Rang matrice je važan numerička karakteristika. Najčešći problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera kompatibilnosti sustava linearnih algebarske jednadžbe. U ovom ćemo članku dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Za bolje razumijevanje gradiva, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.
Navigacija po stranici.
Određivanje ranga matrice i potrebni dodatni pojmovi.
Prije nego što izgovorite definiciju ranga matrice, trebali biste dobro razumjeti koncept minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Dakle, ako je potrebno, preporučamo da se prisjetite teorije članka, metoda za pronalaženje determinante matrice i svojstava determinante.
Uzmimo matricu A reda . Neka je k neki prirodni broj, ne prelazeći najmanji od brojeva m i n, tj. 
.
Definicija.
Manji k-ti red matrica A je determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u unaprijed odabranih k redaka i k stupaca, a raspored elemenata matrice A je sačuvan.
Drugim riječima, ako u matrici A izbrišemo (p–k) redaka i (n–k) stupaca, a od preostalih elemenata napravimo matricu, zadržavajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuća matrica je minor reda k matrice A.
Pogledajmo definiciju minora matrice na primjeru.
Razmotrimo matricu 
.
Zapišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći redak i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara minoru prvog reda 
. Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, iz matrice A smo prekrižili prvi i drugi redak, kao i prvi, treći i četvrti stupac, a od preostalog elementa napravili determinantu. Odaberemo li prvi red i treći stupac matrice A, tada dobivamo minor 
.
Ilustrirajmo proceduru za dobivanje razmatranih minora prvog reda 
I 
.
Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.
Pokažimo nekoliko minora drugog reda. Odaberite dva retka i dva stupca. Na primjer, uzmite prvi i drugi red te treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo minor drugog reda 
. Ovaj minor se također može sastaviti brisanjem trećeg retka, prvog i drugog stupca iz matrice A.
Drugi minor drugog reda matrice A je .
Ilustrirajmo konstrukciju ovih minora drugog reda 
I 
.
Slično se mogu pronaći minori trećeg reda matrice A. Budući da postoje samo tri reda u matrici A, odabiremo ih sve. Odaberemo li prva tri stupca ovih redaka, dobit ćemo minor trećeg reda 
Može se konstruirati i precrtavanjem posljednjeg stupca matrice A.
Drugi minor trećeg reda je 
dobiven brisanjem trećeg stupca matrice A.
Ovdje je slika koja prikazuje konstrukciju ovih minora trećeg reda 
I 
.
Za danu matricu A nema minora reda višeg od trećeg, budući da .
Koliko minora k-tog reda ima matrica A reda ?
Broj minora reda k može se izračunati kao , gdje je 
I 
- broj kombinacija od p do k, odnosno od n do k.
Kako možemo konstruirati sve minore reda k matrice A reda p po n?
Trebat će nam mnogo brojeva redaka matrice i mnogo brojeva stupaca. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A pri konstruiranju minora reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redaka sekvencijalno dodajemo sve kombinacije od n elemenata od k brojeva stupaca. Ovi skupovi kombinacija brojeva redaka i brojeva stupaca matrice A pomoći će sastaviti sve minore reda k.
Pogledajmo to na primjeru.
Primjer.
Pronađite sve minore drugog reda matrice.
Riješenje.
Budući da je redoslijed izvorne matrice 3 puta 3, ukupan broj minora drugog reda bit će 
.
Zapišimo sve kombinacije od 3 do 2 broja reda matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije od 3 do 2 broja stupca su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.
Uzmimo prvi i drugi redak matrice A. Odabirom prvog i drugog stupca, prvog i trećeg stupca, drugog i trećeg stupca za ove retke dobivamo minore, respektivno 
Za prvi i treći red, sa sličnim izborom stupaca, imamo 
Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red: 
Dakle, pronađeno je svih devet minora drugog reda matrice A.
Sada možemo nastaviti s određivanjem ranga matrice.
Definicija.
Rang matrice- Ovo najviši red matrica minor, različita od nule.
Rang matrice A označava se kao Rang(A) . Također možete pronaći oznake Rg(A) ili Rang(A) .
Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice nije manji od jedan.
Određivanje ranga matrice po definiciji.
Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda popisivanja maloljetnika. Ova se metoda temelji na određivanju ranga matrice.
Trebamo pronaći rang matrice A reda .
