Рішення матриць розкладання по рядку чи стовпцю. Застосування теореми Лапласа для обчислення визначників n-го порядку (розкладання рядком або стовпцем). Основні визначення та найпростіші властивості

Часто у ВНЗ трапляються завдання з вищої математики, в яких необхідно обчислити визначник матриці. До речі, визначник може бути лише у квадратних матрицях. Нижче розглянемо основні визначення, які властивості має визначник і як його правильно обчислити. Також на прикладах покажемо докладне рішення.

Що таке визначник матриці: обчислення визначника за допомогою визначення

Визначник матриці

Другого порядку – це число.

Визначник матриці позначається – (скорочено від латинської назви детермінант), або .

Якщо:, тоді виходить

Нагадаємо ще кілька допоміжних визначень:

Визначення

Упорядкований набір чисел, що складається з елементів, називається перестановкою порядку .

Для безлічі, що містить елементів є факторіал (n), який завжди позначається знаком оклику: . Перестановки відрізняються один від одного лише порядком прямування. Щоб вам було зрозуміліше, наведемо приклад:

Розглянемо безліч із трьох елементів (3, 6, 7). Усього перестановок 6, тому що .:

Визначення

Інверсія у перестановці порядку – це впорядкований набір чисел (його називають біекцією), де їх дві числа утворюють якийсь безлад. Це коли більша кількість чисел у цій перестановці розташована лівіше меншого числа.

Вище ми розглядали приклад з інверсією перестановки, де були числа. Так ось, візьмемо другий рядок, де судячи з даних чисел виходить, що , а , тому що другий елемент більший за третій елемент . Візьмемо для порівняння шостий рядок, де розташовані числа: . Тут є три пари: , а так як title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Саму інверсію ми вивчати не будемо, а ось перестановки нам знадобляться у подальшому розгляді теми.

Визначення

Визначник матриці x – число:

– перестановка чисел від 1 до нескінченного числа, а – число інверсій у перестановці. Отже, в визначник входить доданків, які називаються “членами визначника”.

Можна обчислювати визначник матриці другого ладу, третього і навіть четвертого. Також варто згадати:

Визначення

визначник матриці - це число, яке дорівнює

Щоб зрозуміти цю формулу, опишемо її докладніше. Визначник квадратної матриці x – це сума, яка містить доданків, а кожен доданок є добутком певної кількості елементів матриці. При цьому в кожному творі є елемент з кожного рядка та кожного стовпця матриці.

Перед певним доданком може з'явиться у тому випадку, якщо елементи матриці у творі йдуть по порядку (за номером рядок), а кількість інверсій у перестановці безліч номерів стовпців непарна.

Вище згадувалося у тому, що визначник матриці позначається чи , тобто, визначник часто називають детермінантом.

Отже, повернемося до формули:

З формули видно, що визначник матриці першого порядку – це елемент цієї матриці .

Обчислення визначника матриці другого порядку

Найчастіше на практиці визначник матриці вирішується методами другого, третього та рідше, четвертого порядку. Розглянемо, як обчислюється визначник матриці другого порядку:

У матриці другого порядку, звідси випливає, що факторіал. Перш ніж застосувати формулу

Необхідно визначити, які дані ми отримуємо:

2. перестановки множин: і;

3. кількість інверсій у перестановці : і , оскільки title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. відповідні твори: і.

Виходить:

Виходячи з вищесказаного, ми отримуємо формулу для обчислення визначника квадратної матриці другого порядку, тобто x :

Розглянемо на конкретному прикладі, як обчислювати визначник квадратної матриці другого порядку:

приклад

Завдання

Обчислити визначник матриці x:

Рішення

Отже, у нас виходить , , , .

Для вирішення необхідно скористатися раніше розглянутою формулою:

Підставляємо числа з прикладу та знаходимо:

Відповідь

Визначник матриці другого порядку = .

Обчислення визначника матриці третього порядку: приклад та рішення за формулою

Визначення

Визначник матриці третього порядку - це число, отримане з дев'яти заданих чисел, розташованих у вигляді квадратної таблиці,

Визначник третього порядку перебуває майже як і, як і визначник другого порядку. Різниця лише у формулі. Тому якщо добре орієнтуватися у формулі, тоді й проблем із рішенням не буде.

