Введемо поняття ще про одну основну динамічну характеристику руху про кінетичної енергії. Кінетичною енергією матеріальної точкиназивається скалярна величина рівна половинідобутку маси точки на квадрат її швидкості.
Одиниця виміру кінетичної енергії та сама, як і роботи (в СІ - 1 Дж). Знайдемо залежність, якою пов'язані ці дві величини.
Розглянемо матеріальну точку з масою , що переміщається зі становища , де має швидкість у становище , де її швидкість
Для отримання шуканої залежності звернемося до рівняння, що виражає основний закон динаміки Проектуючи обидві його частини на дотичну до траєкторії точки М, спрямовану в бік руху, отримаємо
Дотичне прискорення точки, що входить сюди, представимо у вигляді
В результаті знайдемо, що
Помножимо обидві частини цієї рівності і внесемо під знак диференціала. Тоді, помічаючи, що де елементарна роботасили отримаємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії точки в диференційній формі:
Проінтегрувавши тепер обидві частини цієї рівності в межах, що відповідають значенням змінних у точках, знайдемо остаточно
Рівняння (52) виражає теорему про зміну кінетичної енергії точки в кінцевому вигляді: зміна кінетичної енергії точки при деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній суміробіт усіх діючих на точку сил тому ж переміщенні.
Випадок невільного руху. При невільному русі точки в праву частину рівності (52) увійде робота заданих (активних) сил та робота реакції зв'язку. Обмежимося розглядом руху точки по нерухомій гладкій (позбавленій тертя) поверхні або кривій. В цьому випадку реакція N (див. рис. 233) буде спрямована за нормалою до траєкторії точки і . Тоді, згідно з формулою (44), робота реакції нерухомої гладкої поверхні (або кривої) при будь-якому переміщенні точки дорівнюватиме нулю, і з рівняння (52) отримаємо
Отже, при переміщенні по нерухомій гладкій поверхні (або кривій) зміна кінетичної енергії точки дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні прикладених до точки активних сил.
Якщо поверхня (крива) не є гладкою, то до роботи активних сил додасться робота сили тертя (див. § 88). Якщо ж поверхня (крива) рухається, то абсолютне переміщення точки М може бути перпендикулярно N і тоді робота реакції N дорівнюватиме нулю (наприклад, робота реакції платформи ліфта).
Вирішення задач. Теорема про зміну кінетичної енергії [формула (52)] дозволяє, знаючи як при русі точки змінюється її швидкість, визначити роботу діючих сил (перше завдання динаміки) або знаючи роботу діючих сил визначити, як змінюється при русі швидкість точки (друге завдання динаміки ). При вирішенні другого завдання, коли задані сили, треба обчислити їхню роботу. Як видно з формул (44), (44), це можна зробити лише тоді, коли сили постійні або залежать тільки від положення (координат) точки, що рухається, як, наприклад, сили пружності або тяжіння (див. § 88).
Таким чином, формулу (52) можна безпосередньо використовувати для вирішення другого завдання динаміки, коли в задачі число даних і шуканих величин входять: діючі сили, Переміщення точки та її початкова і кінцева швидкості (тобто величини ), причому сили повинні бути постійними або залежать тільки від положення (координат) точки.
Теорему в диференціальній формі [формула (51)] можна, звичайно, застосовувати за будь-яких діючих сил.
Завдання 98. Вантаж масою кг, кинутий зі швидкістю з пункту А, що знаходиться на висоті (рис. 235), має в точці падіння С швидкість Визначити, чому дорівнює робота сили опору повітря, що діє на вантаж
Рішення. На вантаж при його русі діють сила тяжкості Р та сила опору повітря R. За теоремою про зміну кінетичної енергії, вважаючи вантаж матеріальною точкою, маємо
З цієї рівності, оскільки згідно з формулою знаходимо
Завдання 99. За умов завдання 96 (див. [§ 84) визначити, який шлях пройде вантаж до зупинки (див. рис, 223, де - Початкове положення вантажу, а - кінцеве).
