U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski produkt vektora I mješoviti produkt vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, osim toga skalarni produkt vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. To je pogrešno. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - teško da je kompliciraniji od istog skalarni proizvod, čak tipični zadaci bit će manje. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, jest NE POGRIJEŠITI U RAČUNANJU. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama; pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktični rad

Što će vas odmah usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije ili čak tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nećete morati žonglirati, jer ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni umnožak, uključuje dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označen sa na sljedeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao vektorski umnožak vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni produkt vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Očita razlika je prije svega u REZULTATU:

Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:

Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, odatle i potječe naziv operacije. U raznim obrazovna literatura oznake također mogu varirati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog umnoška

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearni vektori, uzeti u ovim redom , pod nazivom VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju:

Raščlanimo definiciju dio po dio, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaknuti sljedeće značajne točke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, prema definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Uzimaju se vektori po strogo određenom redoslijedu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" s "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako vektore pomnožimo obrnutim redoslijedom, dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je istinita .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (a time i grimiznog vektora) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crno.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:

Naglašavam da se formula odnosi na DUŽINU vektora, a ne na sam vektor. Koje je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijmo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva dijela jednakog trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonalan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (malinasta strelica) također je okomit na izvorne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti što je prostorna orijentacija. Objasnit ću ti na prstima desna ruka. Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat palac – vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat će se palac okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijeliti" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito govoreći, ove baze “izvijaju” ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se najobičnijim zrcalom, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", onda u općem slučaju to neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, držite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro da sada znaš desno i lijevo orijentirani baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Umnožak kolinearnih vektora

Definicija je detaljno raspravljena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je jednak nuli. Isto proizlazi iz formule - sinusa nule ili 180 stupnjeva jednaka nuli, pa je stoga površina nula

Dakle, ako , onda I . Napominjemo da je sam vektorski produkt jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je umnožak vektora sa samim sobom:

Pomoću vektorskog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako

b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u rečenicama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema stanju, trebate pronaći duljina vektor (križni produkt). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Ako ste upitani o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema stanju, trebate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini vektorskog proizvoda:

Odgovor:

Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom produktu, o čemu su nas pitali područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTO trebamo pronaći prema stanju i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dosta bukvalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako se ne radi o nekoj pretjeranoj zamjerki - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovu točku treba uvijek držati pod kontrolom kada rješavate bilo koji problem viša matematika, a i u drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu se moglo dodatno priložiti rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to napravio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za neovisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

U praksi je zadatak doista vrlo čest, trokuti vas općenito znaju mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog produkta vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.

2) – svojstvo se također raspravlja gore, ponekad se zove antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.

3) – asocijativni odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog produkta. Stvarno, što bi tamo trebali raditi?

4) – raspodjela odn distributivni zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.

Za demonstraciju, pogledajmo kratki primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Riješenje: Uvjet ponovno zahtijeva pronalaženje duljine vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog produkta.

(2) Izvodimo konstantu izvan modula, a modul “pojede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je da dodamo još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule . Kvaka je u tome što su sami vektori "tse" i "de" predstavljeni kao zbrojevi vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije Točkasti umnožak vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izrazimo vektor pomoću vektora. Još nema riječi o duljinama!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, koraci 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:

(5) Predstavljamo slične uvjete.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je trebalo postići:

2) U drugom koraku pronalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja mogle su se napisati u jednom redu.

Odgovor:

Razmatrani problem prilično je čest u testovi ah, evo primjera za samostalno rješavanje:

Primjer 5

Pronađite ako

Brzo rješenje a odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Umnožak vektora u koordinatama

, navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:

Formula je doista jednostavna: u gornji red determinante upišemo koordinatne vektore, u drugi i treći red “stavimo” koordinate vektora, te stavimo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, zatim koordinate vektora “double-ve”. Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, redove treba zamijeniti:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski produkt jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski produkt:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski produkt:

Odgovor: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti velik, jer postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijsko značenje i par radnih formula.

Mješoviti umnožak vektora je umnožak triju vektora:

Pa su se poredali kao vlak i jedva čekaju da ih se identificira.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, nazvao volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom “+” ako je baza desna, i znakom “–” ako je baza lijevo.

Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Uzimaju se vektori određenim redoslijedom, odnosno preuređivanje vektora u umnošku, kao što pretpostavljate, ne događa se bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji; navikao sam označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat izračuna slovom "pe".