Ukratko opišimo algoritam rješavanje ovog problema popisivanjem maloljetnika.
Ako postoji barem jedan element matrice koji je različit od nule, tada je rang matrice najmanje jednak jedan (budući da postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).
Zatim ćemo pogledati minore drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije nula, tada nastavljamo s nabrajanjem minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje jednak dvama.
Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri i prelazimo na nabrajanje minora četvrtog reda.
Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od brojeva p i n.
Primjer.
Odredite rang matrice 
.
Riješenje.
Pošto je matrica različita od nule, njen rang nije manji od jedan.
Minor drugog reda 
je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda. Ukupno njih 
stvari. 
Svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Prema tome, rang matrice je dva.
Odgovor:
Rang(A) = 2.
Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora.
Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućuju da dobijete rezultat s manje računalnog rada.
Jedna od takvih metoda je edge minor metoda.
Pozabavimo se time pojam rubni minor.
Kaže se da minor M ok (k+1)-tog reda matrice A graniči s minorom M reda k matrice A ako matrica koja odgovara molu M ok "sadrži" matricu koja odgovara molu M .
Drugim riječima, matrica koja odgovara rubnom minoru M dobiva se iz matrice koja odgovara rubnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog retka i jednog stupca.
Na primjer, razmotrite matricu 
i uzeti drugi red minora. Zapišimo sve granične minore: 
Metoda obrubljivanja minora opravdana je sljedećim teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).
Teorema.
Ako su svi minori koji graniče s minorom k-tog reda matrice A reda p puta n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k+1) matrice A jednaki nuli.
Dakle, za pronalaženje ranga matrice nije potrebno proći kroz sve minore koji su dovoljno granični. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice A reda , nalazi se formulom 
. Imajte na umu da nema više minora koji graniče s minorom k-tog reda matrice A nego što ima minora (k + 1) reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva korištenje metode omeđivanja maloljetnika isplativije nego jednostavno nabrajanje svih maloljetnika.
Prijeđimo na pronalaženje ranga matrice pomoću metode rubnih minora. Ukratko opišimo algoritam ovu metodu.
Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A koji je različit od nule. Pogledajmo njegove granične minore. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan rubni minor različit od nule (njegov je redoslijed dva), tada nastavljamo s razmatranjem njegovih rubnih minora. Ako su sve nula, tada je Rank(A) = 2. Ako je barem jedan rubni minor različit od nule (njegov je redoslijed tri), tada smatramo njegove rubne minore. I tako dalje. Kao rezultat, Rank(A) = k ako su svi rubni minori (k + 1)-og reda matrice A jednaki nuli, ili Rank(A) = min(p, n) ako postoji ne- nulti minor koji graniči s minorom reda (min( p, n) – 1) .
Pogledajmo metodu omeđivanja minora da bismo pronašli rang matrice koristeći primjer.
Primjer.
Odredite rang matrice 
metodom graničenja minora.
Riješenje.
Budući da je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti rubni minor koji je različit od nule: 
Nađen je rubni minor drugog reda, različit od nule. Pogledajmo njegove granične minore (njihove 
stvari): 
Svi minori koji graniče s minorom drugog reda jednaki su nuli, stoga je rang matrice A jednak dva.
Odgovor:
Rang(A) = 2.
Primjer.
Odredite rang matrice 
korištenje graničnih maloljetnika.
Riješenje.
Kao minor prvog reda različit od nule uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Okolni mol drugoga reda 
nije jednak nuli. Ovaj minor obrubljen je minorom trećeg reda 
. Budući da nije jednak nuli i za njega ne postoji niti jedan rubni minor, rang matrice A jednak je tri.
Odgovor:
Rang(A) = 3.
Određivanje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).
Razmotrimo još jedan način za pronalaženje ranga matrice.
Sljedeće transformacije matrica nazivamo elementarnim:
- preuređivanje redaka (ili stupaca) matrice;
- množenje svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem k, različitim od nule;
- dodavanjem elementima retka (stupca) odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) matrice, pomnoženih s proizvoljnim brojem k.
Matrica B se naziva ekvivalentom matrice A, ako se B dobije iz A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalencija matrica označava se simbolom “~”, odnosno piše se A ~ B.
Pronalaženje ranga matrice korištenjem elementarnih transformacija matrice temelji se na izjavi: ako je matrica B dobivena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B) .
Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:
- Prilikom preuređivanja redaka (ili stupaca) matrice, njezina determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, tada pri preslagivanju redaka (stupaca) ostaje jednaka nuli.
- Kada se svi elementi bilo kojeg retka (stupca) matrice množe s proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti izvorne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca s brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
- Dodavanje elemenata određenog retka (stupca) matrice odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) matrice, pomnoženih s određenim brojem k, ne mijenja njezinu determinantu.
Bit metode elementarnih transformacija sastoji se u svođenju matrice čiji rang treba pronaći na trapezoidnu (u konkretnom slučaju na gornju trokutastu) pomoću elementarnih transformacija.
Zašto se to radi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednak je broju redaka koji sadrže barem jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja prilikom izvođenja elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang izvorne matrice.
Dajemo ilustracije matrica od kojih jednu treba dobiti nakon transformacija. Njihov izgled ovisi o redoslijedu matrice.
Ove ilustracije su predlošci prema kojima ćemo transformirati matricu A.
Hajdemo opisati algoritam metode.
Trebamo pronaći rang matrice A reda koja nije nula (p može biti jednako n).
Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog retka matrice A s . U ovom slučaju dobivamo ekvivalentnu matricu, označavajući je A (1): 
Elementima drugog retka dobivene matrice A (1) dodamo odgovarajuće elemente prvog retka, pomnožene s . Elementima trećeg retka dodamo odgovarajuće elemente prvog retka, pomnožene s . I tako dalje do p-tog reda. Uzmimo ekvivalentnu matricu, označimo je A (2): 
Ako su svi elementi rezultirajuće matrice koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a prema tome, rang izvorne matrice je jednak na jedan.
Ako u redovima od drugog do p-tog postoji barem jedan element koji nije nula, tada nastavljamo provoditi transformacije. Štoviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo s dijelom matrice A (2) označenim na slici. 
Ako je , tada preuređujemo retke i (ili) stupce matrice A (2) tako da “novi” element postane različit od nule.
U svakoj matrici mogu se pridružiti dva ranga: rang retka (rang sustava redova) i rang stupca (rang sustava stupaca).
Teorema
Rang retka matrice jednak je rangu stupca.
Rang matrice
Definicija
Rang matrice$A$ je rang njegovog sustava redaka ili stupaca.
Označava se s $\operatorname(rang) A$
U praksi, za pronalaženje ranga matrice, koristi se sljedeća izjava: rang matrice je jednak broju redaka koji nisu nula nakon redukcije matrice na oblik ešalona.
Elementarne transformacije nad redovima (stupcima) matrice ne mijenjaju njen rang.
Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula.
Primjer
Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $
Riješenje. Koristeći elementarne transformacije na njezinim redovima, reduciramo matricu $A$ na ešalonski oblik. Da biste to učinili, prvo oduzmite druga dva od trećeg retka:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\desno) $$
Od drugog retka oduzimamo četvrti redak, pomnožen s 4; od treće - dvije četvrtine:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\desno) $$
Prvih pet dodajemo u drugi red, a treća tri u treći:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$
Zamijenite prvi i drugi red:
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$
$$ A \sim \lijevo(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Odgovor.$ \ime operatera (rang) A=2 $
Metoda graničenja minora
Druga metoda za pronalaženje ranga matrice temelji se na ovom teoremu - manja metoda rubova. Bit ove metode je pronaći maloljetnike, počevši od nižih redova i prelazeći na više. Ako minor $n$-tog reda nije jednak nuli, a svi minori $n+1$-tog reda su jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak $n$ .
Primjer
Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ korištenjem metode manjeg ruba.
Riješenje. Minori minimalnog reda su minori prvog reda, koji su jednaki elementima matrice $A$. Razmotrimo, na primjer, minor $ M_(1)=1 \neq 0 $ . nalazi se u prvom redu i prvom stupcu. Obrubimo ga uz pomoć drugog reda i drugog stupca, dobivamo minor $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Razmotrimo još jedan minor drugog reda, za to obrubljujemo minor $M_1$ uz pomoć drugog reda i trećeg stupca, tada imamo minor $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , to jest, rang matrice je ne manje od dva. Zatim, razmatramo minore trećeg reda koji graniče s minorom $ M_(2)^(2) $. Postoje dva takva minora: kombinacija trećeg retka s drugim stupcem ili s četvrtim stupcem. Izračunajmo te minore.
