Приложение б. числени експерименти върху хаоса. Генератори на хаос на plis Нелинеен модел на химична реакция Реслеров атрактор

1

Статията е посветена на приложението на метода за аналитично проектиране на агрегирани контролери за разработване на закони за управление за типични нелинейни динамични системи с хаотична динамика, които осигуряват стабилизиране на равновесните състояния в такива системи. Статията представя решение на един от характерните проблеми на антихаотичното управление, а именно проблема за потискане на апериодичните трептения в такива системи. Разработени са синергични закони за управление за хаотичните модели на Лоренц и Реслер, които осигуряват стабилизиране на фазовите променливи в тези модели. Въвеждането на синтезирана обратна връзка води до възникване на равновесно състояние в системите. Извършена е компютърна симулация на синтезираните затворени динамични системи, което потвърждава теоретичните положения на теорията на синергетичното управление. Синтезираните закони за управление могат да се използват в различни технически приложения с цел повишаване на ефективността на тяхното функциониране.

Модел на Лоренц

Модел на Реслер

динамична система

контрол

синергия

Обратна връзка

собствени трептения

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Лекции по нелинейна динамика // Известия Vysshikh образователни институции. Приложна нелинейна динамика. - 2010. - Т. 18. - No 3. - С. 186–191.

2. Колесников A.A. Приложна синергетика: Основи на системния синтез. - Таганрог: Издателство на TTI SFU, 2007. - 384 с.

3. Колесников A.A. Синергична теория за управление. – М.: Енергоатомиздат, 1994. – 344 с.

4. Малинецки Г.Г. хаос. структури. Изчислителен експеримент: Въведение в нелинейната динамика. – М.: Редакция УРСС, 2002. – 255 с.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастични и хаотични трептения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.

6. Съвременна приложна теория на управлението. Част II: Синергетичен подход в теорията на управлението / под. изд. А.А. Колесников. - М.-Таганрог: Издателство на TRTU, 2000. - 558 с.

7. Лоренц Е.Н. Детерминиран непериодичен поток // J. Atmos. sci. - 1963. - бр. 20. - С. 130–133.

8 Рослер О.Е. Уравнение за непрекъснат хаос // Физ. Lett. А. - 1976. - Кн. 57А, бр. 5. - С. 397-398.

Днес използването на термина "хаос" в научните изследвания е свързано с необходимостта да се опишат такива системи, които се характеризират с напълно произволна, на пръв поглед, динамика и в същото време наличието на скрит ред в тях.

Достатъчно релевантно научен проблемконтролът на хаотичната динамика не е решен в момента. От големия брой налични аспекти на неговото решение е изключително важно да се отдели изследването на различни методи и закони, които потискат неправилните трептения в нелинейни системи, които се характеризират с наличието на хаотична динамика.

Проблеми с управлението нелинейни системис хаотична динамика е от голямо практическо значение. Струва си да се отбележи, че въпросът тук е не само в борбата срещу хаоса, който често нарушава качеството на функционирането на сложните системи, но и в идеята за появата на така наречения „ред от хаоса“ , което е целесъобразно за редица технологични процеси.

Проблемът за потискане на неправилни трептения е един от най-характерните проблеми на управлението на модели с хаотична динамика и се състои в такова формиране на управляващи действия, което осигурява стабилизиране на първоначално хаотичния модел в стабилно стационарно състояние. По-нататък се приема, че е възможно да се повлияе на динамиката на модела с помощта на някакво външно управляващо действие, което е адитивно включено в дясната част на едно от диференциалните му уравнения.

Цел на изследването. В тази статия се решава задачата за конструиране на скаларни закони за управление, които осигуряват потискане на хаотични трептения в типични хаотични системи на Лоренц и Реслер, при които се осъществява стабилизирането на неправилни трептения на оригиналните модели в равновесно стационарно състояние. Проблеми от подобен тип възникват, когато е необходимо да се премахнат нежелани вибрации на конструкции, различни шумове и др. .

Материали и методи на изследване

Един от методите за ефективно решаване на сложния проблем за управление на хаоса и синтезиране на обективни закони за управление за нелинейни системи с хаотична динамика е методът за аналитично проектиране на агрегирани контролери (ACAR), предложен от професор A.A. Колесников.