Рішення. На вантаж, як і задачі 96, діють сили Р, N, F. Для визначення гальмівного шляху враховуючи, що в умови даного завдання входять і постійна сила F, скористаємося теоремою про зміну кінетичної енергії
У цьому випадку - швидкість вантажу в момент зупинки). Крім того, так як сили Р і N перпендикулярні до переміщення, У результаті отримуємо звідки знаходимо
За результатами завдання 96 час гальмування зростає пропорційно початкової швидкості, А гальмівний шлях, як ми виявили, - пропорційно квадрату початкової швидкості. Щодо наземного транспорту це показує, як зростає небезпека зі збільшенням швидкості руху.
Завдання 100. Вантаж вагою Р підвішений на нитки довжиною l Нитка разом із вантажем відхиляють від вертикалі на кут (рис. 236 а) і відпускають без початкової швидкості. Під час руху на вантаж діє сила опору R, яку приблизно замінюємо її середнім значенням. Знайти швидкість вантажу в той момент часу, коли нитка утворює з вертикаллю кут
Рішення. Враховуючи умови завдання, скористаємося знову теоремою (52):
На вантаж діють сила тяжкості Р, реакція нитки опору, представлена її середнім значенням R. Для сили Р за формулою (47) для сили N, оскільки отримаємо нарешті, для сили оскільки за формулою (45) буде (довжина s дуги дорівнює добутку радіуса l на центральний кут). Крім того, за умовами завдання У результаті рівність (а) дає:
За відсутності опору отримуємо звідси відому формулу Галілея справедливу, очевидно, і для швидкості вантажу, що вільно падає (рис, 236, б).
Тоді, ввівши ще позначення - середня сила опору, що припадає на одиницю ваги вантажу), отримуємо остаточно
Завдання 101. Пружина клапана має в недеформованому стані довжину см. При повністю відкритому клапані її довжина см, а висота підйому клапана см (рис. 237). Жорсткість пружини маса клапана кг. Нехтуючи дією сили тяжіння та сил опору, визначити швидкість клапана в момент його закрита.
Рішення, Скористаємося рівнянням
За умовами завдання роботу здійснює лише сила пружності пружини. Тоді за формулою (48) буде
В даному випадку
Крім того, підставляючи всі ці значення в рівняння (а), отримаємо остаточно
Завдання 102. Вантаж, що лежить на середині пружної балки (рис. 238), прогинає її на величину (статистичний прогин балки) Нехтуючи вагою балки, визначити, до чого дорівнює її максимальний прогин якщо вантаж впаде на балку з висоти Н.
Рішення. Як і в попередній задачі, скористаємося для розв'язання рівнянням (52). В даному випадку початкова швидкість вантажу і кінцева швидкість (У момент максимального прогину балки) рівні нулю і рівняння (52) набуває вигляду
Роботу тут здійснюють сила тяжкості Р на переміщенні і сила пружності балки F на переміщенні. При цьому так як для балкн.
Але при рівновазі вантажу на балці сила тяжкості врівноважується силою пружності, отже, і попередню рівність можна подати у вигляді
Вирішуючи це квадратне рівнянняі враховуючи, що за умовами завдання маємо знаходитись
Цікаво відзначити, що при виході Отже, якщо вантаж покласти на середину горизонтальної балки, то її максимальний прогин при опусканні вантажу дорівнюватиме подвоєному статичному. Надалі вантаж почне разом із балкою здійснювати коливання біля рівноважного становища. Під впливом опорів ці коливання згаснуть і система врівноважується в положенні, при якому прогин балки дорівнює
Завдання 103. Визначити, найменшу спрямовану вертикально віерх початкову швидкість треба повідомити тілу, щоб воно піднялося з поверхні Землі на задану висоту Н (рис 239) Силу тяжіння вважати пропорційно квадрату відстані, що змінюється назад, від центру Землі. Опір повітря знехтувати.
Рішення. Розглядаючи тіло як матеріальну точку з масою, скористаємося рівнянням
Роботу тут робить сила тяжіння F. Тоді за формулою (50), враховуючи, що в даному випадку де R - радіус Землі, отримаємо
Так як у найвищій точці при знайденому значенні роботи рівняння (а) дає
Розглянемо окремі випадки:
а) нехай Н дуже мало проти R. Тоді - величина, близька до нуля. Ділячи чисельник і знаменник отримаємо
Таким чином, за малих Н приходимо до формули Галілея;
б) знайдемо, при якій початковій швидкості покинуте тіло піде в нескінченність, ділячи чисельник і знаменник на А, отримаємо
Кінетична енергія механічної системи – це сума кінетичних енергій усіх її матеріальних точок:
Обчислимо диференціал від вираження кінетичної енергії та виконаємо деякі прості перетворення:
Опускаючи проміжні значеннята застосовуючи раніше введений для позначення елементарної роботи символ , запишемо:
Отже, диференціал кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють точки системи. У цьому полягає зміст теореми про зміну кінетичної енергії.
