Da bismo odgovorili na ovo pitanje, potrebno je izvući neke zaključke iz uvjeta problema:
- Smjer ovih sila;
- Modularna vrijednost sila F1 i F2;
- Mogu li te sile stvoriti takvu rezultantu sile da pomakne kolica s mjesta.
Smjer sila
Da bi se odredile glavne karakteristike gibanja kolica pod utjecajem dviju sila, potrebno je znati njihov smjer. Na primjer, ako kolica vuče udesno sila jednaka 5 N, a ista sila vuče kolica ulijevo, onda je logično pretpostaviti da će kolica stajati. Ako su sile suusmjerene, da bismo pronašli rezultantu sile, potrebno je samo pronaći njihov zbroj. Ako je neka sila usmjerena pod kutom u odnosu na ravninu kretanja kolica, tada se vrijednost te sile mora pomnožiti s kosinusom kuta između smjera sile i ravnine. Matematički će to izgledati ovako:
F = F1 * cosa; Gdje
F je sila usmjerena paralelno s površinom gibanja.
Kosinusni teorem za pronalaženje rezultirajućeg vektora sile
Ako dvije sile imaju ishodište u jednoj točki i postoji određeni kut između njihovih smjerova, tada je potrebno nadopuniti trokut dobivenim vektorom (odnosno onim koji spaja krajeve vektora F1 i F2). Rezultirajuću silu nalazimo pomoću kosinusnog teorema, koji kaže da je kvadrat bilo koje stranice trokuta jednak je zbroju kvadrati druge dvije stranice trokuta minus dvostruki umnožak tih stranica s kosinusom kuta između njih. Zapišimo ovo u matematičkom obliku:
F \u003d F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.
Zamjenom svih poznatih vrijednosti možete odrediti veličinu rezultirajuće sile.
Rezultat. Već znate da se dvije sile uravnotežuju kada su jednake po veličini i suprotno usmjerene. Takve su, na primjer, sila gravitacije i sila normalne reakcije koje djeluju na knjigu koja leži na stolu. U tom slučaju se kaže da je rezultanta dviju sila nula. U općem slučaju, rezultanta dviju ili više sila je sila koja na tijelo djeluje jednako kao i istodobno djelovanje tih sila.
Iskustveno razmislite kako pronaći rezultantu dviju sila usmjerenih duž jedne ravne crte.
Stavimo iskustvo
Položimo lagani blok na glatku horizontalnu površinu stola (tako da se može zanemariti trenje između bloka i površine stola). Povući ćemo šipku udesno pomoću jednog dinamometra, a ulijevo - pomoću dva dinamometra, kao što je prikazano na sl. 16.3. Imajte na umu da su dinamometri s lijeve strane pričvršćeni za šipku tako da su sile zatezanja opruga ovih dinamometara različite.
Riža. 16.3. Kako možete pronaći rezultantu dviju sila
Vidjet ćemo da blok miruje ako je modul sile koja ga vuče udesno jednak zbroju modula sila koje blok vuku ulijevo. Shema ovog eksperimenta prikazana je na sl. 16.4.
Riža. 16.4. Shematski prikaz sila koje djeluju na šipku
Sila F 3 uravnotežuje rezultantu sila F 1 i F 2, odnosno jednaka je po apsolutnoj vrijednosti, a suprotnog smjera. To znači da je rezultanta sila F 1 i F 2 usmjerena ulijevo (kao i ove sile), a njen modul jednak je F 1 + F 2 . Dakle, ako su dvije sile usmjerene na isti način, njihova rezultanta je usmjerena na isti način kao i te sile, a modul rezultante jednak je zbroju modula članova sila.
Promotrimo silu F 1 . Ona uravnotežuje rezultantu sila F 2 i F 3 , suprotno usmjerenih. To znači da je rezultanta sila F 2 i F 3 usmjerena udesno (odnosno prema većoj od tih sila), a njen modul jednak je F 3 - F 2 . Dakle, ako su dvije sile koje nisu jednake po apsolutnoj vrijednosti usmjerene suprotno, njihova rezultanta je usmjerena kao najveća od tih sila, a modul rezultante jednak je razlici između modula veće i manje sile.
Određivanje rezultante nekoliko sila naziva se zbrajanje tih sila.
Dvije sile usmjerene su duž iste prave. Modul jedne sile jednak je 1 N, a modul druge sile jednak je 2 N. Može li modul rezultante tih sila biti jednak: a) nuli; b) 1 N; c) 2 N; d) 3 N?
