Системи линейни еднородни уравнения
Формулиране на проблема. Намерете някакъв базис и определете размерността на линейното пространство за решение на системата
План за решение.
1. Запишете матрицата на системата:
и с помощта на елементарни трансформации трансформираме матрицата в триъгълна форма, т.е. до такава форма, когато всички елементи под главния диагонал са равни на нула. Ранг на системната матрица равно на числотолинейно независими редове, т.е. в нашия случай броят на редовете, в които остават ненулеви елементи:
Размерът на пространството на решението е . Ако , тогава една хомогенна система има едно нулево решение, ако , тогава системата има безкраен брой решения.
2. Изберете основни и безплатни променливи. Свободните променливи се означават с . След това изразяваме основните променливи чрез свободни, като по този начин получаваме общо решение на хомогенната система линейни уравнения.
3. Записваме основата на пространството на решенията на системата, като последователно задаваме една от свободните променливи равна на единица, а останалите равни на нула. Размерността на пространството на линейното решение на системата е равна на броя на базисните вектори.
Забележка. Елементарните матрични трансформации включват:
1. умножаване (деление) на низ с ненулев фактор;
2. добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по произволно число;
3. пренареждане на редове;
4. трансформации 1–3 за колони (в случай на решаване на системи от линейни уравнения не се използват елементарни трансформации на колони).
Задача 3.Намерете някакъв базис и определете размерността на линейното пространство за решение на системата.
Изписваме матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до триъгълна форма:
Предполагаме тогава
Подмножество на линейно пространство образува подпространство, ако е затворено при добавяне на вектори и умножение по скалари.
Пример 6.1. Дали едно подпространство в една равнина образува набор от вектори, чиито краища лежат: а) в първата четвърт; б) на права, минаваща през началото? (началото на векторите лежи в началото на координатите)
Решение.
а) не, тъй като множеството не е затворено при умножение по скалар: когато се умножи по отрицателно число, краят на вектора попада в третата четвърт.
б) да, тъй като при събиране на вектори и умножаването им по произволно число краищата им остават на една и съща права линия.
Упражнение 6.1. Дали следните подмножества на съответните линейни пространства образуват подпространство:
а) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат в първата или третата четвърт;
б) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат на права линия, която не минава през началото;
в) набор от координатни линии ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0);
г) набор от координатни прави ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 1);
д) набор от координатни линии ((x 1, x 2, x 3) x 1 = x 2 2).
Размерността на линейно пространство L е броят dim L на векторите, включени във всяка негова основа.
Размерите на сумата и пресечната точка на подпространствата са свързани с релацията
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U V).
Пример 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:
РЕШЕНИЕ: Всеки векторни системи, генериращо подпространствата U и V, е линейно независимо, което означава, че е основа на съответното подпространство. Нека изградим матрица от координатите на тези вектори, като ги подредим в колони и разделим една система от друга с линия. Нека редуцираме получената матрица до стъпаловидна форма.
~
~
~
.
Базисът U + V се образува от векторите 
,
,
, на които отговарят водещите елементи в матрицата на стъпките. Следователно dim (U + V) = 3. Тогава
дим (UV) = дим U + дим V – дим (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
Пресечната точка на подпространствата образува набор от вектори, които удовлетворяват уравнението (стоящи от лявата и дясната страна на това уравнение). Получаваме базата на пресичане, използвайки фундаменталната система от решения на системата от линейни уравнения, съответстващи на това векторно уравнение. Матрицата на тази система вече е сведена до стъпаловидна форма. Въз основа на това заключаваме, че y 2 е свободна променлива и задаваме y 2 = c. Тогава 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. и пресичането на подпространства образува набор от вектори на формата 
= c (3, 6, 3, 4). Следователно базисът UV образува вектора (3, 6, 3, 4).
Бележки. 1. Ако продължим да решаваме системата, намирайки стойностите на променливите x, получаваме x 2 = c, x 1 = c, а от лявата страна на векторното уравнение получаваме вектор 
, равно на полученото по-горе.
2. Използвайки посочения метод, можете да получите основата на сумата, независимо дали генериращите системи от вектори са линейно независими. Но базата на пресичане ще бъде получена правилно само ако поне системата, генерираща второто подпространство, е линейно независима.
3. Ако се установи, че размерността на пресичането е 0, то пресичането няма основа и няма нужда да се търси.
Упражнение 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:
а) 
б) 
Линейното пространство V се нарича n-мерен, ако в нея има система от n линейно независими вектора и всяка система от повече вектори е линейно зависима. Числото n се нарича измерение (брой измерения)линейно пространство V и се обозначава \име на оператора(dim)V. С други думи, размерността на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори на това пространство. Ако такова число съществува, тогава пространството се нарича крайномерно. Ако за някой естествено число n в пространството V има система, състояща се от n линейно независими вектора, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (напишете: \име на оператора(dim)V=\infty). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.
