Вимушеними називаються такі коливання, які виникають у коливальній системі під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється. Ця сила, як правило, виконує двояку роль: по-перше, вона розгойдує систему та повідомляє їй певний запас енергії; по-друге, вона періодично заповнює втрати енергії (витрата енергії) на подолання сил опору та тертя.
Нехай сила, що змушує, змінюється з часом за законом:
Складемо рівняння руху для системи, що коливається під впливом такої сили. Припускаємо, що у систему також діє квазиупругая сила і сила опору середовища (що справедливо у припущенні дещиці коливань). Тоді рівняння руху системи матиме вигляд:
Провівши підстановки, - власна частота коливань системи, отримаємо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння 2 го порядку:
З теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальне рішення неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального рішення однорідного рівняння та приватного розв'язання неоднорідного рівняння.
Загальне рішення однорідного рівняння відоме:
За допомогою векторної діаграми можна переконатися, що таке припущення є справедливим, а також визначити значення “a” та “j”.
Амплітуда коливань визначається наступним виразом:
Значення “j”, яке є величиною відставання по фазі вимушеного коливання від обумовлюючої його вимушальної сили, також визначається з векторної діаграми і становить:
Остаточно, приватне рішення неоднорідного рівняння набуде вигляду:
Ця функція у сумі дає загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння, що описує поведінку системи при вимушених коливаннях. Доданок (2) грає помітну роль початковій стадії процесу, за так званому встановленні коливань (рис. 1). З часом через експоненційного множника роль другого доданку (2) дедалі більше зменшується, і після достатнього часу їм можна знехтувати, зберігаючи у вирішенні лише доданок (1).
Рис.
Таким чином, функція (1) описує вимушені коливання. Вони являють собою гармонійні коливання з частотою, що дорівнює частоті, що змушує сили. Амплітуда вимушених коливань пропорційна амплітуді сили, що змушує. Для даної коливальної системи (певних w 0 і b) амплітуда залежить від частоти сили, що змушує. Вимушені коливання відстають по фазі від сили, що примушує, причому величина відставання “j” також залежить від частоти змушуючої сили. Детлаф А.А., Яворський Б.М. Курс фізики: навчальний посібникдля втузів. - 4-те вид., Випр. - М: Вища. шк., 2012. – 428 с.
Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти примушує приводить до того, що при певній визначеній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Коливальна система виявляється особливо чуйною на дію примушує сили при цій частоті. Це називається резонансом, а відповідна частота - резонансною частотою.
У ряді випадків коливальна система здійснює коливання під впливом зовнішньої сили, робота якої періодично відшкодовує втрату енергії на тертя та інші опори. Частота таких коливань залежить немає від властивостей самої коливається системи, як від частоти зміни періодичної сили, під впливом, якою система здійснює свої коливання. І тут маємо справу з вимушеними коливаннями, т. е. з коливаннями, нав'язаними нашій системі дією зовнішніх сил.
Джерела збурюючих сил, отже, і вимушених коливань, дуже різноманітні.
Зупинимося на характері сил, що обурюють, що зустрічаються в природі і в техніці. Як уже вказувалося, електричні машини, парові або газові турбіни, маховики, що швидко обертаються, і т.д. через незбалансованість мас, що обертаються, викликають коливання роторів, перекриттів фундаментів будівель і т.д. Поршневі машини, до яких належать двигуни внутрішнього згорянняі парові машини, через зворотно-поступальний рух деяких частин (наприклад, поршня), вихлопу газів або пари, є джерелом періодичних обурювальних сил.
Зазвичай сили, що обурюють, збільшуються зі зростанням кількості оборотів машини, тому виключно важливого значення набуває боротьба з вібраціями в швидкохідних машинах. Вона здійснюється часто шляхом створення спеціального пружного фундаменту або влаштуванням пружної підвіски машини. Якщо машина жорстко укріплена на фундаменті, то сили, що обурюють, діють на машину, майже повністю передаються на фундамент і далі через грунт на будинок, в якому машина встановлена, а також на поруч розташовані споруди.
Для того щоб зменшити дію неврівноважених сил на основу, необхідно, щоб власна частота коливань машини на пружній підставі (прокладці) була значно нижчою від частоти збурювальних сил, що визначається кількістю оборотів машини.
Причиною вимушених коливань судна, хитавиці кораблів є хвилі, що періодично набігають на плаваюче судно. Крім хитавиці корабля загалом під впливом хвилювання води, спостерігаються також вимушені коливання (вібрація) окремих частин корпусу судна. Причиною таких вібрацій є неврівноваженість головного двигуна судна, що обертає гребний гвинт, а також допоміжних механізмів (насосів, динамо-машин тощо). Під час роботи суднових механізмів виникають сили інерції неврівноважених мас, частота повторення яких залежить кількості оборотів машини. Крім того, вимушені коливання судна можуть бути викликані періодичною дією лопатей гребного гвинта на корпус судна. Зоммерфельд А. Механіка. Ї Іжевськ: НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка», 2001. Ї168 с.
Вимушені коливання мосту можуть бути викликані групою людей, що йде по ньому в ногу. Коливання залізничного мосту можуть виникнути під дією спарників, що з'єднують провідні колеса паровоза, що проходить. До причин, що викликають вимушені коливання рухомого залізничного складу (електровозу, паровоза або тепловоза, і вагонів), відносяться удари коліс, що періодично повторюються, про стики рейок. Вимушені коливання автомобілів викликаються ударами коліс, що повторюються, про нерівність дорожнього покриву. Вимушені коливання ліфтів та підйомних клітей шахт відбуваються внаслідок нерівномірності роботи підйомної машини, внаслідок неправильної форми барабанів, на які намотуються канати тощо. Причинами, що викликають вимушені коливання проводів електропередач, високих будівель, щогл і димових труб, можуть бути пориви вітру.
Особливий інтерес становлять вимушені коливання літаків, які можуть викликатись різними причинами. Тут, насамперед, слід пам'ятати вібрацію літака, викликану роботою гвинтомоторної групи. Внаслідок неврівноваженості кривошипно-шатунного механізму, працюючих двигунів і повітряних гвинтів, що обертаються, виникають періодичні поштовхи, що підтримують вимушені коливання.
Поруч із коливаннями, викликаними дією розглянутих вище зовнішніх періодичних сил, у літаках відзначаються і зовнішні впливу іншого характеру. Зокрема, виникають вібрації, пов'язані з поганою обтічністю передньої частини літака. Погане обтікання надбудов на крилі або неплавне з'єднання крила з фюзеляжем (корпусом) літака призводить до вихору утворень. Вихори повітря, відриваючись, створюють пульсуючий потік, що б'є хвостовим оперенням і викликає його тряску. Така тряска літака настає при певних режимах польоту і проявляється у вигляді поштовхів, що відбуваються не зовсім регулярно, через 0,5-1 секунду.
Такі коливання, пов'язані, головним чином, з вібрацією частин літака внаслідок завихрення при обтіканні крила та інших передніх частин літака, називають «баффтингом». Явище баффтинга, викликане зривом потоків з крила, особливо небезпечне, коли період ударів хвостової частини літака близький до періоду вільних коливань оперення або фюзеляжу літака. І тут коливання типу «баффтинг» різко зростають.