Često na tijelo ne djeluje jedna, već više sila istovremeno. Razmotrimo slučaj kada na tijelo djeluju dvije sile ( i ). Na primjer, tijelo koje počiva na vodoravnoj površini pod utjecajem je gravitacije () i reakcije površinskog oslonca () (slika 1).
Ove dvije sile mogu se zamijeniti jednom, koja se naziva rezultantna sila (). Nađite ga kao vektorski zbroj sila i:
Određivanje rezultante dviju sila
DEFINICIJA
Rezultanta dviju sila zove se sila koja proizvodi učinak na tijelo sličan djelovanju dviju odvojenih sila.
Imajte na umu da djelovanje svake sile ne ovisi o tome postoje li druge sile ili ne.
Drugi Newtonov zakon za rezultantu dviju sila
Ako na tijelo djeluju dvije sile, tada drugi Newtonov zakon zapisujemo kao:
Smjer rezultante uvijek se po smjeru podudara sa smjerom ubrzanja tijela.
To znači da ako dvije sile () djeluju na tijelo u isto vrijeme, tada će ubrzanje () ovog tijela biti izravno proporcionalno vektorskom zbroju tih sila (ili proporcionalno rezultantnim silama):
M je masa razmatranog tijela. Bit drugog Newtonovog zakona je da sile koje djeluju na tijelo određuju kako se mijenja brzina tijela, a ne samo veličina brzine tijela. Imajte na umu da Newtonov drugi zakon vrijedi samo inercijski sustavi referenca.
Rezultanta dviju sila može biti jednaka nuli ako su sile koje djeluju na tijelo usmjerene u različitim smjerovima i jednake po apsolutnoj vrijednosti.
Određivanje vrijednosti rezultante dviju sila
Da bismo pronašli rezultantu, potrebno je na crtežu prikazati sve sile koje se moraju uzeti u obzir u zadatku koje djeluju na tijelo. Sile se moraju zbrajati prema pravilima zbrajanja vektora.
Pretpostavimo da na tijelo djeluju dvije sile koje su usmjerene duž jedne ravne linije (slika 1). Sa slike je vidljivo da su usmjereni u različitim smjerovima.
Rezultanta sila () primijenjenih na tijelo bit će jednaka:
Da bismo pronašli modul rezultantnih sila, izaberemo os, označimo je X, usmjerimo je duž smjera sila. Tada projiciranjem izraza (4) na X os dobivamo da je vrijednost (modul) rezultante (F) jednaka:
gdje su moduli odgovarajućih sila.
Zamislimo da na tijelo djeluju dvije sile koje su međusobno usmjerene pod nekim kutom (slika 2). Rezultanta tih sila nalazi se pravilom paralelograma. Vrijednost rezultante bit će jednaka duljini dijagonale ovog paralelograma.
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježbajte | Tijelo mase 2 kg giba se okomito prema gore pomoću niti, a njegova akceleracija je 1. Koliki je veličina i smjer rezultantne sile? Koje sile djeluju na tijelo? |
| Riješenje | Na tijelo djeluje sila gravitacije () i sila reakcije niti () (slika 3). Rezultanta gore navedenih sila može se pronaći pomoću drugog Newtonovog zakona: U projekciji na X os, jednadžba (1.1) ima oblik: Izračunajmo veličinu rezultantne sile: |
| Odgovor | H, rezultanta sile usmjerena je na isti način kao i akceleracija gibanja tijela, odnosno okomito prema gore. Na tijelo djeluju dvije sile. |
Zadatak 3.2.1
Odredite rezultantu dviju sila F 1 \u003d 50N i F 2 \u003d 30N, koje između njih tvore kut od 30 ° (slika 3.2a).
Slika 3.2
Vektore sila F 1 i F 2 prenosimo u točku sjecišta akcijskih pravaca i zbrajamo ih prema pravilu paralelograma (sl. 2.2b). Točka primjene i smjer rezultante prikazani su na slici. Modul dobivene rezultante određen je formulom:
Odgovor: R=77,44N
Zadatak 3.2.2
Odredite rezultantu sustava konvergentnih sila F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, ako su poznati kutovi koje vektori tih sila tvore s osi Ox: α 1 =30°, α 2 = 45 ° i α 3 =60 ° (sl.3.3a)
Slika 3.3
Projiciramo sile na osi Ox i Oy:
Rezultantni modul
Na temelju dobivenih projekcija određujemo smjer rezultante (sl. 3.3b)
Odgovor: R=44,04N
Zadatak 3.2.3
Na mjestu spajanja dvaju navoja djeluje vertikalna sila P = 100N (slika 3.4a). Odredite sile u navojima, ako su u ravnoteži kutovi koje navoji tvore s osi OY jednaki α=30°, β=75°.