ОсноваЕдно n-мерно линейно пространство е подредена колекция от n линейно независими вектора ( базисни вектори).
Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основата на n-мерно линейно пространство V, тогава всеки вектор \mathbf(v)\in V може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
и освен това по единствения начин, т.е. коефициенти \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nсе определят еднозначно.С други думи, всеки вектор на пространството може да бъде разширен в основа и освен това по уникален начин.
Действително, размерността на пространството V е равна на n. Векторна система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nлинейно независим (това е базис). След добавяне на произволен вектор \mathbf(v) към основата, получаваме линейно зависима система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(тъй като тази система се състои от (n+1) вектора на n-мерното пространство). Използвайки свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора, получаваме заключението на теоремата.
Следствие 1. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основата на пространството V, тогава V=\име на оператор(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), т.е. линейното пространство е линейният обхват на базисните вектори.
Всъщност, за да се докаже равенството V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)два комплекта, достатъчно е да се покаже, че включванията V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)и се изпълняват едновременно. Наистина, от една страна, всяка линейна комбинация от вектори в линейно пространство принадлежи на самото линейно пространство, т.е. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\подмножество V. От друга страна, съгласно теорема 8.1 всеки вектор на пространството може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори, т.е. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Това предполага равенство на разглежданите множества.
Следствие 2. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- линейно независима система от вектори на линейно пространство V и всеки вектор \mathbf(v)\in V може да бъде представен като линейна комбинация (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, то пространството V има размерност n, а системата \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nе нейната основа.
Наистина, в пространството V има система от n линейно независими вектора и произволна система \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nна по-голям брой вектори (k>n) е линейно зависим, тъй като всеки вектор от тази система е линейно изразен чрез вектори \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. означава, \име на оператора(dim) V=nИ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- основа V.
Теорема 8.2 за добавяне на система от вектори към базис. Всяка линейно независима система от k вектора на n-мерно линейно пространство (1\leqslant k Наистина, нека е линейно независима система от вектори в n-мерното пространство V~(1\leqslant k Бележки 8.4 1. Основата на линейното пространство се определя нееднозначно. Например ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nе основата на пространството V, тогава системата от вектори \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nза всяко \lambda\ne0 също е основа на V . Броят на базисните вектори в различни бази на едно и също крайномерно пространство е, разбира се, еднакъв, тъй като това число е равно на размерността на пространството. 2. В някои пространства, често срещани в приложенията, една от възможните основи, най-удобна от практическа гледна точка, се нарича стандартна. 3. Теорема 8.1 ни позволява да кажем, че базисът е пълна система от елементи на линейно пространство, в смисъл, че всеки вектор на пространството е линейно изразен чрез базисни вектори. 4. Ако наборът \mathbb(L) е линеен участък \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), след това векторите \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kсе наричат генератори на множеството \mathbb(L) . Следствие 1 от теорема 8.1 поради равенството V=\име на оператор(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)ни позволява да кажем, че основата е минимална генераторна системалинейно пространство V, тъй като е невъзможно да се намали броят на генераторите (премахнете поне един вектор от набора \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) без да се нарушава равенството V=\име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Теорема 8.2 ни позволява да кажем, че основата е максимална линейно независима система от векторилинейно пространство, тъй като основата е линейно независима система от вектори и не може да бъде допълнена с никакъв вектор, без да се загуби линейна независимост. 6. Следствие 2 от теорема 8.1 е удобно да се използва за намиране на базис и размерност на линейно пространство. В някои учебници се приема, че се определя основата, а именно: линейно независима система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nна вектори на линейно пространство се нарича базис, ако всеки вектор на пространството е линейно изразен чрез вектори \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Броят на базисните вектори определя размерността на пространството. Разбира се, тези определения са еквивалентни на тези, дадени по-горе. Нека посочим измерението и основата за примерите за линейни пространства, обсъдени по-горе. 1. Нулевото линейно пространство \(\mathbf(o)\) не съдържа линейно независими вектори. Следователно измерението на това пространство се приема за нула: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Това пространство няма основание. 