A-priorat mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak volumenu danog paralelopipeda.

Bilješka : Crtež je shematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti umnožak može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima.

U ovom ćemo članku pobliže pogledati koncept umnožaka dvaju vektora. Dat ćemo potrebne definicije, napisati formulu za pronalaženje koordinata vektorskog produkta, navesti i obrazložiti njegova svojstva. Nakon toga ćemo se zadržati na geometrijskom značenju vektorskog produkta dvaju vektora i razmotriti rješenja raznih tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Definicija unakrsnog umnoška.

Prije definiranja vektorskog produkta, shvatimo orijentaciju uređene trojke vektora u trodimenzionalnom prostoru.

Nacrtajmo vektore iz jedne točke. Ovisno o smjeru vektora, tri mogu biti desna ili lijeva. Pogledajmo s kraja vektora kako je najkraći zavoj od vektora do . Ako se najkraća rotacija dogodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se naziva trojka vektora pravo, inače - lijevo.

Sada uzmimo dva nekolinearna vektora i . Nacrtajmo vektore i iz točke A. Konstruirajmo neki vektor okomit na oba i i . Očito, kada konstruiramo vektor, možemo učiniti dvije stvari, dati mu jedan ili suprotan smjer (vidi sliku).

Ovisno o smjeru vektora, uređeni triplet vektora može biti desno ili lijevo.

Ovo nas dovodi blizu definicije vektorskog produkta. Zadana je za dva vektora definirana u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora.

Definicija.

Umnožak dvaju vektora i , naveden u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora, naziva se vektor takav da

Umnožak vektora i označava se kao .

Koordinate vektorskog umnoška.

Sada ćemo dati drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja vam omogućuje da pronađete njegove koordinate iz koordinata zadanih vektora i.

Definicija.

U pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora vektorski produkt dvaju vektora I je vektor , gdje su koordinatni vektori.

Ova definicija daje nam križni umnožak u koordinatnom obliku.

Prikladno je križni umnožak prikazati kao determinantu kvadratna matrica trećeg reda, čiji su prvi red jedinični vektori, drugi red sadrži koordinate vektora, a treći red sadrži koordinate vektora u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu:

Proširimo li ovu determinantu na elemente prvog retka, dobivamo jednakost iz definicije vektorskog umnoška u koordinatama (ako je potrebno, pogledajte članak):

Treba napomenuti da je koordinatni oblik vektorskog umnoška u potpunosti u skladu s definicijom danom u prvom stavku ovog članka. Štoviše, ove dvije definicije unakrsnog umnoška su ekvivalentne. Dokaz ove činjenice možete vidjeti u knjizi navedenoj na kraju članka.

Svojstva vektorskog produkta.

Budući da se vektorski produkt u koordinatama može prikazati kao determinanta matrice, sljedeće se lako može opravdati na temelju svojstva unakrsnog umnoška:

Kao primjer, dokažimo antikomutativno svojstvo vektorskog produkta.

A-priorat I . Znamo da se vrijednost determinante matrice poništava ako se dva retka zamijene, dakle, , što dokazuje antikomutativno svojstvo vektorskog produkta.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja.

Postoje uglavnom tri vrste problema.

U zadacima prvog tipa zadane su duljine dvaju vektora i kut između njih, a potrebno je pronaći duljinu vektorskog umnoška. U ovom slučaju koristi se formula .

Primjer.

Pronađite duljinu vektorskog umnoška vektora i , ako je poznata .

Riješenje.

Iz definicije znamo da je duljina vektorskog umnoška vektora i jednaka umnošku duljina vektora i sinusa kuta između njih, dakle, .

Odgovor:

.

Problemi drugog tipa vezani su za koordinate vektora, u kojima se vektorski produkt, njegova duljina ili bilo što drugo traži preko koordinata zadanih vektora. I .

Puno je tu potencijala razne opcije. Na primjer, ne mogu se specificirati koordinate vektora i , već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika i , ili vektori i mogu se odrediti koordinatama njihovih početnih i krajnjih točaka.

Pogledajmo tipične primjere.

Primjer.

Zadana su dva vektora u pravokutnom koordinatnom sustavu . Pronađite njihov križni umnožak.

Riješenje.