Slika 3.4
Sile napetosti navoja bit će usmjerene duž navoja iz priključnog čvora (slika 3.4b). Sustav sila T 1 , T 2 , P je sustav konvergentnih sila jer linije djelovanja sila sijeku se na spoju niti. Uvjet ravnoteže za ovaj sustav:
Sastavljamo analitičke jednadžbe za ravnotežu sustava konvergentnih sila projicirajući vektorsku jednadžbu na os.
Rješavamo dobiveni sustav jednadžbi. Iz prve izražavamo T 2 .
Zamijenite dobiveni izraz u drugi i odredite T 1 i T 2 .
H,
Provjerimo rješenje iz uvjeta da modul P' zbroja sila T 1 i T 2 mora biti jednak P (sl. 3.4c).
Odgovor: T 1 \u003d 100N, T 2 \u003d 51,76N.
Zadatak 3.2.4
Odredite rezultantu sustava konvergentnih sila ako su zadani njihovi moduli F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N i kut α=60° (sl. 3.5a).
Slika 3.5
Određujemo projekcije rezultante
Rezultirajući modul:
Na temelju dobivenih projekcija određujemo smjer rezultante (sl. 3.5b)
Odgovor: R=27,17N
Zadatak 3.2.6
Tri štapa AC, BC, DC zakretno su spojena u točki C. Odredite sile u štapovima ako je zadana sila F=50N, kut α=60° i kut β=75°. Sila F je u ravnini Oyz. (sl.3.6)
Slika 3.6
U početku pretpostavimo da su svi štapovi istegnuti, odnosno usmjeravamo reakcije u štapovima iz čvora C. Rezultirajući sustav N 1 , N 2 , N 3 , F je sustav konvergentnih sila. Uvjet ravnoteže za ovaj sustav.
Sadržaj članka
STATIKA, grana mehanike čiji su predmet materijalna tijela koja miruju pod djelovanjem vanjskih sila na njih. U široki smisao Riječi statika su teorija ravnoteže bilo kojeg tijela - čvrstog, tekućeg ili plinovitog. U užem smislu, ovaj pojam se odnosi na proučavanje ravnoteže krutih tijela, kao i savitljivih tijela koja se ne rastežu – sajli, remena i lanaca. Ravnoteža deformirajućih krutina razmatra se u teoriji elastičnosti, a ravnoteža tekućina i plinova - u hidroaeromehanici.
Cm. HIDROAEROMEHANIKA.
Povijesna referenca.
Statika je najstarija grana mehanike; neke od njegovih principa poznavali su već stari Egipćani i Babilonci, o čemu svjedoče piramide i hramovi koje su izgradili. Među prvim tvorcima teorijske statike bio je Arhimed (oko 287.–212. pr. Kr.), koji je razvio teoriju poluge i formulirao temeljni zakon hidrostatike. Rodonačelnik moderne statike bio je Nizozemac S. Stevin (1548–1620), koji je 1586. formulirao zakon zbrajanja sila ili pravilo paralelograma i primijenio ga u rješavanju niza problema.
Osnovni zakoni.
Zakoni statike slijede iz opći zakoni dinamika kao poseban slučaj kada brzine krutih tijela teže nuli, ali iz povijesnih razloga i pedagoških razloga, statika se često navodi neovisno o dinamici, gradeći je na sljedećim postuliranim zakonima i principima: a) zakon zbrajanja sila, b) princip ravnoteže i c) princip djelovanja i reakcije. Kod krutih tijela (točnije idealno krutih tijela koja se ne deformiraju pod djelovanjem sila) uvodi se još jedan princip temeljen na definiciji krutog tijela. To je princip prijenosa sile: stanje krutog tijela se ne mijenja kada se točka primjene sile pomiče duž linije njezina djelovanja.
Sila kao vektor.
