Slobodne vibracije provode se pod utjecajem unutarnjih sila sustava nakon što je sustav pomaknut iz ravnotežnog položaja.
Da bi slobodne vibracije nastaju prema harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži vraćanju tijela u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka (vidi §2.1 ):
Sile bilo koje druge fizičke prirode koje zadovoljavaju ovaj uvjet nazivaju se kvazielastičan .
Dakle, teret neke mase m, pričvršćen na oprugu za ukrućenje k, čiji je drugi kraj čvrsto fiksiran (sl. 2.2.1), čine sustav koji može izvoditi slobodne harmonijske oscilacije bez trenja. Opterećenje opruge naziva se linearni harmonik oscilator.
Kružna frekvencija ω 0 slobodnih oscilacija tereta na opruzi nalazi se iz drugog Newtonovog zakona:
Kada se opružni sustav nalazi vodoravno, sila gravitacije koja se primjenjuje na teret kompenzira se reakcijskom silom oslonca. Ako je teret obješen na oprugu, tada je sila teže usmjerena duž linije gibanja tereta. U ravnotežnom položaju opruga je istegnuta za određeni iznos x 0 jednako
Stoga se drugi Newtonov zakon za opterećenje opruge može napisati kao
Jednadžba (*) se zove jednadžba slobodnih vibracija . Treba napomenuti da fizička svojstva oscilatorni sustav odrediti samo vlastitu frekvenciju oscilacija ω 0 ili period T . Parametri procesa osciliranja kao što su amplituda x m i početna faza φ 0 određeni su načinom na koji je sustav izbačen iz ravnoteže u početnom trenutku vremena.
Ako je npr. teret pomaknut iz ravnotežnog položaja za udaljenost Δ l a zatim u određenom trenutku t= 0 pušten bez početna brzina, To x m = Δ l, φ 0 = 0.
Ako je teretu, koji je bio u ravnotežnom položaju, uz pomoć oštrog guranja dana početna brzina ± υ 0, tada,
Dakle, amplituda x određuju se m slobodnih oscilacija i njegova početna faza φ 0 početni uvjeti .
Postoje mnoge vrste mehaničkih oscilatornih sustava koji koriste sile elastične deformacije. Na sl. Na slici 2.2.2 prikazan je kutni analog linearnog harmonijskog oscilatora. Vodoravno postavljen disk visi na elastičnoj niti pričvršćenoj za njegovo središte mase. Kada se disk zakrene za kut θ, javlja se moment sile M kontrola elastične torzijske deformacije:
Gdje ja = ja C je moment tromosti diska u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase, ε je kutna akceleracija.
Po analogiji s opterećenjem na opruzi, možete dobiti:
Slobodne vibracije. Matematičko njihalo
Matematičko njihalo naziva malo tijelo obješeno o tanku nerastezljivu nit, čija je masa zanemariva u odnosu na masu tijela. U ravnotežnom položaju, kada visak visi, sila teže je uravnotežena silom napetosti niti. Kada njihalo odstupi od ravnotežnog položaja za određeni kut φ, javlja se tangencijalna komponenta sile teže F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus u ovoj formuli znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona njihala.
Ako označimo sa x linearni pomak njihala iz položaja ravnoteže duž kružnog luka polumjera l, tada će njegov kutni pomak biti jednak φ = x / l. Newtonov drugi zakon, napisan za projekcije vektora ubrzanja i sile na smjer tangente, daje:
 |
Ovaj odnos pokazuje da je matematičko njihalo kompleks nelinearni sustav, budući da sila koja nastoji vratiti njihalo u ravnotežni položaj nije proporcionalna pomaku x, A
Samo u slučaju male fluktuacije, kada otprilike može se zamijeniti matematičkim njihalom je harmonijski oscilator, tj. sustav sposoban izvoditi harmonijske oscilacije. U praksi ova aproksimacija vrijedi za kutove reda veličine 15-20°; u ovom slučaju vrijednost se ne razlikuje za više od 2%. Oscilacije njihala pri velikim amplitudama nisu harmonijske.