Конструирането на скаларни контролери по метода на аналитично проектиране на агрегирани контролери се основава на въвеждането на поредица от инвариантни многообразия с намаляваща геометрична размерност и последващо динамично разлагане стъпка по стъпка на първоначалната динамична система. В този случай представителната точка (IP) на системата, започвайки да се движи от произволно първоначално състояние, последователно се движи от една повърхност на привличане към друга, докато не удари крайната повърхност от формата ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. "Вътрешните" многообразия са топологично вградени във "външните". Така в синтезираната система, вътрешен процессамоуправление. В резултат на това се осъществява каскадно формиране на последователност от вътрешни контроли, която компресира фазовия обем на системата в посока от външната област на фазовото пространство към набора от вътрешни региони, вложени един в друг, докато ИТ влезе в желаното състояние на системата.

Да приемем, че в пространството на състоянията на затворена система съществува привличащо инвариантно многообразие от вида ψ(x) = 0, което е асимптотичният предел на фазовите траектории. Като цяло може да има няколко такива разновидности. По правило броят на инвариантните колектори съвпада с броя на управляващите канали. Тогава представителната точка на системата започва да се стреми към пресечната точка на инвариантни многообразия. Необходимо условие, за да може точката на представяне на затворената система „обект-регулатор” да удари инвариантното многообразие ψ(x) = 0 е движението му да удовлетворява някакво стабилно диференциално уравнение, написано по отношение на агрегираната макропроменлива ψ(x). Такова уравнение в теорията на синергетичното управление се нарича функционално или еволюционно. Обикновено система от функционални уравнения се дава като система от обикновени диференциални уравнения от първи ред от вида

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Тук m е броят на дадени инвариантни многообразия; Ts е контролен параметър, φ s (ψ s) е функция, която трябва да отговаря на следния набор от условия:

1) φ s (ψ s ) трябва да бъде непрекъснато, еднозначно и диференцируемо за всички ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 за всяко 0,

тези. те изчезват само на многообразия φ s = 0, по отношение на които системата от дадени функционални уравнения е асимптотично устойчива като цяло.

Като правило методът ACAR използва функционални уравнения:

тези. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Както се вижда, уравненията от този тип се характеризират с асимптотична стабилност по отношение на многообразието ψ s = 0 при Ts > 0.

В тази ситуация проблемът за синтезиране на законите за стабилизиращо управление на хаотичните модели в общия случай се формулира по следния начин. Необходимо е да се намери функцията uS(x) като определен набор от обратни връзки, които осигуряват прехвърлянето на представящата точка на първоначалния хаотичен модел от произволни начални условия в определена допустима област в дадено състояние (набор от състояния), което съответства на стабилен режим. В най-простия случай управлението влиза само в едно диференциално уравнение на оригиналната система. Възможно е да има опции, когато едно и също управляващо действие е в различни редове на оригиналната система.

Отличителен аспект на формулирането на проблема за синергичен синтез на законите за управление е наличието на допълнително изискване за движение на системата от първоначалното състояние до крайното, което се състои в асимптотичното привличане на фазовите траектории на системата към някакво инвариантно многообразие (пресечната точка на многообразията) в пространството на състоянията (PS) на системата.

Въвеждането на стабилизираща обратна връзка в уравненията на оригиналния модел води до целенасочена промяна в топологията на неговото пространство на състоянията. В резултат на такова пренареждане хаотичният атрактор изчезва и се образува правилен атрактор от типа „точка“, който съответства на желания равновесен режим на поведение.

Резултати от изследването и дискусия

Нека разгледаме етапите на внедрената процедура за синтез на стабилизиращия закон за управление по метода ACAR за хаотичната система на Лоренц.

Моделът на Лоренц първоначално е получен от уравненията на Навие-Стокс и топлопроводимостта, за да се изследва възможността за прогнозиране на метеорологичните условия с различни контролни параметри. Моделът описва движението на конвективни ролки в течност с температурен градиент.

Моделът е следната система от три обикновени диференциални уравнения:

където σ е числото на Prandtl; ρ е нормализираното число на Релей; параметърът b зависи от разстоянието между равнините и хоризонталния период.

Ориз. 1. Хаотичен атрактор на системата на Лоренц

В тази система при определени условия възниква образуването на хаотични трептения. На фиг. Фигура 1 показва фазовата траектория на системата за параметрите σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режим на детерминиран хаос. В тази динамична система за първи път бяха изследвани стохастичните автоколебания. Хаотичният атрактор на система (1) е фундаментално различен от хаотичните атрактори на повечето модели на нелинейна динамика. Структурата му напълно съответства на странния атрактор и се характеризира с наличието само на седловиден тип движение.