Цікаві випадки баффтингу спостерігалися при скиданні десанту з крила літака. Поява людей на крилі призводила до вихорів, що викликає вібрації літака. Інший випадок появи баффтинга оперення на двомісному літаку був викликаний тим, що в задній кабіні сидів пасажир і виступаючою головою сприяв вихору у потоці повітря. За відсутності пасажира в задній кабіні жодних вагань не спостерігалося.
Важливе значення мають також згинальні коливання повітряного гвинта, викликані силами аеродинамічного характеру, що обурюють. Ці сили виникають внаслідок того, що гвинт при обертанні за кожний оборот двічі проходить повз передню кромку крила. Швидкості потоку повітря в безпосередній близькості від крила і на деякому віддаленні від нього різні, а тому і аеродинамічні сили, що діють на повітряний гвинт, повинні періодично змінюватися двічі за кожен оборот гвинта. Ця обставина і є причиною порушення поперечних коливань лопатей гвинта.
Втрати механічної енергії в будь-якій коливальній системі через наявність сил тертя неминучі, тому без «підкачування» енергії ззовні коливання будуть загасаючими. Існує кілька принципово різних способів створення коливальних систем незагасних коливань. Зупинимося докладніше на розгляді незатухаючих коливань під дією зовнішньої періодичної сили. Такі коливання називаються вимушеними. Продовжимо вивчення руху гармонійного маятника (рис. 6.9).
Крім розглянутих раніше сил пружності та в'язкого тертя, на кульку діє зовнішня змушуєперіодична сила, що змінюється за гармонічним законом
частота, якою може відрізнятись від власної частоти коливань маятника ω o. Природа цієї сили у разі нам істотна. Створити таку силу можна різними способами, наприклад, повідомити кульку електричний заряд і помістити його до зовнішнього змінного електричного поля. Рівняння руху кульки в даному випадку має вигляд
Розділимо його на масу кульки і використовуємо колишні позначення параметрів системи. В результаті отримаємо рівняння вимушених коливань:
де f o = F o /m− відношення амплітудного значення зовнішньої сили, що змушує, до маси кульки. Загальне рішення рівняння (3) досить громіздко і, звичайно, залежить від початкових умов. Характер руху кульки, що описується рівнянням (3), зрозумілий: під дією змушує сили виникнути коливання, амплітуда яких зростатиме. Цей перехідний режим є досить складним і залежить від початкових умов. Після деякого проміжку часу коливальний режим встановиться, їхня амплітуда перестане змінюватися. Саме режим коливань, що встановився, у багатьох випадках становить основний інтерес. Ми не розглядатимемо перехід системи до встановленого режиму, а сконцентруємо увагу на описі та вивченні характеристик цього режиму. При такій постановці завдання немає необхідності задавати початкові умови, так як цікавий для нас встановлений режим не залежить від початкових умов, його характеристики повністю визначаються самим рівнянням. З аналогічною ситуацією ми стикалися щодо руху тіла під дією постійної зовнішньої сили та сили в'язкого тертя
Через деякий час тіло рухається з постійною швидкістю, що встановилася. v = F o /β що не залежить від початкових умов і повністю визначається рівнянням руху. Початкові умови визначають режим, перехідний до руху. На підставі здорового глузду розумно припустити, що в режимі коливань кулька буде коливатися з частотою зовнішньої змушуючої сили. Тому рішення рівняння (3) слід шукати в гармонійній функції з частотою сили, що змушує. Для початку вирішимо рівняння (3), нехтуючи силою опору
Спробуємо знайти його рішення у вигляді гармонійної функції
Для цього обчислимо залежності швидкості та прискорення тіла від часу, як похідні від закону руху
і підставимо їх значення рівняння (4)
Тепер можна скоротити на cosωt. Отже, цей вираз звертається у вірне тотожність у будь-який момент часу, при виконанні умови
Таким чином, наше припущення про рішення рівняння (4) у вигляді (5) виправдалося: режим коливань, що встановився, описується функцією
Зазначимо, що коефіцієнт Aзгідно з отриманим виразом (6) може бути, як позитивним (при ω < ω o), так і негативним (при ω > ω o). Зміна знака відповідає зміні фази коливань на π (причина такої зміни буде з'ясована трохи пізніше), тому амплітудою коливань є модуль цього коефіцієнта |A|. Амплітуда встановлених коливань, як і слід очікувати, пропорційна величині вимушальної сили. Крім того, ця амплітуда складним чином залежить від частоти сили, що змушує. Схематичний графік цієї залежності показано на рис. 6.10
Рис. 6.10 Резонансна крива
Як випливає з формули (6) і добре видно на графіку, при наближенні частоти змушує сили до власної частоти системи амплітуда різко зростає. Причина такого зростання амплітуди зрозуміла: сила, що змушує, «під час» підштовхує кульку, при повному збігу частот встановленої режим відсутня − амплітуда зростає до нескінченності. Звичайно, на практиці такого нескінченного зростання спостерігати неможливо: по перше, це може призвести до руйнування самої коливальної системи, по-другеПри великих амплітудах коливань не можна нехтувати силами опору середовища. Різке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушує до своєї частоти коливань системи називається явищем резонансу. Приступимо тепер до пошуку рішення рівняння вимушених коливань з урахуванням сили опору
Природно, що і в цьому випадку рішення слід шукати у вигляді гармонійної функції з частотою примушує сили. Легко помітити, що пошук рішення у формі (5) у цьому випадку не призведе до успіху. Справді, рівняння (8), на відміну рівняння (4), містить швидкість частки, яка описується функцією синуса. Тому тимчасова частина в рівнянні (8) не скоротиться. Отже, рішення рівняння (8) слід подати у загальній формі гармонійної функції
у якій два параметри A oі φ необхідно знайти за допомогою рівняння (8). Параметр A oє амплітудою вимушених коливань, φ − зсув фаз між змінною координатою і змінною силою, що змушує. Використовуючи тригонометричну формулу для косинуса суми, функцію (9) можна подати в еквівалентній формі
яка також містить два параметри B = A o cosφі C = −A o sinφ, що підлягають визначенню. Використовуючи функцію (10), запишемо явні вирази для залежностей швидкості та прискорення частки від часу
і підставимо на рівняння (8):
Перепишемо цей вираз у вигляді
Для того щоб рівність (13) виконувалася в будь-який момент часу, необхідно, щоб коефіцієнти при косинусі та синусі дорівнювали нулю. На підставі цієї умови отримуємо два лінійні рівняння для визначення параметрів функції (10):
Розв'язання цієї системи рівнянь має вигляд
На підставі формули (10) визначаємо характеристики вимушених коливань: амплітуду
зрушення фаз
При малому згасанні ця залежність має різкий максимум при наближенні частоти сили, що змушує. ω до власної частоти системи ω o. Таким чином, і в цьому випадку можливе виникнення резонансу, тому побудовані залежності часто називають резонансною кривою. Облік слабкого згасання показує, що амплітуда не зростає до нескінченності, її максимальне значення залежить від коефіцієнта згасання – зі зростанням останнього максимальна амплітуда швидко зменшується. Отримана залежність амплітуди коливань від частоти сил (16) містить занадто багато незалежних параметрів ( f o , ω o , γ ) у тому, щоб побудувати повне сімейство резонансних кривих. Як і у багатьох випадках, цю залежність можна суттєво спростити, перейшовши до «безрозмірних» змінних. Перетворимо формулу (16) на наступний вид
і позначимо
− відносна частота (ставлення частоти примушує сили до власної частоти коливань системи);
− відносна амплітуда (ставлення амплітуди коливань до величини відхилення A o = f/ω o 2 при нульовій частоті);
− безрозмірний параметр, що визначає величину загасання. Використовуючи ці позначення, функція (16) значно спрощується
оскільки містить лише один параметр − δ . Однопараметричне сімейство резонансних кривих, що описуються функцією (16 б) може бути побудовано, особливо легко за допомогою комп'ютера. Результат такої побудови показано на рис. 629.
