p align="justify"> Серед законів розподілу для дискретних випадкових величин найбільш поширеним є біноміальний закон розподілу. Біноміальний розподіл має місце у таких умовах. Нехай випадкова величина - кількість появ певної події в незалежних випробуваннях, ймовірність появи в окремому випробуванні дорівнює . Ця випадкова величина є дискретною випадковою величиною, її можливі значення. Імовірність те, що випадкова величина прийме значення обчислюється за формулою Бернуллі: .
Визначення 15.Закон розподілу дискретної випадкової величини називається біноміальним законом розподілу, якщо ймовірність значень випадкової величини обчислюється за формулою Бернуллі. Ряд розподілу матиме вигляд:
Переконаємося, що сума ймовірностей різних значень випадкової величини дорівнює 1. Дійсно,
Так як за даних обчислення вийшла біноміальна формула Ньютона, тому закон розподілу називається біномним. Якщо випадкова величина має біномний розподіл, то її числові характеристики знаходяться за формулами:
(42)
(43)
приклад 15.Є партія із 50 деталей. Ймовірність шлюбу однієї деталі . Нехай випадкова величина - кількість бракованих деталей у цій партії. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини. Рішення.Випадкова величина має біномне розподіл, оскільки ймовірність того, що вона прийме значення обчислюється за формулою Бернуллі. Тоді її математичне очікування знаходиться за формулою (41), а саме; дисперсію знаходимо за формулою (42): . Тоді середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме. Запитання.Придбано 200 лотерейних білетів, ймовірність виграшу одного білета дорівнює 0,01. Тоді середня кількість лотерейних квитків, на які випадуть виграші, дорівнює: а) 10; б) 2; в) 20; г) 1.
Закон розподілу Пуассона
При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться мати справу з випадковими дискретними величинами, які підпорядковуються закону розподілу Пуассона. Типовими прикладами випадкової величини, що має розподіл Пуассона, є число викликів на телефонній станції за деякий час ; кількість відмов складної апаратури за час , якщо відомо, що відмови незалежні один від одного і в середньому на одиницю часу доводиться відмов. Ряд розподілу матиме вигляд:
Тобто ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, обчислюється за формулою Пуассона: тому цей закон і називається законом розподілу Пуассона. Випадкова величина, розподіленої згідно із законом Пуассона, має такі числові характеристики:
Розподіл Пуассон залежить від одного параметра , який є математичним очікуванням випадкової величини. На малюнку 14 показано загальний виглядбагатокутника розподілу Пуассона за різних значень параметра .
Розподіл Пуассона може бути використаний як наближений у тих випадках, коли точним розподілом випадкової величини є біномний розподіл, при цьому число випробувань велике, а ймовірність появи події в окремому випробуванні мала, тому закон розподілу Пуассона називають законом рідкісних подій. А ще якщо математичне очікування мало відрізняється від дисперсії, тобто коли . У зв'язку з цим розподіл Пуассон має велику кількість різних додатків. Приклад 16Завод відправляє на базу 500 доброякісних виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб зашкодить, дорівнює 0,002. Знайти математичне очікування числа пошкоджених під час перевезення деталей. Рішення.Випадкова величина має розподіл Пуассона, тому . Запитання.Імовірність спотворення символу під час передачі повідомлення дорівнює 0,004. Щоб середня кількість спотворених символів дорівнювала 4, треба передати 100 символів.
– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.
Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:
Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.
І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:
- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).
Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту:)
Тим не менш, ваші гіпотези?
2) Безперервна випадкова величина – приймає Усечислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.
Примітка : в навчальної літературипопулярні абревіатури ДСВ та НСВ
Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.
Закон розподілу дискретної випадкової величини
– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею: 
Досить часто зустрічається термін ряд
розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».
А зараз дуже важливий момент: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:
або, якщо записати згорнуто:
Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:
Без коментарів.
Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:
Приклад 1
Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу: 
…напевно, ви давно мріяли про такі завдання:) Відкрию секрет – я також. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.
Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці: 
Викриваємо «партизана»: 
- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.
Контроль: , у чому потрібно переконатися.
Відповідь:
Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:
Приклад 2
У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.
Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.
Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.
З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:
Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!
Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу: 
Наступне завдання для самостійного рішення:
Приклад 3
Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.
…я знав, що ви за ним скучили:) Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями 
відповідно. Тоді математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:
або в згорнутому вигляді: 
Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:
Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру: 
Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:
Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.
Не вір враженням – вір цифрам!
Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри:) Ну, може, тільки заради розваги.
З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.
Творче завдання для самостійного дослідження:
Приклад 4
Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?
Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино
Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише
9. Математичне очікування та дисперсія безперервних випадкових величин
Нехай безперервна випадкова величина Xзадана щільністю розподілу f(x) .