Да приемем, че управляващото действие u1 влиза в първото уравнение на системата (1) под формата на вътрешна обратна връзка:

Нека представим едно инвариантно многообразие на формата

където μ е някакъв контролен параметър.

Ако диференцираме функцията ψ1 (3) по отношение на времето и заместим нейната производна във функционалното уравнение

получаваме желания закон за управление:

Законът за управление (5) осигурява прехвърлянето на представителната точка на системата (2), затворена чрез обратна връзка (5), към инвариантното многообразие ψ1 = 0.

Динамиката на движението на представителната точка на модела по това инвариантно многообразие се описва с помощта на диференциалните уравнения на декомпозирания модел, които се формират след заместване на израза от равенството ψ1 = 0 (3) във второто и третото уравнение на система (2):

(6)

Ориз. 2. Фазови портрети на системи (2), (5) и (6)

Ориз. Фигура 2 илюстрира резултатите от числената симулация на система (2), (5) за стойностите на контролните параметри σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерни за съществуването на хаотичен атрактор на Лоренц , и стойностите на параметрите на контролера T1 = 0,1, μ = 4, които потвърждават ефективността на теоретичните принципи на метода ACAR. Първото уравнение в разложената система (6) е напълно идентично с основното еволюционно уравнение на синергетиката с бифуркация "вилица".

Нека построим стабилизиращ закон за управление по метода ACAR за модела на Реслер. Моделът на Реслер е нелинейна динамична система от диференциални уравнения от трети ред във вида:

където a, b, c са контролни параметри.

Система (7) е предложена от Реслер за моделиране на процесите на взаимодействие на серията химични вещества. Тази система често се използва в различни научни изследвания на явления от различно естество поради наличието на признаци за появата и наличието на характерна за тях хаотична динамика. Ориз. 3 показва хаотичния атрактор на системата Ressler за стойностите на параметрите a = b = 0,2; c = 9.

Да приемем, че управляващото действие е включено във второто уравнение на оригиналната система (7):

Тип инвариантно многообразие

и функционалното уравнение (4) ни позволяват да получим желания закон за управление:

(10)

Законът за управление (10) гарантира транслацията на представляващата точка на управляваната система (8), която е затворена чрез обратна връзка (10), към инвариантното многообразие ψ2 = 0 (9).

Ориз. 3. Хаотичен атрактор на системата на Рьослер

Характерът на движението на системата по инвариантното многообразие ψ2 = 0 се описва от декомпозирания модел:

(11)

където бифуркационното уравнение от типа "вилица" присъства в първия ред.

Ориз. 4. Фазови портрети на системи (8), (10) и (11)

Ориз. 4 са илюстрирани получените резултати от числено симулиране на затворена система (8), (10) за стойностите на управляващите параметри на модела a = b = 0,2; c = 9, които са характерни за появата на атрактор от хаотичен тип, както и стойностите на параметрите на контролера T2 = 0,1; μ = 25.

И в двата получени декомпозирани модела (6), (11) уравненията, разположени в първия ред, съвпадат с основното еволюционно уравнение на синергетиката с бифуркация от типа вилка. В тази връзка можем да твърдим естествения характер на синтезираните закони за стабилизиращо управление на изходните хаотични системи и съществуващото единство и вътрешна взаимосвързаност на универсалните еволюционни уравнения на нелинейната теория на самоорганизацията и синергетиката.

Естественият характер на синтезираните закони за управление се дължи преди всичко на наличието на набор от типични бифуркационни свойства в затворените системи.

В резултат на изследването беше синтезиран набор от обратни връзки, когато първоначалните хаотични системи са затворени, настъпва промяна в естеството на тяхното поведение и превръщането на атрактор от хаотичен тип в атрактор от тип „точка“. Получените закони за управление u1 (5) и u2 (10) гарантирано осигуряват асимптотична стабилност в цялото фазово пространство по отношение на желаните равновесни състояния за стойностите на параметъра μ< 0 или μ >0 за съответните начални хаотични модели. Получените закони u1 (5) и u2 (10) принадлежат към класа закони за обективно управление, които трансформират системите на Лоренц и Реслер, които имат хаотична динамика, в основните еволюционни уравнения на теорията на самоорганизацията и синергетиката.

