Metode određivanja težišta čvrstog tijela. Metode određivanja koordinata težišta. Biblioteka elementarnih figura

Određivanje težišta proizvoljnog tijela uzastopnim zbrajanjem sila koje djeluju na njegove pojedine dijelove teška je zadaća; to je olakšano samo za tijela relativno jednostavnog oblika.

Neka se tijelo sastoji samo od dva utega mase i spojena štapom (slika 125). Ako je masa štapa mala u usporedbi s masama i , tada se može zanemariti. Na svaku od masa djeluje gravitacija jednaka i; oba su usmjerena okomito prema dolje, odnosno paralelno jedna s drugom. Kao što znamo, rezultanta dviju paralelnih sila djeluje u točki , koja je određena iz uvjeta

Riža. 125. Određivanje težišta tijela koje se sastoji od dva tereta

Dakle, težište dijeli udaljenost između dva tereta u omjeru obrnutom omjeru njihovih masa. Ako se to tijelo objesi u točku , ono će ostati u ravnoteži.

Budući da dvije jednake mase imaju zajedničko težište u točki koja raspolavlja udaljenost između tih masa, odmah je jasno da npr. težište homogenog štapa leži u sredini štapa (sl. 126) .

Budući da svaki promjer homogenog okruglog diska dijeli na dva potpuno identična simetrična dijela (sl. 127), težište mora ležati na svakom promjeru diska, odnosno u točki sjecišta promjera - u geometrijskom središte diska. Raspravljajući na sličan način, možemo ustanoviti da težište homogene lopte leži u njezinom geometrijskom središtu, težište homogene lopte kuboidan leži u sjecištu njegovih dijagonala itd. Težište obruča ili prstena leži u njegovom središtu. Posljednji primjer pokazuje da težište tijela može ležati izvan tijela.

Riža. 126. Težište homogenog štapa leži u njegovoj sredini

Riža. 127. Središte homogenog diska nalazi se u njegovom geometrijskom središtu

Ako je tijelo nepravilnog oblika ili ako je nehomogeno (na primjer, ima šupljine), tada je izračunavanje položaja težišta često teško i taj je položaj praktičnije pronaći iskustvom. Neka je, na primjer, potrebno pronaći težište komada šperploče. Objesimo ga na konac (slika 128). Očito, u ravnotežnom položaju, težište tijela mora ležati na nastavku niti, inače će sila teže imati moment u odnosu na točku ovjesa, koji bi tijelo počeo okretati. Stoga, povlačeći ravnu liniju na našem komadu šperploče, koja predstavlja nastavak niti, možemo ustvrditi da težište leži na toj ravnoj liniji.

Doista, vješanjem tijela na različitim točkama i crtanjem okomitih linija, pobrinut ćemo se da se sve sijeku u jednoj točki. Ova točka je težište tijela (budući da mora ležati istovremeno na svim takvim linijama). Na sličan način može se odrediti položaj težišta ne samo ravnog lika, već i složenijeg tijela. Položaj težišta letjelice određuje se kotrljanjem kotačićima na platformu vage. Rezultanta sila težine na svakom kotaču bit će usmjerena okomito, a liniju duž koje ona djeluje možete pronaći po zakonu zbrajanja paralelnih sila.

Riža. 128. Sjecište okomitih linija povučenih kroz točke ovjesa je težište tijela

Pri promjeni masa pojedinih dijelova tijela ili pri promjeni oblika tijela mijenja se položaj težišta. Dakle, težište zrakoplova se pomiče kada se troši gorivo iz spremnika, kada se utovaruje prtljaga itd. Za vizualni eksperiment koji ilustrira kretanje težišta kada se mijenja oblik tijela, zgodno je uzeti dvije identične šipke spojene šarkom (slika 129). U slučaju kada se šipke nastavljaju jedna na drugu, težište leži na osi šipki. Ako su šipke savijene na zglobu, tada je težište izvan šipki, na simetrali kuta koji čine. Ako se na jednu od šipki stavi dodatno opterećenje, tada će se težište pomaknuti prema tom opterećenju.

centar gravitacije Kruto tijelo je geometrijska točka koja je kruto povezana s tim tijelom i središte je paralelnih gravitacijskih sila koje djeluju na pojedinačne elementarne čestice tijela (slika 1.6).