Визначення9.1: Математичним очікуванням безперервної випадкової величини X, [ a, b]
Ox, то
Примітка:Передбачається, що невласний інтеграл сходиться абсолютно, тобто існує інтеграл 
Визначення9.2: Дисперсією безперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать відрізку [ a, b] , називають певний інтеграл
Якщо можливі значення належать до всієї осі Ox, то
Так як D(X) = M(X 2 ) – [ M(X)] 2 , то можна використовувати такі формули для обчислення дисперсії:
або
.
Примітка:Властивості математичного очікування та дисперсії дискретних випадкових величин зберігаються й у безперервних величин.
Середнє квадратичне відхилення безперервної випадкової величинивизначається аналогічно дискретному випадку:
.
10. Типові розподіли безперервних випадкових величин
10.1. Рівномірний розподіл
Визначення10.1: Розподіл імовірностейназивають рівномірнимякщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення.
приклад.Шкала вимірювального приладупроградуйована в деяких одиницях. Помилка при округленні відліку до найближчого цілого поділу можна розглядати як випадкову величину X, яка може приймати з постійною щільністю ймовірності будь-яке значення між двома цілими цілими поділами. Таким чином, X має рівномірний розподіл.
Знайдемо щільність рівномірного розподілу f(x) :
За умовою, Xне набуває значень поза інтервалом (a, b), тому f(x)=0 при x aі x > b.
Знайдемо постійну Cз умови, що 
. Тоді 
.
Звідси 
.
Отже, потрібна щільність ймовірності рівномірного розподілу має вигляд:
Функція розподілу ймовірностей рівномірної випадкової величини має вигляд:
Для випадкової величини Х, рівномірно розподіленою в інтервалі ( a, b), ймовірність попадання в будь-який інтервал ( x 1
,
x 2
), що лежить всередині інтервалу ( a, b), дорівнює: 
тобто залежить від довжини інтервалу, а не від того, де він розташований.
Графік щільності рівномірного розподілу має вигляд:
Функція розподілу рівномірної випадкової величини має вигляд:
Приклад:Знайдемо математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення безперервної випадкової величини X, розподіленої рівномірно в інтервалі (a, b).
Рішення:Враховуючи густину рівномірного розподілу, отримуємо:
Звісно, отримаємо, що
.
Середнє квадратичне відхилення 
.
Примітка:Наприклад, якщо X- Випадкова величина, розподілена рівномірно на інтервалі (0,1)
, то 
,
,
.
10.2. Нормальний (Гауссівський) розподіл
Визначення10.2: Нормальнимназивають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, що описується наступною щільністю ймовірностей:
, де 
.
Графік функції f(x) має такий вигляд:
Графік щільності нормального розподілу називають нормальною кривоюабо кривою Гауса.
Нормальний розподіл визначається двома параметрами: 
і 
. Імовірнісний зміст цих параметрів такий: є математичне очікування - середнє квадратичне відхилення нормального розподілу, тобто 
і 
.
Графік функції розподілу нормальної випадкової величини має такий вигляд:
Примітка:
Стандартним нормальнимабо нормованимназивають нормальний розподіл із параметрами 
і 
. Наприклад, якщо X- Нормальна величина з параметрами і , то 
- стандартна нормальна величина, причому 
і 
. Щільність стандартного нормального розподілу має вигляд
.
Ця функція табульована (див. додаток 1).
Функція розподілу 
нормального розподілу має вигляд:
.
Функція розподілу стандартного нормального розподілу має вигляд:
.
Примітка:
.
Примітка:Імовірність влучення стандартної нормальної величини Xв інтервал (0 ,
x)
можна знайти, користуючись функцією Лапласа
:
,
і 
.
Функція 
табульована (див. додаток 2).
Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої
Зміна величини параметра (математичного очікування) не змінює форми нормальної кривої, а призводить лише до її зсуву вздовж осі Ox: вправо, якщо зростає, і вліво, якщо убуває:
Максимум функції густини ймовірностей нормального розподілу дорівнює 
.
Звідси випливає, що зі зростанням максимальна ордината нормальної кривої зменшується, а сама крива стає пологішою, тобто стискається до осі Ox; при зменшенні нормальна крива стає більш "гостровершинною" і розтягується в позитивному напрямку осі Ой:
Примітка:При будь-яких значеннях параметрів та площа, обмежена нормальною кривою та віссю Ox, Залишається рівною одиниці.
Імовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової величини
Нехай випадкова величина Xрозподілено за нормальним законом. Тоді ймовірність того, що Xнабуде значення, що належить інтервалу 
, дорівнює
Введемо нову змінну 
Звідси, 
,
Знайдемо нові межі інтегрування. Якщо 
то 
; якщо то 
Таким чином, маємо
Користуючись функцією Лапласа, отримаємо
приклад.Випадкова величина Xрозподілено за нормальним законом 
і 
. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення, що належить інтервалу .