Синтезираните закони за управление u1 (5) и u2 (10) са оригинални и универсални. Те могат да се използват при проектирането на управлявани системи за различни цели, като значително повишават ефективността на тяхната работа.

Библиографска връзка

Кучерова В.Ю., Петков В.Н., Артамонов П.А. ПРИЛОЖЕНИЕ НА МЕТОДА AKAR ЗА РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМА ЗА СТАБИЛИЗАЦИЯ НА РАВНОВЕСНИ СЪСТОЯНИЯ НА ТИПИЧНИ НЕЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ // Фундаментални изследвания. - 2016. - бр.5-2. – С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата на достъп: 15.01.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списанията, издавани от издателство "Академия по естествена история"

Здравейте!

Тази статия е посветена на невероятните характеристики в света на хаоса. Ще се опитам да говоря за това как да обуздая такова странно и сложно нещо като хаотичен процес и да се науча как да създавате свои собствени прости генератори на хаос. Заедно с вас ще преминем от суха теория към отлична визуализация на хаотичните процеси в космоса. По-специално, използвайки примера на добре познати хаотични атрактори, ще покажа как да създаваме динамични системи и да ги използвам в задачи, свързани с програмируеми логически интегрални схеми (FPGA).

Въведение

Теория на хаосае необичайна и млада наука, която описва поведението на нелинейните динамични системи. В процеса на своето създаване теорията на хаоса просто се обърна съвременната наука! Тя вълнува умовете на учените и ги кара все повече и повече да се потапят в изучаването на хаоса и неговите свойства. За разлика от шума, който е произволен процес, хаосът е определен. Тоест за хаоса има закон за промяна на количествата, включени в уравненията за описание на хаотичен процес. Изглежда, че с такава дефиниция хаосът не се различава от всички други трептения, описани като функция. Но не е така. Хаотичните системи са много чувствителни към първоначалните условия и най-малката промяна в тях може да доведе до огромни различия. Тези разлики могат да бъдат толкова силни, че ще бъде невъзможно да се каже дали една или повече системи са били тествани. От научнопопулярни източници това свойство на хаоса най-добре описва процес, наречен " ефектът на пеперудата". Мнозина са чували за това и дори са чели книги и са гледали филми, в които е използвана техниката с помощта на ефекта на пеперудата. По същество ефектът на пеперудата отразява основното свойство на хаоса.

Американският учен Едуард Лоренц, един от пионерите в областта на хаоса, веднъж каза:

Пеперуда, размахваща крилете си в Айова, може да предизвика лавина от ефекти, които могат да кулминират в дъждовния сезон в Индонезия.

И така, нека се потопим в теорията на хаоса и да видим какви импровизирани средства могат да генерират хаос.

теория

Преди да представя основния материал, бих искал да дам няколко определения, които ще помогнат да се разберат и изяснят някои точки в статията.

динамична системае определен набор от елементи, за които се задава функционална връзка между времевата координата и позицията във фазовото пространство на всеки елемент от системата. Просто казано, динамичната система е система, чието състояние в пространството се променя с течение на времето.
Много физически процеси в природата се описват със системи от уравнения, които са динамични системи. Например, това са горивни процеси, потоци на течности и газ, поведението на магнитни полета и електрически трептения, химични реакции, метеорологични явления, промени в популацията на растения и животни, турбуленция в морски течения, движението на планетите и дори на галактиките. Както можете да видите, много физически явления могат да бъдат описани до известна степен като хаотичен процес.

Фазов портрете координатна равнина, в която всяка точка съответства на състоянието на динамичната система в определен момент от време. С други думи, това е пространствен модел на системата (може да бъде двуизмерен, триизмерен и дори четириизмерен или повече).

атракторе някакво множество от фазовото пространство на динамичната система, за което всички траектории се привличат към това множество с течение на времето. Ако на много прост език, тогава това е определена област, в която е концентрирано поведението на системата в пространството. Много хаотични процеси са атрактори, защото са концентрирани в определен регион от пространството.