Розглянемо квадратну матрицю третього порядку *:

Виходячи з даної матриці, розуміємо, що відповідно факторіал = , а це означає, що всього перестановок виходить

Щоб правильно застосувати формулу , необхідно знайти дані:

Отже, всього перестановок безлічі:

Кількість інверсій у перестановці, а відповідні твори =;

Кількість інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Тепер у нас виходить:

Таким чином, у нас отримана формула для обчислення визначника матриці порядку x :

Знаходження матриці третього порядку за правилом трикутника (правило Саррюса)

Як говорилося вище, елементи визначника 3-го порядку розташовані у трьох рядках та трьох стовпцях. Якщо ввести позначку загального елемента, тоді перший елемент позначає номер рядка, а другий елемент індексів – номер стовпця. Є головна (елементи) та побічна (елементи) діагоналі визначника. Доданки у правій частині називаються членами визначника).

Видно, кожен член визначника перебуває у схемі лише з одному елементу у кожному рядку і кожного стовпця.

Обчислювати визначник можна за допомогою правила прямокутника, зображеного у вигляді схеми. Червоним кольором виділено члени визначника з елементів головної діагоналі, а також члени з елементів, що знаходяться у вершині трикутників, що мають по одній стороні, паралельні головній діагоналі (ліва схема), беруться зі знаком .

Члени із синіми стрілками з елементів побічної діагоналі, а також з елементів, що знаходяться у вершинах трикутників, що мають сторони, паралельні побічній діагоналі (права схема) беруться зі знаком .

На наступному прикладі навчимося, як обчислювати визначник квадратної матриці третього порядку.

приклад

Завдання

Обчислити визначник матриці третього порядку:

Рішення

У цьому прикладі:

Обчислюємо визначник, застосовуючи формулу або схему, що розглядалися вище:

Відповідь

Визначник матриці третього порядку =

Основні властивості визначників матриці третього порядку

На підставі попередніх визначень та формул розглянемо основні властивості визначника матриці.

1. Розмір визначника не зміниться під час заміни відповідних рядків, стовпців (така заміна називається транспонуванням).

Приклад переконаємося, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці:

Згадаймо формулу для обчислення визначника:

Транспонуємо матрицю:

Обчислюємо визначник транспонованої матриці:

Ми переконалися, що визначник транспортованої матриці дорівнює вихідній матриці, що говорить про правильне рішення.

2. Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями будь-які два його стовпці або два рядки.

Розглянемо з прикладу:

Дано дві матриці третього порядку ( x ):

Потрібно показати, що визначники даних матриць протилежні.

Рішення

У матриці і в матриці змінилися рядки (третій з першої, і з першої на третю). Відповідно до другої властивості визначники двох матриць повинні відрізнятися знаком. Тобто одна матриця з позитивним знаком, а друга – з негативним. давайте перевіримо цю властивість, застосувавши формулу для обчислення визначника.

Властивість правильна, тому що .

3. Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому є однакові відповідні елементи у двох рядках (стовпцях). Нехай у визначника однакові елементи першого та другого стовпців:

Помінявши місцями однакові стовпці, ми, згідно з якістю 2, отримаємо новий визначник: = . З іншого боку, новий визначник збігається з початковим, оскільки однакові елементи відповіді, тобто = . З цих рівностей ми виходить: = .

4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) нулі. Це твердження випливає з того, що у кожного члена визначника за формулою (1) є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка (стовпця), у якого одні нулі.

Розглянемо з прикладу:

Покажемо, що визначник матриці дорівнює нулю:

У нашій матриці є два однакові стовпці (другий і третій), тому, виходячи з цієї властивості, визначник повинен дорівнювати нулю. Перевіримо:

Визначник матриці з двома однаковими стовпцями дорівнює нулю.

5. Загальний множник елементів першого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника:

6. Якщо елементи одного рядка або одного стовпця визначника пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), такий визначник дорівнює нулю.

Дійсно, за властивістю 5 коефіцієнт пропорційності можна винести за знак визначника і тоді скористатися властивістю 3.

