Kako se zove graf harmonijskih vibracija? Harmonijske vibracije. Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Dok proučavate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije različite fizičke prirode opisuju se sa zajedničkih matematičkih pozicija. Ovdje je potrebno jasno razumjeti takve pojmove kao što su harmonijska oscilacija, faza, fazna razlika, amplituda, frekvencija, period oscilacije.

Mora se imati na umu da u svakom stvarnom oscilatornom sustavu postoji otpor medija, tj. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uvode se koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se oscilacije javljaju pod utjecajem vanjske sile koja se povremeno mijenja, tada se takve oscilacije nazivaju prisilnim. Oni će biti neprigušeni. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Kako se frekvencija prisilnih oscilacija približava frekvenciji vlastitih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Taj se fenomen naziva rezonancijom.

Kada prijeđete na proučavanje elektromagnetskih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetski valje elektromagnetsko polje koje se širi u prostoru. Najjednostavniji sustav emitiranja Elektromagnetski valovi, je električni dipol. Ako dipol prolazi kroz harmonijske oscilacije, on emitira monokromatski val.

Tablica formula: oscilacije i valovi

Fizikalni zakoni, formule, varijable	Oscilacijske i valne formule
Jednadžba harmonijske vibracije: gdje je x pomak (odstupanje) fluktuirajuće veličine od ravnotežnog položaja; A - amplituda; ω - kružna (ciklička) frekvencija; α - početna faza; (ωt+α) - faza.
Odnos između perioda i kružne frekvencije:
Frekvencija:
Odnos između kružne frekvencije i frekvencije:
Periodi vlastitih oscilacija 1) opružno njihalo: gdje je k krutost opruge; 2) matematičko njihalo: gdje je l duljina njihala, g - ubrzanje slobodan pad; 3) oscilatorni krug: gdje je L induktivitet kruga, C je kapacitet kondenzatora.
Prirodna frekvencija:
Zbrajanje oscilacija iste frekvencije i smjera: 1) amplituda rezultirajuće oscilacije gdje su A1 i A2 amplitude komponenti vibracija, α 1 i α 2 - početne faze komponenti vibracija; 2) početna faza nastale oscilacije
Jednadžba prigušenih oscilacija: e = 2,71... - baza prirodnih logaritama.
Amplituda prigušenih oscilacija: gdje je A 0 amplituda u početnom trenutku vremena; β - koeficijent prigušenja;
Koeficijent prigušenja: oscilirajuće tijelo gdje je r koeficijent otpora medija, m - tjelesna težina; oscilatorni krug gdje je R aktivni otpor, L je induktivitet kruga.
Frekvencija prigušenih oscilacija ω:
Period prigušenih oscilacija T:
Logaritamsko smanjenje prigušenja:

>>Harmonijske vibracije

§ 22 HARMONIČKE VIBRACIJE

Znajući kako su akceleracija i koordinata tijela koje oscilira međusobno povezani, moguće je, na temelju matematičke analize, pronaći ovisnost koordinate o vremenu.

Ubrzanje je druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Trenutna brzina točka je, kao što znate iz tečaja matematike, derivacija koordinata točke u odnosu na vrijeme. Ubrzanje točke je derivacija njezine brzine u odnosu na vrijeme, odnosno druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Stoga se jednadžba (3.4) može napisati na sljedeći način:

gdje je x " - druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Prema jednadžbi (3.11) tijekom slobodnih oscilacija koordinata x se mijenja s vremenom tako da je druga derivacija koordinate po vremenu izravno proporcionalna samoj koordinati i suprotnog je predznaka.

Iz tečaja matematike poznato je da su druge derivacije sinusa i kosinusa s obzirom na njihov argument proporcionalne samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom. Matematička analiza dokazuje da nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sve to nam omogućuje da opravdano tvrdimo da se koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa ili pasina. Slika 3.6 prikazuje promjenu koordinate točke tijekom vremena prema kosinusnom zakonu.

Periodične promjene fizička količina ovisno o vremenu, koje se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijskim oscilacijama.

Amplituda oscilacija. Amplituda harmonijskih oscilacija je modul najvećeg pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.

Amplituda može imati različite vrijednosti ovisno o tome koliko pomaknemo tijelo iz ravnotežnog položaja u početnom trenutku vremena, odnosno o tome koja je brzina priopćena tijelu. Amplituda je određena početnim uvjetima, točnije energijom predanom tijelu. Ali maksimalne vrijednosti modula sinusa i modula kosinusa jednake su jedan. Stoga se rješenje jednadžbe (3.11) ne može izraziti jednostavno kao sinus ili kosinus. Trebao bi biti u obliku umnoška amplitude oscilacije x m sa sinusom ili kosinusom.