Изпълнение

В тази статия бих искал да говоря за четирите основни атрактора - Лоренц, Реслер, Рикитака и Нос-Хувър. В допълнение към теоретичното описание, статията отразява аспекти на създаването на динамични системи в околната среда MATLAB Simulinkи по-нататъшното им интегриране в FPGA на компанията Xilinxс помощта на инструмент Системен генератор. Защо не VHDL/Verilog? Можете също така да синтезирате атрактори с помощта на RTL езици, но за по-добра визуализация на всички процеси, MATLAB е идеален. Няма да засягам сложните въпроси, свързани с изчисляването на спектъра на показателите на Ляпунов или конструирането на участъци на Поанкаре. И още повече, няма да има тромави математически формули и заключения. Така че нека започваме.

За да създадем генератори на хаос, имаме нужда от следния софтуер:

• MATLAB R2014 лицензиран за Simulink и DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 с лиценз за системен генератор (DSP Edition).

Тези програми са доста тежки, така че бъдете търпеливи, когато ги инсталирате. По-добре е да започнете инсталацията с MATLAB и едва след това да инсталирате софтуера Xilinx (с различна последователност някои от приятелите ми не успяха да интегрират едно приложение в друго). Когато инсталирате последния, се появява прозорец, където можете да свържете Simulink и System Generator. В инсталацията няма нищо сложно и необичайно, така че ще пропуснем този процес.

Лоренц атрактор

Лоренц атрактор- това е може би най-известната динамична система в теорията на хаоса. Вече няколко десетилетия той привлича голямо внимание на много изследователи за описанието на някои физически процеси. Първото споменаване на атрактора е дадено през 1963 г. в произведенията на Е. Лоренц, който се занимава с моделиране на атмосферни явления. Атракторът на Лоренц е триизмерна динамична система от нелинейни автономни диференциални уравнения от първи ред. Той има сложна топологична структура, асимптотично е стабилен и е стабилен по смисъла на Ляпунов. Атракторът на Лоренц се описва със следната система от диференциални уравнения:

Във формулата точката над параметъра означава вземане на производната, която отразява скоростта на промяна на стойността по отношение на параметъра (физическото значение на производната).

За стойности на параметрите σ = 10, r= 28 и б= 8/3 тази проста динамична система е получена от Е. Лоренц. Дълго време не можеше да разбере какво се случва с компютъра му, докато накрая не осъзна, че системата проявява хаотични свойства! Той е получен в хода на експерименти за задачата за моделиране на конвекция на флуида. В допълнение, тази динамична система описва поведението на следните физически процеси:

• е едномодов лазерен модел,
• – конвекция в затворен контур и плосък слой,
• – въртене на водното колело,
• – хармоничен осцилатор с инерционна нелинейност,
• – завихряния от облачни маси и др.

Следната фигура показва атракторната система на Лоренц в средата на MATLAB:

Фигурата използва редица от следните символи:

• изваждащи: SUB0-3;
• постоянни множители: СИГМА, Б, Р;
• множители: MULT0-1;
• интегратори с клетка за определяне на началното условие: ИНТЕГРАТОР X,Y,Z;
• изходни портове OUT: ДАННИ X,Y,Zза сигнали XSIG, YSIG, ZSIG;

В допълнение, диаграмата представя помощни инструменти за анализ, това са:

• запазване на резултатите от изчисленията във файл: Към работното пространство X,Y,Z;
• изграждане на пространствени графики: Графика XY, YZ, XZ;
• времеви графики за изграждане: Обхват XYZ;
• инструменти за оценка на заетите ресурси на кристала и генериране на HDL код от модела " Оценител на ресурси" и " Системен генератор».

Вътре във всеки възел от математически операции трябва да посочите битовата дълбочина на междинните данни и техния тип. За съжаление не е толкова лесно да се работи с плаваща запетая в FPGA и в повечето случаи всички операции се извършват във формат с фиксирана точка. Неправилното задаване на параметри може да доведе до неправилни резултати и да ви разочарова при изграждането на вашите системи. Експериментирах с различни стойности, но се спрях на следния тип данни: 32-битов вектор от числа със знак във формат с фиксирана точка. 12 бита са разпределени за цялата част, 20 бита за дробната част.

Като зададете интеграторите X, Y, Z в тригерния блок на първоначалната стойност на системата, например, {10, 0, 0} , управлявах модела. Във времевата база могат да се наблюдават следните три сигнала:


Дори ако времето за симулация клони към безкрайност, тогава изпълнението във времето никога няма да се повтори. Хаотичните процеси са непериодични.