Рішення:
За таблицею додатка 2 знаходимо 
Звідси шукана ймовірність
приклад.Знайти математичне очікування випадкової величини X, яка розподілена за нормальним законом.
Рішення:За визначенням математичного очікування безперервної випадкової величини,
.
Введемо нову змінну Звідси, ,. Взявши до уваги, що нові межі інтегрування дорівнюють старим, отримаємо
Перше із доданків дорівнює нулю (під знаком інтеграла непарна функція; межі інтегрування симетричні щодо початку координат). Друге із доданків одно а(Інтеграл Пуассона 
).
Примітка:При обчисленні дисперсії нормальної випадкової величини робиться така сама заміна змінних і застосовується формула інтегрування частинами.
Правило трьох сигм
Обчислимо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xза абсолютною величиною менше потрійного середнього квадратичного відхилення:
Таким чином, сутність правила трьох сигм полягає в наступному: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величинаїї відхилення від математичного очікування вбирається у потрійного середнього квадратичного відхилення:
На практиці правило трьох сигм застосовують наступним чином: якщо розподіл досліджуваної випадкової величини невідомий, але умова, зазначена в наведеному правилі, виконується, тобто підстава припускати, що досліджувана величина розподілена нормально; в іншому випадку вона не розподілена нормально.
10.3. Показовий розподіл
Визначення10.3: Показовим (експоненційним)називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, яке описується щільністю
де 
- Постійна позитивна величина.
Графік функції f(x) має такий вигляд:
Наприклад, час Тбезвідмовної роботи комп'ютерної системи є випадкова величина, що має показовий розподіл із параметром λ , Фізичний зміст якого - середня кількість відмов в одиницю часу. Інтервал між послідовними надходженнями викликів на автоматичну телефонну станцію, інтервал між послідовними надходженнями автомобілів до стоп-лінії перехрестя – приклади показових випадкових величин.
Знайдемо функцію розподілу показового закону:
.
Графік функції показового розподілу має такий вигляд:
приклад.Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо параметр
Рішення.Очевидно, шукана щільність розподілу
при 
;
при 
.
Шукана функція розподілу
при; 
при .
Імовірність попадання в заданий інтервал показово розподіленої випадкової величини
Знайдемо ймовірність попадання в інтервал (a, b) безперервної випадкової величини X, яка розподілена за показовим законом, заданою функцієюрозподілу
.
Використовуючи формулу та враховуючи, що 
отримаємо
Значення функції 
знаходять за таблицею (додаток 4).
Приклад:Безперервна випадкова величина Xрозподілено за показовим законом
при; при 
. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xпотрапить до інтервалу (0,3;1)
.
Рішення.За умовою, 
. ТодіX
Примітка:Припустимо, є підстави припустити, що досліджувана практично випадкова величина має показовий розподіл. А, щоб перевірити цю гіпотезу, знаходять оцінки математичного очікування середнього квадратичного відхилення, тобто. знаходять вибіркову середню та вибіркове середнє квадратичне відхилення. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілу рівні між собою, тому їх оцінки мають незначно відрізнятися. Якщо оцінки виявляться близькими одна до іншої, то дані спостережень підтверджують гіпотезу про показовий розподіл величини, що вивчається, якщо ж оцінки відрізняються істотно, то гіпотезу слід відкинути.
Правило трьох сигм.
Підставимо значення? у формулу (*), отримаємо:
Отже, з ймовірністю як завгодно близької до одиниці можна стверджувати, що модуль відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного очікування не перевищує потрійного середнього квадратичного відхилення.
Центральна гранична теорема.
Центральна гранична теорема є групою теорем, присвячених встановленню умов, у яких виникає нормальний закон розподілу. Серед цих теорем найважливіше місце належить теоремі Ляпунова.
Якщо випадкова величина Хявляє собою суму великої кількостівзаємно? незалежних випадкових величин, тобто вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то випадкова величина Хмає розподіл, що необмежено наближається до нормального розподілу.
Початкові та центральні моменти безперервної випадкової величини, асиметрія та ексцес. Мода та медіана.
У прикладних завданнях, наприклад, у математичній статистиці, при теоретичному вивченні емпіричних розподілів, що відрізняються від нормального розподілу, виникає необхідність кількісних оцінок цих відмінностей. Для цього введені спеціальні безрозмірні характеристики.
Визначення. Мода безперервної випадкової величини (Мо (X)) - Це її найбільш ймовірне значення, для якого ймовірність p iабо густина ймовірності f(x) досягає максимуму.
Визначення. Медіана безперервної випадкової величини X (Me(X)) - Це таке її значення, для якого виконується рівність:
Геометрично вертикальна пряма x = Me (X) поділяє площу фігури під кривою на дві рівні частини.