Za rad s konceptom ranga matrice trebat će nam informacije iz teme "Algebarski komplementi i minori. Vrste minora i algebarski komplementi." Prije svega, to se odnosi na pojam "matrix minor", budući da ćemo rang matrice odrediti upravo kroz minore.
Rang matrice je najveći red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.
Ekvivalentne matrice- matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.
Objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da među minorima drugog reda postoji barem jedan koji je različit od nule. A svi minori čiji je red veći od dva jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. A svi minori čiji je red veći od 10 jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.
Rang matrice $A$ označava se na sljedeći način: $\rang A$ ili $r(A)$. Pretpostavlja se da je rang nulte matrice $O$ nula, $\rang O=0$. Dopustite mi da vas podsjetim da za formiranje minora matrice morate prekrižiti retke i stupce, ali nemoguće je prekrižiti više redaka i stupaca nego što sadrži sama matrica. Na primjer, ako matrica $F$ ima veličinu $5\puta 4$ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je najveći redoslijed njezinih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 stupaca (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $F$ ne može biti veći od četiri, tj. $\rang F≤4$.
U općenitijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $m$ redaka i $n$ stupaca, tada njezin rang ne može premašiti najmanji od $m$ i $n$, tj. $\rang A≤\min(m,n)$.
U principu, iz same definicije ranga slijedi metoda za njegovo pronalaženje. Proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, može se shematski prikazati na sljedeći način:
Dopustite mi da detaljnije objasnim ovaj dijagram. Počnimo zaključivati od samog početka, tj. od minora prvog reda neke matrice $A$.
- Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $A$) jednaki nuli, tada je $\rang A=0$. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 1$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
- Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je $\rang A=1$. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 2$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
- Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, tada je $\rang A=2$. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 3$. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.
- Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je $\rang A=3$. Ako među minorima četvrtog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 4$. Prelazimo na provjeru maloljetnika petog reda i tako dalje.
Što nas čeka na kraju ove procedure? Moguće je da će među minorima k-tog reda biti barem jedan koji je različit od nule, a svi minori (k+1) reda bit će jednaki nuli. To znači da je k najveći red minora među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti jednak k. Može postojati drugačija situacija: među minorima k-tog reda bit će barem jedan koji nije jednak nuli, ali više neće biti moguće formirati minore (k+1) reda. U ovom slučaju, rang matrice je također jednak k. Ukratko, redoslijed posljednjeg sastavljenog minora različitog od nule bit će jednak rangu matrice.
Prijeđimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, biti jasno ilustriran. Dopustite mi da još jednom naglasim da ćemo u primjerima ove teme početi pronalaziti rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) raspravljaju se u sljedećim temama.
Usput, uopće nije potrebno započeti proceduru za pronalaženje ranga s minorima najmanjeg reda, kao što je učinjeno u primjerima br. 1 i br. 2. Možete odmah prijeći na minore viših redova (vidi primjer br. 3).
Primjer br. 1
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(niz) \desno)$.
Ova matrica ima veličinu $3\puta 5$, tj. sadrži tri retka i pet stupaca. Od brojeva 3 i 5, minimum je 3, stoga rang matrice $A$ nije veći od 3, tj. $\rang A≤ 3$. I ova je nejednakost očita, budući da više nećemo moći formirati minore četvrtog reda - oni zahtijevaju 4 reda, a mi imamo samo 3. Prijeđimo izravno na proces pronalaženja ranga zadane matrice.
Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) ima i onih različitih od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Općenito, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula - i to je dovoljno. Budući da među minorima prvog reda postoji barem jedan različit od nule, zaključujemo da je $\rang A≥ 1$ i prelazimo na provjeru minora drugog reda.
Počnimo istraživati minore drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka br. 1, br. 2 i stupaca br. 1, br. 4 nalaze se elementi sljedećeg minora: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(niz) \desno| $. Za ovu determinantu svi elementi drugog stupca jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, tj. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (pogledajte svojstvo br. 3 u temi svojstava determinanti). Ili jednostavno možete izračunati ovu determinantu pomoću formule br. 1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:
$$ \lijevo|\begin(niz)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(niz) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Pokazalo se da je prvi minor drugog reda koji smo testirali jednak nuli. Što to znači? O potrebi daljnje provjere maloljetnika drugog reda. Ili će svi biti nula (i tada će rang biti jednak 1), ili će među njima biti barem jedan minor koji je različit od nule. Pokušajmo napraviti bolji izbor ispisujući minor drugog reda čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 1, br. 2 i stupaca br. 1 i br. 5: $\left|\begin( niz)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(niz) \right|$. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:
$$ \lijevo|\begin(niz)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(niz) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Ovaj minor nije jednak nuli. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule. Stoga je $\rang A≥ 2$. Moramo prijeći na proučavanje minora trećeg reda.