В три измерения атракторът на Лоренц изглежда така:

Вижда се, че атракторът има две точки на привличане, около които протича целият процес. С лека промяна в началните условия процесът също ще бъде концентриран около тези точки, но траекториите му ще се различават значително от предишната версия.

Атрактор на Рьослер

Вторият атрактор по брой препратки в научни статии и публикации. За Атрактор на Рьослерхарактерно е наличието на гранична точка за проява на хаотични или периодични свойства. При определени параметри на динамичната система трептенията престават да бъдат периодични и възникват хаотични трептения. Едно от забележителните свойства на атрактора на Рьослер е фракталната структура във фазовата равнина, тоест феноменът на самоподобието. Вижда се, че други атрактори, като правило, имат това свойство.

Атракторът на Рьослер се наблюдава в много системи. Например, той се използва за описване на флуидни потоци, както и за описание на поведението на различни химични реакции и молекулярни процеси. Системата на Рьослер се описва със следните диференциални уравнения:

В средата на MATLAB атракторът е изграден по следния начин:

Временна реализация на пространствени величини:

Триизмерен модел на атрактора Rössler:

Bang! Стойностите са се променили малко:

Атрактор при леко променени начални условия (траекториите са различни!)

Атрактор с други коефициенти в системата от уравнения (хаотичният процес се превърна в периодичен!)

Сравнете снимки на 3D атрактори с различни начални условия и коефициенти в системата от уравнения. Виждате ли как траекториите на движение се промениха драстично в първия случай? Но по един или друг начин те са концентрирани в близост до една зона на привличане. Във втория случай атракторът като цяло престана да показва признаци на хаос, превръщайки се в затворен периодичен цикъл (пределен цикъл).

Атрактор Рикитаке

Динамо Рикитакее една от добре познатите динамични системи от трети порядък с хаотично поведение. Той е модел на двудисково динамо и е предложен за първи път в проблемите на хаотичната инверсия на земното геомагнитно поле. Ученият Рикитаке изследва динамо система с два взаимосвързани диска, конструирани по такъв начин, че токът от една намотка на диска преминава в другата и предизвиква възбуждане на втория диск и обратно. В един момент системата започна да се проваля и да показва непредвидими неща. Активните проучвания на атрактора направиха възможно проектирането на динамо Рикитаке върху модел на връзката на големи вихри на магнитно поле в земното ядро.

Динамо Рикитаке се описва със следната система от уравнения:

Модел на динамо Rikitake в MATLAB:

Временно изпълнение:

Атрактор (първа версия):

Динамо (втора версия)

Виждате, че динамото на Рикитаке донякъде прилича на атрактора на Лоренц, но това са напълно различни системи и описват различни физически процеси!

Нос-Хувър атрактор

По-малко известна, но не по-малко важна триизмерна динамична система е Нос-Хувър термостат. Използвано в молекулярна теориякато термостатична система с обратима във времето. За съжаление не знам толкова много за този атрактор, колкото за другите, но ми се стори интересен и го включих в ревюто.

Термостатът Nose-Hoover се описва със следната система от уравнения:

Модел нос-Хувър в MATLAB:

Временно изпълнение:

От Уикипедия, свободната енциклопедия

Атрактор на Рьослер- хаотичен атрактор, който има система от диференциални уравнения на Рьослер:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$ ;

където $а,\; б,\; в$са положителни константи. За стойности на параметрите $a=b=0,2$и $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$уравненията на Рьослер имат стабилен краен цикъл. С тези стойности на параметрите периодът и формата на пределния цикъл изпълняват последователност за удвояване на периода. Веднага след точката $c\; =\; 4,2$възниква феноменът на хаотичен атрактор. Добре дефинираните линии на граничните цикли се размиват и запълват фазовото пространство с безкраен изброим набор от траектории, които имат свойствата на фрактал.

Понякога атракторите на Рьослер се конструират за самолет, тоест с $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Устойчиви решения за $x,\; y$може да бъде намерен чрез изчисляване на собствения вектор на матрицата на Якоби от вида , за което $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

От това става ясно, че кога , собствените вектори са сложни и имат положителни реални компоненти, което прави атрактора нестабилен. Сега ще разгледаме самолета $З$в същия диапазон $а$. До $х$по-малък $°\; С$, параметър $°\; С$ще поддържа траекторията близо до самолета $x,\; y$. Веднъж $х$ще стане повече $°\; С$, $z$-координата ще започне да се увеличава, а малко по-късно и параметърът $-z$ще забави растежа $х$в $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Баланс точки

За да се намерят точките на равновесие, трите уравнения на Рьослер са равни на нула и $xyz$-координати на всяка равновесна точка се намират чрез решаване на получените уравнения. В крайна сметка:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash вдясно)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(матрица)\; \backslash вдясно.$

Както е показано в общи уравненияАтрактор на Рьослер, един от тях фиксирани точкиразположени в центъра на атрактора, докато други лежат относително далеч от центъра.

