Ми розглядали досі звичай, коли на тіло діють дві (або більше) сили, векторна сума яких дорівнює нулю. У цьому випадку тіло може або лежати, або рухатися поступово. Якщо тіло спочиває, то загальна робота всіх прикладених до нього сил дорівнює нулю. Рівна нулю та робота кожної окремої сили. Якщо ж тіло рухається рівномірно, то загальна робота всіх сил, як і раніше, дорівнює нулю. Але кожна сила окремо, якщо вона перпендикулярна напрямку руху, здійснює певну роботу - позитивну чи негативну.
Розглянемо тепер випадок, коли рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, не дорівнює нулю або коли на тіло діє лише одна сила. У цьому випадку, як це випливає з другого закону Ньютона, тіло рухатиметься із прискоренням. Швидкість тіла змінюватиметься, і робота, виконана силами у разі, не дорівнює нулю, може бути позитивної чи негативної. Можна очікувати, що між зміною швидкості тіла та роботою, досконалою силами, прикладеними до тіла, існує якийсь зв'язок. Спробуймо її встановити. Уявімо для простоти міркування, що тіло рухається вздовж прямої лінії і рівнодіє сил, прикладених до нього, постійна за абсолютним значенням; і спрямована за тією ж прямою. Позначимо цю рівнодіючу силу через проекцію переміщення на напрям сили через Направимо координатну вісь вздовж напрямку сили. Тоді, як було показано в § 75, виконувана робота дорівнює Направимо координатну вісь вздовж переміщення тіла. Тоді, як було показано в § 75, робота А, що здійснюється рівнодіючою, дорівнює: Якщо напрямки сили та переміщення збігаються, то позитивна і робота позитивна. Якщо рівнодіюча спрямована протилежно до напрямку руху тіла, то її робота негативна. Сила повідомляє тілу прискорення а. За другим законом Ньютона. З іншого боку, у другому розділі ми виявили, що при прямолінійному рівномірно прискореному русі
Звідси слідує що
Тут - початкова швидкість тіла, т. е. його швидкість початку переміщення - його швидкість наприкінці цієї ділянки.
Ми отримали формулу, яка зв'язує роботу, виконану силою зі зміною швидкості (точніше, квадрата швидкості) тіла, викликаною цією силою.
Половина добутку маси тіла на квадрат його швидкості носить спеціальну назву - кінетична енергія тіла, і часто формулу (1) називають теоремою про кінетичну енергію.
Робота сили дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.
Можна показати, що формула (1), виведена нами для сили, постійної за величиною та спрямованої вздовж руху, справедлива і в тих випадках, коли сила змінюється, а її напрямок не збігається з напрямком переміщення.
Формула (1) чудова у багатьох відношеннях.
По-перше, з неї випливає, що робота сили, що діє на тіло, залежить тільки від початкового та кінцевого значень швидкості тіла і не залежить від того, з якою швидкістю воно рухалося в інших точках.
По-друге, з формули (1) видно, що її права частина може бути як позитивною, так і негативною в залежності від того, зростає або зменшується швидкість тіла. Якщо швидкість тіла зростає то права частина формули (1) позитивна, отже, і робота Так і має бути тому, що для збільшення швидкості тіла абсолютної величини) сила, що діє на нього, повинна бути спрямована в ту ж сторону, що і переміщення. Навпаки, коли швидкість тіла зменшується права частина формули (1) набуває негативного значення (сила спрямована протилежно переміщенню).
Якщо в початковій точці швидкість тіла дорівнює нулю, вираз для роботи набуває вигляду:
Формула (2) дозволяє обчислити роботу, яку потрібно здійснити, щоб тілу повідомити швидкість, рівну
Очевидно зворотне: для зупинки тіла, що рухається зі швидкістю, необхідно здійснити роботу
дуже нагадується формулу, отриману в попередньому розділі (див. § 59), що встановлює між імпульсом сили і зміною імпульсу тіла
Дійсно, ліва частина формули (3) відрізняється від лівої частини формули (1) тим, що в ній сила множиться не на переміщення, яке здійснюється тілом, а на час дії сили. У правій частині формули (3) стоїть добуток маси тіла на його швидкість (імпульс) замість половини добутку маси тіла на квадрат його швидкості, що фігурує у правій частині формули (1). Обидві формули є наслідком законів Ньютона (з яких вони були виведені), а величини є характеристиками руху.
Але між формулами (1) і (3) є й важлива різниця: формула О) встановлює зв'язок між скалярними величинами, тоді як формула (3) - це векторна формула.
Завдання I. Яку роботу треба зробити, щоб поїзд, що рухається зі швидкістю, збільшив свою швидкість Маса поїзда . Яка сила має бути додана до поїзда, якщо це збільшення швидкості має відбутися на ділянці завдовжки 2 км? Рух вважати рівноприскореним.