7. Якщо кожен із елементів рядків (стовпців) визначника є сумою двох доданків, цей визначник можна подати як суми відповідних визначників:

Для перевірки достатньо записати в розгорнутому вигляді по (1) визначник, що в лівій частині рівності, тоді окремо згрупувати члени, в яких містяться елементи і .

8. Значення визначення не зміняться, якщо до елемента одного рядка або одного стовпця додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на те саме число:

Ця рівність виходить з властивостей 6 і 7.

9. Визначник матриці , , дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка або стовпця на їх додатки алгебри.

Тут мається на увазі алгебраїчне доповнення елемента матриці. За допомогою цієї властивості можна обчислювати не тільки матриці третього порядку, але і матриці вищих порядків ( x або x ). Іншими словами - це рекурентна формула, яка потрібна для того, щоб обчислити визначник матриці будь-якого порядку. Запам'ятайте її, оскільки вона часто застосовується практично.

Варто сказати, що з допомогою дев'ятого якості можна обчислювати визначники матриць як четвертого порядку, а й вищих порядків. Однак, при цьому потрібно робити дуже багато обчислювальних операцій і бути уважним, оскільки найменша помилка у знаках призведе до неправильного рішення. Матриці вищих порядків найзручніше вирішувати методом Гаусса, і про це поговоримо пізніше.

10. Визначник добутку матриць одного порядку дорівнює творуїх визначників.

Розглянемо з прикладу:

приклад

Завдання

Переконайтеся, що визначник двох матриць дорівнює твору їх визначників. Дано дві матриці:

Рішення

Спочатку знаходимо добуток визначників двох матриць і .

Тепер виконаємо множення обох матриць і таким чином обчислимо визначник:

Відповідь

Ми переконалися, що

Обчислення визначника матриці за допомогою методу Гаусса

Визначник матриціоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру

У ході вирішення завдань з вищої математики часто виникає необхідність обчислити визначник матриці. Визначник матриці фігурує в лінійній алгебрі, аналітичної геометрії, математичний аналіз та інші розділи вищої математики Таким чином, без навички рішення визначників просто не обійтись. Також для самоперевірки Ви можете безкоштовно скачати калькулятор визначників, він сам по собі не навчить вирішувати визначники, але дуже зручний, оскільки завжди вигідно знати правильну відповідь!

Я не даватиму строгого математичного визначення визначника, і, взагалі, намагатимуся мінімізувати математичну термінологію, більшості читачів легше від цього не стане. Завдання цієї статті – навчити Вас вирішувати визначники другого, третього та четвертого порядку. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, і навіть повний (порожній) чайник у вищій математиці після уважного вивчення матеріалу зможе правильно вирішувати визначники.

Насправді найчастіше можна зустріти визначник другого порядку, наприклад: , і визначник третього порядку, наприклад: .

Визначник четвертого порядку теж не антикваріат, і до нього ми підійдемо наприкінці уроку.

Сподіваюся, всім зрозуміло таке:Числа всередині визначника живуть самі по собі, і ні про яке віднімання не йдеться! Міняти місцями числа не можна!

(Як зокрема, можна здійснювати парні перестановки рядків або стовпців визначника зі зміною його знака, але часто в цьому немає необхідності - див. наступний урок Властивості визначника і зниження його порядку)

Таким чином, якщо дано якийсь визначник, то нічого всередині нього не чіпаємо!

Позначення: Якщо дана матриця , її визначник позначають . Також дуже часто визначник позначають латинською літерою або грецькою.

1)Що означає вирішити (знайти, розкрити) визначник?Обчислити визначник – це означає ЗНАЙТИ ЧИСЛО. Знаки питання у вищерозглянутих прикладах – це прості числа.

2) Тепер залишилося розібратися в тому, Як знайти це число?Для цього потрібно застосувати певні правила, формули та алгоритми, про що зараз і йтиметься.

Почнемо з визначника "два" на "два":

Це потрібно запам'ятати, принаймні на час вивчення вищої математики у ВНЗ.

Відразу розглянемо приклад:

Готово. Найголовніше, не заплутатися у знаках.