У точці X = Me(X), функція розподілу F(Me(X)) =
Знайти моду Mo, медіану Me та математичне очікування M випадкової величини X із щільністю ймовірності f(x) = 3x 2 при x I [ 0; 1].
Щільність ймовірності f(x) максимальна за x = 1, тобто. f(1) = 3, отже, Mo(X) = 1 на інтервалі [0; 1].
Для знаходження медіани позначимо Me(X) = b.
Оскільки Me (X) задовольняє умову P (X 3 = ).
b 3 =; b = » 0,79
M(X) = =+ 
=
Зазначимо 3 значення, що вийшло Mo (x), Me (X), M (X) на осі Ox:
Визначення. Асиметрієютеоретичного розподілу називається відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення:
Визначення. Ексцесомтеоретичного розподілу називається величина, яка визначається рівністю:
де? центральний момент четвертого порядку.
Для нормального розподілу. При відхиленні від нормального розподілу асиметрія позитивна, якщо "довга" і більш полога частина кривої розподілу розташована праворуч від точки на осі абсцис, що відповідає моді; якщо ця частина кривої розташована зліва моди, то асиметрія негативна (рис. 1, а, б).
Ексцес характеризує «крутість» підйому кривої розподілу порівняно з нормальною кривою: якщо ексцес позитивний, то крива має більш високу та гостру вершину; у разі негативного ексцесу порівнювана крива має нижчу і пологу вершину.
Слід мати на увазі, що при використанні зазначених характеристик порівняння опорними є припущення про однакові величини математичного очікування та дисперсії для нормального та теоретичного розподілу.
приклад.Нехай дискретна випадкова величина Хзадана законом розподілу:
Знайти: асиметрію та ексцес теоретичного розподілу.
Знайдемо спочатку математичне очікування випадкової величини:
Потім обчислюємо початкові та центральні моменти 2, 3 та 4-го порядків та :
Тепер за формулами знаходимо шукані величини:
В даному випадку «довга» частина кривої розподілу розташована праворуч від моди, причому сама крива є дещо гостріша, ніж нормальна крива з тими ж величинами математичного очікування і дисперсії.
Теорема.Для довільної випадкової величини Хта будь-якого числа
?>0 справедливі нерівності:
Ймовірність протилежної нерівності.
Середня витрата води на тваринницькій фермі становить 1000 л на день, а середнє відхилення цієї випадкової величини не перевищує 200 л. Оцінити ймовірність того, що витрата води на фермі будь-якого обраного дня не перевищить 2000 л, використовуючи нерівність Чебишева.
Нехай X-Витрата води на тваринницькій фермі (л).
Дисперсія D(X) = . Оскільки межі інтервалу 0 X 2000 симетричні щодо математичного очікування М(Х) = 1000, то для оцінки ймовірності шуканої події можна застосувати нерівність Чебишева:
Тобто не менше ніж 0,96.
Для біномного розподілу нерівність Чебишева набуде вигляду:
ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН — розділ Математика, ТЕОРІЯ МОЖЛИВОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА Найчастіше зустрічаються Закони Рівномірного, Нормального І Показового.
Найчастіше зустрічаються закони рівномірного, нормального та показового розподілу ймовірностей безперервних випадкових величин.
Рівномірним називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, якщо інтервалі (а,b), якому належать всі можливі значення Х, щільність розподілу зберігає постійне значення (6.1)
Функція розподілу має вигляд:
Нормальним називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:
Імовірність того, що випадкова величина Х набуде значення, що належить інтервалу (?; ?):
де - функція Лапласа, причому,
Імовірність того, що абсолютна величина відхилення буде меншою за позитивне число?:
Зокрема, за а = 0, . (6.7)
Показовим (експоненціальним) називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, який описується щільністю:
де? - Постійна позитивна величина.
Функція розподілу показового закону:
Імовірність влучення безперервної випадкової величини Х в інтервал (а, в), розподіленої за показовим законом:
1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-2; N). Знайти: а) диференціальну функціювипадкової величини Х; б) інтегральну функцію; в) можливість потрапляння випадкової величини в інтервал (-1;); г) математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.
2. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини, рівномірно розподіленої в інтервалі: а) (5; 11); б) (-3; 5). Накреслити графіки цих функций.
3. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на інтервалі (2; 6), причому Д(х) = 12. Знайти функції розподілу випадкової величини Х. Накреслити графіки функцій.
4. Випадкова величина Х розподілена згідно із законом прямокутного трикутника(Мал. 1) в інтервалі (0; а). Знайти: а) диференційну функцію випадкової величини Х; б) інтегральну функцію; в) віроят-
ність влучення випадкової величини
в інтервал (); г) математичне
очікування, дисперсію та середнє квад-
ратичне відхилення випадкової
5. Випадкова величина Х розподілена за законом Сімпсона («закону рівнобедреного трикутника») (Рис. 2) на інтервалі (-а; а). Знайти: а) диференціальну функцію розподілу ймовірностей випадкової величини Х;
б) інтегральну функцію та побудувати її графік; в) можливість потрапляння випадкової величини в інтервал (-); г) математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.