2. Пространствата V_1,\,V_2,\,V_3 имат размерности съответно 1, 2, 3. Наистина, всеки ненулев вектор от пространството V_1 образува линейно независима система (вижте точка 1 от Забележки 8.2), а всеки два ненулеви вектора от пространството V_1 са колинеарни, т.е. линейно зависими (вижте пример 8.1). Следователно \dim(V_1)=1 и основата на пространството V_1 е всеки ненулев вектор. По подобен начин се доказва, че \dim(V_2)=2 и \dim(V_3)=3 . Базата на пространството V_2 е всеки два неколинеарни вектора, взети в определен ред (единият от тях се счита за първи базисен вектор, другият - за втори). Основата на пространството V_3 е всеки три некомпланарни (нележащи в една и съща или успоредни равнини) вектора, взети в определен ред. Стандартната основа във V_1 е единичният вектор \vec(i) на линията. Стандартната основа във V_2 е основата \vec(i),\,\vec(j), състоящ се от два взаимно перпендикулярни единични вектора на равнината. Стандартната основа в пространство V_3 се счита за основа \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), съставен от три единични вектора, перпендикулярни по двойки, образуващи дясна тройка. 3. Пространството \mathbb(R)^n съдържа не повече от n линейно независими вектора. Всъщност, нека вземем k колони от \mathbb(R)^n и съставим матрица с размери n\пъти k от тях. Ако k>n, тогава колоните са линейно зависими от теорема 3.4 от ранга на матрицата. следователно \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. В пространството \mathbb(R)^n не е трудно да се намерят n линейно независими колони. Например колоните на матрицата за идентичност \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. линейно независими. следователно \dim(\mathbb(R)^n)=n. Извиква се пространството \mathbb(R)^n n-мерно реално аритметично пространство. Посоченият набор от вектори се счита за стандартен базис на пространството \mathbb(R)^n. По същия начин е доказано, че \dim(\mathbb(C)^n)=n, следователно пространството \mathbb(C)^n се извиква n-мерно комплексно аритметично пространство. 4. Припомнете си, че всяко решение на хомогенната система Ax=o може да бъде представено във формата x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Където r=\име на оператор(rg)A,а \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- фундаментална система от решения. следователно \(Ax=o\)=\име на оператор(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), т.е. основата на пространството \(Ax=0\) от решения на хомогенна система е нейната фундаментална система от решения, а размерността на пространството \dim\(Ax=o\)=n-r, където n е броят на неизвестните , а r е рангът на системната матрица. 5. В пространството M_(2\times3) от матрици с размер 2\times3 можете да изберете 6 матрици: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) равна на нулевата матрица само в тривиалния случай \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. След като прочетем равенството (8.5) отдясно наляво, заключаваме, че всяка матрица от M_(2\times3) се изразява линейно чрез избраните 6 матрици, т.е. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). следователно \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, и матриците \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6са основа (стандарт) на това пространство. По същия начин е доказано, че \dim(M_(m\пъти n))=m\cdot n. 6. За всяко естествено число n в пространството P(\mathbb(C)) от полиноми с комплексни коефициенти могат да бъдат намерени n линейно независими елемента. Например полиноми \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)са линейно независими, тъй като тяхната линейна комбинация a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) равно на нулевия полином (o(z)\equiv0) само в тривиалния случай a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Тъй като тази система от полиноми е линейно независима за всяко естествено число l, пространството P(\mathbb(C)) е безкрайномерно. По подобен начин заключаваме, че пространството P(\mathbb(R)) от полиноми с реални коефициенти има безкрайно измерение. Пространството P_n(\mathbb(R)) от полиноми със степен не по-висока от n е крайномерно. Наистина, векторите \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nобразуват (стандартна) основа на това пространство, тъй като те са линейно независими и всеки полином от P_n(\mathbb(R)) може да бъде представен като линейна комбинация от тези вектори: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Примери за основи на линейни пространства
които са линейно независими. Всъщност тяхната линейна комбинация
7. Пространството C(\mathbb(R)) от непрекъснати функции е безкрайномерно. Наистина, за всяко естествено число n полиномите 1,x,x^2,\lточки, x^(n-1), разглеждани като непрекъснати функции, образуват линейно независими системи (вижте предишния пример).
В космоса T_(\omega)(\mathbb(R))тригонометрични биноми (с честота \omega\ne0 ) с основа на реални коефициенти образуват мономи \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Те са линейно независими, тъй като идентичното равенство a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0възможно само в тривиалния случай (a=b=0) . Всяка функция на формата f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tлинейно изразени чрез основните: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Пространството \mathbb(R)^X на реални функции, дефинирани върху множеството X, в зависимост от областта на дефиниране на X, може да бъде крайномерно или безкрайномерно. Ако X е крайно множество, тогава пространството \mathbb(R)^X е крайномерно (например, X=\(1,2,\lточки,n\)). Ако X е безкрайно множество, тогава пространството \mathbb(R)^X е безкрайномерно (например пространството \mathbb(R)^N от последователности).