Зауважимо, що сума робіт внутрішніх сил системи в загальному випадку не дорівнює нулю. Вона звертається в нуль тільки в деяких окремих випадках: коли системою служить абсолютно тверде тіло; система абсолютно твердих тіл, що взаємодіють за допомогою не-деформованих елементів (ідеальних шарнірів, абсолютно твердих стрижнів, нерозтяжних ниток тощо). Тому теорема про зміну кінетичної енергії є єдиною із загальних теорем динаміки, яка враховує ефект дії внутрішніх сил.
Можна цікавитись зміною кінетичної енергії не за нескінченно малий проміжок часу, як це робиться вище, а за деякий кінцевий проміжок часу . Тоді за допомогою інтегрування можна отримати:
Тут - значення кінетичної енергії відповідно в моменти часу - суми повних робіт зовнішніх і внутрішніх сил за проміжок часу, що розглядається.
Отримана рівність виражає теорему про зміну кінетичної енергії в кінцевій (інтегральній) формі, яка може бути сформульована так: зміна кінетичної енергії при переході механічної системи з одного положення до іншого дорівнює сумі повних робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил.
лекція 5. Теорема про зміну кінетичної енергії
5. 1. Робота сили
Нехай сила 
– рівнодіюча всіх сил системи, прикладена до точки Р, а ( dx,
dy,
dz)
- Елементарне переміщення точки Р вздовж її траєкторії Р 1 Р 2 (рис. 5.1). Елементарною роботою dАсили називають скалярний твір
Елементарна робота є скалярною величиною. Якщо - кут між силою та напрямом переміщення , то вираз (5.1) можна подати у вигляді
де - проекція сили на напрямок елементарного переміщення (або напрямок швидкості точки).
Знак елементарної роботи залежить від знаку функції. Якщо - гострий кут, то , якщо - тупий кут, то якщо , то .
Нехай крапка Рздійснює кінцеве переміщення із положення в положення, описуючи дугу. Розіб'ємо дугу на nдовільних малих ділянок, позначивши довжину ділянки з номером kчерез. Тоді елементарна робота сили на kділянці буде рівна , а на всьому шляху від до - сумі робіт на окремих ділянках
Точне значення роботи отримаємо, переходячи до межі, за умови, що кількість ділянок nнеобмежено зростає, а довжина кожної ділянки зменшується:
.
Така межа називається криволінійним інтегралом першого роду по дузі та записується наступним чином
. (5.3)
Результат інтегрування є повною роботою Асили Fна розглянутому кінцевому переміщенні вздовж шляху.
5. 1. 1. Робота сили тяжіння
Нехай m - Маса точки, g- Прискорення вільного падіння. Тоді
Обчислюючи роботу за формулами (5.1) та (5.3), маємо
де - Висота опускання точки.
При підйомі точки , отже, .
5. 1. 2. Робота лінійної сили пружності
Нехай матеріальна точка Ррухається вздовж осі Ох(Мал. 5.3) під дією пружини, до якої вона прикріплена. Якщо при , , Пружина деформована і при малих відхиленнях точки можна вважати, що з боку пружини до неї прикладена сила пружності . Тоді робота сили пружності на переміщенні x 0 x 1 буде рівна
. (5.5)
p align="justify"> Робота сили пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового і кінцевого подовження (або стисків) пружини.
5. 1. 3. Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла
Розглянемо рух тіла у площині. Нехай Про- Довільно обрана точка на твердому тілі (рис.5.4). Назвемо її полюсом. Тоді рух тіла у площині можна як суму найпростіших: поступального руху разом із полюсом і обертання тіла навколо полюса. Тоді швидкість точки відносно нерухомої системи координат визначиться як геометрична сума двох швидкостей.
де - швидкість полюса - вектор кутової швидкості твердого тіла, - Швидкість Ейлера, тобто швидкість точки при її обертанні навколо полюса.