Визначник матриці "три на три"можна розкрити 8 способами, 2 з них прості та 6 - нормальні.

Почнемо з двох простих способів

Аналогічно визначнику "два на два", визначник "три на три" можна розкрити за допомогою формули:

Формула довга і припуститися помилки по неуважності простіше простого. Як уникнути прикрих промахів? Для цього придумано другий спосіб обчислення визначника, який фактично збігається з першим. Він називається способом Саррюса або способом «паралельних смужок».
Суть полягає в тому, що праворуч від визначника приписують перший і другий стовпець і акуратно олівцем проводять лінії:

Багато людей, які перебувають на «червоних» діагоналях, входять у формулу зі знаком «плюс».
Багато мешканців, що знаходяться на «синіх» діагоналях, входять у формулу зі знаком мінус:

Приклад:

Порівняйте два рішення. Неважко помітити, що це ОДНЕ І ТЕ Ж, просто в другому випадку трохи переставлені множники формули, і, найголовніше, ймовірність припуститися помилки значно менше.

Тепер розглянемо шість нормальних способів обчислення визначника

Чому нормальні? Тому що у переважній більшості випадків визначники потрібно розкривати саме так.

Як Ви помітили, у визначника «три на три» три стовпці та три рядки.
Вирішити визначник можна, розкривши його за будь-яким рядком або за будь-яким стовпцем.
Таким чином, виходить 6 способів, при цьому у всіх випадках використовується однотипнийалгоритм.

Визначник матриці дорівнює сумітворів елементів рядка (стовпця) на відповідні додатки алгебри. Страшно? Все набагато простіше будемо використовувати ненауковий, але зрозумілий підхід, доступний навіть для людини, далекої від математики.

У наступному прикладі розкриватимемо визначник по першому рядку.
Для цього нам знадобиться матриця символів: . Легко помітити, що знаки розташовані у шаховому порядку.

Увага! Матриця знаків – це мій власний винахід. Це не наукове, його не потрібно використовувати в чистовому оформленні завдань, воно лише допомагає Вам зрозуміти алгоритм обчислення визначника.

Спершу я наведу повне рішення. Знову беремо наш піддослідний визначник і проводимо обчислення:

І головне питання: ЯК з визначника «три на три» отримати ось це:
?

Отже, визначник "три на три" зводиться до рішення трьох маленьких визначників, або як їх ще називають, МІНОРІВ. Термін рекомендую запам'ятати, тим більше він запам'ятовується: мінор - маленький.

Якщо вибраний спосіб розкладання визначника по першому рядкуочевидно, що все обертається навколо неї:

Елементи зазвичай розглядають зліва направо (або зверху вниз, якщо було б обрано стовпець)

Поїхали, спочатку знаємося з першим елементом рядка, тобто з одиницею:

1) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

2) Потім записуємо сам елемент:

3) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть перший елемент:

Чотири числа, що залишилися, і утворюють визначник «два на два», який називається МІНОРОМцього елемента (одиниці).

Переходимо до другого елемента рядка.

4) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

5) Потім записуємо другий елемент:

6) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть другий елемент:

Та й третій елемент першого рядка. Жодної оригінальності:

7) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

8) Записуємо третій елемент:

9) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть третій елемент:

Чотири числа, що залишилися, записуємо в маленький визначник.

Інші дії не становлять труднощів, оскільки визначники «два на два» ми вважати вже вміємо. НЕ ПЛУТАЄМОСЯ У ЗНАКАХ!

Аналогічно визначник можна розкласти за будь-яким рядком або за будь-яким стовпцем.Звісно, у всіх шести випадках відповідь виходить однаковою.

Визначник "чотири на чотири" можна обчислити, використовуючи цей же алгоритм.
При цьому матриця знаків у нас збільшиться:

У наступному прикладі я розкрив визначник по четвертому стовпцю:

А як це вийшло, спробуйте розібратися самостійно. Додаткова інформація буде пізніше. Якщо хтось захоче вирішувати визначник до кінця, правильна відповідь: 18. Для тренування краще розкрити визначник по якомусь іншому стовпцю або іншому рядку.