9. В пространството \mathbb(R)^(+) за основа може да служи всяко положително число \mathbf(e)_1, което не е равно на единица. Да вземем например числото \mathbf(e)_1=2 . Всяко положително число r може да бъде изразено чрез \mathbf(e)_1 , т.е. представят във формата \alpha\cdot \mathbf(e)_1\колония r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, където \alpha_1=\log_2r . Следователно измерението на това пространство е 1, а числото \mathbf(e)_1=2 е основата.
10. Нека \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основата на реалното линейно пространство V. Нека дефинираме линейни скаларни функции върху V, като зададем:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
В този случай, поради линейността на функцията \mathcal(E)_i, за произволен вектор получаваме \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
И така, дефинирани са n елемента (ковектори). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nспрегнато пространство V^(\ast) . Нека докажем това \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- основа V^(\ast) .
Първо, показваме, че системата \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nлинейно независими. Наистина, нека вземем линейна комбинация от тези ковектори (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=и го приравняваме към нулевата функция
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\колон~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\във V.
Замествайки в това равенство \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, получаваме \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Следователно системата от елементи \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nпространството V^(\ast) е линейно независимо, тъй като равенството \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)възможно само в тривиален случай.
Второ, доказваме, че всяка линейна функция f\in V^(\ast) може да бъде представена като линейна комбинация от ковектори \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Всъщност за всеки вектор \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nпоради линейността на функцията f получаваме:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(подравнено)
тези. функция f е представена като линейна комбинация f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nфункции \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(числа \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- линейни комбинирани коефициенти). Следователно ковекторната система \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nе основа на дуалното пространство V^(\ast) и \dim(V^(\ast))=\dim(V)(за крайномерно пространство V ).
Ако забележите грешка, печатна грешка или имате някакви предложения, пишете в коментарите.
1. Нека подпространство Л = Л(А 1 , А 2 , …, и м) , това е Л– линейна обвивка на системата А 1 , А 2 , …, и м; вектори А 1 , А 2 , …, и м– системата от генератори на това подпространство. След това основата Ле в основата на системата от вектори А 1 , А 2 , …, и м, тоест основата на системата от генератори. Измерение Лравен на ранга на системата от генератори.
2. Нека подпространство Ле сумата от подпространствата Л 1 и Л 2. Система за генериране на подпространства за сума може да се получи чрез комбиниране на системи за генериране на подпространства, след което се намира основата на сумата. Размерът на сумата се определя по следната формула:
дим(Л 1 + Л 2) = dimL 1 + dimL 2 – дим(Л 1 Ç Л 2).
3. Нека сумата от подпространствата Л 1 и Л 2 е прав, т.е Л = Л 1 Å Л 2. При което Л 1 Ç Л 2 = {О) И дим(Л 1 Ç Л 2) = 0. Основата на пряката сума е равна на обединението на основите на членовете. Размерността на пряката сума е равна на сумата от размерностите на членовете.
4. Нека дадем важен пример за подпространство и линейно многообразие.
Помислете за хомогенна система млинейни уравнения с ннеизвестен. Много решения М 0 на тази система е подмножество на множеството Rnи е затворен при събиране на вектори и умножение с реално число. Това означава, че има много М 0 – подпространство на пространството Rn. Основата на подпространството е фундаменталното множество от решения на хомогенна система; размерността на подпространството е равна на броя на векторите във фундаменталното множество от решения на системата.
Няколко Мобщи системни решения млинейни уравнения с ннеизвестни също е подмножество на множеството Rnи равна на сбора от множеството М 0 и вектор А, Където Ае някакво конкретно решение на оригиналната система и комплекта М 0 - набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения, придружаващи тази система (различава се от оригинала само по свободни условия),
М = А + М 0 = {А = м, м Î М 0 }.
Това означава, че много Ме линейно многообразие на пространството Rnс изместващ вектор Аи посока М 0 .
Пример 8.6.Намерете основата и размерността на подпространството, дефинирано от хомогенна система от линейни уравнения:
Решение. Нека намерим общо решение на тази система и нейния основен набор от решения: 
с 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), с 2 = (12, –8, 0, 1, 0), с 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Основата на подпространството се формира от вектори с 1 , с 2 , с 3, измерението му е три.
Край на работата -
Тази тема принадлежи към раздела:
Линейна алгебра
Костромски държавен университет на името на Н. Некрасов..
Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:
Какво ще правим с получения материал:
Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:
| Tweet |
Всички теми в този раздел:
ББК 22.174я73-5
M350 Публикувано с решение на редакционно-издателския съвет на KSU на името на. Н. А. Некрасова Рецензент А. В. Чередников
ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина 2013 ã КСУ на името на. Н. А. Некрасова, 2013
съюз (или сума)
Определение 1.9 Обединението на множества A и B е множество A È B, състоящо се от тези и само онези елементи, които принадлежат, въпреки че
Пресечна точка (или продукт)
Определение 1.10. Пресечната точка на множества A и B е множество A Ç B, което се състои от тези и само тези елементи, принадлежащи на едно и също
Разлика
Определение 1.11 Разликата между множествата A и B е множеството A B, състоящо се от тези и само тези елементи, които принадлежат на множество A
Декартово произведение (или директно произведение)
Определение 1.14. Подредена двойка (или двойка) (a, b) са два елемента a, b, взети в определен ред. Двойки (a1
Свойства на операциите с множество
Свойствата на операциите обединение, пресичане и допълнение понякога се наричат закони на алгебрата на множествата. Нека изброим основните свойства на операциите върху множества. Нека е дадено универсално множество U
Метод на математическата индукция
Методът на математическата индукция се използва за доказване на твърдения, във формулирането на които участва естественият параметър n. Метод на математическата индукция - метод за доказване на математиката
Комплексни числа
Концепцията за число е едно от основните постижения на човешката култура. Първо се появиха естествени числа N = (1, 2, 3, …, n, …), след това цели Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), рационално Q
Геометрична интерпретация на комплексни числа
Известно е, че отрицателните числа са въведени във връзка с решаването на линейни уравнения в една променлива. В конкретни задачи отрицателният отговор се интерпретира като стойност на насочената величина (
Тригонометрична форма на комплексно число
Векторът може да бъде зададен не само чрез координати в правоъгълна координатна система, но и чрез дължина и
Операции с комплексни числа в тригонометрична форма
По-удобно е да се извършва събиране и изваждане с комплексни числа в алгебрична форма, а умножение и деление в тригонометрична форма. 1. Умножения Нека са дадени две k
степенуване
Ако z = r(cosj + i×sinj), тогава zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), където n Î
Експоненциална форма на комплексно число
От математическия анализ е известно, че e = , e е ирационално число. Ейл
Концепция за връзка
Определение 2.1. n-арно (или n-арно) отношение P върху множествата A1, A2, …, An е всяко подмножество
Свойства на бинарните отношения
Нека двоично отношение P е дефинирано върху непразно множество A, т.е. P Í A2. Определение 2.9.Двоично отношение P върху множество
Отношение на еквивалентност
Определение 2.15. Бинарна релация върху множество A се нарича релация на еквивалентност, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Съотношение еквивалент
Функции
Определение 2.20 Бинарна релация ƒ Í A ´ B се нарича функция от множество A към множество B, ако за всяко x
Общи понятия
Определение 3.1. Матрицата е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m реда и n колони. Числата m и n се наричат ред (или
Събиране на матрици от същия тип
Могат да се добавят само матрици от един и същи тип. Определение 3.12. Сумата от две матрици A = (aij) и B = (bij), където i = 1,
Свойства на матричното събиране
1) комутативност: "A, B: A + B = B + A; 2) асоциативност: "A, B, C: (A + B) + C = A
Умножение на матрица по число
Определение 3.13. Произведението на матрица A = (aij) с реално число k е матрица C = (сij), за която
Свойства на умножение на матрица по число
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
Матрично умножение
Нека дефинираме умножението на две матрици; За да направите това, е необходимо да въведете някои допълнителни понятия. Определение 3.14. Матриците A и B се наричат последователни
Свойства на матрично умножение
1) Матричното умножение не е комутативно: A×B ≠ B×A. Това свойство може да се демонстрира с примери. Пример 3.6. а)
Транспониране на матрици
Определение 3.16. Матрицата At, получена от дадена чрез замяна на всеки от нейните редове с колона със същия номер, се нарича транспонирана към дадената матрица A
Детерминанти на матрици от втори и трети ред
Всяка квадратна матрица A от ред n е свързана с число, което се нарича детерминанта на тази матрица. Обозначение: D, |A|, det A,
Определение 4.6.