U statici, sila se može smatrati vučnom ili potisnom silom koja ima određeni smjer, veličinu i točku primjene. S matematičkog gledišta, ovo je vektor, pa se stoga može prikazati kao usmjereni segment ravne linije, čija je duljina proporcionalna veličini sile. (Vektorske veličine, za razliku od ostalih veličina koje nemaju smjer, označene su masnim slovima.)
Paralelogram sila.
Razmotrimo tijelo (sl. 1, A) na koje djeluju sile F 1 i F 2 primijenjena u točki O i prikazana na slici usmjerenim segmentima OA I OB. Kako iskustvo pokazuje, djelovanje sila F 1 i F 2 je ekvivalentno jednoj snazi R, predstavljen segmentom OC. Veličina sile R jednaka je duljini dijagonale paralelograma izgrađenog na vektorima OA I OB kako njegove strane; njegov smjer je prikazan na sl. 1, A. Sila R koja se naziva rezultantna sila F 1 i F 2. Matematički, ovo je zapisano kao R = F 1 + F 2, gdje se zbrajanje podrazumijeva u geometrijski smisao riječi iznad. To je prvi zakon statike, koji se naziva pravilom paralelograma sila.
Uravnotežena sila.
Umjesto građenja paralelograma OACB, za određivanje smjera i veličine rezultante R može se konstruirati trokut OAC translacijom vektora F 2 paralelan sam sa sobom sve dok se njegova početna točka (bivša točka O) ne poklopi s krajnjom točkom (točkom A) vektora OA. Zadnja stranica trokuta OAC očito će imati istu veličinu i isti smjer kao vektor R(Sl. 1, b). Ova metoda pronalaženja rezultante može se generalizirati na sustav mnogih sila F 1 , F 2 ,..., F n primijenjen u istoj točki O razmatranog tijela. Dakle, ako se sustav sastoji od četiri sile (sl. 1, V), tada možete pronaći rezultantu sila F 1 i F 2, preklopite ga silom F 3 , zatim dodajte novu rezultantu sa silom F 4 i, kao rezultat, dobiti ukupnu rezultantu R. Rezultat R, pronađena takvom grafičkom konstrukcijom, predstavljena je stranom zatvaranja OABCD poligona sila (sl. 1, G).
Gore navedena definicija rezultante može se generalizirati na sustav sila F 1 , F 2 ,..., F n primijenjen u točkama O 1 , O 2 ,..., O n krutog tijela. Odabere se točka O, nazvana redukcijska točka, i u njoj se izgradi sustav paralelno prenesenih sila, jednakih po veličini i smjeru silama F 1 , F 2 ,..., F n. Rezultat R ti paralelno preneseni vektori, tj. vektor predstavljen zatvarajućom stranom poligona sila naziva se rezultanta sila koje djeluju na tijelo (slika 2). Jasno je da vektor R ne ovisi o odabranoj točki redukcije. Ako je veličina vektora R(odsječak ON) nije jednak nuli, tada tijelo ne može mirovati: prema Newtonovom zakonu svako tijelo na koje djeluje sila mora se gibati ubrzano. Dakle, tijelo može biti u ravnoteži samo ako je rezultanta svih sila koje djeluju na njega jednaka nuli. Međutim, ovaj nužni uvjet ne može se smatrati dovoljnim - tijelo se može kretati kada je rezultanta svih sila koje djeluju na njega jednaka nuli.
Kao jednostavan, ali važan primjer za pojašnjenje onoga što je rečeno, razmotrite tanku krutu šipku duljine l, čija je težina zanemariva u usporedbi s veličinom sila koje na njega djeluju. Neka na štap djeluju dvije sile F I -F primijenjen na njegove krajeve, jednake veličine, ali suprotno usmjerene, kao što je prikazano na sl. 3, A. U ovom slučaju, rezultanta R jednako je F – F= 0, ali štap neće biti u ravnoteži; očito će se okretati oko svoje sredine O. Sustav dviju jednakih, ali suprotno usmjerenih sila, koje ne djeluju u jednoj ravnoj liniji, je "par sila", koji se može karakterizirati umnoškom veličine sile F na ramenu" l. Značaj takvog proizvoda može se pokazati sljedećim razmišljanjem, koje ilustrira Arhimedovo pravilo poluge i dovodi do zaključka o uvjetu rotacijske ravnoteže. Promotrimo lagani homogeni kruti štap koji se može okretati oko osi u točki O, na koju djeluje sila F 1 primijenjen na daljinu l 1 od osi, kao što je prikazano na sl. 3, b. Pod silom F 1 štap će se okretati oko točke O. Kao što lako možete vidjeti iz iskustva, rotacija takvog štapa može se spriječiti primjenom neke sile F 2 na toj udaljenosti l 2 kako bi se zadovoljila jednakost F 2 l 2 = F 1 l 1 .