Prema drugoj definiciji, vektorski umnožak dvaju vektora u koordinatama piše se kao:

Do istog bismo rezultata došli da je vektorski umnožak zapisan u terminima determinante

Odgovor:

.

Primjer.

Nađite duljinu vektorskog umnoška vektora i , gdje su jedinični vektori pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava.

Riješenje.

Prvo nalazimo koordinate vektorskog umnoška u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu.

Budući da vektori i imaju koordinate i respektivno (ako je potrebno, pogledajte članak koordinate vektora u pravokutnom koordinatnom sustavu), tada prema drugoj definiciji vektorskog produkta imamo

Odnosno, vektorski proizvod ima koordinate u zadanom koordinatnom sustavu.

Duljinu vektorskog produkta nalazimo kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata (ovu smo formulu za duljinu vektora dobili u odjeljku o pronalaženju duljine vektora):

Odgovor:

.

Primjer.

U pravokutnom Kartezijanski sustav koordinate date su koordinate triju točaka. Pronađite neki vektor koji je okomit i istodobno.

Riješenje.

Vektori i imaju koordinate i respektivno (vidi članak nalaženje koordinata vektora kroz koordinate točaka). Ako nađemo vektorski umnožak vektora i , tada je to po definiciji vektor okomit na i na i na , odnosno to je rješenje našeg problema. Hajdemo ga pronaći

Odgovor:

- jedan od okomitih vektora.

U zadacima treće vrste provjerava se vještina korištenja svojstava vektorskog umnoška vektora. Nakon primjene svojstava primjenjuju se odgovarajuće formule.

Primjer.

Vektori i su okomiti, a njihove duljine su 3 i 4, redom. Nađi duljinu križnog umnoška .

Riješenje.

Svojstvom distributivnosti vektorskog produkta možemo pisati

Zbog kombinacijskog svojstva, numeričke koeficijente uzimamo izvan predznaka vektorskih produkata u posljednjem izrazu:

Vektorski proizvodi i jednaki su nuli, jer I , Zatim .

Budući da je vektorski umnožak antikomutativan, tada je .

Dakle, koristeći svojstva vektorskog umnoška, ​​došli smo do jednakosti .

Prema uvjetu, vektori i su okomiti, odnosno kut između njih je jednak . Odnosno, imamo sve podatke za pronalaženje potrebne duljine

Odgovor:

.

Geometrijsko značenje vektorskog produkta.

Po definiciji, duljina vektorskog produkta vektora je . I iz kolegija geometrije Srednja škola Znamo da je površina trokuta jednaka polovici umnoška duljina dviju stranica trokuta i sinusa kuta između njih. Prema tome, duljina vektorskog umnoška jednaka je dvostrukoj površini trokuta čije su stranice vektori i , ako su ucrtani iz jedne točke. Drugim riječima, duljina vektorskog umnoška vektora i jednaka je površini paralelograma sa stranicama i kutom između njih jednakim . Ovo je geometrijsko značenje vektorskog produkta.

Test br. 1

Vektori. Elementi više algebre

1-20. Duljine vektora i i su poznate; – kut između ovih vektora.

Izračunajte: 1) i, 2).3) Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima i.

Napravite crtež.

Riješenje. Korištenje definicije točkastog produkta vektora:

I svojstva skalarnog produkta: ,

1) pronađite skalarni kvadrat vektora:

odnosno Tada .

Raspravljajući slično, dobivamo

odnosno Tada .

Prema definiciji vektorskog produkta: ,

uzimajući u obzir da

Površina trokuta sastavljenog od vektora i jednaka je

21-40. Poznate koordinate triju vrhova A, B, D paralelogram ABCD. Koristeći vektorsku algebru, trebate:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Riješenje.

Poznato je da su dijagonale paralelograma u točki presjeka podijeljene popola. Prema tome, koordinate točke E- sjecište dijagonala - pronaći kao koordinate sredine segmenta BD. Označavajući ih sa x E ,g E , z E shvaćamo to

Dobivamo.

Poznavanje koordinata točke E- središte dijagonale BD i koordinate jednog od njegovih krajeva A(3;0;-7), Pomoću formula određujemo tražene koordinate vrha S paralelogram:

Dakle, vrh.