Za male oscilacije matematičkog njihala drugi Newtonov zakon zapisan je u obliku
Ova formula izražava vlastita frekvencija malih oscilacija matematičkog njihala .
Stoga,
|
Svako tijelo postavljeno na vodoravnu os rotacije sposobno je slobodno oscilirati u gravitacijskom polju i stoga je također njihalo. Takvo se njihalo obično naziva fizički (slika 2.3.2). Od matematičkog se razlikuje samo po rasporedu masa. U stabilnom ravnotežnom položaju, središte mase C fizičko njihalo se nalazi ispod osi rotacije O na okomici koja prolazi kroz os. Kada se njihalo otkloni za kut φ, javlja se moment sile teže koji nastoji vratiti njihalo u ravnotežni položaj:
a drugi Newtonov zakon za fizičko njihalo ima oblik (vidi §1.23)
Ovdje ω 0 - vlastita frekvencija malih oscilacija fizičkog njihala .
Stoga,
Stoga se jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon za fizičko njihalo može napisati u obliku
Konačno, za kružnu frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija fizičkog njihala dobiva se sljedeći izraz:
|
Pretvorbe energije tijekom slobodnih mehaničkih vibracija
Tijekom slobodnih mehaničkih vibracija kinetička i potencijalna energija se periodički mijenjaju. Pri najvećem otklonu tijela od ravnotežnog položaja njegova brzina, a time i kinetička energija nestaju. U tom položaju potencijalna energija oscilirajućeg tijela doseže najveću vrijednost. Za teret na opruzi potencijalna energija je energija elastične deformacije opruge. Za matematičko njihalo to je energija u Zemljinom gravitacijskom polju.
Kada tijelo u svom gibanju prolazi kroz položaj ravnoteže, njegova brzina je najveća. Tijelo prekoračuje ravnotežni položaj prema zakonu tromosti. U ovom trenutku ima maksimalnu kinetičku i minimalnu potencijalnu energiju. Do povećanja kinetičke energije dolazi zbog smanjenja potencijalne energije. Daljnjim kretanjem potencijalna energija počinje rasti zbog smanjenja kinetičke energije itd.
Dakle, kada harmonijske vibracije Postoji periodična transformacija kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto.
Ako u oscilatornom sustavu nema trenja, tada ukupna mehanička energija tijekom slobodnih oscilacija ostaje nepromijenjena.
Za opružno opterećenje(vidi §2.2):
U stvarnim uvjetima svaki oscilatorni sustav je pod utjecajem sila trenja (otpora). U tom se slučaju dio mehaničke energije pretvara u unutarnju energiju toplinskog gibanja atoma i molekula, a vibracije postaju blijedeći (slika 2.4.2).
Brzina slabljenja vibracija ovisi o veličini sila trenja. Vremenski interval τ tijekom kojeg amplituda oscilacija opada e≈ 2,7 puta, tzv vrijeme raspadanja .
Frekvencija slobodnih oscilacija ovisi o brzini opadanja oscilacija. Kako se sile trenja povećavaju, vlastita frekvencija opada. Međutim, promjena vlastite frekvencije postaje uočljiva tek kod dovoljno velikih sila trenja, kada prirodne vibracije brzo opadaju.
Važna karakteristika oscilatornog sustava koji izvodi slobodne prigušene oscilacije je faktor kvalitete Q. Ovaj parametar je definiran kao broj N ukupne oscilacije koje izvodi sustav tijekom vremena prigušenja τ, pomnožene s π:
Dakle, faktor kvalitete karakterizira relativni gubitak energije u oscilatornom sustavu zbog prisutnosti trenja tijekom vremenskog intervala jednakog jednom periodu oscilacije.
Prisilne vibracije. Rezonancija. Samooscilacije
Oscilacije koje se javljaju pod utjecajem vanjske periodične sile nazivaju se prisiljeni.