Tako se rotacija može spriječiti na bezbroj načina. Važno je samo odabrati silu i točku njezina djelovanja tako da umnožak sile na rame bude jednak F 1 l 1 . Ovo je pravilo poluge.
Nije teško izvesti uvjete ravnoteže za sustav. Djelovanje sila F 1 i F 2 po osi izaziva reakciju u obliku sile reakcije R, primijenjena u točki O i usmjerena suprotno od sila F 1 i F 2. Prema zakonu mehanike o akciji i reakciji, veličina reakcije R jednak zbroju sila F 1 + F 2. Stoga je rezultanta svih sila koje djeluju na sustav jednaka F 1 + F 2 + R= 0, tako da je gornji nužni uvjet ravnoteže zadovoljen. Sila F 1 stvara moment u smjeru kazaljke na satu, tj. trenutak moći F 1 l 1 oko točke O, koja je uravnotežena momentom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu F 2 l 2 snaga F 2. Očito je da je uvjet za ravnotežu tijela jednakost nuli algebarski zbroj momenti, isključujući mogućnost rotacije. Ako snaga F djeluje na štap pod kutom q, kao što je prikazano na sl. 4, A, tada se ta sila može prikazati kao zbroj dviju komponenti, od kojih je jedna ( F p), vrijednost F cos q, djeluje paralelno sa šipkom i uravnotežen je reakcijom oslonca - F p , a drugi ( F n) F grijeh q usmjerena pod pravim kutom u odnosu na polugu. U ovom slučaju moment je Fl grijeh q; može se uravnotežiti bilo kojom silom koja stvara jednaki moment djelujući suprotno od kazaljke na satu.
Radi lakšeg uzimanja u obzir predznaka momenata u slučajevima kada na tijelo djeluje mnogo sila, moment sile F u odnosu na bilo koju točku O tijela (sl. 4, b) može se smatrati vektorom L, jednak vektorski proizvod r ґ F vektor položaja r za snagu F. Tako, L = rґ F. Lako je pokazati da ako čvrsta postoji sustav sila koji djeluje u točkama O 1 , O 2 ,..., O n (slika 5), tada se taj sustav može zamijeniti rezultantom R snage F 1 , F 2 ,..., F n primijenjena u bilo kojoj točki Oŭ tijela, i par sila L, čiji je moment jednak zbroju [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ´ F n]. Da bismo to provjerili, dovoljno je mentalno primijeniti na točku Oŭ sustav parova jednakih, ali suprotno usmjerenih sila F 1 i - F 1 ; F 2 i - F 2 ;...; F n i - F n , što očito ne mijenja stanje krutog tijela.
Nošena F 1 primijenjena u točki O 1 , a sila - F 1 , primijenjene u točki Oŭ, tvore par sila, čiji je moment u odnosu na točku Oŭ jednak r 1 ґ F 1 . Samo iste snage F 2 i - F 2 primijenjen u točkama O 2 i Oŭ, redom, čine par s momentom r 2 ґ F 2 itd. Totalni trenutak L svih takvih parova s obzirom na točku Oŭ dana je vektorskom jednakošću L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ´ F n]. Preostale snage F 1 , F 2 ,..., F n , primijenjeno u točki Oŭ, ukupno daje rezultantu R. Ali sustav ne može biti u ravnoteži ako količine R I L razlikuju se od nule. Posljedično, uvjet jednakosti nuli u isto vrijeme količina R I L je nužan uvjet za ravnotežu. Može se pokazati da je također dovoljno ako tijelo u početku miruje. Stoga se problem ravnoteže svodi na dva analitička uvjeta: R= 0 i L= 0. Ove dvije jednadžbe predstavljaju matematički zapis principa ravnoteže.
Teorijske odredbe statike naširoko se koriste u analizi sila koje djeluju na konstrukcije i konstrukcije. Kod kontinuiranog rasporeda sila zbrojevi koji daju rezultirajući moment L i rezultanta R, zamjenjuju se integralima iu skladu s uobičajenim metodama integralnog računa.