2) Da bismo pronašli projekciju vektora na vektor, nalazimo koordinate ovih vektora: ,

slično . Projekcija vektora na vektor nalazi se pomoću formule:

3) Kut između dijagonala paralelograma nalazi se kao kut između vektora

A po svojstvu skalarnog produkta:

Zatim

4) Pronađite površinu paralelograma kao modul vektorskog proizvoda:

5) Volumen piramide nalazi se kao jedna šestina modula mješovitog produkta vektora, gdje je O(0;0;0), tada

Zatim potreban volumen (kubične jedinice)

41-60. Zadane matrice:

V C -1 +3A T

Oznake:

Prvo nalazimo inverzna matrica na matricu C.

Da bismo to učinili, pronalazimo njegovu determinantu:

Determinanta je različita od nule, stoga je matrica nesingularna i za nju možete pronaći inverznu matricu C -1

Nađimo algebarske komplemente pomoću formule , gdje je minor elementa:

Zatim , .

61–80. Riješite sustav linearne jednadžbe:

Cramerova metoda; 2. Metoda matrice.

Riješenje.

a) Cramerova metoda

Nađimo determinantu sustava

Od , sustav ima jedinstveno rješenje.

Pronađimo determinante i zamjenom prvog, drugog i trećeg stupca u matrici koeficijenata stupcem slobodnih članova.

Prema Cramerovim formulama:

b)matrična metoda (koristeći inverznu matricu).

Ovaj sustav zapisujemo u matričnom obliku i rješavamo ga pomoću inverzne matrice.

Neka A– matrica koeficijenata za nepoznanice; x– matrica-stupac nepoznanica x, g, z I N– matrica-stupac slobodnih članova:

Lijeva strana sustava (1) može se napisati kao produkt matrica , a desna strana kao matrica N. Stoga imamo matričnu jednadžbu

Budući da je determinanta matrice A različita od nule (točka “a”), tada matrica A ima inverznu matricu. Pomnožimo obje strane jednakosti (2) lijevo s matricom, dobivamo

Odakle E je matrica identiteta, i , tada

Neka imamo nesingularnu matricu A:

Zatim nalazimo inverznu matricu pomoću formule:

Gdje A i J- algebarski komplement elementa a i J u determinantu matrice A, koji je umnožak (-1) i+j i minora (determinanta) n-1 nalog dobiven brisanjem i-ti linije i jth stupac u determinanti matrice A:

Odavde dobivamo inverznu matricu:

Stupac X: X=A -1 H

81–100. Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Riješenje. Napišimo sustav u obliku proširene matrice:

Izvodimo elementarne transformacije nizovima.

Od 2. retka oduzimamo prvi redak pomnožen s 2. Od retka 3 oduzimamo prvi redak pomnožen s 4. Od retka 4 oduzimamo prvi redak, dobivamo matricu:

Zatim dobivamo nulu u prvom stupcu sljedećih redaka; da bismo to učinili, oduzmite treći red od drugog reda. Od trećeg retka oduzmite drugi redak, pomnožen s 2. Od četvrtog retka oduzmite drugi redak, pomnožen s 3. Kao rezultat, dobivamo matricu oblika:

Od četvrtog retka oduzimamo treći.

Zamijenimo pretposljednji i zadnji red:

Posljednja matrica je ekvivalentna sustavu jednadžbi:

Iz posljednje jednadžbe sustava nalazimo .

Zamjenom u pretposljednju jednadžbu dobivamo .

Iz druge jednadžbe sustava slijedi da

Iz prve jednadžbe nalazimo x:

Odgovor:

Test br. 2

Analitička geometrija

1-20. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC. Pronaći:

1) duljina stranice AU;

2) jednadžbe strana AB I Sunce i njihovi kutni koeficijenti;

3) kut U u radijanima s točnošću do dvije znamenke;

4) jednadžba visine CD i njegova duljina;

5) jednadžba medijana AE

visina CD;

DO paralelno sa stranom AB,

7) napraviti crtež.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Riješenje.

Primjenom (1) nalazimo duljinu stranice AB:

2) jednadžbe strana AB I Sunce i njihovi kutni koeficijenti:

Jednadžba pravca, prolazi kroz točke i , ima oblik

Zamjenom koordinata točaka u (2) A I U, dobivamo jednadžbu stranice AB:

(AB).

(prije Krista).

3) kut U u radijanima s točnošću od dvije znamenke.