Vanjska sila vrši pozitivan rad i osigurava protok energije oscilatornom sustavu. Ne dopušta izumiranje vibracija, unatoč djelovanju sila trenja.
Periodična vanjska sila može se mijenjati tijekom vremena prema različitim zakonima. Posebno je zanimljiv slučaj kada vanjska sila, koja se mijenja po harmonijskom zakonu s frekvencijom ω, djeluje na oscilatorni sustav koji je sposoban izvoditi vlastite oscilacije na određenoj frekvenciji ω 0.
Ako se slobodne oscilacije javljaju na frekvenciji ω 0, koja je određena parametrima sustava, tada se uvijek javljaju ravnomjerne prisilne oscilacije na frekvencija ω vanjska sila.
Nakon što vanjska sila počne djelovati na oscilatorni sustav, neko vrijeme Δ t uspostaviti prisilne oscilacije. Vrijeme uspostave je, po redu veličine, jednako vremenu prigušenja τ slobodnih oscilacija u oscilatornom sustavu.
U oscilatornom sustavu se u početnom trenutku pobuđuju oba procesa - prisilne oscilacije na frekvenciji ω i slobodne oscilacije na vlastitoj frekvenciji ω 0. Ali slobodne vibracije su prigušene zbog neizbježne prisutnosti sila trenja. Stoga nakon nekog vremena u oscilatornom sustavu ostaju samo stacionarne oscilacije na frekvenciji ω vanjske pogonske sile.
Razmotrimo, kao primjer, prisilne oscilacije tijela na opruzi (sl. 2.5.1). Na slobodni kraj opruge djeluje vanjska sila. Prisiljava slobodni (lijevo na slici 2.5.1) kraj opruge da se kreće prema zakonu
Ako je lijevi kraj opruge pomaknut za razmak g, a desna - na daljinu x od njihovog prvobitnog položaja, kada je opruga bila nedeformirana, zatim istezanje opruge Δ l jednako:
U ovoj jednadžbi sila koja djeluje na tijelo predstavljena je kao dva člana. Prvi član na desnoj strani je elastična sila koja teži vratiti tijelo u ravnotežni položaj ( x= 0). Drugi izraz je vanjski periodični učinak na tijelo. Ovaj pojam se zove prisilna sila.
Jednadžbi koja izražava drugi Newtonov zakon za tijelo na opruzi u prisutnosti vanjskog periodičkog utjecaja može se dati strogi matematički oblik ako uzmemo u obzir odnos između ubrzanja tijela i njegove koordinate: Tada bit će zapisano u obrascu
Jednadžba (**) ne uzima u obzir djelovanje sila trenja. Za razliku od jednadžbe slobodnih vibracija(*) (vidi §2.2) jednadžba prisilnih oscilacija(**) sadrži dvije frekvencije - frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija i frekvenciju ω pogonske sile.
Stacionarne prisilne oscilacije tereta na opruzi javljaju se na frekvenciji vanjskog utjecaja prema zakonu
|
Amplituda prisilnih oscilacija x m i početna faza θ ovise o omjeru frekvencija ω 0 i ω te o amplitudi g m vanjska sila.
Na vrlo niskim frekvencijama, kada je ω<< ω 0 , движение тела массой m, pričvršćen na desni kraj opruge, ponavlja kretanje lijevog kraja opruge. pri čemu x(t) = g(t), a opruga ostaje praktički nedeformirana. Vanjska sila primijenjena na lijevi kraj opruge ne vrši nikakav rad, budući da je modul te sile na ω<< ω 0 стремится к нулю.
Ako se frekvencija ω vanjske sile približi vlastitoj frekvenciji ω 0, dolazi do naglog porasta amplitude prisilnih oscilacija. Ova pojava se zove rezonancija . Ovisnost amplitude x m prisilnih oscilacija od frekvencije ω pogonske sile naziva se rezonantna karakteristika ili krivulja rezonancije(Sl. 2.5.2).