6. Для дослідження продуктивності певної породи свійської птиці вимірюють діаметр яєць. Найбільший поперечний діаметр яєць є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із середнім значенням 5 см і середнім квадратичним відхиленням 0,3 см. Знайти ймовірність того, що: а) діаметр взятого навмання яйця буде укладений у межах від 4,7 до 6, 2 см; б) відхилення діаметра від середнього не перевищить абсолютної величини 0,6 см.
7. Вага риб, що виловлюються в ставку, підпорядковується нормальному закону розподілу із середнім квадратичним відхиленням 150 г і математичним очікуванням а = 1000 г. Знайти ймовірність того, що вага спійманої риби буде: а) від 900 до 1300 г; б) трохи більше 1500 р; в) не менше ніж 800 г; г) відрізнятися від середньої ваги за модулем не більше ніж на 200 г; буд) накреслити графік диференціальної функції випадкової величини Х.
8. Урожайність озимої пшениці за сукупністю ділянок розподіляється за нормальним законом із параметрами: а = 50 ц/га, = 10 ц/га. Визначити: а) який відсоток ділянок матиме врожайність понад 40 ц/га; б) відсоток ділянок із врожайністю від 45 до 60 ц/га.
9. Вибірковим методом вимірюється засміченість зерна, випадкові помилки виміру підпорядковані нормальному закону розподілу із середнім квадратичним відхиленням 0,2 г та математичним очікуванням а = 0. Знайти ймовірність того, що з чотирьох незалежних вимірів помилка хоча б одного з них не перевершить за абсолютною величиною 0,3 р.
10. Кількість зерна, зібраного з кожної ділянки дослідного поля, є нормально розподіленою випадковою величиною Х, що має математичне очікування а = 60 кг і середнє квадратичне відхилення дорівнює 1,5 кг. Знайти інтервал, у якому з ймовірністю 0,9906 буде укладено величину Х. Написати диференціальну функцію цієї випадкової величини.
11. Імовірно 0,9973 було встановлено, що абсолютне відхилення живої ваги випадково взятої голови великої рогатої худоби від середньої ваги тварини по всьому стаду не перевищує 30 кг. Знайти середнє квадратичне відхилення живої ваги худоби, вважаючи, що розподіл худоби живою вагою підпорядковується нормальному закону.
12. Урожайність овочів на ділянках є нормально-розподіленою випадковою величиною з математичним очікуванням 300 ц/га та середнім квадратичним відхиленням 30 ц/га. З ймовірністю 0,9545 визначити межі, в яких буде середня врожайність овочів на ділянках.
13. Нормально-розподілена випадкова величина Х задана диференціальною функцією:
Визначити: а) ймовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу
(3; 9); б) моду та медіану випадкової величини Х.
14. Торговельна фірма продає однотипні вироби двох виробників. Термін служби виробів підпорядковується нормальним законом. Середній термін служби виробів першого виробника складає 5,5 тис. годин, а другого – 6 тис. годин. Перший виробник стверджує, що з ймовірністю 0,95 термін служби першого виробника знаходиться в межах від 5 до 6 тис. годин, а другий, з ймовірністю 0,9, у межах від 5 до 7 тис. годин. Який виробник має велику коливання терміну служби виробів.
15. Місячна заробітна плата працівників підприємства розподіляється за нормальним законом з математичним очікуванням а = 10 тис. руб. Відомо, що 50% працівників підприємства отримує заробітну плату від 8 до 12 тис. руб. Визначити, який відсоток працівників підприємства має місячну вести від 9 до 18 тис. крб.
16. Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо: а) параметр; б); в). Накреслити графіки функцій.
17. Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, причому. Знайти ймовірність влучення випадкової величини Х в інтервал: а) (0; 1); б) (2; 4). М(Х), Д(Х), (Х).
18. Знайти М(Х), Д(Х), (Х) показового закону розподілу випадкової величини Х заданою функцією:
19. Випробовуються два незалежно працюючі елементи. Тривалість безвідмовної роботи першого має більш показовий розподіл, другого. Знайти ймовірність того, що за час тривалістю 20 годин: а) обидва елементи працюватимуть; б) відмовить лише один елемент; в) відмовить хоча б один елемент; г) обидва елементи відмовить.
20. Імовірність того, що обидва незалежні елементи працюватимуть протягом 10 діб дорівнює 0,64. Визначити функцію надійності кожного елемента, якщо функції однакові.