Poznato je da se tangens kuta između dviju ravnih linija, čiji su kutni koeficijenti jednaki, izračunava formulom

Potreban kut U formirana ravnim linijama AB I Sunce, čiji se kutni koeficijenti nalaze: ; . Primjenom (3) dobivamo

; , ili

4) jednadžba visine CD i njegovu duljinu.

Udaljenost od točke C do pravca AB:

5) jednadžba medijana AE a koordinate točke K sjecišta te središnje s

visina CD.

sredina sunčane strane:

Tada jednadžba AE:

Rješavamo sustav jednadžbi:

6) jednadžba pravca koji prolazi točkom DO paralelno sa stranom AB:

Budući da je željena linija paralelna sa stranicom AB, zatim nju nagib bit će jednak nagibu ravne linije AB. Zamjenom koordinata pronađene točke u (4) DO i nagib, dobivamo

; (KF).

Površina paralelograma je 12 kvadratnih metara. jedinice, njegova dva vrha su točke A(-1;3) I B(-2;4). Nađite druga dva vrha ovog paralelograma ako je poznato da sjecište njegovih dijagonala leži na x-osi. Napravite crtež.

Riješenje. Neka sjecište dijagonala ima koordinate .

Onda je očito da

dakle, koordinate vektora su .

Pomoću formule nalazimo površinu paralelograma

Tada su koordinate druga dva vrha .

U zadacima 51-60 zadane su koordinate točaka A i B. Potreban:

Napišite kanoničku jednadžbu za hiperbolu koja prolazi kroz te točke A i B, ako se žarišta hiperbole nalaze na x-osi;

Naći poluosi, žarišta, ekscentricitet i jednadžbe asimptota ove hiperbole;

Pronađite sve točke sjecišta hiperbole sa središtem kružnice podrijetlo, ako ta kružnica prolazi kroz žarišta hiperbole;

Konstruirajte hiperbolu, njene asimptote i kružnicu.

A(6;-2), B(-8;12).

Riješenje. Napisana je jednadžba tražene hiperbole u kanonskom obliku

Gdje a- realna poluos hiperbole, b- zamišljena poluos. Zamjena koordinata točaka A I U U ovoj jednadžbi nalazimo ove poluosi:

– jednadžba hiperbole: .

Poluosi a=4,

fokusi žarišne duljine (-8,0) i (8,0)

Ekscentričnost

Asiptote:

Ako krug prolazi kroz ishodište, njegova jednadžba je

Zamjenom jednog od žarišta nalazimo jednadžbu kruga

Odredite sjecišne točke hiperbole i kružnice:

Izrađujemo crtež:

U zadacima 61-80 konstruirajte graf funkcije u polarnom koordinatnom sustavu točku po točku dajući  vrijednosti kroz interval  /8 (0   2). Nađite jednadžbu pravca u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu (pozitivna poluos apscise poklapa se s polarnom osi, a pol s ishodištem).

Riješenje. Izgradimo liniju po točkama, prvo popunivši tablicu vrijednosti i φ.

Broj	φ ,	φ, stupnjevi			Broj	φ , radostan	stupnjeva
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 zaključujemo da ova jednadžba definira elipsu: Daju se bodovi A, U , C, D . Treba pronaći: 1. Jednadžba ravnine (Q), prolazeći kroz točke A, B, C D u avionu (Q); 2. Jednadžba linije (ja), prolazeći kroz točke U i D; 3. Kut između ravnina (Q) i ravno (ja); 4. Jednadžba ravnine (R), prolazeći kroz točku A okomito na ravnu liniju (ja); 5. Kut između ravnina (R) I (Q) ; 6. Jednadžba pravca (T), prolazeći kroz točku A u smjeru njegovog radijus vektora; 7. Kut između ravnih linija (ja) I (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Jednadžba ravnine (Q), prolazeći kroz točke A, B, C i provjerite leži li poanta D u ravnini određuje se formulom Nađi: 1) . 2) Kvadrat paralelogram, izgrađena na I. 3) Volumen paralelopipeda, izgrađena na vektori, I. Kontrolirati Posao na ovu temu" Elementi teorija linearnih prostora... Metodološke preporuke za polaganje kolokvija za preddiplomske izvanredne studije kvalifikacije 080100. 62 u smjeru Smjernice Paralelepiped i volumen piramide, izgrađena na vektori, I. Rješenje: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. ZADACI ZA KONTROLIRATI DJELA Odjeljak I. Linearni algebra. 1 – 10. S obzirom...