Рис. 6.11
Зазначимо, що перехід до «звичайних» одиниць виміру може бути проведений елементарною зміною масштабу осей координат. Слід зазначити, що частота вимушальної сили, при якій амплітуда вимушених коливань максимальна, також залежить від коефіцієнта згасання, злегка спадаючи зі зростанням останнього. Нарешті, наголосимо, що збільшення коефіцієнта згасання призводить до істотного збільшення ширини резонансної кривої. Виникає зрушення фаз між коливаннями точки і силою, що вимушує, також залежить від частоти коливань і коефіцієнта їх згасання. Докладніше з участю цього зсуву фаз ми познайомимося під час розгляду перетворення енергії у процесі вимушених коливань.
частота вільних незатухаючих коливань збігається з власною частотою, частота загасаючих коливань трохи менше власної, а частота вимушених коливань збігається з частотою сили, що змушує, а не власною частотою.
Вимушені електромагнітні коливання
Вимушениминазиваються такі коливання, які у коливальній системі під впливом зовнішнього періодичного впливу.
6.12. Контур із вимушеними електричними коливаннями
Розглянемо процеси, що протікають в електричному коливальному контурі ( рис.6.12), приєднаному до зовнішнього джерела, ЕРС якого змінюється за гармонічним законом
,
де m– амплітуда зовнішньої ЕРС,
– циклічна частота ЕРС.
Позначимо через U Cнапруга на конденсаторі, а через i - силу струму у контурі. У цьому контурі крім змінної ЕРС (t) діє ще ЕРС самоіндукції Lу котушці індуктивності.
ЕРС самоіндукції прямо пропорційна швидкості зміни сили струму в контурі
.
Для виведення диференціального рівняння вимушених коливаньщо виникають у такому контурі використовуємо друге правило Кірхгофа
.
Напруга на активному опорі Rзнайдемо за законом Ома
.
Cила електричного струму дорівнює заряду, що протікає за одиницю часу через поперечний переріз провідника
.
Отже
.
Напруга U Cна конденсаторі прямо пропорційно заряду на обкладинках конденсатора
.
ЕРС самоіндукції можна уявити через другу похідну від заряду за часом
.
Підставляючи напруги та ЕРС у друге правило Кірхгофа
.
Розділивши обидві частини цього виразу на Lі розподіливши доданки за рівнем зменшення порядку похідної, отримаємо диференціальне рівняння другого порядку
.
Введемо наступні позначення та отримаємо
-Коефіцієнт згасання,
-Циклічна частота власних коливань контуру.
.
(1)
Рівняння (1) є неодноріднимлінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Такого типу рівняння описують поведінку широкого класу коливальних систем (електричних, механічних) під впливом зовнішнього періодичного впливу (зовнішньої ЕРС чи зовнішньої сили).
Загальне рішення рівняння (1) складається із загального рішення q 1 однорідногодиференціального рівняння (2)
(2)
та будь-якого приватного рішення q 2 неоднорідногорівняння (1)
.
Вид загального рішення однорідногорівняння (2) залежить від величини коефіцієнта згасання . Нас цікавитиме випадок слабкого згасання << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
де Bі 0 - постійні, що задаються початковими умовами.
Рішення (3) визначає загасні коливання в контурі. Вхідні (3) величини:
-Циклічна частота загасаючих коливань;
-амплітуда загасаючих коливань;
-Фаза загасаючих коливань.
Приватне рішення рівняння (1) шукаємо у вигляді гармонійного коливання, що відбувається з частотою, що дорівнює частоті зовнішнього періодичного впливу – ЕРС, і відстаючого по фазі на від нього
де 
- Амплітуда вимушених коливань, що залежить від частоти.
Підставимо (4) в (1) і отримаємо тотожність
Щоб порівняти фази коливань, використовуємо тригонометричні формули приведення
.
Тоді наше рівняння перепишеться як
Уявімо коливання в лівій частині отриманого тотожності у вигляді векторної діаграми (Рис.6.13)..
Третій доданок, що відповідає коливанням на ємності З, що має фазу (
t
–
) та амплітуду 
, зобразимо горизонтальним вектором, спрямованим праворуч.
6.13. Векторна діаграма
Перший доданок лівої частини, що відповідає коливанням на індуктивності L, зобразиться на векторній діаграмі вектором, спрямованим горизонтально вліво (його амплітуда 
).
Другий доданок, який відповідає коливанням на опорі R, зобразимо вектором, спрямованим вертикально вгору (його амплітуда 
), тому що його фаза на 2/2 відстає від фази першого доданку.
Оскільки сума трьох коливань ліворуч від знака дає гармонійне коливання 
то векторна сума на діаграмі (діагональ прямокутника) зображає коливання з амплітудою 
та фазою
t, яка на
випереджає фазу коливань третього доданку.
З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора можна знайти амплітуду A( )
(5)
і tg як відношення протилежного катета до катета.
.
(6)
Отже, рішення (4) з урахуванням (5) та (6) набуде вигляду
.
(7)
Загальне вирішення диференціального рівняння(1) є сумою q 1 та q 2
.
(8)
Формула (8) показує, що з впливі на контур періодичної зовнішньої ЭРС у ньому виникають коливання двох частот, тобто. незатухаючі коливання із частотою зовнішньої ЕРС
та загасаючі коливання з частотою 
. Амплітуда загасаючих коливань 
згодом стає дуже малою, і в контурі залишаються тільки вимушені коливання, амплітуда яких не залежить від часу. Отже, вимушені коливання, що встановилися, описуються функцією (4). Тобто в контурі виникають вимушені гармонічні коливання, з частотою, що дорівнює частоті зовнішнього впливу, та амплітудою 
, що залежить від цієї частоти ( Рис. 3а) згідно із законом (5). При цьому по фазі вимушене коливання відстає на
від вимушального впливу.
Продиференціювавши вираз (4) за часом, знайдемо силу струму в контурі
де 
- Амплітуда сили струму.
Запишемо цей вираз для сили струму як
,
(9)
де 
–зсув по фазі між струмом та зовнішньою ЕРС.
Відповідно до (6) та Рис. 2
.
(10)
З цієї формули випливає, що зсув фази між струмом і зовнішньою ЕРС залежить, при постійному опорі R, від співвідношення між частотою ЕРС, що змушує та власною частотою контуру 0 .
Якщо < 0 то зсув по фазі між струмом і зовнішньою ЕРС < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Якщо > 0 , тоді > 0. Коливання сили струму відстають від коливань ЕРС по фазі на кут .
Якщо = 0 (резонансна частота), то = 0, тобто сила струму та ЕРС коливаються в однаковій фазі.