Kod rezonancije, amplituda x m oscilacija tereta može biti višestruko veća od amplitude g m vibracije slobodnog (lijevog) kraja opruge izazvane vanjskim utjecajem. U nedostatku trenja, amplituda prisilnih oscilacija tijekom rezonancije trebala bi se neograničeno povećavati. U stvarnim uvjetima amplituda stacionarnih prisilnih oscilacija određena je uvjetom: rad vanjske sile tijekom perioda titranja mora biti jednak gubitku mehaničke energije tijekom istog vremena zbog trenja. Što je manje trenja (tj. što je veći faktor kvalitete Q oscilatorni sustav), veća je amplituda prisilnih oscilacija pri rezonanciji.
U oscilatornim sustavima s ne baš visokim faktorom kvalitete (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Fenomen rezonancije može uzrokovati uništenje mostova, zgrada i drugih građevina ako se vlastite frekvencije njihovih oscilacija podudaraju s frekvencijom periodično djelujuće sile, koja nastaje, primjerice, zbog rotacije neuravnoteženog motora.
Prisilne vibracije- Ovo neovlažen fluktuacije. Neizbježni gubici energije uslijed trenja kompenziraju se opskrbom energijom iz vanjskog izvora periodično djelujuće sile. Postoje sustavi u kojima neprigušene oscilacije nastaju ne zbog periodičnih vanjskih utjecaja, već kao rezultat sposobnosti takvih sustava da reguliraju opskrbu energijom iz stalnog izvora. Takvi sustavi nazivaju se samooscilirajući, a proces neprigušenih oscilacija u takvim sustavima je samooscilacije . U samooscilirajućem sustavu mogu se razlikovati tri karakteristična elementa - oscilatorni sustav, izvor energije i povratni uređaj između oscilatornog sustava i izvora. Svaki mehanički sustav koji može izvoditi vlastite prigušene oscilacije (na primjer, njihalo zidnog sata) može se koristiti kao oscilatorni sustav.
Izvor energije može biti energija deformacije opruge ili potencijalna energija tereta u gravitacijskom polju. Uređaj s povratnom spregom je mehanizam kojim samooscilirajući sustav regulira protok energije iz izvora. Na sl. 2.5.3 prikazuje dijagram interakcije različitih elemenata samooscilirajućeg sustava.
Primjer mehaničkog samooscilirajućeg sustava je satni mehanizam sa sidro napredak (slika 2.5.4). Kotač za vožnju s kosim zubima kruto je pričvršćen na nazubljeni bubanj, kroz koji se baca lanac s utegom. Na gornjem kraju visak je fiksiran sidro(sidro) s dvije ploče od čvrstog materijala, savijene u kružnom luku sa središtem na osi njihala. Kod ručnih satova uteg je zamijenjen oprugom, a njihalo balanserom – ručnim kotačem spojenim na spiralnu oprugu. Balanser izvodi torzijske vibracije oko svoje osi. Oscilatorni sustav u satu je njihalo ili balanser.
Izvor energije je podignuti uteg ili navijena opruga. Uređaj koji se koristi za pružanje povratne informacije je sidro, koje omogućuje kotaču da okrene jedan zub u jednom poluciklusu. Povratna veza se ostvaruje interakcijom sidra s kotačem. Pri svakom titraju njihala zub pogonskog kotača potiskuje vilicu sidra u smjeru kretanja njihala, predajući mu određeni dio energije, čime se nadoknađuju gubici energije uslijed trenja. Tako se potencijalna energija utega (ili upletene opruge) postupno, u odvojenim obrocima, prenosi na njihalo.
Mehanički samooscilirajući sustavi rašireni su u životu oko nas iu tehnologiji. Autooscilacije se javljaju kod parnih strojeva, motora s unutarnjim izgaranjem, električnih zvona, žica gudala, zračnih stupova u cijevima puhačkih instrumenata, glasnica pri razgovoru ili pjevanju itd.
 |
| Slika 2.5.4. Satni mehanizam s klatnom. |
Kandidat fizičkih i matematičkih znanosti V. POGOZHEV.