Radijus vektor ove točke

Slika 1.6

Za homogeno tijelo položaj težišta tijela ne ovisi o materijalu, već je određen geometrijskim oblikom tijela.

Ako specifična težina homogenog tijela γ , težina elementarna čestica tijelo

P k = γΔV k (P = γV ) zamijenite u formulu za određivanje r C , imamo

Odakle, projiciranjem na osi i prolazom do granice, dobivamo koordinate težišta homogenog volumena

Slično, za koordinate težišta homogene površine s površinom S (Slika 1.7, a)

Slika 1.7

Za koordinate težišta homogene dužine L (Slika 1.7, b)

Metode određivanja koordinata težišta

Na temelju prethodnog opće formule, možete odrediti načine za određivanje koordinata težišta čvrstih tijela:

1 Analitički(integracijom).

2 Metoda simetrije. Ako tijelo ima ravninu, os ili centar simetrije, tada njegovo težište leži redom u ravnini simetrije, osi simetrije ili u centru simetrije.

3 Eksperimentalno(metoda ovjesa tijela).

4 cijepanje. Tijelo je podijeljeno na konačan broj dijelova, za svaki od njih je položaj težišta C i područje S znan. Na primjer, projekcija tijela na ravninu xOy (Slika 1.8) može se prikazati kao dvije ravne figure s površinama S 1 I S 2 (S=S 1 +S 2 ). Težišta ovih figura su u točkama C 1 (x 1 ,y 1 ) I C 2 (x 2 ,y 2 ) . Tada su koordinate težišta tijela

Slika 1.8

5Dodatak(metoda negativnih površina ili volumena). Poseban slučaj metode particioniranja. Za tijela s izrezima vrijedi ako su poznata težišta tijela bez izreza i izreza. Na primjer, trebate pronaći koordinate težišta ravne figure (slika 1.9):

Slika 1.9

Težišta najjednostavnijih figura

Slika 1.10

1 trokut

Središte gravitacije područja trokuta podudara se s točkom sjecišta njegovih medijana (Slika 1.10, a).

DM=MB , CM= (1/3)AM .

2 Kružni luk

Luk ima os simetrije (Slika 1.10, b). Na ovoj osi leži težište, tj. g C = 0 .

dl – lučni element, dl = Rdφ , R je polumjer kruga, x = Rcosφ , L= 2aR ,

Stoga:

x C = R(sinα/α) .

3 Kružni sektor

Sektor radijusa R sa središnjim kutom 2 α ima os simetrije Vol , na kojem se nalazi centar gravitacije (Slika 1.10, c).

Sektor dijelimo na elementarne sektore, koji se mogu smatrati trokutima. Težišta elementarnih sektora nalaze se na luku kruga polumjera (2/3) R .

Težište sektora poklapa se s težištem luka AB :

14. Metode zadavanja gibanja točke.

Kod vektorske metode zadavanja gibanja, položaj točke određuje radijus vektor povučen iz fiksne točke u odabranom referentnom sustavu.

S koordinatnom metodom određivanja gibanja, koordinate točke se specificiraju kao funkcija vremena:

To su parametarske jednadžbe putanje pokretne točke, u kojima vrijeme igra ulogu parametra t . Da bi se njegova jednadžba zapisala u eksplicitnom obliku, potrebno je iz njih isključiti t .

Prirodnom metodom zadavanja gibanja postavlja se putanja točke, ishodište na putanji s naznakom pozitivnog referentnog smjera, zakon promjene lučne koordinate: s=s(t) . Ova metoda je prikladna za korištenje ako je putanja točke unaprijed poznata.

15. 1.2 Brzina točke

Razmotrite kretanje točke u malom vremenskom razdoblju Δt :

prosječna brzina točke u određenom vremenskom razdoblju Dt . Brzina točke u određenom trenutku

Brzina točke je kinematička mjera njegovog gibanja, jednaka vremenskoj derivaciji radijus vektora ove točke u referentnom okviru koji se razmatra. Vektor brzine usmjeren je tangencijalno na putanju točke u smjeru gibanja.

Određivanje težišta proizvoljnog tijela uzastopnim zbrajanjem sila koje djeluju na njegove pojedine dijelove teška je zadaća; to je olakšano samo za tijela relativno jednostavnog oblika.