Резонанс- Це явище різкого зростання амплітуди коливань при збігу частоти зовнішньої, що змушує сили зі своєю частотою коливальної системи.
При резонансі = 0 та період коливань
.
Враховуючи, що коефіцієнт згасання
,
отримаємо висловлювання для добротності при резонансі Т = Т 0
,
з іншого боку
.
Амплітуди напруги на індуктивності та ємності при резонансі можна виразити через добротність контуру.
,
(15)
.
(16)
З (15) і (16) видно, що за
=
0 , амплітуда напруги на конденсаторі та індуктивності в Qразів більше амплітуди зовнішньої ЕРС. Ця властивість послідовного RLCконтур використовується для виділення радіосигналу певної частоти 
із спектру радіочастот при перебудові радіоприймача.
На практиці RLCконтури пов'язані з іншими контурами, вимірювальними приладами або підсилювальними пристроями, що вносять додаткове згасання RLCконтур. Тому реальна величина добротності навантаженого RLCконтуру виявляється нижче величини добротності, що оцінюється за формулою
.
Реальна величина добротності може бути оцінена як
6.14. Визначення добротності щодо резонансної кривої
,
де f– ширина смуги частот, у яких амплітуда становить 0,7 від максимального значення ( Рис. 4).
Напруження на конденсаторі U C, на активному опорі U Rта на котушці індуктивності U Lдосягають максимуму при різних частотах, відповідно
,
,
.
Якщо згасання мало 0 >> , то всі ці частоти практично збігаються і можна вважати що
.
На цьому уроці всі бажаючі зможуть вивчити тему «Перетворення енергії при коливальному русі. Загасні коливання. Вимушені коливання». На цьому уроці ми розглянемо, яке перетворення енергії відбувається при коливальному русі. Для цього ми проведемо важливий експеримент із системою горизонтального пружинного маятника. Також ми обговоримо питання, пов'язані із загасаючими коливаннями та вимушеними коливаннями.
Урок присвячений темі "Перетворення енергії при коливальному русі". Крім цього, ми розглянемо питання, пов'язане із загасаючими та вимушеними коливаннями.
Почнемо знайомство з цим питанням з наступного важливого експерименту. До пружини прикріплено тіло, яке може здійснювати горизонтальні коливання. Таку систему називають горизонтальним пружинним маятником. І тут можна враховувати дію сили тяжкості.
Рис. 1. Горизонтальний пружинний маятник
Вважатимемо, що в системі сил тертя, сил опору немає. Коли ця система перебуває в рівновазі і жодного коливання не відбувається, швидкість тіла дорівнює 0 та відсутня деформація пружини. У цьому випадку енергії даний маятник не має. Але варто тільки тіло змістити відносно точки рівноваги в праву або в ліву сторону, в цьому випадку ми зробимо роботу з повідомлення енергії в даній системі коливання. Що тут відбувається? Відбувається таке: пружина деформується, змінюється її довжина. Ми повідомляємо пружині про потенційну енергію. Якщо тепер відпустити вантаж, не утримувати його, він почне свій рух до положення рівноваги, пружина почне випрямлятися і деформація пружини зменшуватиметься. Швидкість тіла збільшуватиметься, і за законом збереження енергії потенційна енергія пружини перетворюватиметься на кінетичну енергію руху тіла.
Рис. 2. Стадії коливань пружинного маятника
Деформація∆х пружини визначається так: ∆х = х 0 - х. Розглянувши деформацію, можемо сказати, що вся потенційна енергія запасена у пружині: .
Під час коливань потенційна енергія перетворюється на кінетичну енергію бруска: .
Наприклад, коли брусок проходить точку рівноваги х 0 деформація пружини дорівнює 0, тобто. ∆х=0, отже, потенційна енергія пружини дорівнює 0 і вся енергія потенційна пружини перетворилася на кінетичну енергію бруска: Е п (у точці В) = Е к (у точці А). Або 
.
В результаті такого руху потенційна енергія перетворюється на кінетичну. Потім набуває чинності так зване явище інерції. Тіло, яке має деяку масу, за інерцією проходить точку рівноваги. Швидкість тіла починає зменшуватись, а деформація, подовження пружини збільшується. Можна зробити висновок, що кінетична енергія тіла зменшується, а потенційна енергія пружини знову починає наростати. Ми можемо говорити про перетворення кінетичної енергії на потенційну.
Коли тіло зупиниться в результаті, швидкість тіла дорівнюватиме 0, а деформація пружини стане максимальною, в цьому випадку можна говорити, що вся кінетична енергія тіла перетворилася на потенційну енергію пружини. Надалі все повторюється спочатку. При виконанні однієї умови такий процес відбуватиметься безперервно. Що це за умова? Ця умова – відсутність тертя. Але сила тертя, сила опору є у будь-якій системі. Тому з кожним наступним рухом маятника відбуваються втрати енергії. Здійснюється робота з подолання сили тертя. Сила тертя закону Кулона - Амонтона: F ТР = μ.N.
Говорячи про коливання, ми повинні пам'ятати, що сила тертя призводить до того, що поступово вся енергія, запасена в даній коливальній системі, перетворюється на внутрішню енергію. В результаті коливання припиняються, а коли коливання припиняються, то такі коливання називають загасаючими.
Затухаючі коливання - коливання, амплітуда яких зменшується внаслідок того, що енергія коливальної системи витрачається на подолання сил опору та сил тертя.
Рис. 3. Графік загасаючих коливань
Наступний видколивань, що ми розглянемо, т.зв. вимушені коливання. Вимушеними коливаннями називають такі коливання, які відбуваються під впливом періодичної, зовнішньої, що діє дану коливальну систему сили.
Якщо маятник здійснює коливання, те, щоб ці коливання не припинялися, щоразу на маятник необхідна дія зовнішньої сили. Наприклад, ми діємо на маятник власною рукою, змушуємо його рухатись, підштовхуємо. Необхідно обов'язково діяти з деякою силою та поповнювати втрату енергії. Отже, вимушені коливання - ті коливання, які відбуваються під впливом зовнішньої сили, що змушує. Частота таких коливань співпадатиме з частотою зовнішньої чинної сили. Коли маятник починає діяти зовнішня сила, відбувається таке: спочатку коливання матимуть маленьку амплітуду, але поступово ця амплітуда зростатиме. І коли амплітуда набуде постійного значення, частота коливань набуде теж постійного значення, говорять про те, що такі коливання встановилися. Вимушені коливання встановилися.
Встановилися вимушені коливаннязаповнюють втрату енергії саме завдяки роботі зовнішньої сили, що змушує.
Резонанс
Існує дуже важливе явище, яке досить часто спостерігається у природі та техніці. Це називається резонанс. «Резонанс» - слово латинське і перекладається російською мовою як «відгук». Резонанс (Від лат.resono – «відгукаюся») – явище збільшення амплітуди вимушених коливань системи, яке настає при наближенні частоти зовнішнього впливу сили до частоти власного коливання маятника чи даної коливальної системи.
Якщо є маятник, який має власну довжину, масу або жорсткість пружини, то цей маятник має свої коливання, які характеризуються частотою. Якщо цей маятник починає діяти зовнішня сила, що змушує, і частота дії цієї сили починає наближатися до власної частоти маятника (збігається з нею), то виникає різке збільшення амплітуди коливань. Це і є резонанс.