21. Середня кількість помилок, які робить оператор протягом години роботи дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 3 години роботи оператор зробить: а) 4 помилки; б) щонайменше двох помилок; в) хоча б одну помилку.
22. Середня кількість дзвінків, що надходять на АТС в одну хвилину, дорівнює трьом. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини надійде: а) 4 виклики; б) не менше трьох дзвінків.
23. Випадкова величина Х розподілена за законом Коші
Безперервні випадкові величини
6. Безперервні випадкові величини
6.1. Числові характеристикибезперервних випадкових величин
Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку.
Функцією розподілу називають функцію F(x)? визначальну ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування набуде значення менше х, тобто.
Властивості функції розподілу:
1. Значення функції розподілу належать відрізку, тобто.
2. F (x)- незнищувальна функція, тобто. якщо то .
· Імовірність того, що випадкова величина Х набуде значення, укладеного в інтервалі, дорівнює:
· Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного певного значення, дорівнює нулю.
Щільністю розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х називають функцію - першу похідну від функції розподілу.
Імовірність потрапляння безперервної випадкової величини в заданий інтервал:
Знаходження функції розподілу за відомою густиною розподілу:
Властивості щільності розподілу
1. Щільність розподілу невід'ємної функції:
2. Умова нормування:
Середнє квадратичне відхилення
6.2. Рівномірний розподіл
Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення.
Щільність ймовірності рівномірно розподіленої випадкової величини
Середнє квадратичне відхилення
6.3. Нормальний розподіл
Нормальним називають розподіл ймовірностей випадкової величини, який описується щільністю розподілу
а- математичне очікування
середнє квадратичне відхилення
дисперсія
Імовірність потрапляння в інтервал
Де – функція Лапласа. Ця функція табульована, тобто. інтеграл немає необхідності обчислювати, потрібно скористатися таблицею.
Імовірність відхилення випадкової величини х від математичного очікування
Правило трьох сигм
Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного очікування вбирається у потрійного середнього квадратичного відхилення.
Якщо бути точним, то ймовірність виходу за межі зазначеного інтервалу дорівнює 0,27%
Можливість нормального розподілу онлайн калькулятор
6.4. Показовий розподіл
Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, якщо щільність розподілу має вигляд
Середнє квадратичне відхилення
Відмінною особливістю цього розподілу є те, що математичне очікування дорівнює середньому квадратичному відхиленню.
Теорія імовірності. Випадкові події (стор. 6)
12. Випадкові величини Х 
, якщо , , , .
13. Можливість виготовлення бракованого виробу дорівнює 0,0002. Обчислити ймовірність того, що контролер, який перевіряє якість 5000 виробів, виявить серед них 4 браковані.
Х 
Хнабуде значення, що належить інтервалу . Побудувати графіки функцій та .
15. Імовірність безвідмовної роботи елемента розподілена за показовим законом 
(). Знайти можливість того, що елемент пропрацює безвідмовно протягом 50 годин.
16. Пристрій складається з 10 незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента за час Тдорівнює 0,05. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили, і середнім числом (математичним очікуванням) відмов за час Твиявиться менше двох.
17. За метою (на рис.4.1 м, м) зроблено три незалежні постріли без систематичної помилки () з очікуваним розкидом влучення м. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль.
1. Скільки трицифрових чиселможна скласти із цифр 0,1,2,3,4,5?
2. Хор складається із 10 учасників. Скільки можна вибрати протягом 3 днів по 6 учасників так, щоб щодня були різні склади хору?
3. Скільки способами можна розділити колоду з 52 тасованих карт навпіл так, щоб в одній половині виявилося три тузи?
4. З ящика, що містить жетони з номерами від 1 до 40, учасники жеребкування витягують жетони. Визначити ймовірність того, що номер першого навмання вилученого жетона не містить цифри 2.
5. На випробувальному стенді за певних умов випробовуються 250 приладів. Знайти ймовірність того, що протягом години відмовить хоча б один з приладів, що випробовуються, якщо відомо, що ймовірність відмови протягом години одного з цих приладів дорівнює 0,04 і однакова для всіх приладів.
6. У піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Ймовірність те, що стрілок вразить мішень під час пострілу з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівок без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець вразив мішень із навмання взятої гвинтівки. Знайти ймовірність того, що стрілець стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом.
7. Прилад складається із 10 вузлів. Надійність (імовірність безвідмовної роботи протягом часу tдля кожного вузла дорівнює. Вузли виходять із ладу незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що за час t: а) відмовить хоча б один вузол; б) відмовлять рівно два вузли; в) відмовить рівно один вузол; г) відмовлять не менше двох вузлів.
8. Випробовується кожен із 16 елементів деякого пристрою. Імовірність того, що елемент витримає випробування дорівнює 0,8. Знайти найбільш імовірне число елементів, які витримають випробування.