(Kraj. Početak vidi "Znanost i život" br.)
Objavljujemo zadnji dio zadataka na temu "Mehanika". Sljedeći članak bit će posvećen oscilacijama i valovima.
Problem 4 (1994). S brda koje glatko prelazi u vodoravnu ravninu, s visine h mala glatka pločica mase sklizne m. Glatki pomični tobogan s masom od M i visine N> h. Presjeci tobogana okomitom ravninom koja prolazi kroz središta mase paka i pomičnog tobogana imaju oblik prikazan na slici. Koja je najveća visina x Može li se pak popeti na nepokretni tobogan nakon što prvi put sklizne s pokretnog tobogana?
Riješenje. Tobogan na kojem se prvotno nalazio pak je, prema uvjetima problema, nepomičan i stoga kruto vezan za Zemlju. Ako, kao što se obično radi pri rješavanju ovakvih problema, uzmemo u obzir samo sile međudjelovanja paka i klizača te silu gravitacije, postavljeni problem može se riješiti pomoću zakona održanja mehaničke energije i količine gibanja. Laboratorijski referentni sustav, kao što je već navedeno u rješavanju prethodnih problema (vidi “Znanost i život” br.), može se smatrati inercijskim. Rješenje problema ćemo podijeliti u tri faze. U prvoj fazi, pak počinje kliziti sa stacionarnog klizača, u drugom stupnju dolazi u interakciju s pokretnim klizačem, au zadnjoj se diže uz stacionarni klizač. Iz uvjeta zadatka i postavljenih pretpostavki proizlazi da se pak i pomični tobogan mogu gibati samo translatorno tako da im središta mase uvijek ostaju u istoj okomitoj ravnini.
Uzimajući u obzir gore navedeno i činjenicu da je pak gladak, sustav "Zemlja sa stacionarnim klizačem - pak" tijekom prve faze treba smatrati izoliranim i konzervativnim. Dakle, prema zakonu održanja mehaničke energije, kinetička energija perilice W k = mv 1 2 /2 kada se pomiče duž vodoravne ravnine nakon klizanja niz brdo trebao bi biti jednak mgh, Gdje g- veličina ubrzanja slobodan pad.
Tijekom druge faze, pak će se prvo početi dizati duž pokretnog klizača, a zatim će, dosegnuvši određenu visinu, skliznuti s njega. Ova izjava proizlazi iz činjenice da se kao rezultat interakcije paka s pomičnim klizačem, potonji, kao što je već spomenuto, do kraja druge faze mora kretati naprijed određenom brzinom u, udaljavajući se od stacionarnog tobogana, odnosno u smjeru brzine v 1 pak na kraju prve faze. Stoga, čak i kad bi visina pomičnog tobogana bila jednaka h, pak ga ne bi mogao proći. S obzirom da su sila reakcije iz vodoravne ravnine na tobogan koji se kreće, kao i gravitacijske sile koje djeluju na to tobogan i pak, usmjerene okomito, na temelju zakona održanja količine gibanja, može se tvrditi da je projekcija v 2 brzine paka na kraju druge faze po smjeru brzine v 1 pak na kraju prve faze mora zadovoljiti jednadžbu
mυ 1 = mυ 2 + M I (1)
S druge strane, prema zakonu održanja mehaničke energije, navedene brzine povezane su odnosom
, (2)
budući da se sustav “Zemlja - pokretni tobogan - pak” pokazuje izoliranim i konzervativnim pod napravljenim pretpostavkama, a njegova potencijalna energija na početku i na kraju drugog stupnja je ista. Uzimajući u obzir da bi se nakon interakcije s pokretnim klizačem brzina paka u općem slučaju trebala promijeniti ( v 1 - v 2 ≠ 0), a pomoću formule za razliku kvadrata dviju veličina iz relacija (1) i (2) dobivamo
υ 1 + υ 2 = I (3)
a zatim iz (3) i (1) odredimo projekciju brzine paka na kraju druge faze na smjer njegove brzine prije početka interakcije s pokretnim klizačem
Iz relacije (4) jasno je da v 1 ≠ v 2 at m≠ M a pak će se pomaknuti na nepomični tobogan nakon klizanja s pomičnog tek kada m< M.