В результаті такого явища коливання можуть бути настільки великими, що тіло, сама коливальна система, руйнуватиметься. Відомий випадок, коли стрій солдатів, що йшов через міст, в результаті такого явища просто обрушили міст. Ще один випадок, коли в результаті руху повітряних мас досить потужних поривів вітру обрушився міст у США. Це також явище резонансу. Вагання мосту, власні коливання співпали з частотою поривів вітру, зовнішньої сили, що змушує. Це призвело до того, що амплітуда настільки збільшилася, що міст зруйнувався.
Це намагаються враховувати при проектуванні споруд та механізмів. Наприклад, під час руху поїзда може статися таке. Якщо їде вагон і цей вагон у такт свого руху починає розгойдуватися, то амплітуда коливань може збільшитись на стільки, що вагон може зійти з рейок. Станеться аварія. Для характеристики такого явища використовують криві, що називаються резонансними.
Рис. 4. Резонансна крива. Пік кривий – максимальна амплітуда
Звичайно, з резонансом не лише борються, а й використовують. Використовують його переважно в акустиці. Там, де є зал для глядачів, театральний зал, концертний зал ми обов'язково повинні враховувати явище резонансу.
Список додаткової літератури:
А чи добре знайомий вам резонанс? //Квант. - 2003. - № 1. - С. 32-33 Фізика: Механіка. 10 кл.: Навч. для поглибленого вивчення фізики/М.М. Балашов, А.І. Гомонова, А.Б. Долицький та ін; За ред. Г.Я. М'якішева. - М: Дрофа, 2002. Елементарний підручник фізики. За ред. Г.С. Ландсберга, Т. 3. – М., 1974
Вимушеними коливаннями називають такі коливання, які виникають в системі при дії на неї зовнішньої сили, що змушує періодично змінюється, званої змушує.
Характер (залежність від часу) примушує сили може бути різним. Це може сила, яка змінюється за гармонічним законом. Наприклад, звукова хвиля, джерелом якої є камертон, потрапляє на барабанну перетинку або мембрану мікрофона. На перетинку починає діяти сила тиску повітря, що гармонійно змінюється.
Вимушальна сила може мати характер поштовхів чи коротких імпульсів. Наприклад, дорослий розгойдує дитину на гойдалці, періодично штовхаючи їх у той момент, коли гойдалки приходять в одне із крайніх положень.
Наше завдання – з'ясувати, як реагує коливальна система на дію примусової сили, що періодично змінюється.
§ 1 Вимушальна сила змінюється за гармонічним законом
F супрх = - rv xі сила, що змушує F вин = F 0 sin wt.
Другий закон Ньютона запишеться у вигляді:
Рішення рівняння (1) шукають у вигляді , де це рішення рівняння (1), якби в ньому не було правої частини. Видно, що без правої частини рівняння перетворюється на відоме нам рівняння загасаючих коливань, рішення якого ми вже знаємо. За достатньо великий часвільні коливання, які виникнуть у системі при виведенні її з положення рівноваги, практично загаснуть, і у вирішенні рівняння залишиться лише друге доданок. Шукатимемо це рішення у вигляді
Згрупуємо доданки інакше:
Ця рівність повинна виконуватися в будь-який момент часу t, що можливо тільки якщо коефіцієнти при синусі і косинусі рівні нулю.
Отже, тіло, на яке діє сила, що змінюється, змінюється за гармонічним законом, робить коливальний рух з частотою змушує сили.
Розберемо докладніше питання про амплітуду вимушених вагань:
1 Амплітуда вимушених коливань, що встановилися, не змінюється з плином часу. (Порівняйте з амплітудою вільних загасаючих коливань).
2 Амплітуда вимушених коливань прямо пропорційна амплітуді змушуючої сили.
3 Амплітуда залежить від тертя у системі (А залежить від d, а коефіцієнт загасання d, своєю чергою, залежить від коефіцієнта опору r). Чим більше тертя в системі, тим амплітуда вимушених коливань є меншою.
4 Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує w. Як? Досліджуємо функцію А(w).
При w = 0 (постійна сила діє на коливальну систему) зміщення тіла незмінно з часом (треба пам'ятати те, що це належить до встановленому стану, коли власні коливання вже майже згасли).
· При w ® ¥, то, як неважко бачити, амплітуда А прагне нуля.
· Очевидно, що при якійсь частоті амплітуда змушуючої сили вимушених коливань прийме найбільше значення(Для цього d). Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при певному значенні частоти змушує носить назву механічного резонансу.
Цікаво, що добротність коливальної системи у разі показує у скільки разів резонансна амплітуда перевищує зміщення тіла від положення рівноваги під впливом постійної сили F 0 .
Ми, що і резонансна частота, і резонансна амплітуда залежить від коефіцієнта згасання d. Зі зменшенням d до нуля резонансна частота зростає і прагне частоти власних коливань системи w 0 . При цьому резонансна амплітуда зростає і при d = 0 перетворюється на нескінченність. Зрозуміло, практично амплітуда коливань нескінченної не може, оскільки у реальних коливальних системах завжди діють сили опору. Якщо система має мале згасання, то приблизно вважатимуться, що резонанс настає при частоті своїх коливань.:
де в даному випадку - це зрушення по фазі між силою, що змушує, і зсувом тіла від положення рівноваги.
Неважко бачити, що зсув по фазі між силою і зсувом залежить від тертя в системі та частоти зовнішньої сили, що змушує . Ця залежність показано малюнку. Видно, що за< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- Позитивні.
Знаючи залежність від кута, можна отримати залежність від частоти сили, що змушує.
При частотах зовнішньої сили, значно менших своєї, зміщення відстає по фазі від змушує сили незначно. Збільшення частоти зовнішньої сили це запізнення по фазі зростає. При резонансі (якщо невелико) зсув фази стає рівним . При >> коливання зміщення та сили відбуваються у протифазі. Така залежність може здатися на перший погляд дивною. Щоб зрозуміти цей факт, звернемося до енергетичних перетворень у процесі вимушених коливань.
§ 2 Енергетичні перетворення
Як ми вже знаємо, амплітуда коливань визначається повною енергією коливальної системи. Раніше було показано, що амплітуда вимушених коливань залишається незмінною з часом. Це означає, що повна механічна енергія коливальної системи з часом не змінюється. Чому? Адже система не замкнена! Дві сили - зовнішня зміна, що періодично змінюється, і сила опору - здійснюють роботу, яка повинна змінювати повну енергію системи.
Спробуємо розібратися, у чому річ. Потужність зовнішньої сили, що змушує, може бути знайдена наступним чином:
Бачимо, що потужність зовнішньої сили, що підживлює коливальну систему енергією, пропорційна амплітуді коливань.
Рахунок роботи сили опору енергія коливальної системи має зменшуватися, переходячи у внутрішню. Потужність сили опору:
Вочевидь, що потужність сили опору пропорційна квадрату амплітуди . Зобразимо обидві залежності на графіку.
Щоб коливання були встановленими (амплітуда не змінювалася з часом), робота зовнішньої сили у період має компенсувати втрати енергії системою з допомогою роботи сили опору. Точка перетину графіків потужностей якраз відповідає цьому режиму. Уявімо, що з якихось причин амплітуда вимушених коливань зменшилася. Це призведе до того, що миттєва потужність зовнішньої сили виявиться більшою за потужність втрат. Це призведе до зростання енергії коливальної системи, і амплітуда коливань відновить колишнє значення.