Riža. 125. Određivanje težišta tijela koje se sastoji od dva tereta

Dakle, težište dijeli udaljenost između dva tereta u omjeru obrnutom omjeru njihovih masa. Ako se to tijelo objesi u točku , ono će ostati u ravnoteži.

Budući da dvije jednake mase imaju zajedničko težište u točki koja raspolavlja udaljenost između tih masa, odmah je jasno da npr. težište homogenog štapa leži u sredini štapa (sl. 126) .

Budući da svaki promjer homogenog okruglog diska dijeli na dva potpuno identična simetrična dijela (sl. 127), težište mora ležati na svakom promjeru diska, odnosno u točki sjecišta promjera - u geometrijskom središte diska. Raspravljajući na sličan način, možemo ustanoviti da težište homogene lopte leži u njenom geometrijskom središtu, težište homogenog pravokutnog paralelopipeda leži u sjecištu njegovih dijagonala, itd. Težište obruča ili prsten leži u njegovom središtu. Posljednji primjer pokazuje da težište tijela može ležati izvan tijela.

Riža. 126. Težište homogenog štapa leži u njegovoj sredini

Riža. 127. Središte homogenog diska nalazi se u njegovom geometrijskom središtu

Riža. 128. Sjecište okomitih linija povučenih kroz točke ovjesa je težište tijela

Riža. 129. a) Težište šipki spojenih zglobom, smještenih na jednoj ravnoj liniji, leži na osi šipki, b) Težište savijenog sustava šipki leži izvan šipki

81.1. Gdje je težište dviju jednakih tankih šipki duljine 12 cm pričvršćenih u obliku slova T?

81.2. Dokažite da težište jednolike trokutaste ploče leži u sjecištu središnjica.

Riža. 130. Za vježbu 81.3

81.3. Homogena ploča mase 60 kg počiva na dva nosača, kao što je prikazano na sl. 130. Odredite sile koje djeluju na oslonce.

Težište je točka kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnih elementarnih sila teže. Ima svojstvo centra paralelnih sila (E. M. Nikitin, § 42). Zato formule za određivanje položaja težišta razna tijela izgledati ovako:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Ako se tijelo čije težište treba odrediti može poistovjetiti s likom sastavljenim od linija (na primjer, zatvorenom ili otvorenom konturom od žice, kao na slici 173), tada težina G i svakog segmenta l i može se predstaviti kao proizvod
G i \u003d l i d,
gdje je d težina jedinice duljine materijala koja je konstantna za cijelu figuru.

Nakon zamjene u formule (1) umjesto G i njihove vrijednosti l i d, konstantni faktor d u svakom članu brojnika i nazivnika može se izvaditi iz zagrada (izvan znaka zbroja) i smanjiti. Tako, formule za određivanje koordinata težišta lika sastavljenog od odsječaka, poprimit će oblik:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Ako tijelo ima oblik lika sastavljenog od ravnina ili zakrivljenih ploha raspoređenih na različite načine (slika 174), tada se težina svake plohe (plohe) može prikazati na sljedeći način:
G i = F i p,
gdje su F i površine svake površine, a p težina po jedinici površine figure.

Nakon zamjene ove vrijednosti G i u formule (1), dobivamo formule za koordinate težišta lika sastavljenog od površina:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Ako se homogeno tijelo može podijeliti na jednostavne dijelove određenog geometrijskog oblika (sl. 175), tada je težina svakog dijela
G i = V i γ,
gdje je V i volumen svakog dijela, a γ težina po jedinici volumena tijela.

Nakon zamjene vrijednosti G i u formule (1), dobivamo formule za određivanje koordinata težišta tijela sastavljenog od homogenih volumena:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

Pri rješavanju nekih zadataka za određivanje položaja težišta tijela ponekad je potrebno znati gdje se nalazi težište luka kružnice, kružnog isječka ili trokuta.

Ako je poznat polumjer luka r i središnji kut 2α, skupljen lukom i izražen u radijanima, tada je položaj težišta C (Sl. 176, a) u odnosu na središte luka O određen formulom:
(5) x c = (r sin α)/α.