Ponovno primjenjujući zakon održanja mehaničke energije za sustav "Zemlja sa stacionarnim toboganom - pakom", određujemo maksimalnu visinu podizanja paka duž nepomičnog tobogana x =v 2 2 /2g. Nakon najjednostavnijeg algebarske transformacije konačni odgovor može se predstaviti kao
Problem 5(1996). Glatki blok mase koji leži na vodoravnoj ravnini M pričvršćen na okomiti zid s laganom oprugom za ukrućenje k. S nedeformiranom oprugom, kraj bloka dodiruje lice kocke, masu m kojih je mnogo manje M. Os opruge je horizontalna i leži u vertikalnoj ravnini koja prolazi kroz središta mase kocke i bloka. Pomicanjem bloka opruga se sabija duž svoje osi za iznos ∆ x, nakon čega se blok otpušta bez početne brzine. Koliko će se kocka pomaknuti nakon idealnoelastičnog udara ako je koeficijent trenja kocke o ravninu dovoljno mali i jednak μ?
Riješenje. Pretpostavit ćemo da su zadovoljene standardne pretpostavke: laboratorijski referentni okvir, u odnosu na koji su sva tijela u početku mirovala, je inercijalan, a na razmatrana tijela utječu samo sile međudjelovanja između njih i sile gravitacije , a osim toga, dodirna ravnina bloka i kocke je okomita na os opruge. Tada, uzimajući u obzir položaj osi opruge i središta mase bloka i kocke navedene u uvjetu, možemo pretpostaviti da se ta tijela mogu gibati samo translatorno.
Nakon otpuštanja, blok se počinje pomicati pod djelovanjem komprimirane opruge. U trenutku kada blok dodirne kocku, prema uvjetima problema, opruga bi trebala postati nedeformirana. Budući da je blok gladak i kreće se po vodoravnoj ravnini, sile gravitacije i reakcija ravnine ne djeluju na njega. Prema uvjetu, masa opruge (a time i kinetička energija njezinih pokretnih dijelova) može se zanemariti. Slijedom toga, kinetička energija translatorno gibajućeg bloka u trenutku kada dotakne kocku trebala bi postati jednaka potencijalnoj energiji opruge u trenutku otpuštanja bloka, pa bi stoga brzina bloka u tom trenutku trebala biti jednaka .
Kada blok dodirne kocku, oni se sudaraju. U tom slučaju sila trenja koja djeluje na kocku varira od nule do m mg, Gdje g- veličina ubrzanja slobodnog pada. Pretpostavljajući, kao i obično, da je vrijeme sudara između bloka i kocke kratko, možemo zanemariti impuls sile trenja koji djeluje na kocku sa strane ravnine u usporedbi s impulsom sile koja djeluje na kocku sa strane ravnine. stranu bloka tijekom udarca. Budući da je pomak bloka pri udaru mali, au trenutku dodira s kockom opruga, prema uvjetima zadatka, nije deformirana, pretpostavljamo da opruga ne djeluje na blok prilikom sudara. . Stoga se može pretpostaviti da je sustav "blok-kocka" zatvoren tijekom sudara. Tada, prema zakonu održanja količine gibanja, odnos mora biti zadovoljen
Mv= M U + m u, (1)
Gdje U I u- odnosno, brzina bloka i kocke neposredno nakon sudara. Rad sila gravitacije i normalne komponente sila reakcije ravnine koje djeluju na kocku i blok jednak je nuli (te su sile okomite na njihove moguće pomake), udar bloka na kocku je idealno elastičan, te se zbog kratkog trajanja sudara može zanemariti pomak kocke i bloka (a time i sile trenja rada i deformacije opruge). Stoga mehanička energija promatranog sustava mora ostati nepromijenjena i jednakost vrijedi
M υ 2 /2 = MU 2 /2 + mi 2 /2 (2)