Аналогічним чином можна переконатися, що при випадковому збільшенні амплітуди коливань потужність втрат перевищить потужність зовнішньої сили, що призведе до зменшення енергії системи і, отже, зменшення амплітуди.
Повернемося до питання про зсув фази між зміщенням і силою при резонансі. Ми вже показали, що зсув відстає, отже, сила випереджає зсув, на . З іншого боку, проекція швидкості у процесі гармонійних коливань завжди випереджає координату на . Це означає, що при резонансі зовнішня сила і швидкість коливаються в одній фазі. А отже, вони спрямовані в будь-який момент часу! Робота зовнішньої сили у разі завжди позитивна, вона вся йде поповнення коливальної системи енергією.
§ 3 Несинусоїдальний періодичний вплив
Вимушені коливання осцилятора можливі за будь-якого періодичного зовнішнього впливу, а не тільки синусоїдального. При цьому встановлені коливання, взагалі кажучи, не будуть синусоїдальними, але вони будуть періодичним рухом з періодом, рівним періоду зовнішнього впливу.
Зовнішній вплив може являти собою, наприклад, послідовні поштовхи (згадайте, як доросла людина «розгойдує» дитину, яка сидить на гойдалці). Якщо період зовнішніх поштовхів збігається з періодом своїх коливань, то системі може наступати резонанс. Коливання при цьому будуть майже синусоїдальними. Повідомлена системі при кожному поштовху енергія йде поповнення повної енергії системи, що втрачається за рахунок тертя. Зрозуміло, що при цьому можливі варіанти: якщо енергія, що повідомляється при поштовху, дорівнює або перевищує втрати на тертя за період, то коливання будуть або встановилися, або їх розмах зростатиме. Це добре видно на фазовій діаграмі.
Очевидно, що резонанс можливий і в тому випадку, коли період слідування поштовхів буде кратаний періоду власних коливань. Таке неможливе при синусоїдальному характері зовнішнього впливу.
З іншого боку, навіть при збігу частоти поштовхів з частотою резонанс може не спостерігатися. Якщо тільки втрати на тертя за період перевищують енергію, отриману системою під час поштовху, то повна енергія системи зменшуватиметься, а коливання загасатимуть.
§ 4 Параметричний резонанс
Зовнішній вплив на коливальну систему може зводитися до періодичного зміни параметрів самої коливальної системи. Коливання, що збуджуються таким чином, називаються параметричними, а сам механізм – параметричним резонансом .
Насамперед, спробуємо відповісти на питання: чи можна розгойдати вже наявні в системі малі коливання, періодично змінюючи певним чином якийсь її параметр.
Як приклад розглянемо розгойдування людини на гойдалці. Згинаючи та випрямляючи ноги у «потрібні» моменти, він фактично змінює довжину маятника. У крайніх положеннях людина присідає, цим трохи опускає центр тяжкості коливальної системи, у середньому становищі людина випрямляється, піднімаючи центр тяжкості системи.
Щоб зрозуміти, чому при цьому людина розгойдується, розглянемо гранично спрощену модель людини на гойдалці - звичайний невеликий маятник, тобто невеликий вантаж на легкій і довгій нитці. Щоб імітувати піднімання і опускання центру тяжкості, пропустимо верхній кінець нитки через маленький отвір і витягуватимемо нитку в ті моменти, коли маятник проходить положення рівноваги, і настільки ж опускати нитку, коли маятник проходить крайнє положення.
Робота сили натягу нитки за період (з урахуванням того, що підйом вантажу та його опускання проводиться двічі за період і що D l << l):
Зверніть увагу, що в дужках стоїть не що інше, як потрійна енергія коливальної системи. До речі, це величина позитивна, отже робота сили натягу (наша робота) позитивна, вона призводить до збільшення повної енергії системи, а значить, до розгойдування маятника.
Цікаво, що відносна зміна енергії за період не залежить від того, слабко розгойдується маятник або сильно. Це дуже важливо, і ось чому. Якщо маятник «не підкачувати» енергією, то за кожен період він втрачатиме за рахунок сили тертя певну частину своєї енергії, і коливання загасатимуть. А щоб розмах коливань збільшувався, необхідно, щоб енергія, що купується, перевищувала втрачену на подолання тертя. І ця умова, виявляється, те саме – як при маленькій амплітуді, так і при великій.
Наприклад, якщо за один період енергія вільних коливань зменшується на 6%, то для того, щоб коливання маятника довжиною 1 м не згасали, достатньо в середньому становищі зменшувати його довжину на 1 см, а в крайньому – стільки ж збільшувати.
Повертаючись до гойдалки: якщо ви почали розгойдуватися, то немає необхідності присідати все глибше і глибше – присідайте весь час однаково, і злітатимете все вище і вище!
*** Знову добротність!
Як ми вже сказали, для параметричного розгойдування коливань необхідне виконання умови DЕ > А тертя за період.
Знайдемо роботу сили тертя за період
Видно, що відносна величина підйому маятника для його розгойдування визначається добротністю системи.
§ 5 Значення резонансу
Вимушені коливання та резонанс широко використовуються у техніці, особливо в акустиці, електротехніці, радіотехніці. Резонанс насамперед використовується тоді, коли з великого набору коливань різної частоти хочуть виділити коливання певної частоти. Резонанс використовується і при вивченні дуже слабких величин, що періодично повторюються.
Однак, у ряді випадків резонанс – небажане явище, оскільки може призвести до великих деформацій та руйнувань конструкцій.
§ 6 Приклади розв'язання задач
Задача 1 Вимушені коливання пружинного маятника під дією зовнішньої синусоїдальної сили.
До пружини жорсткістю k = 10 Н/м підвісили вантаж масою m = 10 г і помістили систему у в'язке середовище з коефіцієнтом опору r = 0,1 кг/с. Порівняйте власну та резонансну частоту системи. Визначте амплітуду коливань маятника під час резонансу під дією синусоїдальної сили з амплітудою F 0 = 20 мН.
Рішення:
1 Власна частота коливальної системи – це частота вільних коливань без тертя. Власна циклічна частота дорівнює, частота коливань.
2 Резонансна частота – це частота зовнішньої сили, при якій амплітуда вимушених коливань різко зростає. Резонансна циклічна частота дорівнює , де - Коефіцієнт загасання, рівний .
Отже, резонансна частота дорівнює . Неважко бачити, що резонансна частота менша за власну! Також видно, що чим менше тертя в системі (r), тим ближче резонансна частота до власної.
3 Резонансна амплітуда дорівнює
Задача 2 Резонансна амплітуда та добротність коливальної системи
До пружини жорсткістю k = 10 Н/м підвісили вантаж масою m = 100 г і помістили систему у в'язке середовище з коефіцієнтом опору
r = 0,02 кг/с. Визначте добротність коливальної системи та амплітуду коливань маятника при резонансі під дією синусоїдальної сили з амплітудою F 0 = 10 мН. Знайдіть відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення під дією постійної сили F 0 = 20 мН та порівняйте це відношення з добротністю.