Потренуватися, розкрити, провести розрахунки – це дуже добре та корисно. Але скільки часу ви витратите на великий визначник? Чи не можна якось швидше і надійніше? Пропоную ознайомитись з ефективними методамиобчислення визначників другого уроці – Властивості визначника. Зниження порядку визначника.

БУДЬТЕ УВАЖНІ!

У випадку правило обчислення визначників $n$-го порядку є досить громіздким. Для визначників другого та третього порядку існують раціональні способи їх обчислень.

Обчислення визначників другого порядку

Щоб обчислити визначник матриці другого порядку, треба від добутку елементів головної діагоналі відібрати добуток елементів побічної діагоналі:

$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник другого порядку $ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Рішення.$ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Методи обчислення визначників третього порядку

Для обчислення визначників третього порядку є такі правила.

Правило трикутника

Схематично це правило можна зобразити так:

Добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "плюс"; аналогічно, другого визначника - відповідні твори беруться зі знаком " мінус " , тобто.

$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \(a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | $ методом трикутників.

Рішення.$ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Відповідь.

Правило Саррюса

Праворуч від визначника дописують перші два стовпці та твори елементів на головній діагоналі та на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком "плюс"; а твори елементів побічної діагоналі та діагоналей, їй паралельних, зі знаком "мінус":

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ за допомогою правила Саррюса.

Рішення.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | = 54 $

Розкладання визначника по рядку або стовпцю

Визначник дорівнює сумі творів елементів рядка визначника з їхньої алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, буде позначати стрілкою.

приклад

Завдання.Розклавши по першому рядку, обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Рішення.$ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

Відповідь.

Цей метод дозволяє обчислення визначника звести до обчислення визначника нижчого порядку.

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Рішення.Виконаємо наступні перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перші, а з третього перший рядок, помножений на сім, в результаті, згідно з властивостями визначника, отримаємо визначник, рівний даному.

$$\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\left| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Визначник дорівнює нулю, тому що другий і третій рядки є пропорційними.

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

Для обчислення визначників четвертого порядку і вище застосовується або розкладання рядком/стовпцем, або приведення до трикутного вигляду, або за допомогою теореми Лапласа.

Розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , розклавши його за елементами якогось рядка або якогось стовпця.

Рішення.Попередньо виконаємо елементарні перетворення над рядками визначника, зробивши якнайбільше нулів або в рядку, або в стовпці. Для цього спочатку від першого рядка віднімемо дев'ять третіх, від другого - п'ять третіх і від четвертого - три треті рядки, одержуємо:

$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$

Отриманий визначник третього порядку також розкладемо елементами рядка і стовпця, попередньо отримавши нулі, наприклад, у першому стовпці. Для цього від першого рядка віднімаємо два другі рядки, а від третього - другий:

$$\left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Зауваження

Останній та передостанній визначники можна було б і не обчислювати, а відразу зробити висновок про те, що вони дорівнюють нулю, оскільки містять пропорційні рядки.

Приведення визначника до трикутного вигляду

За допомогою елементарних перетворень над рядками або стовпцями визначник наводиться до трикутного вигляду і тоді його значення, згідно з властивостями визначника, дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ Delta = left | \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ приведенням його до трикутного вигляду.

Рішення.Спочатку робимо нулі у першому стовпці під головною діагоналлю. Усі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент $a_(11)$ дорівнюватиме 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Далі отримуємо нулі у другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент дорівнюватиме $\pm 1$ , то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другий і третій рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Нагадаємо теорему Лапласа:
Теорема Лапласа:

Нехай у визначнику d порядку n довільно вибрано k рядків (або k стовпців), . Тоді сума творів усіх мінорів k-го порядку, які у вибраних рядках, з їхньої алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику d.

Для обчислення визначників у випадку k беруть рівним 1. Тобто. у визначнику d порядку n довільно вибрано рядок (або стовпець). Тоді сума творів всіх елементів, що містяться у вибраному рядку (або стовпці), на їх додатки алгебри дорівнює визначнику d.

Приклад:
Обчислити визначник

Рішення:

Виберемо довільний рядок чи стовпець. З причини, яка стане очевидною трохи пізніше, обмежимо свій вибір чи третім рядком, чи четвертим стовпцем. І зупинимося на третьому рядку.