1. За n = 1 матрицата A се състои от едно число: |A| = a11. 2. Нека е известна детерминантата на матрица от ред (n – 1). 3. Дефинирайте
Свойства на детерминантите
За да се изчислят детерминанти от порядъци, по-големи от 3, се използват свойствата на детерминантите и теоремата на Лаплас. Теорема 4.1 (Лаплас). Детерминанта на квадратна матрица
Практическо изчисляване на детерминанти
Един от начините да се изчислят детерминанти от порядък над три е да се разшири върху някаква колона или ред. Пример 4.4.Изчислете детерминантата D =
Концепцията за ранг на матрицата
Нека A е матрица с размерност m ´ n. Нека изберем произволно k реда и k колони в тази матрица, където 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Намиране на ранга на матрица с помощта на метода на граничещите минори
Един от методите за намиране на ранга на матрица е методът за изброяване на непълнолетни. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата. Същността на метода е следната. Ако има поне един елемент ma
Намиране на ранга на матрица чрез елементарни трансформации
Нека разгледаме друг начин за намиране на ранга на матрица. Определение 5.4. Следните трансформации се наричат елементарни матрични трансформации: 1. умножаване
Концепцията за обратна матрица и методи за нейното намиране
Нека е дадена квадратна матрица A. Определение 5.7. Матрица A–1 се нарича обратна на матрица A, ако A×A–1
Алгоритъм за намиране на обратната матрица
Нека разгледаме един от начините за намиране на обратната матрица на дадена с помощта на алгебрични добавки. Нека е дадена квадратна матрица A. 1. Намерете детерминантата на матрицата |A|. ЕС
Намиране на обратната матрица чрез елементарни трансформации
Нека разгледаме друг начин за намиране на обратната матрица с помощта на елементарни трансформации. Нека формулираме необходимите понятия и теореми. Дефиниция 5.11 Матрица по име
Метод на Крамер
Нека разгледаме система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, т.е. m = n и системата има формата:
Метод на обратната матрица
Методът на обратната матрица е приложим за системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и детерминантата на основната матрица не е равна на нула. Матрична форма на системна нотация
Метод на Гаус
За да се опише този метод, който е подходящ за решаване на произволни системи от линейни уравнения, са необходими някои нови концепции. Определение 6.7. Уравнение от формата 0×
Описание на метода на Гаус
Методът на Гаус - метод за последователно елиминиране на неизвестни - се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации първоначалната система се редуцира до еквивалентна система от стъпкови или t
Изучаване на система от линейни уравнения
Да се изследва система от линейни уравнения означава, без да се решава системата, да се отговори на въпроса: системата последователна или не и ако е последователна, колко решения има? Отговорете на това в
Хомогенни системи линейни уравнения
Определение 6.11 Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако нейните свободни членове са равни на нула. Хомогенна система от m линейни уравнения
Свойства на решенията на хомогенна система от линейни уравнения
1. Ако вектор a = (a1, a2, …, an) е решение на хомогенна система, тогава вектор k×a = (k×a1, k&t
Фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения
Нека M0 е множеството от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения. Определение 6.12 Вектори c1, c2, ..., c
Линейна зависимост и независимост на система от вектори
Нека a1, a2, …, аm е набор от m n-мерни вектора, който обикновено се нарича система от вектори, и k1
Свойства на линейна зависимост на система от вектори
1) Системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима. 2) Система от вектори е линейно зависима, ако някоя от нейните подсистеми е линейно зависима. Последица. Ако си
Система на единични вектори
Определение 7.13. Система от единични вектори в пространството Rn е система от вектори e1, e2, …, en
Две теореми за линейната зависимост
Теорема 7.1. Ако една по-голяма система от вектори е линейно изразена чрез по-малка, тогава по-голямата система е линейно зависима. Нека формулираме тази теорема по-подробно: нека a1
Основа и ранг на векторната система
Нека S е система от вектори в пространството Rn; може да бъде ограничен или безкраен. S" е подсистема на системата S, S" Ì S. Нека дадем две
Векторен системен ранг
Нека дадем две еквивалентни определения за ранга на система от вектори. Определение 7.16. Рангът на система от вектори е броят на векторите във всеки базис на тази система.