Будемо представляти тверде тіло як механічну систему, що складається з Nокремих точок, взаємна відстань між якими змінюється.
Обчислимо зміщення точки під дією сили:
Тоді.
Елементарна робота, згідно з (5.1), запишеться таким чином
Скориставшись властивостями змішаного твору векторів 
, перепишемо останній вираз у вигляді
Нехай - рівнодіюча всіх сил, зовнішніх і внутрішніх (рис5.4), прикладених у точці тіла, тобто.
.
Тоді (а) запишеться так
Згідно (3.1 та 3.2), головний вектор та головний моментвнутрішніх сил системи дорівнюють нулю, отримуємо
тут: 
- Головний вектор, 
- Головний момент зовнішніх сил щодо точки Про.
Приватні випадки
A. Поступальний рух твердого тіла. Всі точки тіла мають однакові переміщення (рис. 5.5, а) і за модулем, і за напрямом, тоді, з (5.6), отримаємо (тут):
. (5.7)
B. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі . Нехай вісь zпроходить через полюс Про(Рис. 5.5б). Тоді,; з (5.6) отримаємо
. (5.8)
приклад.Котушка масою mта радіусом Rнаводиться в рух постійною силою F, доданої у точці А(Рис. 5.6). Котушка котиться вправо без ковзання по шорсткій поверхні.
Обчислити роботу всіх зовнішніх сил, якщо центр котушки перемістився на відстань , - Коефіцієнт тертя кочення, - сила тертя, r - радіус сердечника котушки, до якої прикладена сила.
Рішення.Котушка здійснює плоский рух. Оскільки кочення відбувається без ковзання, то миттєвий центр швидкостей перебуває у точці торкання котушки з площиною, тобто. у точці Р(Рис.5.6). Направимо вісь S по горизонталі вправо. Відповідно до напрямку руху приймемо позитивний напрямок кута повороту проти ходу годинникової стрілки.
Нехай центр котушки Зпереміститься на . При цьому котушка повернеться на кут. Тоді, звідки
Прийнявши крапку Рза миттєву вісь обертання обчислимо елементарну роботу за формулою (5.8):
(а)
Тут: лінії дії сил і mgперетинають вісь обертання, тому; далі , де N- Сила нормальної реакції.
Для визначення шуканої роботи залишається взяти певний інтеграл від (а) у межах від 0 до SА. Отримаємо
5. 2. Силове поле. Силова функція. Потенціальна енергія
Припустимо, що точка рухається у певному просторі і її з боку простору діє сила, що залежить від положення точки у цьому просторі, але з залежить від швидкості руху точки. У цьому випадку кажуть, що у просторі поставлено силове поле, а також, що точка рухається у силовому полі. Відповідні поняття системи матеріальних точок аналогічні.
Сили, що залежать від положення точок їхнього застосування, в механіці зустрічаються часто. Наприклад, сила пружності, прикладена до матеріальної точки, яка рухається горизонтальною прямою під дією пружини. Найважливішим прикладом силового поля в природі є гравітаційне поле: дія Сонця на планету даної маси визначається у кожній точці простору законом всесвітнього тяжіння.
Силове поле називається потенційнимякщо існує скалярна функція U, що залежить тільки від координат , , точки - точки матеріальної системи (можливо, і від часу), така, що
Функція називається силовою функцією.
Розглянемо властивості силової функції.
Елементарна робота (5.1) пов'язана з силовою функцією в такий спосіб
Таким чином, елементарна робота сили у потенційному силовому полі дорівнює повному диференціалувід силової функціїії.
Повна роботасили на ділянці від точки 
до точки 
(Рис.5.1)
тобто. . (5.10)
З отриманих виразів випливає, що
1. робота сили в потенційному силовому полі по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю;
2. робота сили в потенційному силовому полі залежить тільки від положення кінцевої та початкової точок, але сам шлях переміщення ролі не грає.
Потенціальна енергія.Потенційною енергією Пу розглянутій точці силового поля Рназивають роботу, яку здійснюють сили поля, що діє на матеріальну точку при її переміщенні з точки Ру початкову точку 1, тобто.