Рішення. Роботу А можна знайти за формулою
Підставивши сюди дані, отримаємо:
Але визначенню отже,
Завдання 2, Якої висоти досягне тіло, кинуте вгору початковою швидкістю
Рішення. Тіло підніматиметься вгору доти, доки його швидкість не стане рівної нулю. На тіло діє лише сила тяжіння де - маса тіла та - прискорення вільного падіння(силою опору повітря та архімедовою силою нехтуємо).
Застосувавши формулу
Цей вираз ми вже отримали раніше (див. стор. 60) складнішим шляхом.
Вправа 48
1. Як пов'язано роботу сили з кінетичною енергією тіла?
2 Як змінюється кінетична енергія тіла, якщо сила, прикладена до нього, здійснює позитивну роботу?
3. Як змінюється кінетична енергія тіла, якщо прикладена до нього сила здійснює негативну роботу.
4. Тіло рухається рівномірно по колу радіусом 0,5 м, маючи кінетичну енергію в 10 дж. Яка сила, яка діє тіло? Як вона спрямована? Чому дорівнює робота цієї сили?
5. До тіла, що покоїться масою 3 кг, прикладена сила в 40 н. Після цього тіло проходить по гладкій горизонтальній площині без тертя 3 м. Потім сила зменшується до 20 н і тіло проходить ще 3 м. Знайдіть кінетичну енергіютіла у кінцевій точці його руху.
6. Яка робота повинна бути виконана для зупинки поїзда масою 1 000 т, що рухається зі швидкістю 108 км/год?
7. На тіло масою 5 кг, що рухається зі швидкістю 6 м/сек, діє сила 8 н, спрямована у бік, протилежний руху. Внаслідок цього швидкість тіла зменшується до 2 м/сек. Яку роботу за величиною та по знаку здійснила сила? Яку відстань пройшло тіло?
8. На тіло, що спочатку перебувало у спокої, починає діяти сила в 4 н, спрямована під кутом 60 ° до горизонту. Тіло рухається по гладкій горизонтальній поверхні без тертя. Обчисліть роботу сили, якщо тіло пройшло відстань 1 м.
9. У чому полягає теорема про кінетичну енергію?
У інерційних системахвідліку зміна швидкості тіла можлива тільки при дії на нього іншого тіла. Кількісно дію одного тіла на інше виражають за допомогою такої фізичної величинияк сила (). Вплив одного тіла на інше може викликати зміну швидкості тіла як за величиною, так і за напрямом. Отже, сила є вектором і визначається як величиною (модулем), а й напрямом. Напрямок сили визначає напрямок вектора прискорення тіла, на яке впливає розглянута сила.
Величину та напрямок сили визначає другий закон Ньютона:
де m - маса тіла, на яке діє сила - прискорення, яке сила повідомляє тілу, що розглядається. Сенс другого закону Ньютона полягає в тому, що сили, які діють на тіло, визначають, як змінюється швидкість тіла, а не просто його швидкість. Зауважимо, що другий закон Ньютона виконується виключно в інерційних системах відліку.
Якщо на тіло діє одночасно кілька сил, то тіло переміщається з прискоренням, яке дорівнює векторній сумі прискорень, які з'явилися б при дії кожного з тіл окремо. Сили, що впливають на тіло і прикладені до його однієї точки слід складати відповідно до правила складання векторів.
ВИЗНАЧЕННЯ
Векторна сума всіх сил, що діють на тіло одночасно, називається рівнодіючою силою ():
Якщо тіло діють кілька сил, другий закон Ньютона записується як:
Рівнодія всіх сил, що діють на тіло, може дорівнювати нулю, у тому випадку, якщо відбувається взаємна компенсація сил, прикладених до тіла. У такому випадку тіло рухається з постійною швидкістюабо перебуває у спокої.
При зображенні сил, які діють тіло, на кресленні, у разі рівноприскореного переміщеннятіла, рівнодіючу силу, спрямовану на прискорення, слід зображати довше, ніж протилежно їй спрямовану силу (суму сил). В разі рівномірного руху(або спокою) дина векторів сил, спрямованих у протилежні сторони однакова.
Для знаходження рівнодіючої сили слід зобразити на кресленні всі сили, які необхідно враховувати в задачі, що діють на тіло. Складати сили слід за правилами складання векторів.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Тіло спочиває на похилій площині (рис.1), зобразіть сили, які діють на тіло, чому дорівнює рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла? |
| Рішення | Зробимо малюнок. На тіло, розташоване на похилій площині діють: сила тяжіння (), сила нормальної реакції опори () та сила тертя спокою (за умовою тіло не рухається) (). Рівночинну всіх сил, що діють на тіло (), можна знайти векторним підсумовуванням: Складемо спочатку за правилом паралелограма сили тяжкості та силу реакції опори, отримаємо силу . Ця сила повинна бути спрямована вздовж похилої площини руху тіла. По довжині вектор повинен дорівнювати вектору сили терня, так як тіло за умовою спочиває. Відповідно до другого закону Ньютона рівнодіюча повинна дорівнювати нулю: |
| Відповідь | Равнодіюча сила дорівнює нулю. |
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Вантаж, підвішений у повітрі на пружині, рухається з постійним прискоренням, спрямованим донизу (рис.3), які сили діють на вантаж? Чому дорівнює рівнодіюча сил, прикладених до вантажу? Куди буде спрямовано рівнодіючу силу? |
| Рішення | Зробимо малюнок. На вантаж, підвішений, на пружині діють: сила тяжіння () З боку Землі і сила пружності пружини () (з боку пружини), під час руху вантажу повітря, зазвичай силою тертя вантажу повітря нехтують. Рівнодійну сил, прикладених до вантажу в нашому завданні, знайдемо як: |
Статикою називається розділ механіки, який вивчає умови рівноваги тіл.