Рішення:
1 Добротність коливальної системи дорівнює , де - Логорифмічний декремент згасання.
Логарифмічний декремент згасання дорівнює.
Знаходимо добротність коливальної системи.
2 Резонансна амплітуда дорівнює
3 Статичне зміщення під дією постійної сили F 0 = 10 мН дорівнює.
4 Відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення під дією постійної сили F0 дорівнює
Неважко бачити, що це відношення збігається з добротністю коливальної системи
Завдання 3 Резонансні коливання балки
Під дією ваги електромотора консольна бака, де він встановлений, прогнулась на . При якому числі обертів якоря двигуна може виникнути небезпека резонансу?
Рішення:
1 Корпус двигуна і балка, на якій він встановлений, відчувають періодичні поштовхи з боку якоря, що обертається, мотора і, отже, роблять вимушені коливання з частотою слідування поштовхів.
Резонанс спостерігатиметься при збігу частоти слідування поштовхів із власною частотою коливання балки з мотором. Потрібно визначити свою частоту коливань системи балка - двигун.
2 Аналогом коливальної системи балка – мотор може бути вертикальний пружинний маятник, маса якого дорівнює масі двигуна. Власна частота коливань пружинного маятника дорівнює. Але жорсткість пружини та маса двигуна не відомі! Як бути?
3 У положенні рівноваги пружинного маятника сила тяжіння вантажу врівноважується силою пружності пружини
4 Знаходимо обертання якоря двигуна, тобто. частоту слідування поштовхів
Задача 4 Вимушені коливання пружинного маятника під впливом періодичних поштовхів.
Гиря масою m = 0,5 кг підвішена до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м. Логарифмічний декремент згасання коливальної системи дорівнює. Гірю хочуть розкачати короткими поштовхами, діючи на гирю силою F = 100 мН протягом часу = 0,01 с. Якою повинна бути частота ударів, щоб амплітуда гирі була найбільшою? У які моменти та в якому напрямку слід штовхати гирю? До якої амплітуди вдасться розкачати гирю в такий спосіб?
Рішення:
1 Вимушені коливання можуть відбуватися за будь-якого періодичного впливу. При цьому коливання, що встановилося, відбуватиметься з частотою слідування зовнішнього впливу. Якщо період зовнішніх поштовхів збігається з частотою власних коливань, то системі настає резонанс – амплітуда коливань стає найбільшою. У нашому випадку для настання резонансу період слідування поштовхів повинен збігтися з періодом коливань пружинного маятника.
Логарифмічний декремент загасання малий, отже, мало тертя в системі, і період коливань маятника у в'язкому середовищі практично збігається з періодом коливань маятника у вакуумі:
2 Очевидно, напрямок поштовхів має співпадати зі швидкістю гирі. І тут робота зовнішньої сили, що поповнює систему енергією, буде позитивною. І коливання будуть розгойдуватися. Енергія, одержувана системою у процесі удару
буде найбільшою при проходженні вантажем положення рівноваги, тому що в цьому положенні швидкість маятника максимальна.
Отже, найшвидше система розхитається при дії поштовхів у напрямку руху вантажу при проходженні ним положення рівноваги.
3 Амплітуда коливань припиняє зростати, коли енергія, що повідомляється системі в процесі удару, дорівнюватиме втрат енергії на тертя за період: .
Енергію втрат за період знайдемо через добротність коливальної системи
де Е - повна енергія коливальної системи, яка може бути розрахована як .
Підставляємо замість енергії втрат енергію, яку отримує система в процесі удару:
максимальна швидкістьу процесі коливань дорівнює. З урахуванням цього отримуємо.
§7 Завдання для самостійного рішення
Тест «Вимушені коливання»
1 Які коливання називаються вимушеними?
А) Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються;
Б) Коливання, що виникають у системі після зовнішнього поштовху;
2 Які з перерахованих коливань є вимушеним?
А) Коливання вантажу, підвішеного до пружини, після одноразового відхилення від положення рівноваги;
Б) Коливання дифузора гучномовця під час роботи приймача;
В) Коливання вантажу, підвішеного до пружини після одноразового удару по вантажу в положенні рівноваги;
Г) Вібрація корпусу електричного двигуна у його роботи;
Д) Коливання барабанної перетинки людини, яка слухає музику.
3 На коливальну систему зі своєю частотою діє зовнішня сила, що змінює за законом . Коефіцієнт згасання в коливальній системі дорівнює. За яким законом змінюється координата тіла з часом?
В) Амплітуда вимушених коливань залишатиметься незмінною, оскільки втрати енергії системою на тертя будуть заповнюватися прибутком енергії за рахунок роботи зовнішньої сили, що змушує.
5 Система здійснює вимушені коливання під дією синусоїдальної сили. Вкажіть всіфактори, від яких залежить амплітуда цих коливань.
А) Від амплітуди зовнішньої сили, що змушує;
Б) Наявності у коливальної системи енергії на момент початку дії зовнішньої сили;
В) Параметрів самої коливальної системи;
Г) Тертя в коливальній системі;
Д) Існування в системі власних коливань у момент початку дії зовнішньої сили;
Е) Часу встановлення коливань;
Ж) Частоти зовнішньої сили, що змушує.
6 Брусок масою m здійснює вимушені гармонічні коливання горизонтальною площиною з періодом T і амплітудою A. Коефіцієнт тертя μ. Яку роботу виконує зовнішня сила, що вимушує, за час, що дорівнює періоду T?
А) 4μmgA; Б) 2μmgA; В) μmgA; Г) 0;
Д) Відповідь дати неможливо, оскільки відома величина зовнішньої змушує сили.
7 Складіть правильне затвердження
Резонансом називається явище…
А) Збіг частоти зовнішньої сили з власною частотою коливальної системи;
Б) Різке зростання амплітуди вимушених коливань.
Резонанс спостерігається за умови
А) Зменшення тертя у коливальній системі;
Б) Збільшенні амплітуди зовнішньої сили, що змушує;
В) Збіг частоти зовнішньої сили з власною частотою коливальної системи;
Г) При збігу частоти зовнішньої сили із резонансною частотою.
8 Явище резонансу може спостерігатися в...
А) У будь-якій коливальній системі;
Б) У системі, що здійснює вільні коливання;
В) В авто коливальній системі;
Г) У системі, що здійснює вимушені коливання.
9 На малюнку представлений графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує. Резонанс настає на частоті…
10 Три однакові маятники, що знаходяться в різних в'язких середовищах, здійснюють вимушені коливання. На малюнку показані резонансні криві цих маятників. Який з маятників зазнає найбільшого опору з боку в'язкого середовища у процесі коливань?
А) 1; Б) 2; У 3;
Г) Відповідь дати неможливо, оскільки амплітуда вимушених коливань крім частоти зовнішньої сили залежить ще й її амплітуди. Про амплітуду зовнішньої сили, що змушує, в умові нічого не йдеться.
11 Період власних коливань коливальної системи дорівнює Т0. Яким може бути період проходження поштовхів, щоб амплітуда коливань різко збільшилася, тобто в системі виник резонанс?
А) Т 0; Б) Т 0, 2 Т 0, 3 Т 0, ...;
В) Розкачати гойдалку можна поштовхами будь-якої частоти.
