ib), vrijedi sljedeći sustav
Primjer 4. Koliko rješenja ima sustav jednadžbi?
a) Predstavimo u jednoj kompleksnoj ravnini brojeve čiji su moduli jednaki 3 i 1
pronađi modul 1- ja: .
Imajte na umu da nema točke na većem krugu
je blizu manjeg na udaljenosti jednakoj ,
iz čega proizlazi da sustav nema korijena.
Kada se pomakne za 3 ja samo jedna točka na manjoj kružnici koju dobijemo na koju ta točka pada
drugi krug.
Ova točka će biti rješenje sustava.
c) Predstavimo u jednoj kompleksnoj ravnini brojeve čiji su moduli jednaki 1.
Imajte na umu da kada samo dvije točke pomaknemo za jedan ulijevo, završavamo na istoj kružnici, što znači da će ova dva broja biti rješenja sustava.
7.Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnih brojeva. Zapisivanje kompleksnog broja z u obliku a +ib zove se algebarski oblik složeni broj.
Razmotrimo druge oblike pisanja kompleksnih brojeva. Neka je r modul, a j bilo koji od argumenata kompleksnog broja z= a+ ib, odnosno r = ,j=arg (a+ib). Tada iz formule (5) slijedi da je, dakle,
Zapisivanje kompleksnog broja u obliku naziva se ee trigonometrijski oblik.
Za prelazak s algebarskog oblika kompleksnog broja a+ib na trigonometrijski dovoljno je pronaći njegov modul i jedan od argumenata.
Primjer 5. Koji je skup točaka kompleksne ravnine zadan uvjetom
a) Moramo konstruirati točke koje, kada se pomaknu prema dolje za ja a desno za 1 naučilo bi se jednako udaljeno od ishodišta, odakle
da bismo konstruirali skup točaka koje zadovoljavaju ovaj uvjet, moramo:
1) konstruirajte skup točaka jednako udaljenih od ishodišta koordinata za 2
2) pomaknite ga za 1 ulijevo i prema ja gore
b) Moramo konstruirati točke koje bi se nalazile bliže točki - ja nego da se 2i, Ove točke su označene na slici.
c) Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi
Odnosno, ti će se brojevi ukloniti udaljenošću
1 desno. U tom slučaju, ako je ispunjen drugi uvjet, dobit će se kut prikazan na slici.
To jest, to će biti točke udaljene od ishodišta koordinata ne više od 1, a istovremeno isključuju broj 0. Uzimajući u obzir drugi i treći uvjet, dobivamo:
|
|
|||
f) Za konstrukciju točaka koje zadovoljavaju prvi uvjet potrebno je udaljene točke pomaknuti za 1,
1 desno. Štoviše, uzimajući u obzir druge uvjete, dobivamo
traženi skup točaka.
Primjer 6. Jesu li sljedeći izrazi u trigonometrijskom obliku?
Trigonometrijski oblik zapisa broja bit će samo izraz a), jer samo on zadovoljava definiciju trigonometrijskog oblika zapisa broja (a za sve trigonometrijske funkcije kutovi moraju biti jednaki, a također ako izračunate vrijednost izraza , onda mora biti jednak).
8. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Neka
Tako, modul i umnožak dva kompleksna broja jednak je umnošku modula faktora, a zbroj argumenata faktora je argument umnoška.
Neka onda
Tako, Modul kvocijenta dvaju kompleksnih brojeva jednak je kvocijentu modula djelitelja i djelitelja, a razlika argumenata djelitelja i djelitelja je argument kvocijenta.
9. Potenciranje i vađenje korijena. Formula (6) za umnožak dva kompleksna broja može se generalizirati na slučaj faktora. Koristeći metodu matematičke indukcije, nije teško pokazati da ako su argumenti brojeva, tada
Odavde, kao poseban slučaj, dobivamo formulu koja daje pravilo za dizanje kompleksnog broja na pozitivnu cjelobrojnu potenciju:
Tako, Kada se složeni broj diže na potenciju s prirodnim eksponentom, njegov modul se diže na potenciju s istim eksponentom, a argument se množi s eksponentom.