Odredivši iz (1) brzinu bloka U i zamjenjujući ga u (2), dobivamo 2 Mvu=(M+m)u 2 , a budući da prema uvjetima zadatka m << M, zatim 2 vu=u 2. Odavde, uzimajući u obzir mogući smjer kretanja, slijedi da kocka nakon sudara dobiva brzinu čija je vrijednost
(3)
a brzina bloka će ostati nepromijenjena i jednaka v. Stoga bi nakon udarca brzina kocke trebala biti dvostruko veća od brzine bloka. Dakle, nakon udarca u kocku u vodoravnom smjeru do njenog zaustavljanja djeluje samo sila trenja klizanja μ mg i, prema tome, kocka će se kretati jednako sporo s akceleracijom μ g. Nakon sudara, blok je pod utjecajem elastične sile opruge samo u vodoravnom smjeru (blok je gladak). Posljedično, brzina bloka se mijenja po harmonijskom zakonu i dok se kocka kreće, ona je ispred bloka. Iz navedenog proizlazi da se blok iz svog ravnotežnog položaja može pomaknuti za udaljenost ∆ x. Ako je koeficijent trenja μ dovoljno mali, blok se neće ponovno sudariti s kockom, pa bi stoga željeni pomak kocke trebao biti
L = I 2 / 2μg = 2 k(∆x)2/μ M g.
Uspoređujući tu udaljenost s ∆ x, nalazimo da je dati odgovor točan za μ ≤ 2 k ∆x/ Mg
Problem 6(2000). Na rub ploče koja leži na glatkoj vodoravnoj ravnini postavite malu podlošku čija je masa k puta manja od mase ploče. Uz klik, pak se ubrzava prema središtu ploče. Ako je ova brzina veća u, zatim pak sklizne s ploče. Kojom brzinom će se ploča kretati ako je brzina paka n puta više u (n> 1)?
Riješenje. Prilikom rješavanja zadatka, kao i obično, zanemarit ćemo utjecaj zraka i pretpostaviti da je referentni okvir pridružen stolu inercijalan, a pak se nakon udarca kreće translatorno. Imajte na umu da je to moguće samo ako linija djelovanja impulsa vanjske sile i središte mase paka leže u istoj okomitoj ravnini. Budući da je, prema uvjetima problema, pak pri početnoj brzini manjoj od u, ne sklizne s daske, potrebno je pretpostaviti da kada podloška klizi po dasci, između njih djeluju sile trenja. S obzirom da se nakon klika pak pomiče po ploči prema središtu, a sila trenja klizanja usmjerena je suprotno od brzine, može se tvrditi da bi se ploča trebala početi pomicati prema naprijed po stolu. Iz onoga što je ranije rečeno i zakona održanja količine gibanja (budući da je ploča na glatkoj vodoravnoj ravnini) slijedi da je brzina paka neposredno nakon klika u w, njegova brzina v w i brzina daske V d u trenutku klizanja podloške moraju zadovoljiti odnos
mu w = M V d + mv w, (1)
Gdje m- masa perilice, i M- masa daske, ako u w > u. Ako u w ≤ u, tada, prema uvjetima problema, pak ne sklizne s ploče, pa bi se, prema tome, nakon dovoljno dugog vremenskog razdoblja brzine ploče i paka trebale izjednačiti. Pretpostavljajući, kao i obično, da je veličina sile trenja suhog klizanja neovisna o brzini, zanemarujući veličinu podloške i uzimajući u obzir da kretanje podloška u odnosu na ploču u trenutku klizanja ne ovisi o njezinoj početnoj brzine, uzimajući u obzir ranije rečeno i na temelju zakona promjene mehaničke energije, možemo ustvrditi, što o u w ≥ u
mu w 2 / 2 = MV d 2 / 2 + mυ w 2 / 2 + A,(2)
Gdje A- rad protiv sila trenja, i sa u w > u V d< v w, i na u w = u V d = v w. S obzirom da po stanju M/m=k, od (1) i (2) na u w = u nakon algebarskih transformacija dobivamo