Odaberemo li stupac br. 2 ili stupac br. 4 za formiranje minora trećeg reda, tada će takvi minori biti jednaki nuli (jer će sadržavati stupac nula). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu stupaca br. 1, br. 3, br. 5 i redaka br. 1, br. 2, br. 3. Zapišimo ovaj minor i pronađimo njegovu vrijednost:
$$ \lijevo|\begin(niz)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(niz) \desno|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Dakle, svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Posljednji minor različit od nule koji smo kompajlirali bio je drugog reda. Zaključak: najveći red minora među kojima je barem jedan različit od nule je 2. Prema tome, $\rang A=2$.
Odgovor: $\rang A=2$.
Primjer br. 2
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Imamo kvadratna matricačetvrti red. Odmah napomenimo da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $\rang A≤ 4$. Počnimo pronalaziti rang matrice.
Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) postoji barem jedan koji nije jednak nuli, dakle $\rang A≥ 1$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka br. 2, br. 3 i stupaca br. 1 i br. 2 dobivamo sljedeći minor drugog reda: $\left| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|$. Izračunajmo to:
$$\lijevo| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|=0-10=-10. $$
Među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, pa je $\rang A≥ 2$.
Prijeđimo na minore trećeg reda. Pronađimo, na primjer, minor čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 1, br. 3, br. 4 i stupaca br. 1, br. 2, br. 4:
$$\lijevo | \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(niz) \right|=105-105=0. $$
Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili će svi biti jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili će među njima biti barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo početi proučavati minore četvrtog reda). Razmotrimo minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 2, br. 3, br. 4 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:
$$\lijevo| \begin(niz) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(niz) \right|=-28. $$
Među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, pa je $\rang A≥ 3$. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.
Bilo koji minor četvrtog reda nalazi se na sjecištu četiri retka i četiri stupca matrice $A$. Drugim riječima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $A$, budući da ova matrica sadrži 4 retka i 4 stupca. Determinanta ove matrice izračunata je u primjeru br. 2 teme "Smanjenje reda determinante. Rastavljanje determinante u nizu (stupcu)", pa uzmimo samo gotov rezultat:
$$\lijevo| \početak(niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \kraj (niz)\desno|=86. $$
Dakle, minor četvrtog reda nije jednak nuli. Više ne možemo formirati minore petog reda. Zaključak: najviši red minora, među kojima je barem jedan različit od nule, je 4. Rezultat: $\rang A=4$.
Odgovor: $\rang A=4$.
Primjer br. 3
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( niz) \desno)$.
Odmah primijetimo da ova matrica sadrži 3 retka i 4 stupca, pa je $\rang A≤ 3$. U prethodnim primjerima smo započeli proces pronalaženja ranga razmatranjem minora najmanjeg (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike najvišeg mogućeg reda. Za matricu $A$ to su minori trećeg reda. Razmotrimo minor trećeg reda čiji elementi leže na sjecištu redaka br. 1, br. 2, br. 3 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:
$$\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(niz) \right|=-8-60-20=-88. $$
Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $\rang A=3$.
Odgovor: $\rang A=3$.
Općenito, pronalaženje ranga matrice prema definiciji je, u općem slučaju, prilično radno intenzivan zadatak. Na primjer, relativno mala matrica veličine $5\puta 4$ ima 60 minora drugog reda. Pa čak i ako je 59 od njih jednako nuli, tada 60. minor može ispasti različit od nule. Zatim ćete morati proučavati minore trećeg reda, kojih ova matrica ima 40 komada. Obično se nastoje koristiti manje glomaznim metodama, kao što je metoda graničnih minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.
Bilo koja matrica A narudžba m×n može se smatrati zbirkom m vektori nizova ili n vektori stupaca.
Rang matrice A narudžba m×n je najveći broj linearno nezavisnih vektora stupaca ili vektora reda.