П= або П= 
Зв'яжемо силову функцію Uіз потенційною енергією. Маємо
Приклади обчислення потенційної енергії
1. Однорідне поле важкості. Нехай m- Маса точки; g - прискорення вільного падіння. Тоді (рис. 5.2)
2. Силове поле пружної пружини. Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі Ох(Мал. 5.3) під дією пружини, до якої вона прикріплена. Якщо при пружині не деформована, то, вважаючи у формулі (5.5), отримаємо
.
5. 3. Кінетична енергія
5. 3. 1. Кінетична енергія системи. Теорема Кеніга
Кінетичною енергією матеріальної точки називають половину добутку маси точки квадрат її швидкості, тобто.
.
Кінетична енергія є скалярною позитивною величиною. У системі СІ одиницею вимірювання кінетичної енергії є джоуль: 
.
Кінетичною енергією механічної системи називається сума кінетичних енергій усіх точок, що входять до системи:
(5.11)
Швидкості точок системи (5.1) визначаються щодо нерухомої системи відліку.
Сумісний початок координат із центром мас системи. Припустимо, що механічна система разом із системою координат рухається поступово щодо нерухомої системи координат (рис.5.7). Крапка - точка системи.
Тоді, на підставі теореми про складання швидкостей, абсолютна швидкість точки Рk. системи запишеться так векторна сума переносної та відносної швидкостей:
, (а)
де – швидкість початку рухомий системи координат (переносна швидкість, тобто швидкість центру мас системи); - Швидкість точки Рkщодо рухомої системи координат Охуz (відносна швидкість).
Підставляючи (а) у формулу (5.11), отримуємо
(5.12)
Тут – маса всієї системи.
Радіус-вектор центру мас системи у рухомій системі координат визначається, згідно (2.1), – 
, звідки 
, тобто. 
. Оскільки початок координат Проє центром мас системи, то тоді, тобто. друга сума у виразі (5.12) дорівнює нулю.
Таким чином, кінетична енергія системи (5.12) має вигляд
(5.13)
Ця рівність визначає теорему Кеніга.
Теорема. Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичної енергії, яку мала б матеріальна точка, розташована в центрі мас системи та має масу, рівну масі системи, та кінетичній енергії руху системи щодо центру мас.
5. 3. 2. Кінетична енергія твердого тіла
Тверде тіло є окремим випадком механічної системи і розглядається як безперервно розподілена маса, тоді всі суми, що входять у вираз для кінетичної енергії системи, переходять в інтеграли. Так, для твердого тіла формула (5.11) набуде вигляду
. (5.14)
1. Кінетична енергія твердого тіла, що рухається поступально.
При цьому виді руху швидкості всіх точок тіла однакові (рис. 5.8). Виносячи у формулі (5.14) за знак інтеграла, отримаємо
. (5.15)
Кінетична енергія твердого тіла, що рухається поступально, дорівнює половині добутку маси тілаMна квадрат його швидкості.
2. Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі
Модуль швидкості Vбудь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює , де - модуль кутової швидкості твердого тіла, - відстань від точки до осі обертання z(Рис. 5.9). Підставляючи у формулу (5.14), отримаємо
тут 
– момент інерції твердого тіла щодо осі z.
Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює половині моменту інерції тіла щодо осі обертання на квадрат кутової швидкості тіла.
3. Кінетична енергія твердого тіла при плоско-паралельному русі
При плоско-паралельному русі швидкість будь-якої точки тіла складається з геометричної суми швидкості полюса та швидкості точки при обертанні навколо полюса. Нехай тіло рухається плоско у площині Oxyтоді
|| . За полюс вибираємо центр мас тіла, тоді у формулі (5.13), швидкість є швидкість точки kтіла при її обертанні щодо полюса (центру мас) і дорівнює 
, де відстань k-
ой точки до полюса. Тоді (5.13) перепишеться
Маючи на увазі, що 
– момент інерції тіла щодо осі z, що проходить через полюс З, останній вираз можна переписати як
, (5.17)
при плоско - паралельному русі тіла кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху разом з центром мас і кінетичної енергії від обертання навколо осі, що проходить через центр мас і перпендикулярної площині руху.