a budući da na u w = nu iz (1) slijedi da
υ w 2 = n 2 I 2 + k 2 V d 2 - 2 nki V d (4)
željena brzina ploče mora zadovoljiti jednadžbu
k(k + 1) V d 2 - 2 nk i V d + ki 2 /(k + 1) = 0. (5)
Očito je da kada n→∞ vrijeme interakcije paka s daskom trebalo bi težiti nuli i, prema tome, željena brzina daske kako se povećava n(nakon što prijeđe određenu kritičnu vrijednost) trebao bi se smanjiti (u granici do nule). Dakle, od dva moguća rješenja jednadžbe (5), uvjeti problema zadovoljavaju
Problem iz fizike - 4424
2017-10-21
Lagana opruga krutosti $k$ pričvršćena je na blok mase $m$ koji leži na vodoravnoj ravnini, čiji je drugi kraj učvršćen tako da se opruga ne deformira, a os joj je vodoravna i prolazi središtem masa bloka Blok se miješa duž osi opruge na udaljenosti $ \Delta L$ i otpušta bez početne brzine. Nađite najveću brzinu bloka ako je njegov koeficijent trenja na ravnini $\mu$.
Riješenje:
Pretpostavit ćemo da je za zadani pomak bloka deformacija opruge potpuno elastična. Zatim, na temelju Hookeovog zakona, možemo pretpostaviti da na blok sa strane opruge u trenutku otpuštanja djeluje sila $F_(pr) = k \Delta L$, usmjerena vodoravno duž osi opruge . Reakcijska sila ravnine koja djeluje na blok može se prikazati u obliku dvije komponente: okomite i paralelne s ovom ravninom. Veličina normalne komponente sile reakcije $N$ može se odrediti na temelju drugog Newtonovog zakona, uz pretpostavku da je referentni sustav koji miruje u odnosu na tu ravninu inercijalan, a blok se može kretati samo duž te ravnine. Zanemarujući djelovanje zraka na blok dobivamo: $N - mg = 0$, gdje je $g$ veličina gravitacijske akceleracije.Prema Coulombovom zakonu, kod stacionarnog bloka maksimalna vrijednost paralelne komponente sila reakcije - sila suhog statičkog trenja - jednaka je $\mu N $. Stoga, za $k \Delta L \leq \mu mg$, blok mora ostati nepomičan nakon otpuštanja. Ako $k \Delta L > \mu mg$, tada će se blok nakon otpuštanja početi gibati s određenim ubrzanjem. Budući da linija djelovanja sile sa strane opruge prolazi kroz središte mase bloka, a sila trenja usmjerena je suprotno od njegove brzine, blok će se gibati translatorno. U tom slučaju deformacija opruge će se smanjiti, a samim tim i akceleracija bloka. U trenutku kada se zbroj sila koje djeluju na blok pretvori u nulu, brzina bloka će postati maksimalna. Ako, kao i obično, pretpostavimo da veličina sile suhog trenja klizanja ne ovisi o brzini i da je jednaka maksimalnoj vrijednosti sile suhog statičkog trenja, tada, zanemarujući u skladu uz uvjet problema masa opruge, veličina deformacije $\Delta x $ opruge u trenutku koji nas zanima može se lako izračunati iz relacije $k \Delta x = \mu mg$. Prisjetiti se izraza za izračunavanje kinetičke energije kretanja naprijed čvrsta, potencijalna energija elastično deformirane opruge i uzimajući u obzir da će pomak bloka do tog trenutka postati jednak $\Delta L - \Delta x$, na temelju zakona promjene mehaničke energije, može se tvrditi da maksimalna brzina $v_(max)$ bloka treba zadovoljiti jednadžbu:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (\Delta L - \Delta x)$.
Iz navedenog proizlazi da bi najveća brzina bloka pod napravljenim pretpostavkama trebala biti jednaka
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$.