Ako je rang matrice A jednaki r, tada je zapisano:
Određivanje ranga matrice
Neka A matrica proizvoljnog reda m× n. Za pronalaženje ranga matrice A Na njega primjenjujemo Gaussovu metodu eliminacije.
Imajte na umu da ako je u nekoj fazi eliminacije vodeći element jednak nuli, tada taj redak mijenjamo s linijom u kojoj je vodeći element različit od nule. Ako se ispostavi da ne postoji takav redak, prijeđite na sljedeći stupac itd.
Nakon procesa Gaussove eliminacije, dobivamo matricu čiji su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Osim toga, može postojati vektor nula reda.
Broj vektora retka koji nije nula bit će rang matrice A.
Pogledajmo sve ovo na jednostavnim primjerima.
Primjer 1.
Množenjem prvog retka s 4 i dodavanjem drugom retku i množenjem prvog retka s 2 i zbrajanjem trećeg retka imamo:
Pomnožite drugi redak s -1 i dodajte ga trećem redu:
Dobili smo dva retka različita od nule i stoga je rang matrice 2.
Primjer 2.
Nađimo rang sljedeće matrice:
Pomnožite prvi redak s -2 i dodajte ga drugom retku. Slično, poništavamo elemente trećeg i četvrtog retka prvog stupca:
Ponovno postavimo elemente trećeg i četvrtog reda drugog stupca dodavanjem odgovarajućih redaka drugom retku pomnoženo s brojem -1.
Redovi (stupci). Kaže se da je nekoliko redaka (stupaca) linearno neovisno ako se nijedan od njih ne može linearno izraziti preko ostalih. Rang sustava reda uvijek je jednak rangu sustava stupaca, a taj se broj naziva rang matrice.
Rang matrice je najviši od svih mogućih minora različitih od nule ove matrice. Rang nulte matrice bilo koje veličine je nula. Ako su svi minori drugog reda nula, tada je rang jedan, itd.
Rang matrice - dimenzija slike dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A))) linearni operator kojemu odgovara matrica.
Obično rang matrice A (\displaystyle A) označen sa rang A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A) ili rang A (\displaystyle \operatorname (rank) A). Posljednja je opcija tipična za na engleskom, dok su prva dva za njemački, francuski i niz drugih jezika.
Enciklopedijski YouTube
-
1 / 5
Neka je pravokutna matrica.
Zatim, po definiciji, rang matrice A (\displaystyle A) je:
Teorem (o ispravnosti određivanja rangova). Neka su svi minori matrice A m × n (\displaystyle A_(m\puta n)) narudžba k (\displaystyle k) jednaki su nuli ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Zatim ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), ako postoje.
Povezane definicije
Svojstva
- Teorem (o bazičnom minoru): Neka r = rang A , M r (\displaystyle r=\ime operatera (rang) A,M_(r))- baza minor matrice A (\displaystyle A), zatim:
- Posljedice:
- Teorem (o invarijantnosti ranga pod elementarnim transformacijama): Uvedimo oznaku za matrice dobivene jedna iz druge elementarnim transformacijama. Tada je istinita sljedeća tvrdnja: Ako A ∼ B (\displaystyle A\sim B), tada su im redovi jednaki.
- Kronecker-Capellijev teorem: Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice. Posebno:
- Broj glavnih varijabli sustava jednak je rangu sustava.
- Konzistentan sustav bit će definiran (njegovo rješenje je jedinstveno) ako rang sustava jednak broju sve njegove varijable.
- Sylvesterova nejednakost: Ako A I B matrice veličine m x n I n x k, To
Ovo je poseban slučaj sljedeće nejednakosti.
- Frobeniusova nejednakost: Ako su AB, BC, ABC točno definirani, tada
Linearna transformacija i rang matrice
Neka A (\displaystyle A)- matrica veličine m × n (\displaystyle m\puta n) preko polja C (\displaystyle C)(ili R (\displaystyle R)). Neka T (\displaystyle T)- linearna transformacija odgovarajuća A (\displaystyle A) na standardnoj osnovi; to znači da T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Rang matrice A (\displaystyle A) je dimenzija raspona transformacije T (\displaystyle T).
Metode
Postoji nekoliko metoda za pronalaženje ranga matrice:
- Metoda elementarne transformacije
- Bordering minor metoda