З другого закону Ньютона випливає, що й геометрична сума всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, тіло перебуває у стані спокою чи здійснює рівномірний прямолінійний рух. У цьому випадку прийнято говорити, що сили, прикладені до тіла, врівноважуютьодин одного. При обчисленні рівнодіючоївсі сили, що діють на тіло, можна прикладати до центру мас .
Щоб тіло, що не обертається, знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, дорівнювала нулю .
На рис. 1.14.1 дано приклад рівноваги твердого тілапід впливом трьох сил. Точка перетину Oліній дії сил і не збігається з точкою застосування сили тяжіння (центр мас C), але за рівноваги ці точки обов'язково перебувають у однієї вертикалі. При обчисленні рівнодіючої всі сили наводяться до однієї точки.
Якщо тіло може обертатисящодо деякої осі, то для його рівноваги недостатньо рівності нулю рівнодіючої всіх сил.
Обертальна дія сили залежить не тільки від її величини, а й від відстані між лінією дії сили та віссю обертання.
Довжина перпендикуляра, проведеного від осі обертання до лінії дії сили, називається плечем сили.
Добуток модуля сили на плече dназивається моментом сили M. Позитивними вважаються моменти сил, які прагнуть повернути тіло проти годинникової стрілки (рис. 1.14.2).
Правило моментів : тіло, що має нерухому вісьобертання, знаходиться в рівновазі, якщо алгебраїчна сумамоментів всіх прикладених до тіла сил щодо цієї осі дорівнює нулю:
У Міжнародній системі одиниць (СІ) моменти сил вимірюються в НЮтон— метрах (Н∙м) .
У випадку, коли тіло може рухатися поступально і обертатися, для рівноваги необхідно виконання обох умов: рівність нулю рівнодіючої сили та рівність нулю суми всіх моментів сил.
Колесо, що котиться по горизонтальній поверхні, - приклад байдужої рівноваги(Рис. 1.14.3). Якщо колесо зупинити у будь-якій точці, воно опиниться у рівноважному стані. Поряд із байдужою рівновагою в механіці розрізняють стани стійкогоі нестійкогорівноваги.
Стан рівноваги називається стійким, якщо при малих відхиленнях тіла від цього стану виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло до рівноважного стану.
При малому відхиленні тіла зі стану нестійкої рівноваги виникають сили або моменти сил, які прагнуть видалити тіло від положення рівноваги.
Куля, що лежить на плоскій горизонтальній поверхні, перебуває у стані байдужої рівноваги. Куля, що у верхній точці сферичного виступу, – приклад нестійкого рівноваги. Зрештою, куля на дні сферичного поглиблення перебуває у стані стійкої рівноваги (рис. 1.14.4).
Для тіла, що має нерухому вісь обертання, можливі всі три види рівноваги. Байдужна рівновага виникає, коли вісь обертання проходить через центр мас. При стійкому та нестійкому рівновазі центр мас знаходиться на вертикальній прямій, що проходить через вісь обертання. При цьому якщо центр мас знаходиться нижче осі обертання, стан рівноваги виявляється стійким. Якщо ж центр мас розташований вище за осі – стан рівноваги нестійкий (рис. 1.14.5).
Особливим випадком є рівновага тіла на опорі. У цьому випадку пружна сила опори прикладена не до однієї точки, а розподілена на основі тіла. Тіло знаходиться в рівновазі, якщо вертикальна лінія, проведена через центр мас тіла, проходить через площа опори, Т. е. всередині контуру, утвореного лініями, що з'єднують точки опори. Якщо ж ця лінія не перетинає площу опори, тіло перекидається. Цікавим прикладомрівноваги тіла на опорі є падаюча вежа в італійському місті Піза (рис. 1.14.6), яку за переказом використовував Галілей щодо законів вільного падіння тіл. Башта має форму циліндра заввишки 55 м-код і радіусом 7 м-коду. Вершина башти відхилена від вертикалі на 4,5 м-коду.
Вертикальна лінія, проведена через центр мас вежі, перетинає основу приблизно 2,3 м від центру. Таким чином, вежа перебуває у стані рівноваги. Рівновага порушиться і вежа впаде, коли відхилення її вершини від вертикалі досягне 14 м. Очевидно, це станеться дуже нескоро.