5. 4. Теорема про зміну кінетичної енергії
5. 4. 1. Теорема про зміну кінетичної енергії точки
Знайдемо зв'язок між роботою та зміною швидкості. Нехай матеріальна точка масою mпереміщається вздовж осі Охпід дією сили, наприклад стиснутої або розтиснутої пружини, закріпленої на початку координат, - точці Про(Рис. 5.10). Рівняння руху точки має вигляд
Помножимо обидві частини цього рівняння на , і, враховуючи, що 
, отримаємо
. (5.19)
У правій частині цієї рівності замінимо V xна і помножимо на dtправу та ліву частини. Тоді
. (5.20)
У цьому виді рівність має дуже наочний сенс: при зміщенні точки на dx, сила здійснює роботу , внаслідок чого змінюється величина кінетичної енергії точки, Що характеризує рух точки та, зокрема, модуль її швидкості. Якщо точка зміщується зі становища в , та її швидкість у своїй змінюється від до , то, інтегруючи (5.20), маємо
. (5.21)
Враховуючи що 
, остаточно знаходимо
. (5.22)
Зміна кінетичної енергії матеріальної точки при її будь-якому переміщенні дорівнює роботі сили, що діє на точку на тому ж переміщенні.
Проробляючи всі попередні процедури, отримаємо
,
тут – дуга, вздовж якої переміщується крапка (рис. 5.11).
5. 4. 2. Теорема про зміну кінетичної енергії системи
Нехай точки системи масою перемістилися так, що їх радіус-вектори інерційної системивідліку отримали приріст. Знайдемо, як змінилася кінетична енергія Тсистеми.
Згідно (5.11), кінетична енергія системи
.
Обчислимо диференціал кінетичної енергії системи та перетворюємо отриманий вираз
тут 
Приймаючи до уваги, що 
, де - прискорення точки а і - рівнодіючі зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до точки, перепишемо останню рівність у вигляді
Таким чином,
. (5.23)
Остання рівність висловлює теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференційній формі: диференціал кінетичної енергії системи дорівнює елементарній роботі всіх сил системи.
Окремий випадок. Для абсолютно твердого тіла сума робіт усіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю:
.
Отже, теорему про зміну кінетичної енергії (5.23) для твердого тіла можна записати як
Зміна кінетичної енергії твердого тіла при якомусь елементарному переміщенні дорівнює елементарній роботі зовнішніх сил, що діють на тіло.
Якщо обидві частини (5.24) проінтегрувати між двома положеннями – початковим та кінцевим, у яких відповідно кінетична енергія та , отримуємо
. (5.25)
Приклад 1. Диск масою m=5 кгі радіусом наводиться в рух постійною силою, прикладеною в точці А(Рис. 5.6). Диск котиться по шорсткій поверхні праворуч без ковзання. Визначити швидкість центру мас Зкотушки в момент, коли він переміститься на відстань , коефіцієнт тертя ковзання , радіус інерції диска
Рішення.Диск здійснює плоский рух. Запишемо теорему про зміну кінетичної енергії для твердого тіла
Обчислимо кінетичну енергію диска. У початковий час диск перебував у спокої, тобто. . Кінетична енергія в кінцевому положенні диска
Скалярна величина Т, рівна суміКінетична енергія всіх точок системи називається кінетичною енергією системи.
Кінетична енергія є характеристикою поступального та обертального руху системи. На її зміну впливає дія зовнішніх сил і оскільки вона є скаляром, то не залежить від напряму руху елементів системи.
Знайдемо кінетичну енергію за різних випадків руху:
1.Поступальний рух
Швидкості всіх точок системи дорівнюють швидкості центру мас. Тоді
Кінетична енергія системи за поступального руху дорівнює половині добутку маси системи на квадрат швидкості центру мас.
2. Обертальний рух(Мал. 77)
Швидкість будь-якої точки тіла: . Тоді
або використовуючи формулу (15.3.1):
Кінетична енергія тіла при обертанні дорівнює половині добутку моменту інерції тіла щодо осі обертання на квадрат його кутової швидкості.
3. Плоскопаралельний рух
При цьому русі кінетична енергія складається з енергії поступального та обертальних рухів
Загальний випадок руху дає формулу для обчислення кінетичної енергії, аналогічну останньої.
Визначення роботи та потужності ми зробили в параграфі 3 глави 14. Тут же ми розглянемо приклади обчислення роботи та потужності сил, що діють на механічну систему.