Скористаємося теоремою Лапласа.

Перший елемент обраного рядка дорівнює 10, він стоїть у третьому рядку та першому стовпці. Обчислимо алгебраїчне доповнення щодо нього, тобто. знайдемо визначник, отриманий викресленням стовпця та рядки, на яких стоїть цей елемент (10) та з'ясуємо знак.

«плюс, якщо сума номерів усіх рядків та стовпців, у яких розташований мінор M парна, та мінус, якщо ця сума непарна.»
А мінор ми взяли, що складається з одного єдиного елемента 10, який стоїть у першому стовпці третього рядка.

Отже:

Четвертий доданок цієї суми дорівнює 0, тому варто вибирати рядки або стовпці з максимальним числом нульових елементів.

Відповідь: -1228

Приклад:
Обчислити визначник:

Рішення:
Виберемо перший стовпець, т.к. два елементи в ньому дорівнюють 0. Розкладемо визначник по першому стовпцю.

Кожен із визначників третього порядку розкладемо за першим другим рядком

Кожен із визначників другого порядку розкладемо по першому стовпцю

Відповідь: 48
Примітка:при вирішенні цього завдання не використовувалися формули для обчислення визначників 2-го та 3-го порядків. Використовувалося лише розкладання рядком чи стовпцю. Яке призводить до зниження порядку визначників.

Постановка задачі

Завдання має на увазі знайомство користувача з основними поняттями чисельних методів, такими як визначник та зворотна матриця, та різними способами їх обчислень. У цьому теоретичному звіті простою та доступною мовою спочатку вводяться основні поняття та визначення, на підставі яких проводиться подальше дослідження. Користувач може не мати спеціальних знань у галузі чисельних методів та лінійної алгебри, але з легкістю зможе скористатися результатами цієї роботи. Для наочності наведено програму обчислення визначника матриці декількома методами, написану мовою програмування C++. Програма використається як лабораторний стенд для створення ілюстрацій до звіту. А також проводиться дослідження методів для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри . Доводиться марність обчислення зворотної матриці, у роботі наводиться найбільш оптимальні способи розв'язання рівнянь не обчислюючи її. Розповідається чому існує така кількість різних методів обчислення визначників та зворотних матриць та розбираються їхні недоліки. Також розглядаються похибки при обчисленні визначника та оцінюється досягнута точність. Крім російських термінів у роботі використовуються та його англійські еквіваленти розуміння, під якими назвами шукати чисельні процедури у бібліотеках і що означають їх параметри.

Основні визначення та найпростіші властивості

Визначник

Введемо визначення визначника квадратної матриці будь-якого порядку. Це визначення буде рекурентним, тобто встановити, що таке визначник матриці порядку , потрібно знати, що таке визначник матриці порядку . Зазначимо також, що визначник існує лише у квадратних матриць.

Визначник квадратної матриці будемо позначати або det.

Визначення 1. Визначникомквадратної матриці другого порядку називається число .

Визначником квадратної матриці порядку , називається число

де - визначник матриці порядку, отриманої з матриці викресленням першого рядка та стовпця з номером.

Для наочності запишемо, як можна обчислити визначник матриці четвертого порядку:

Зауваження.Реальне обчислення визначників для матриць вище за третій порядок на основі визначення використовується у виняткових випадках. Як правило, обчислення ведеться за іншими алгоритмами, які будуть розглянуті пізніше та які вимагають менше обчислювальної роботи.

Зауваження.У визначенні 1 було б точніше сказати, що визначник є функція, визначена на множині квадратних матриць порядку і приймає значення у множині чисел.

Зауваження.У літературі замість терміна "визначник" використовується також термін "детермінант", що має той самий сенс. Від слова "детермінант" і з'явилося позначення det.

Розглянемо деякі властивості визначників, які сформулюємо як тверджень.

Твердження 1.При транспонуванні матриці визначник не змінюється, тобто .

Твердження 2.Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, тобто .

Твердження 3.Якщо в матриці поміняти місцями два рядки, її визначник змінить знак.

Твердження 4.Якщо матриця має два однакові рядки, її визначник дорівнює нулю.