Rješenje jednadžbe koja opisuje slobodne vibracije. Zapišimo rješenje jednadžbe (3.11) u sljedećem obliku:

a drugi izvod će biti jednak:

Dobili smo jednadžbu (3.11). Prema tome, funkcija (3.12) je rješenje izvorne jednadžbe (3.11). Rješenje ove jednadžbe također će biti funkcija

Graf ovisnosti koordinate tijela o vremenu prema (3.14) je kosinusni val (vidi sl. 3.6).

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija. Pri osciliranju pokreti tijela se periodički ponavljaju. Vremenski period T tijekom kojeg sustav napravi jedan puni ciklus oscilacija naziva se periodom oscilacija.

Poznavajući razdoblje, možete odrediti frekvenciju oscilacija, tj. Broj oscilacija po jedinici vremena, na primjer u sekundi. Ako se u vremenu T dogodi jedan titraj, onda je broj titraja u sekundi

U Međunarodnom sustavu jedinica (SI) frekvencija titranja jednaka je jedinici ako postoji jedan titraj u sekundi. Jedinica za frekvenciju naziva se herc (skraćeno: Hz) u čast njemačkog fizičara G. Hertza.

Broj oscilacija u 2 s jednak je:

Veličina je ciklička ili kružna frekvencija oscilacija. Ako je u jednadžbi (3.14) vrijeme t jednako jednoj periodi, tada je T = 2. Dakle, ako je u trenutku t = 0 x = x m, tada u trenutku t = T x = x m, tj. kroz vremensko razdoblje jednako jednom razdoblja, oscilacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih titraja određena je vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava 1.

Ovisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sustava. Vlastita frekvencija titranja tijela pričvršćenog na oprugu, prema jednadžbi (3.13), jednaka je:

Što je krutost opruge k veća, to je veća, a što je manja, veća je masa tijela m. To je lako razumjeti: kruta opruga daje tijelu veće ubrzanje i brže mijenja brzinu tijela. I što je tijelo masivnije, to sporije mijenja brzinu pod utjecajem sile. Period titranja jednak je:

Imajući skup opruga različite krutosti i tijela različitih masa, lako je iz iskustva provjeriti da formule (3.13) i (3.18) ispravno opisuju prirodu ovisnosti i T o k i m.

Zanimljivo je da period titranja tijela na opruzi i period titranja njihala pri malim kutovima otklona ne ovise o amplitudi titranja.

Modul koeficijenta proporcionalnosti između akceleracije t i pomaka x u jednadžbi (3.10), koja opisuje oscilacije njihala, je, kao iu jednadžbi (3.11), kvadrat cikličke frekvencije. Posljedično, vlastita frekvencija titranja matematičkog njihala pri malim kutovima odstupanja niti od okomice ovisi o duljini njihala i ubrzanju sile teže:

Ovu je formulu prvi dobio i eksperimentalno ispitao nizozemski znanstvenik G. Huygens, suvremenik I. Newtona. Vrijedi samo za male kutove otklona niti.

1 Često ćemo u nastavku, radi sažetosti, cikličku frekvenciju jednostavno nazivati ​​frekvencijom. Možete razlikovati cikličku frekvenciju od normalne frekvencije zapisom.

Period titranja raste s povećanjem duljine njihala. Ne ovisi o masi njihala. To se lako može eksperimentalno provjeriti s raznim njihalima. Također se može otkriti ovisnost perioda titranja o ubrzanju sile teže. Što je g manji, to je period titranja njihala duži i, prema tome, sat njihala sporije radi. Tako će sat s njihalom u obliku utega na šipki zaostajati za gotovo 3 s dnevno ako se podigne iz podruma na posljednji kat Moskovskog sveučilišta (visina 200 m). I to samo zbog smanjenja ubrzanja slobodnog pada s visinom.

U praksi se koristi ovisnost perioda titranja njihala o vrijednosti g. Mjerenjem perioda titranja može se vrlo točno odrediti g. Ubrzanje gravitacije mijenja se s geografska širina. Ali čak ni na određenoj zemljopisnoj širini nije posvuda isto. Uostalom, gustoća Zemljina kora nije svugdje isto. U područjima gdje se pojavljuju guste stijene, ubrzanje g je nešto veće. To se uzima u obzir pri traženju minerala.

Dakle, željezna ruda ima veću gustoću u usporedbi s običnim stijenama. Mjerenja ubrzanja slobodnog pada u blizini Kurska, provedena pod vodstvom akademika A. A. Mikhailova, omogućila su razjašnjenje lokacije željezna rudača. Prvo su otkriveni magnetskim mjerenjima.

Svojstva mehaničkih vibracija koriste se u uređajima većine elektroničkih vaga. Tijelo koje se vaga postavlja se na platformu ispod koje je ugrađena kruta opruga. Kao rezultat toga nastaju mehaničke vibracije čiju frekvenciju mjeri odgovarajući senzor. Mikroprocesor povezan s ovim senzorom pretvara frekvenciju osciliranja u masu tijela koje se važe, jer ta frekvencija ovisi o masi.

Dobivene formule (3.18) i (3.20) za period titranja pokazuju da period harmonijskih oscilacija ovisi o parametrima sustava (krutost opruge, duljina niti itd.)