9. Знайти ймовірність того, що подія А(перемикання передач) настане 70 разів на 243-кілометровій трасі, якщо ймовірність перемикання на кожному кілометрі цієї траси дорівнює 0,25.
10. Імовірність ураження мішені за одного пострілу дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена не менше ніж 75 разів і не більше 90 разів.
Х.
12. Випадкові величини Хта незалежні. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини , якщо , , , .
13. Рукопис обсягом 1000 сторінок машинописного тексту містить 100 друкарських помилок. Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка містить рівно 2 друкарські помилки.
14. Безперервна випадкова величина Хрозподілена рівномірно з постійною щільністю ймовірностей, де 
Знайти 1) параметр та записати закон розподілу; 2) Знайти ; 3) Знайти ймовірність того, що Хнабуде значення, що належить інтервалу .
15. Тривалість безвідмовної роботи елемента має показовий розподіл 
(). Знайти ймовірність того, що за t= 24 год елемент не відмовить.
16. Безперервна випадкова величина Хрозподілено за нормальним законом 
. Знайти , . Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабере значення, укладене в інтервалі .
17. Задано розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини:
Знайти закон розподілу складових Хта ; їх математичні очікування та ; дисперсії та ; коефіцієнт кореляції.
1. Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1,2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр використовувати не більше одного разу?
2. Дано nточок, ніякі 3 з яких не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести, поєднуючи точки попарно?
Скільки можна зробити кісток доміно, використовуючи числа від 0 до 9?
3. Яка ймовірність того, що навмання вирваний листок з нового календаря відповідає першому числу місяця? (Рік вважається не високосним).
4. У цеху є 3 телефони, які працюють незалежно один від одного.
5. Можливості зайнятості кожного їх відповідно такі: ; ; . Знайти ймовірність того, що хоча один телефон вільний.
6. Є три однакові на вигляд урни. У першій урні 20 білих куль, у другій — 10 білих та 10 чорних куль, у третій — 20 чорних куль. З вибраної навмання урни вийняли білу кулю. Знайти ймовірність того, що кулю виймуть із першої урни.
7. У деяких районах улітку в середньому 20% днів бувають дощовими. Якою є ймовірність того, що протягом одного тижня: а) буде хоча б один дощовий день; б) буде рівно один дощовий день; в) кількість дощових днів буде не більше чотирьох; г) дощових днів нічого очікувати.
8. Імовірність порушення точності у складанні приладу становить 0,32. Визначити найбільш імовірну кількість точних приладів у партії на 9 штук.
9. Визначити ймовірність того, що при 150 пострілах з гвинтівки мішень буде уражена 70 разів, якщо ймовірність ураження мішені при одному пострілі дорівнює 0,4.
10. Визначити ймовірність того, що з 1000 дітей, що народилися, число хлопчиків буде не менше 455 і не більше 555, якщо ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,515.
11. Дано закон розподілу дискретної випадкової величини Х:
Знайти: 1) значення ймовірності, що відповідає значенню; 2) , , ; 3) функцію розподілу; побудувати її графік. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини Х.
12. Випадкові величини Хта незалежні. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини , якщо , , , .
13. Можливість виготовлення нестандартної деталі дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей виявиться 5 нестандартних.
14. Безперервна випадкова величина Хзадана функцією розподілу 
Знайти: 1) функцію щільності; 2) , , ; 3) ймовірність того, що в результаті досвіду випадкова величина Хнабуде значення, що належить інтервалу . Побудувати графіки функцій та .км, км. Визначити ймовірність двох попадань у ціль.
1. На зборах повинні виступати промовці А, У, З, D. Скільки способами їх можна розмістити у списку промовців так, щоб Увиступав після оратора А?
2. Скільки способами можна розкласти 14 однакових куль по 8 ящиках?
3. Скільки п'ятизначних чисел можна становити з цифр від 1 до 9?
4. Студент прийшов на іспит, знаючи лише 24 із 32-х питань програми. Екзаменатор поставив йому 3 питання. Знайти ймовірність того, що студент відповів на всі запитання.
5. До кінця дня в магазині залишилося 60 кавунів, серед яких 50 стиглих. Покупець обирає 2 кавуни. Яка ймовірність того, що обидва кавуни стиглі?
6. У групі спортсменів 20 бігунів, 6 стрибунів та 4 метальники молота. Імовірність того, що буде виконано норму майстра спорту бігуном, дорівнює 0,9; стрибуном - 0,8 і метателем - 0,75. Визначити ймовірність того, що навмання викликаний спортсмен виконає норму майстра спорту.
7. Імовірність того, що річ, взята напрокат, буде повернена справною, дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що із п'яти взятих речей: а) три будуть повернуті справними; б) усі п'ять речей будуть повернуті справними; в) будуть повернуті справними щонайменше дві речі.