Ako je dana tetiva AB=b luka, tada je u formuli (5) moguće izvršiti zamjenu
sinα = b/(2r)
i onda
(5a) x c = b/(2α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje formule će imati oblik (Sl. 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Položaj težišta kružnog sektora, ako je zadan njegov polumjer r (slika 176, c), određuje se pomoću formule:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Ako je dana tetiva sektora, tada:
(6a) x c = b/(3α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje posljednje formule će imati oblik (Sl. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Težište područja bilo kojeg trokuta nalazi se s bilo koje strane na udaljenosti jednakoj jednoj trećini odgovarajuće visine.

U pravokutnom trokutu, težište je u sjecištu okomica podignutih na noge iz točaka koje se nalaze na udaljenosti od jedne trećine duljine nogu, računajući od vrha pravi kut(Slika 177).

Pri rješavanju zadataka za određivanje položaja težišta bilo kojeg homogenog tijela, sastavljenog bilo od tankih šipki (linija), bilo od ploča (površina), bilo od volumena, preporučljivo je pridržavati se sljedećeg redoslijeda:

1) nacrtati tijelo kojem treba odrediti položaj težišta. Budući da su sve dimenzije tijela obično poznate, potrebno je poštivati mjerilo;

2) rastaviti tijelo na sastavne dijelove (odsječke ili površine, odnosno volumene), čiji se položaj težišta određuje na temelju veličine tijela;

3) odrediti ili duljine, ili površine, ili volumene sastavni dijelovi;

4) odabrati mjesto koordinatnih osi;

5) odrediti koordinate težišta sastavnih dijelova;

6) zamijeniti pronađene vrijednosti duljina ili površina ili volumena pojedinih dijelova, kao i koordinate njihovih težišta, u odgovarajuće formule i izračunati koordinate težišta cijelog tijela;

7) prema pronađenim koordinatama označite na slici položaj težišta tijela.

§ 23. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od tankih homogenih šipki

§ 24. Određivanje položaja težišta figura sastavljenih od ploča

U posljednjem zadatku, kao iu zadacima danim u prethodnom odlomku, podjela figura na sastavne dijelove ne izaziva velike poteškoće. Ali ponekad lik ima takav oblik koji vam omogućuje da ga podijelite na sastavne dijelove na nekoliko načina, na primjer, tanka pravokutna ploča s trokutastim rezom (slika 183). Prilikom određivanja položaja težišta takve ploče, njezino područje se može podijeliti na četiri pravokutnika (1, 2, 3 i 4) i jedan pravokutni trokut 5 - na nekoliko načina. Dvije opcije prikazane su na sl. 183, a i b.

Najracionalniji je način dijeljenja figure na sastavne dijelove, pri čemu se formira najmanji broj njih. Ako lik ima izreze, oni se također mogu uključiti u broj sastavnih dijelova figure, ali se površina izrezanog dijela smatra negativnom. Stoga se ova podjela naziva metodom negativnih površina.

Ploča na sl. 183, c ovom metodom dijelimo na samo dva dijela: pravokutnik 1 s površinom cijele ploče, kao da je cijela, i trokut 2 s površinom koju smatramo negativnom.

§ 26. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova jednostavnog geometrijskog oblika

Za rješavanje problema određivanja položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova jednostavnog geometrijskog oblika potrebno je posjedovati vještine određivanja koordinata težišta figura sastavljenih od linija ili površina. .

Autor: Uzmimo tijelo proizvoljnog oblika. Da li ga je moguće objesiti na konac tako da nakon vješanja zadrži svoj položaj (tj. da se ne počne okretati) kada bilo koji početna orijentacija (sl. 27.1)?

Drugim riječima, postoji li takva točka u odnosu na koju bi zbroj momenata sila teže koje djeluju na različite dijelove tijela bio jednak nuli u bilo koji orijentacija tijela u prostoru?

Čitač: Da, mislim da jesam. Takva se točka naziva težište tijela.

Dokaz. Radi jednostavnosti, razmotrimo tijelo u obliku ravne ploče proizvoljnog oblika proizvoljno orijentirane u prostoru (slika 27.2). Uzmite koordinatni sustav x 0na s ishodištem u središtu mase – točka S, Zatim x C = 0, kod C = 0.

Predstavimo ovo tijelo kao skup veliki broj točkaste mase m i, od kojih je položaj svakog od njih dan radijus vektorom .

Prema definiciji centra mase , i koordinate x C = .