Myakishev G. Ya., Fizika. 11. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; uredio V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. izd., revidirano. i dodatni - M.: Obrazovanje, 2008. - 399 str.: ilustr.

Kompletan popis tema po razredima, kalendarski plan prema školski plan i program iz fizike online, video materijal o fizici za 11 razred download

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacijski procesi su rašireni u prirodi i tehnici, na primjer, njihanje klatna sata, izmjenično struja itd. Pri osciliranju njihala mijenja se koordinata njegova središta mase, kod izmjenične struje napon i struja u krugu fluktuiraju. Fizička priroda vibracija može biti različita, dakle postoje mehaničke, elektromagnetske itd. Međutim, različiti oscilatorni procesi opisuju se istim karakteristikama i istim jednadžbama. Otuda svrhovitost zajednički pristup proučavanju vibracija različite fizičke prirode.

Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod utjecajem unutarnjih sila koje djeluju između elemenata sustava, nakon što je sustav vanjskim silama izbačen iz ravnoteže i prepušten sam sebi. Slobodne vibracije uvijek prigušene oscilacije , jer su u stvarnim sustavima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sustava bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje traju onoliko koliko se želi) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnici često imaju karakter blizak harmonijskom.

Harmonijske oscilacije opisuju se jednadžbom koja se naziva jednadžba harmonijskih oscilacija:

Gdje A- amplituda oscilacija, najveća vrijednost oscilirajuće veličine x; - kružna (ciklička) frekvencija vlastitih oscilacija; - početna faza oscilacije u trenutku vremena t= 0; - faza titranja u trenutku vremena t. Faza titranja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u određenom trenutku. Budući da kosinus varira od +1 do -1, onda x može uzeti vrijednosti od + A prije - A.

Vrijeme T tijekom kojeg sustav izvrši jedan potpuni titraj naziva se period oscilacije. Tijekom T faza oscilacije se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrijednost perioda titranja

tj. Broj potpunih titraja izvršenih u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja. Usporedbom (14.2) i (14.3) dobivamo

Jedinica frekvencije je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se dogodi jedan potpuni titraj u 1 s.

Sustavi u kojima se mogu pojaviti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sustav da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sustav mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ovaj položaj odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sustava. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sustava koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjskih, periodički promjenjivih sila (s periodičkim dovodom energije izvana u oscilatorni sustav)

Pretvorba energije

Opružno njihalo

Ciklička frekvencija i period titranja jednaki su:

Materijalna točka pričvršćen na savršeno elastičnu oprugu

Ø graf ovisnosti potencijalne i kinetičke energije opružnog njihala o x koordinati.

Ø kvalitativni grafikoni kinetičke i potencijalne energije u odnosu na vrijeme.

Ø Prisilno

Ø Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji promjene vanjske sile

Ø Ako Fbc varira prema zakonu sinusa ili kosinusa, tada prisilne oscilacije bit će harmoničan

Ø Kod samooscilacija potrebno je povremeno dobaviti energiju iz vlastitog izvora unutar oscilatornog sustava

Harmonijske oscilacije su titraji kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

jednadžbe harmonijskih oscilacija (zakoni gibanja točaka) imaju oblik

Harmonijske vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonusinus ilikosinus .
Harmonijska jednadžba ima oblik:

,
gdje - amplituda vibracija (veličina najvećeg odstupanja sustava od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Argument kosinusa koji se periodički mijenja naziva se faza oscilacije . Faza titranja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u određenom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i zove se početna faza osciliranja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne točke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.
Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sustava, naziva periodom oscilacije . Kosinus - periodična funkcija s periodom od 2π, dakle, tijekom vremenskog perioda T, nakon kojeg će faza titranja dobiti prirast jednak 2π, ponovit će se stanje sustava koji izvodi harmonijske oscilacije. Taj vremenski period T nazivamo periodom harmonijskih oscilacija.
Period harmonijskih oscilacija jednak je : T = 2π/.
Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija vibracija ν.
Harmonijska frekvencija jednaka je: ν = 1/T. Frekvencijska jedinica herc(Hz) - jedan titraj u sekundi.
Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

Grafički, harmonijske oscilacije mogu se prikazati kao ovisnost x o t (slika 1.1.A), i metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućuje vizualizaciju svih parametara uključenih u jednadžbu harmonijske vibracije. Doista, ako je vektor amplitude A koja se nalazi pod kutom φ u odnosu na x-os (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-os biti jednaka: x = Acos(φ). Kut φ je početna faza. Ako vektor A dovesti u rotaciju sa kutna brzina, jednaka kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž osi x i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije mijenjat će se tijekom vremena prema zakon:
.
Dakle, duljina vektora jednaka je amplitudi harmonijskog titranja, smjer vektora u početnom trenutku čini s osi x kut jednak početnoj fazi titranja φ, a promjena smjera kut s vremenom je jednaka fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni krug jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj okretaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji titranja ν.