Практическо определяне на ранга и базиса на система от вектори
От тази система от вектори съставяме матрица, като подреждаме векторите като редове на тази матрица. Редуцираме матрицата до форма на ешелон, като използваме елементарни трансформации върху редовете на тази матрица. При
Дефиниция на векторно пространство над произволно поле
Нека P е произволно поле. Примери за познати ни полета са полето на рационалните, реалните и комплексните числа. Определение 8.1. Наборът V се извиква
Най-простите свойства на векторните пространства
1) o – нулев вектор (елемент), еднозначно дефиниран в произволно векторно пространство над полето. 2) За всеки вектор a О V има уникален
Подпространства. Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L М V (L е подмножество на V). Определение 8.2. Подмножество L на вектор pro
Пресечна точка и сума на подпространства
Нека V е векторно пространство над полето P, L1 и L2 неговите подпространства. Определение 8.3. Чрез преминаване на подкуест
Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L е подпространство, a е произволен вектор от пространството V. Определение 8.6 Линейно многообразие
Крайномерни векторни пространства
Определение 8.7 Векторно пространство V се нарича n-мерно, ако съдържа линейно независима система от вектори, състояща се от n вектора, и за
Базис на крайномерно векторно пространство
V е крайномерно векторно пространство над полето P, S е система от вектори (крайна или безкрайна). Определение 8.10. Основата на системата S
Векторни координати спрямо дадена основа
Да разгледаме крайномерно векторно пространство V с размерност n, като векторите e1, e2, …, en образуват неговата основа. Нека бъде продукт
Векторни координати в различни бази
Нека V е n-мерно векторно пространство, в което са дадени две бази: e1, e2, …, en – стара база, e"1, e
Евклидови векторни пространства
Дадено е векторно пространство V над полето от реални числа. Това пространство може да бъде или крайномерно векторно пространство с размерност n, или безкрайномерно
Точково произведение в координати
В евклидовото векторно пространство V с размерност n е даден базисът e1, e2, …, en. Векторите x и y се разлагат на вектори
Метрични понятия
В евклидовите векторни пространства от въведеното скаларно произведение можем да преминем към понятията векторна норма и ъгъл между векторите. Определение 8.16. норма (
Свойства на нормата
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||ла|| = |l|×||a||, защото ||la|| =
Ортонормална основа на евклидовото векторно пространство
Определение 8.21. Базис на евклидово векторно пространство се нарича ортогонален, ако базисните вектори са по двойки ортогонални, т.е. ако a1, a
Процес на ортогонализиране
Теорема 8.12. Във всяко n-мерно евклидово пространство има ортонормална основа. Доказателство. Нека a1, a2
Точково произведение в ортонормална основа
Дадена е ортонормална база e1, e2, …, en на евклидовото пространство V. Тъй като (ei, ej) = 0 за i
Ортогонално допълнение на подпространството
V е евклидово векторно пространство, L е неговото подпространство. Определение 8.23. Казва се, че вектор a е ортогонален на подпространството L, ако векторът
Връзка между координатите на вектор и координатите на неговия образ
Линеен оператор j е даден в пространството V и неговата матрица M(j) се намира в някакъв базис e1, e2, …, en. Нека това е основата
Подобни матрици
Нека разгледаме множеството Рn´n от квадратни матрици от ред n с елементи от произволно поле P. Върху това множество въвеждаме отношението
Свойства на отношенията на подобие на матрици
1. Рефлексивност. Всяка матрица е подобна на себе си, т.е. A ~ A. 2. Симетрия. Ако матрица A е подобна на B, тогава B е подобна на A, т.е.
Свойства на собствените вектори
1. Всеки собствен вектор принадлежи само на една собствена стойност. Доказателство. Нека x е собствен вектор с две собствени стойности
Характеристичен полином на матрица
Дадена е матрица A О Рn´n (или A О Rn´n). Дефинирайте
Условия, при които една матрица е подобна на диагонална матрица
Нека A е квадратна матрица. Можем да приемем, че това е матрица на някакъв линеен оператор, дефиниран в някакъв базис. Известно е, че в друга основа матрицата на линейния оператор
Йордан нормална форма
Определение 10.5. Йорданова клетка от ред k, свързана с числото l0, е матрица от ред k, 1 ≤ k ≤ n,
Редуциране на матрица до Йорданова (нормална) форма
Теорема 10.3. Йордановата нормална форма се определя еднозначно за матрица до реда на подреждане на йорданови клетки по главния диагонал. и т.н
Билинейни форми
Определение 11.1. Билинейна форма е функция (картографиране) f: V ´ V ® R (или C), където V е произволен вектор
Свойства на билинейните форми
Всяка билинейна форма може да бъде представена като сбор от симетрични и косо-симетрични форми. С избраната основа e1, e2, …, en във вектор
Трансформация на матрица с билинейна форма при преминаване към нов базис. Ранг на билинейна форма
Нека две основи e = (e1, e2, …, en) и f = (f1, f2,
Квадратни форми
Нека A(x, y) е симетрична билинейна форма, дефинирана във векторното пространство V. Дефиниция 11.6 Квадратна форма
Намаляване на квадратна форма до канонична форма
Дадена е квадратичната форма (2) A(x, x) = , където x = (x1
Закон за инерцията на квадратичните форми
Установено е, че броят на ненулевите канонични коефициенти на квадратична форма е равен на нейния ранг и не зависи от избора на неизродена трансформация, с помощта на която формата A(x
Необходимо и достатъчно условие за признак на квадратна форма
Твърдение 11.1. За да бъде знакоопределена квадратичната форма A(x, x), дефинирана в n-мерното векторно пространство V, е необходимо да
Необходимо и достатъчно условие за квазиредуваща се квадратична форма
Твърдение 11.3. За да може квадратичната форма A(x, x), дефинирана в n-мерното векторно пространство V, да бъде квазизнаково редуваща се (т.е.