1.Робота сил тяжіння. Нехай координати початкового і кінцевого положення точки k тіла. Робота сили тяжіння чинних на цю частину ваги буде 
. Тоді повна робота:
де Р – вага системи матеріальних точок, – вертикальне переміщення центру тяжкості С.
2. Робота сил, прикладених до тіла, що обертається.
Відповідно до співвідношення (14.3.1) можна записати , але ds згідно з малюнком 74, в силу нескінченної дещиці можна подати у вигляді 
- нескінченно малий кут повороту тіла. Тоді
Величина 
називається крутним моментом.
Формулу (19.1.6) перепишемо як
Елементарна робота дорівнює добутку обертального моменту на елементарний поворот.
При повороті на кінцевий кут маємо:
Якщо обертальний момент постійний, то
а потужність визначимо із співвідношення (14.3.5)
як добуток крутного моменту на кутову швидкість тіла.
Теорема про зміну кінетичної енергії доведена для точки (§ 14.4) буде справедливою для будь-якої точки системи
Складаючи такі рівняння для всіх точок системи та складаючи їх почленно отримуємо:
або, згідно (19.1.1):
що є виразом теореми про кінетичну енергію системи в диференціальній формі.
Проінтегрувавши (19.2.2) отримуємо:
Теорему про зміну кінетичної енергії в кінцевому вигляді: зміна кінетичної енергії системи при деякому її кінцевому переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи зовнішніх і внутрішніх сил.
Наголосимо, що внутрішні сили не виключаються. Для незмінної системи сума робіт усіх внутрішніх сил дорівнює нулю та
Якщо зв'язки, накладені на систему, не змінюються з часом, то сили, як зовнішні так і внутрішні, можна розділити на активні реакції зв'язків, і рівняння (19.2.2) тепер можна записати:
У динаміці вводиться таке поняття як "ідеальна" механічна система. Це така система, наявність зв'язків у якої не впливає на зміну кінетичної енергії, тобто
Такі зв'язки, що не змінюються з часом і сума робіт яких на елементарному переміщенні дорівнює нулю, називаються ідеальними, і рівняння (19.2.5) запишеться:
Потенційною енергією матеріальної точки в даному положенні М називається скалярна величина П, рівна тій роботі, яку зроблять сили поля при переміщенні точки з положення М в нульове
П = А(мо) (19.3.1)
Потенційна енергія залежить від положення точки М, тобто її координат
П = П (х, у, z) (19.3.2)
Пояснимо тут, що силовим полем називається частина просторового обсягу, у кожній точці якого на частинку діє певна за модулем і напрямом сила, яка залежить від положення частки, тобто від координат х, у, z. Наприклад, поле тяжіння Землі.
Функція U від координат, диференціал якої дорівнює роботі, називається силовою функцією. Силове поле, для якого існує силова функція, називається потенційним силовим полем, а сили, що діють у цьому полі, - потенційними силами.
Нехай нульові точки двох силових функцій П(х,у,z) і U(x,y,z) збігаються.
За формулою (14.3.5) отримуємо, тобто. dA = dU(x,y,z) та
де U - значення силової функції у точці М. Звідси
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Потенційна енергія у будь-якій точці силового поля дорівнює значенню силової функції у цій точці, взятому зі зворотним знаком.
Тобто, при розгляді властивостей силового поля замість силової функції можна розглядати потенційну енергію та, зокрема, рівняння (19.3.3) перепишеться як
Робота потенційної сили дорівнює різниці значень потенційної енергії точки, що рухається в початковому і кінцевому положенні.
Зокрема робота сили тяжіння:
Нехай усі сили, що діють на систему, будуть потенційними. Тоді для кожної точки k системи робота дорівнює
Тоді для всіх сил як зовнішніх, так і внутрішніх буде
де – потенційна енергія всієї системи.
Підставляємо ці суми для кінетичної енергії (19.2.3):
або остаточно:
При русі під впливом потенційних сил сума кінетичної та потенційної енергії системи у кожному її становищі залишається величиною постійної. Це закон збереження механічної енергії.