Надалі нам потрібно складати рядки і множити рядок на число. Ці дії над рядками (стовпцями) ми виконуватимемо так само, як дії над матрицями-рядками (матрицями-стовпцями), тобто поелементно. Результатом буде рядок (стовпець), як правило, що не збігається з рядками вихідної матриці. За наявності операцій складання рядків (стовпців) та множення їх на число ми можемо говорити і про лінійні комбінації рядків (стовпців), тобто суми з числовими коефіцієнтами.

Твердження 5.Якщо рядок матриці помножити на число , її визначник помножиться цього числа.

Твердження 6.Якщо матриця містить нульовий рядок, її визначник дорівнює нулю.

Твердження 7.Якщо один із рядків матриці дорівнює іншому, помноженому на число (рядки пропорційні), то визначник матриці дорівнює нулю.

Твердження 8.Нехай у матриці i-ий рядок має вигляд . Тоді, де матриця виходить з матриці заміною i-го рядка на рядок, а матриця - заміною i-го рядка на рядок.

Твердження 9.Якщо до одного з рядків матриці додати інший, помножений на число, то визначник матриці не зміниться.

Твердження 10.Якщо один із рядків матриці є лінійною комбінацією інших її рядків, то визначник матриці дорівнює нулю.

Визначення 2. Алгебраїчним доповненнямдо елемента матриці називається число, що дорівнює , де - визначник матриці, отриманої з матриці викреслюванням i-го рядка і j-ого стовпця. Алгебраїчне доповнення до елемента матриці позначається.

приклад.Нехай . Тоді

Зауваження.Використовуючи додатки алгебри, визначення 1 визначника можна записати так:

Твердження 11. Розкладання визначника по довільному рядку.

Для визначника матриці справедлива формула

приклад.Обчисліть .

Рішення.Скористаємося розкладанням по третьому рядку, так вигідніше, оскільки у третьому рядку два числа з трьох – нулі. Отримаємо

Твердження 12.Для квадратної матриці порядку при виконано співвідношення .

Твердження 13.Усі властивості визначника, сформульовані для рядків (твердження 1 - 11), справедливі і для стовпців, зокрема, справедливе розкладання визначника по j-му стовпцю і рівність при .

Твердження 14.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.

Слідство.Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці, .

Висновок.Наведені вище властивості дозволяють знаходити визначники матриць досить високих порядків при порівняно невеликому обсязі обчислень. Алгоритм обчислень наступний.

Алгоритм створення нулів у стовпці.Нехай потрібно обчислити визначник порядку. Якщо , то поміняємо місцями перший рядок і будь-який інший, в якому перший елемент не нуль. В результаті визначник буде дорівнювати визначнику нової матриці з протилежним знаком. Якщо перший елемент кожного рядка дорівнює нулю, то матриця має нульовий стовпець і за твердженнями 1, 13 її визначник дорівнює нулю.

Отже, вважаємо, що вже у вихідній матриці . Перший рядок залишаємо без змін. Додамо до другого рядка перший рядок, помножений на число . Тоді перший елемент другого рядка дорівнюватиме .

Інші елементи нового другого рядка позначимо , . Визначник нової матриці за твердженням 9 дорівнює. Перший рядок помножимо на число і додамо до третього. Перший елемент нового третього рядка дорівнюватиме

Інші елементи нового третього рядка позначимо , . Визначник нової матриці за твердженням 9 дорівнює.

Процес одержання нулів замість перших елементів рядків продовжимо далі. Нарешті перший рядок помножимо на число і додамо до останнього рядка. В результаті виходить матриця, позначимо її, яка має вигляд

причому. Для обчислення визначника матриці використовуємо розкладання по першому стовпцю

Оскільки , то

У правій частині стоїть визначник матриці порядку. До нього застосовний той самий алгоритм, і обчислення визначника матриці зведеться до обчислення визначника матриці порядку. Процес повторюємо до того часу, поки дійдемо до визначника другого порядку, який обчислюється за визначенням.