Критерий на Силвестър за определен знак на квадратична форма
Нека формата A(x, x) в основата e = (e1, e2, …, en) се определя от матрицата A(e) = (aij)
Заключение
Линейната алгебра е задължителна част от всяка програма по висша математика. Всеки друг раздел предполага наличието на знания, умения и способности, развити по време на обучението по тази дисциплина
Библиография
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейна алгебра с елементи на аналитичната геометрия. – М.: Издателство HSE, 2007. Беклемишев Д.В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра.
Линейна алгебра
Учебно-методическо ръководство Редактор и коректор Г. Д. Неганова Компютърен набор от Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина
Според определението за линейно пространство, така че Абеше подпространство, в което е необходимо да се провери осъществимостта Аоперации:
1) : 
;
2) 
: 
;
и проверете дали операциите са влезли Аса предмет на осем аксиоми. Последното обаче ще бъде излишно (поради факта, че тези аксиоми важат в L), т.е. вярно е следното
Теорема.Нека L е линейно пространство над поле P и 
. Множество A е подпространство на L тогава и само ако са изпълнени следните изисквания:
Изявление.Ако Л – н-мерно линейно пространство и Анеговото подпространство, тогава Асъщо е крайномерно линейно пространство и неговата размерност не надвишава н.
П 
пример 1.
Подпространство на пространството от сегментни вектори V 2 е множеството S от всички равнинни вектори, всеки от които лежи на една от координатните оси 0x или 0y?
Решение: Позволявам 
, 
И 
, 
. Тогава 
. Следователно S не е подпространство 
.
Пример 2.Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 има много равнинни сегментни вектори Свсички равнинни вектори, чиито начало и край лежат на дадена права лтози самолет?
Решение.
д 
sli вектор 
умножете по реално число к, тогава получаваме вектора 
, също принадлежащи на С. Иф 
И 
са два вектора от S, тогава 
(според правилото за добавяне на вектори върху права линия). Следователно S е подпространство 
.
Пример 3.Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 няколко Авсички равнинни вектори, чиито краища лежат на дадена права л, (да приемем, че началото на всеки вектор съвпада с началото на координатите)?
Р 
решение.
В случай, когато правата линия лмножеството не минава през началото Алинейно подпространство на пространството V 2
не е, защото 
.
В случай, когато правата линия л
минава през началото, множеството Ае линейно подпространство на пространството V 2
,
защото 
и при умножаване на всеки вектор 
до реално число α
от полето Рполучаваме 
. По този начин изискванията за линейно пространство за набор Азавършен.
Пример 4.Нека е дадена система от вектори 
от линейното пространство Лнад полето П. Докажете, че множеството от всички възможни линейни комбинации 
с коефициенти 
от Пе подпространство Л(това е подпространство Асе нарича подпространството, генерирано от система от вектори или линейна обвивка тази векторна системаи се обозначава по следния начин: 
или 
).
Решение. Наистина, тъй като , Тогава за всякакви елементи х,
г
Ание имаме: 
, 
, Където 
, 
. Тогава
От тогава 
, Ето защо 
.
Нека проверим дали второто условие на теоремата е изпълнено. Ако х– всеки вектор от АИ T– произволен номер от П, Че . Тъй като 
И 
,, Че 
, , Ето защо 
. Така, според теоремата, множеството А– подпространство на линейното пространство Л.
За крайномерните линейни пространства обратното също е вярно.
Теорема.Всяко подпространство Алинейно пространство Лнад полето 
е линейният обхват на някаква система от вектори.
При решаването на задачата за намиране на основата и размерите на линейна обвивка се използва следната теорема.
Теорема.Основа на линейна обвивка 
съвпада с основата на векторната система. Размерността на линейната обвивка съвпада с ранга на системата от вектори.
Пример 4.Намерете основата и размерността на подпространството 
линейно пространство Р 3
[
х]
, Ако 
, 
, 
, 
.
Решение. Известно е, че векторите и техните координатни редове (колони) имат еднакви свойства (по отношение на линейната зависимост). Изработване на матрица А=
от координатни колони от вектори 
в основата 
.
Нека намерим ранга на матрицата А.
. М 3
=
. 
.
Следователно ранг r(А)=
3. И така, рангът на системата от вектори е 3. Това означава, че размерността на подпространството S е 3, а основата му се състои от три вектора 
(тъй като в основния минор 
са включени координатите само на тези вектори).
Пример 5.Докажете, че множеството заритметични пространствени вектори 
, чиято първа и последна координати са 0, съставлява линейно подпространство. Намерете неговата основа и измерение.
Решение. Позволявам 
.
След това и . следователно 
за всякакви. Ако 
, 
, Че . Така, съгласно теоремата за линейното подпространство, множеството зе линейно подпространство на пространството. Да намерим основата з. Разгледайте следните вектори от з: 
, 
, . Тази система от вектори е линейно независима. Наистина, нека бъде.