12 Ваш молодший брат сидить на гойдалці, ви розгойдуєте його короткочасними поштовхами. Яким має бути період слідування поштовхів, щоб процес відбувався найефективніше? Період власних коливань гойдалок Т0.
Г) Розкачати гойдалку можна поштовхами будь-якої частоти.
13 Ваш молодший брат сидить на гойдалці, ви розгойдуєте його короткочасними поштовхами. У якому положенні гойдалок слід робити поштовх і в якому напрямку штовхати, щоб процес відбувався найефективніше?
А) штовхати в крайньому верхньому положенні гойдалок у напрямку положення рівноваги;
Б) штовхати в крайньому верхньому положенні гойдалок у напрямку від положення рівноваги;
В) Пхати у положенні рівноваги у напрямку руху гойдалок;
Г) Пхати можна в будь-якому положенні, але обов'язково у напрямку руху гойдалки.
14 Здавалося б, стріляючи з рогатки в міст у такт його власним коливанням і зробивши дуже багато пострілів, його можна сильно розкачати, але це навряд чи вдасться. Чому?
А) Маса моста (його інертність) велика в порівнянні з масою «кулі» з рогатки, міст не зможе почати рух під дією таких ударів;
Б) Сила удару «кулі» з рогатки настільки мала, що міст не зможе прийти в рух під дією таких ударів;
В) Енергія, що повідомляє мосту за один удар набагато менше втрат енергії на тертя за період.
15 Ви несете цебро з водою. Вода у відрі розгойдується і вихлюпується. Що можна зробити, щоби цього не відбувалося?
А) Розмахувати рукою, в якій знаходиться відро, у такт із ходьбою;
Б) Змінити швидкість руху, залишивши постійною довжину кроків;
В) Періодично зупинятись і чекати, коли коливання води заспокояться;
Г) Слідкувати за тим, щоб у процесі руху рука з цебром розташовувалась строго вертикально.
Завдання
1 Система здійснює загасаючі коливання з частотою 1000 Гц. Визначте частоту v 0власних коливань, якщо резонансна частота
2 Визначте, яку величину D vрезонансна частота відрізняється від власної частоти v 0= 1000 Гц коливальної системи, що характеризується коефіцієнтом згасання d = 400с -1.
3 Вантаж маси 100 г, підвішений на пружині жорсткості 10 Н/м, здійснює вимушені коливання у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,02 кг/с. Визначте коефіцієнт загасання, резонансну частоту та амплітуду. Амплітудне значення сили, що змушує 10 мН.
4 Амплітуди вимушених гармонійних коливань при частотах w 1 = 400 -1 і w 2 = 600 с -1 рівні між собою. Визначте резонансну частоту.
5 Вантажівки в'їжджають ґрунтовій дорозіна зерновий склад з одного боку, розвантажуються та виїжджають зі складу з тією ж швидкістю, але з іншого боку. З якого боку складу вибоїни на дорозі йдуть частіше, ніж з іншого? Як станом дороги визначити, з якого боку складу в'їзд, а який виїзд? Відповідь обґрунтувати
Звернемося ще раз до рисунка 53. Переміщуючи кульку з точки О (положення рівноваги) до точки В, ми розтягуємо пружину. При цьому ми виконуємо деяку роботу з подолання сили її пружності, завдяки чому пружина набуває потенційної енергії. Якщо тепер відпустити кульку, то в міру її наближення до точки О деформація пружини та потенційна енергія маятника будуть зменшуватися, а швидкість та кінетична енергія – збільшуватись.
Припустимо, що втрати енергії на подолання сил тертя при русі маятника зневажливо малі. Тоді, згідно із законом збереження енергії, повну механічну енергію маятника (т. е. Е п + Е к) у будь-який момент часу можна вважати однаковою та рівною тій потенційній енергії, яку ми споконвічно повідомили пружині, розтягнувши її на довжину відрізка ОВ. При цьому маятник міг би робити коливання як завгодно довго з постійною амплітудою, що дорівнює ОВ.
Так було б, якби під час руху не було жодних втрат енергії.
Але реально втрати енергії завжди є. Механічна енергія витрачається, наприклад, на виконання роботи з подолання сил опору повітря, переходячи при цьому у внутрішню енергію. Амплітуда коливань поступово зменшується і через деякий час коливання припиняються. Такі коливання називаються загасаючими (рис. 66).
Рис. 66. Графіки залежно від часу амплітуди вільних коливань, що відбуваються у воді та в повітрі
Що більше сили опору руху, то швидше припиняються коливання. Наприклад, у воді коливання загасають швидше, ніж у повітрі (рис. 66, а, б).
До цього часу розглядалися вільні коливання, т. е. коливання, що відбуваються рахунок початкового запасу енергії.
Вільні коливання завжди загасають, тому що весь запас енергії, спочатку повідомлений коливальної системи, зрештою йде на здійснення роботи з подолання сил тертя і опору середовища (тобто механічна енергія переходить у внутрішню). Тому вільні коливання майже немає практичного застосування.
Щоб коливання були незатухаючими, необхідно заповнювати втрати енергії за кожний період коливань. Це можна здійснити, впливаючи на тіло, що коливається, періодично змінюється силою. Наприклад, щоразу підштовхуючи гойдалки в такт їх коливань, можна домогтися, щоб коливання не згасали.
- Коливання, що здійснюються тілом під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, називаються вимушеними коливаннями
Зовнішня сила, що періодично змінюється, що викликає ці коливання, називається силою, що змушує.
Якщо на гойдалки, що покояться, почати діяти періодично мінливою змушує силою, то протягом деякого часу амплітуда вимушених коливань гойдалок зростатиме, тобто амплітуда кожного наступного коливання буде більше, ніж попереднього. Збільшення амплітуди припиниться тоді, коли енергія, що втрачається гойдалками на подолання сили тертя, дорівнюватиме енергії, одержуваної ними ззовні (за рахунок роботи змушує сили).
Найчастіше постійна частота вимушених коливань встановлюється не відразу, а згодом після початку.
Коли амплітуда та частота вимушених коливань перестають змінюватися, кажуть, що коливання встановилися.
Частота вимушених коливань, що встановилися, дорівнює частоті змушуючої сили.
Вимушені коливання можуть здійснювати навіть тіла, які є коливальними системами, наприклад, голка швейної машини, поршні в двигуні внутрішнього згоряння і ще. Коливання таких тіл теж відбуваються з частотою сили, що змушує.
Вимушені коливання – незагасаючі. Вони відбуваються до тих пір, поки діє сила, що змушує.
Запитання
- Що можна сказати про повну механічну енергію коливального маятника в будь-який момент часу, якщо припустити, що втрат енергії немає? За яким законом це можна стверджувати?
- Як змінюється з часом амплітуда вільних коливань, які у реальних умовах? У чому причина такої зміни?
- Де швидше припиняться коливання маятника - у повітрі чи у воді? Чому? (Початковий запас енергії в обох випадках однаковий.)
- Чи можуть вільні коливання бути незагасаючими? Чому? Що потрібно робити для того, щоб коливання були незагасаючими?
- Що можна сказати про частоту вимушених коливань, що встановилися, і частоту змушуючої сили?
- Чи можуть тіла, які не є коливальними системами, робити вимушені коливання? Наведіть приклади.
- Доки відбуваються вимушені коливання?
Вправа 25