Якщо матриця не має якихось специфічних властивостей, то помітно зменшити обсяг обчислень порівняно із запропонованим алгоритмом не вдається. Ще одна хороша сторона цього алгоритму - по ньому легко скласти програму для комп'ютера обчислення визначників матриць великих порядків. У стандартних програмах обчислення визначників використовується цей алгоритм з не важливими змінами, пов'язаними з мінімізацією впливу помилок округлення та похибок вхідних даних при обчисленнях комп'ютера.

приклад.Обчисліть визначник матриці .

Рішення.Перший рядок залишаємо без зміни. До другого рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. До третього рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. До четвертого рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. В результаті отримуємо

За тим же алгоритмом вважаємо визначник матриці порядку 3, що стоїть праворуч. Перший рядок залишаємо без змін, до другого рядка додаємо перший, помножений на число :

До третього рядка додаємо перший, помножений на число :

В результаті отримуємо

Відповідь. .

Зауваження.Хоча при обчислення використовувалися дроби, результат виявився цілим числом. Справді, використовуючи властивості визначників і те, що вихідні числа - цілі, операцій із дробами можна було б уникнути. Але в інженерній практиці числа дуже рідко бувають цілими. Тому, як правило, елементи визначника будуть десятковими дробами та застосовуватимуть якісь хитрощі для спрощення обчислень недоцільно.

зворотна матриця

Визначення 3.Матриця називається зворотною матрицеюдля квадратної матриці, якщо.

З визначення випливає, що зворотна матриця буде квадратною матрицею того ж порядку, що й матриця (інакше один із творів або було б не визначено).

зворотна матрицядля матриці позначається. Отже, якщо існує, то .

З визначення зворотної матриці слід, що матриця є зворотною для матриці , тобто . Про матриці і можна говорити, що вони обернені один до одного або взаємно обернені.

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, зворотна до неї не існує.

Оскільки знаходження зворотної матриці важливо, дорівнює визначник мариці нулю чи ні, то введемо такі визначення.

Визначення 4.Квадратну матрицю назвемо виродженоюабо особливою матрицею, якщо і невиродженоюабо неособливою матрицеюякщо .

Твердження.Якщо зворотна матриця існує, вона єдина.

Твердження.Якщо квадратна матриця є невироджена, то зворотна для неї існує і (1) де - Додатки алгебри до елементів .

Теорема.Зворотна матриця для квадратної матриці існує і тоді, коли матриця - невироджена, зворотна матриця єдина, і справедлива формула (1).

Зауваження.Слід звернути особливу увагу на місця, що займаються додатками алгебри у формулі зворотної матриці: перший індекс показує номер стовпця, а другий - номер рядки, які потрібно записати обчислене алгебраїчне доповнення.

приклад. .

Рішення.Знаходимо визначник

Оскільки , то матриця - невироджена, і проти неї існує. Знаходимо додатки алгебри:

Складаємо зворотну матрицю, розміщуючи знайдені додатки алгебри так, щоб перший індекс відповідав стовпцю, а другий - рядку: (2)

Отримана матриця (2) і є відповіддю до завдання.

Зауваження.У попередньому прикладі було б точніше відповідь записати так:
(3)

Однак запис (2) більш компактний і з ним зручніше проводити подальші обчислення, якщо такі будуть потрібні. Тому запис відповіді у вигляді (2) краще, якщо елементи матриць - цілі числа. І навпаки, якщо елементи матриці - десяткові дробито зворотну матрицю краще записати без множника попереду.

Зауваження.При знаходженні зворотної матриці доводиться виконувати досить багато обчислень і незвичайно правило розміщення додатків алгебри в підсумковій матриці. Тому велика ймовірність помилки. Щоб уникнути помилок, слід робити перевірку: обчислити твір вихідної матриці на підсумкову в тому чи іншому порядку. Якщо в результаті вийде одинична матриця, зворотна матриця знайдена правильно. Інакше потрібно шукати помилку.

приклад.Знайдіть зворотну матрицю для матриці .

Рішення. - Існує.

Відповідь: .

Висновок.Знаходження зворотної матриці за формулою (1) вимагає надто багато обчислень. Для матриць четвертого порядку та вище це неприйнятно. Реальний алгоритм знаходження зворотної матриці буде наведено пізніше.