8. Імовірність появи шлюбу партії з 500 деталей дорівнює 0,035. Визначити найімовірніше число бракованих деталей у цій партії.
9. При виробництві електричних лампочок ймовірність виготовлення лампи першого сорту приймається 0,64. Визначити ймовірність того, що зі 100 взятих навмання електроламп, 70 будуть першого сорту.
10. Підлягають дослідженню 400 проб руди. Імовірність промислового вмісту металу у кожній пробі однакова і дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що кількість проб із промисловим вмістом металу буде укладено між 290 та 340.
11. Дано закон розподілу дискретної випадкової величини Х, якщо Х Хта ; 4) з'ясувати, чи є ці величини залежними.
1. Скільки способами можна розсадити 8 гостей за круглим столомтак, щоб два відомі гості сиділи поруч?
2. Скільки різних "слів" можна скласти, переставляючи букви слова "комбінаторика"?
3. Скільки існує трикутників, довжини сторін яких набувають одного з наступних значень: 4, 5, 6, 7 см?
4. У конверті лежать букви розрізної абетки: Про, П, Р, З, Т. Літери ретельно перемішані. Визначити ймовірність того, що, виймаючи ці літери та укладаючи їх поруч, вийде слово « СПОРТ‘.
5. З першого автомата на складання надходить 20%, з другого 30%, з третього – 50% деталей. Перший автомат дає в середньому – 0,2% шлюбу, другий – 0,3%, третій – 1%. Знайти ймовірність того, що деталь, що надійшла на збірку, бракована.
6. Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить постріл. Мета вражена. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,3, для другого - 0,5, для третього - 0,8. Знайти ймовірність того, що постріл здійснено другим стрільцем.
7. У цеху 6 моторів. Для кожного двигуна ймовірність того, що він зараз включений, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в даний момент: а) включено 4 мотори; б) включений хоча б один двигун; в) включені усі мотори.
8. У телевізорі стоять 12 ламп. Кожна з них із ймовірністю 0,4 може вийти з ладу протягом гарантійного терміну. Знайти найбільше число ламп, що вийшли з ладу протягом гарантійного терміну.
9. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Знайти ймовірність того, що з 200 дітей, що народилися, хлопчиків і дівчаток буде порівну.
10. Імовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, буде . Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей виявиться неперевіреним від 70 до 100 деталей.
11. Дано закон розподілу дискретної випадкової величини Х:
- Основні закони розподілу випадкової величини Установа освіти «Білоруська державна Кафедра вищої математики з вивчення теми «Основні закони розподілу випадкової величини» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НІСПО) Основні закони розподілу випадкової […]
- Штрафи гібдд леніногорськ Пізно держава вживе заходів щодо Штрафи гібдд леніногорськ стягненню вашої якщо Ви не оскаржили Штрафи гібдд леніногорськ потрібно Умовні позначення. Без реєстраційних документів і без полісу ОСАЦВ коштуватиме 500 місць гіперпосилання на цю статтю. Посадових Штрафи Гіндд леніногорськ […]
- Вихідна допомога чорнобильцю: (3+1) чи тільки 3? Для громадян, які постраждали внаслідок Чорнобильської катастрофи (далі – чорнобильці), Законом № 796* встановлено певні пільги та гарантії. Так, чорнобильцям, віднесеним до категорії 1, серед іншого зазначеним Законом визначено переважне право залишитись на […]
- Податок на дачу. Це треба знати. Думаємо з чоловіком про дачу, куди можна було б приїхати, покапатися трохи в грядках, а ввечері сісти в крісло-гойдалку біля вогнища і ні про що не думати. Просто відпочивати. Не з чуток знаємо, що садівництво та городництво коштує недешево (гній, добрива, розсада), податки… Які податки […]
- Порада 1: Як визначити закон розподілу Як визначити закон розподілу Як побудувати діаграму Парето Як знайти математичне очікування, якщо відома дисперсія – математичний довідник; - Звичайний олівець; - Зошит; - Ручка. Нормальний закон розподілу у 2018 Рада 2: Як […]
- 3. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ Випадковою величиною Називається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на […]
- Ліквідація прохід Sобщ-загальна площа об'єкта, км 2; N пір - число уражених елементів об'єкта (будівель, цехів, споруд, систем); Nзаг -загальна кількість елементів об'єкта. Для визначення кількості жертв можна використовувати наступне вираз: де Sпор - кількість жертв при раптовому вибуху; Lс -чисельність працюючих даної […]
- Закони випромінювання стефана больцмана Для реальних тіл закон Стефана-Больцмана виконується лише якісно, тобто із зростанням температури енергетичні світності всіх тіл збільшуються. Проте, для реальних тіл залежність енергетичної світності від температури не описується простим співвідношенням (16.7), а […]