Вантаж масою 1 кг здійснює вільні коливання згідно із законом х = 0,1sinl0t. Коефіцієнт жорсткості пружини = 100 Н/м. Визначити повну механічну енергію вантажу при х = 0,05м, якщо при х = 0 потенційна енергія дорівнює нулю 
. (0,5)
Вантаж масою m = 4 кг, опускаючись вниз, приводить за допомогою нитки обертання циліндр радіуса R = 0,4 м. Момент інерції циліндра щодо осі обертання I = 0,2 . Визначити кінетичну енергію системи тіл у момент часу, коли швидкість вантажу v = 2м/с 
. (10,5)
Кінетичною енергією матеріальної точки k називається скалярна величина, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості . Кінетичною енергією механічної системи називається арифметична сума кінетичних енергій усіх точок системи
. (3.35)
Знайдемо формули для обчислення кінетичної енергії тіл у різних випадках руху.
Поступальний рух. І тут швидкості всіх точок тіла однакові , де швидкість центру мас тіла.
Обертальний рух. Швидкість точки точки тіла, де відстань точки до осі обертання.
, (3.37)
де момент інерції тіла щодо осі обертання.
Плоский рух. З кінематики відомо, що плоский рух у певний час можна розглядати як миттєвий поворот тіла навколо осі, що проходить через миттєвий центр швидкостей.
В цьому випадку . Нехай точка – центр мас. За теоремою Гюйгенса-Штейнера (3.22): 
. Кінетична енергія тіла при плоскому русі
. (3.38)
Тут момент інерції тіла щодо центральної осі, швидкість центру мас, миттєва кутова швидкість, - маса тіла.
Доведемо теорему про зміну кінетичної енергії для матеріальної точки. Запишемо другий закон Ньютона у проекції на дотичну (3.5): .
Дотичне прискорення
. Отже, закон Ньютона набуде вигляду 
або 
, (3.39)
де елементарна робота сили на переміщенні точки. Елементарну роботу можна записати інакше:
· . (3.40)
Тут · скалярний добуток векторів, 
радіус-вектор точки .
Оскільки, то аналітичний вираз елементарної роботи сили:
Проінтегрувавши (3.39) у межах зміни змінних у точках і , знайдемо остаточно
. (3.42)
Це рівняння висловлює теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт доданих сил на тому самому переміщенні.
Для довільної точки механічної системи вираз (3.42) має вигляд: 
. Для всієї системи 
. Якщо позначити кінетичну енергію всієї системи у її початковому положенні
А в кінцевому положенні, то
. (3.43)
Рівняння (3.43) виражає теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії системи при деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи зовнішніх та внутрішніх сил.Зазначимо, що у загальному випадку сума робіт внутрішніх сил не дорівнює нулю. Для абсолютно твердого тіла, оскільки відстані між будь-якими точками тіла не змінюються.
Робота сили тяжіння. Нехай точка перемістилася під дією сили тяжіння зі становища положення (рис. 3.7). За формулою (3.41) знайдемо елементарну роботу сили: Повна робота сили на переміщенні буде 
або
 |
де - Висота, на яку опустилася точка. Таким чином, робота сили тяжіння позитивна, коли крапка опускається, і негативна, коли точка піднімається.
Робота сили пружності пружини. Нехай вантаж прикріплений до пружини жорсткості з(Рис. 3.8). Виберемо початок координати у положенні , у якому пружина не деформована (її довжина дорівнює l) і визначимо роботу сили пружності пружини при переміщенні її нижнього кінця з початкового положення в кінцеве положення . Нехай λ, λ початкова та кінцева деформації пружини. Відповідно до закону Гука. Проекції сили на осі координат: . Елементарна робота 
. Повна робота
- λ -λ )або = (λ -λ ). (3.45)
Робота сили пружності позитивна, якщо початкова деформація пружини λ більше кінцевої .
Робота сили тертя ковзання. Нехай тіло переміщається по похилій шорсткій площині з положення в положення. Чинна на тіло сила тертя , де нормальна реакція площини, - коефіцієнт тертя ковзання. Сила тертя спрямована протилежно до переміщення тіла, тому робота сили тертя негативна. Якщо вважати силу тертя під час постійної руху, то. Неважко помітити, що момент сили щодо осі обертання . Будемо називати величину крутний момент. Тоді елементарна робота. При повороті на кінцевий кут робота
, (3.47)
а у разі постійного моменту з (3.47) випливає .
Запитання для самоконтролю