Formula (8) naziva se Moivreova formula.
Broj se naziva korijen potencije broja w(navedeno ako
Ako w=0, zatim za bilo koji n jednadžba ima jedno i samo jedno rješenje z= 0.
Zamislimo sada z I w u trigonometrijskom obliku:
Tada će jednadžba poprimiti oblik
Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im moduli jednaki i argumenti se razlikuju višekratnikom od 2 str. Stoga,
Dakle, sva rješenja jednadžbe dana su formulom
Zapravo, navođenje broja k u formuli (9) cjelobrojne vrijednosti različite od 0, 1, …, ( n-1), ne dobivamo druge kompleksne brojeve.
Formula (9) se zove Moivreova druga formula.
Dakle, ako , Onda postoji točno n korijeni stupnja n od broja w: svi su sadržani u formuli (9).
Konkretno, ako je =2, tada jednadžba ima dva korijena:
to jest, ti su korijeni simetrični u odnosu na ishodište.
Također iz formule (9) nije teško dobiti da ako su tada točke koje predstavljaju sve korijene jednadžbe vrhovi točne n- trokut upisan u krug sa središtem u z=0 i radijus .
Iz navedenog proizlazi da simbol nema jasno značenje. Stoga, kada ga koristite, trebali biste jasno razumjeti što to znači. Na primjer, pri korištenju notacije treba paziti da bude jasno misli li se na par kompleksnih brojeva ja I -i, ili jedan, i, ako jedan, koji.
Primjer 7. Napiši u trigonometrijskom obliku:
b) Otkad, dakle, odakle.
Od , pa gdje
c) Otkad, dakle, odakle.
10. Kvadratne jednadžbe. U školski tečaj algebre, razmatrane su kvadratne jednadžbe
sa stvarnim izgledima a, b, c. Tamo je pokazano da ako je diskriminant jednadžbe (10) nenegativan, tada su rješenja takve jednadžbe dana formulom
Ako je , rečeno je da jednadžba nema rješenja.
Za izvođenje formule (11) upotrijebili smo tehniku izolacije kvadrata trinoma i potom rastavljanja lijeve strane na linearne faktore:
odakle je i nastala formula (11). Očito, svi ovi izračuni ostaju valjani u slučaju kada a, b, c su kompleksni brojevi, a korijeni jednadžbe nalaze se u skupu kompleksnih brojeva.
Dakle, u skupu kompleksnih brojeva, jednadžba
uvijek rješiv. Ako jednadžba ima jedan korijen;, jednadžba ima dva korijena. U svim slučajevima, formula vrijedi za korijene kvadratne jednadžbe
gdje se sva značenja korijena podrazumijevaju.
Primjer 8. Riješite jednadžbu
a) Ova jednadžba je kvadratna.
i stoga x I g zadovoljiti sustav
i x I g
primijeti da x
Kada dobijemo:
Riješimo jednadžbu (*): x 4 +15x 2 -16 =0 – kvadratna jednadžba s obzirom na x 2, odakle
Vratimo se sustavu:
b) Ova jednadžba je kvadratna.
Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, imamo:
Da bismo odredili sve vrijednosti, postavljamo
i stoga x I g zadovoljiti sustav
i x I g realni brojevi. Riješimo sustav:
primijeti da x=0 nije rješenje za sustav.
Kada dobijemo:
Riješimo jednadžbu (*): x 4 -16x 2 -225=0 – kvadratna jednadžba s obzirom na x 2, odakle
Vratimo se sustavu:
Primjer 9. Riješite jednadžbu
a) Neka je , tada jednadžba ima oblik:
Odakle, koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu, dobivamo
vraćajući se u z, dobivamo
1) . Primijeti da. Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobivamo:
Stoga,
2) . Primijeti da. Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobivamo:
Stoga,
b) Transformirajmo jednadžbu:
Primijeti da . Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobivamo:
Primjer 10. Riješite jednadžbu:
Riješimo jednadžbu kao kvadratnu u odnosu na z 2: D=
Neka z=a+ib, tada , a jednadžba ima oblik
Neka, dakle, odakle
Neka , dakle, što znači da dobivamo, i onda dobivamo to