Budući da u našem koordinatnom sustavu x C= 0, tada . Pomnožimo ovu jednadžbu s g i dobiti

Kao što se može vidjeti sa sl. 27.2, | x i| je rame snage. I ako x i> 0, tada moment sile M i> 0, a ako x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i moment sile će biti M i = m i gx i. Tada je jednakost (1) ekvivalentna , gdje je M i je gravitacijski moment. A to znači da će s proizvoljnom orijentacijom tijela zbroj momenata gravitacijskih sila koje djeluju na tijelo biti jednak nuli u odnosu na njegov centar mase.

Da bi tijelo koje razmatramo bilo u ravnoteži potrebno je na njega primijeniti točku S sila T = mg usmjeren okomito prema gore. Moment ove sile oko točke S nula.

Budući da naše razmišljanje ni na koji način nije ovisilo o tome kako je točno tijelo orijentirano u prostoru, dokazali smo da se težište poklapa sa središtem mase, što je i trebalo dokazati.

Problem 27.1. Nađite težište bestežinskog štapa duljine l, na čijim su krajevima učvršćene dvije točkaste mase T 1 i T 2 .

T 1 T 2 l	Riješenje. Nećemo tražiti težište, već središte mase (jer su jedno te isto). Predstavimo os x(Slika 27.3). Riža. 27.3
x C =?

Odgovor: daleko od mase T 1 .

STOP! Odlučite sami: B1-B3.

Izjava 1 . Ako homogeno ravno tijelo ima os simetrije, težište je na toj osi.

Doista, za bilo koju masu točke m i, koja se nalazi desno od osi simetrije, postoji ista masa točke koja se nalazi simetrično u odnosu na prvu (sl. 27.4). U ovom slučaju zbroj momenata sila .

Budući da se cijelo tijelo može prikazati podijeljeno na slične parove točaka, ukupni moment gravitacije u odnosu na bilo koju točku koja leži na osi simetrije jednak je nuli, što znači da se težište tijela također nalazi na ovoj osi. Ovo dovodi do važnog zaključka: ako tijelo ima više osi simetrije, tada se težište nalazi u sjecištu tih osi(Slika 27.5).

Riža. 27.5

Izjava 2. Ako su dva tijela s masama T 1 i T 2 spojeni u jedno, tada će težište takvog tijela ležati na ravnoj liniji koja povezuje težišta prvog i drugog tijela (sl. 27.6).

Riža. 27.6 Riža. 27.7

Dokaz. Postavimo složeno tijelo tako da segment koji spaja težišta tijela bude okomit. Zatim zbroj momenata gravitacije prvog tijela s obzirom na točku S 1 jednak nuli, a zbroj momenata sile teže drugog tijela oko točke S 2 je nula (slika 27.7).

primijeti da rame gravitacija bilo koje točkaste mase t i isti u odnosu na bilo koju točku na segmentu S 1 S 2, a time i moment sile teže u odnosu na bilo koju točku koja leži na segmentu S 1 S 2 su ista. Stoga je gravitacija cijelog tijela jednaka nuli u odnosu na bilo koju točku na segmentu S 1 S 2. Dakle, težište kompozitnog tijela leži na segmentu S 1 S 2 .

Tvrdnja 2 implicira važan praktični zaključak, koji je jasno formuliran u obliku uputa.

instrukcija,

kako pronaći težište čvrsto tijelo ako se može slomiti

na dijelove od kojih su poznati položaji težišta svakog od njih

1. Svaki dio zamijenite masom koja se nalazi u težištu tog dijela.

2. Pronađite centar gravitacije(a to je isto što i težište) rezultirajućeg sustava točkastih masa, odabirom prikladnog koordinatnog sustava x 0na, prema formulama:

Doista, postavimo složeno tijelo na takav način da segment S 1 S 2 je bio horizontalan, a objesit ćemo ga na niti na točkama S 1 i S 2 (Sl. 27.8, A). Jasno je da će tijelo biti u ravnoteži. A ta se ravnoteža neće poremetiti ako svako tijelo zamijenimo točkastim masama T 1 i T 2 (Sl. 27.8, b).

Riža. 27.8

STOP! Odlučite sami: C3.

Problem 27.2. Kuglice mase postavljene su na dva vrha jednakostraničnog trokuta T svaki. U trećem vrhu nalazi se lopta mase 2 T(Sl. 27.9, A). Strana trokuta A. Odredite težište ovog sustava.