Промяна на параметри a, b и c

Поведението на атрактора на Рьослер до голяма степен зависи от стойностите на постоянните параметри. Промяната на всеки параметър дава определен ефект, в резултат на което системата може да се приближи до периодична орбита, до фиксирана точка или да се втурне към безкрайност. Броят на периодите на атрактора на Рьослер се определя от броя на неговите завои около централната точка, които възникват преди поредицата от контури.

Бифуркационните диаграми са стандартен инструмент за анализиране на поведението на динамични системи, които включват атрактора на Рьослер. Те се създават чрез решаване на уравненията на система, където две променливи са фиксирани и една се променя. При конструирането на такава диаграма се получават почти напълно „сенчести“ области; това е царството на динамичния хаос.

Промяна на параметър а

Да оправим $b\; =\; 0,2$, $c=5,7$и ние ще се променим $а$.

В резултат емпирично получаваме следната таблица:

• $a\backslash leq\; 0$: Сближаване към стабилна точка.
• $а\; =\; 0,1$: Въртене с период от 2.
• $а\; =\; 0,2$: Хаос (стандартен параметър на уравненията на Рьослер) .
• $а\; =\; 0,3$: Хаотичен атрактор.
• $а\; =\; 0,35$: Подобно на предишния, но хаосът е по-изразен.
• $а\; =\; 0,38$: Подобно на предишния, но хаосът е още по-силен.

Промяна на параметър b

Да оправим $а\; =\; 0,2$, $c=5,7$и сега ще променим параметъра $б$. Както се вижда от фигурата, at $б$стремящи се към нула, атракторът е нестабилен. Кога $б$ще стане повече $а$и $°\; С$, системата ще бъде балансирана и ще премине в стационарно състояние.

Промяна на параметъра c

Да оправим $a=b=0,1$и ние ще се променим $°\; С$. От бифуркационната диаграма се вижда, че за малки $°\; С$системата е периодична, но бързо става хаотична с нарастването си. Цифрите показват как точно се променя случайността на системата с увеличаване $°\; С$. Например, когато $°\; С$= 4 атракторът ще има период равен на единица и ще има само една линия на диаграмата, същото ще се случи, когато $°\; С$= 3 и така нататък; Чао $°\; С$няма да стане повече от 12: последното периодично поведение се характеризира с тази стойност, тогава хаосът върви навсякъде.

Даваме илюстрации на поведението на атрактора в посочения диапазон от стойности $°\; С$, които илюстрират общото поведение на подобни системи – чести преходи от периодичност към динамичен хаос.

Напишете отзив за статията "Атрактор Rössler"

Бележки

Връзки

• Конструктор

литература

• Воронов В.К., Подоплелов А.В. Съвременна физика: Урок. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика на отворените системи. стр. 2.4 Хаотичният атрактор на Рьослер.

Откъс, характеризиращ атрактор Рьослер

— Пуснете ме, казвам ви — повтори отново княз Андрей, свивайки устни.
- А ти кой си? изведнъж офицерът се обърна към него с пиянска ярост. - Кой си ти? Вие (той особено почива на вас) сте шефът, или какво? Аз съм шефът тук, не ти. Ти, обратно, - повтори той, - ще разбия торта.
Това изражение очевидно зарадва офицера.
- Адютантът се обръсна важно - чу се глас отзад.
Княз Андрей видя, че офицерът е в онзи пиянски пристъп на безпричинен гняв, в който хората не помнят какво казват. Той видя, че застъпничеството му за жената на доктора във вагона е изпълнено с това, от което се страхува най-много на света, това, което се нарича подигравка [смешно], но инстинктът му казваше друго. Преди офицерът да успее да завърши последните си думи, княз Андрей с обезобразено от бяс лице се приближи до него и вдигна камшика си:
- Пусни ме от волята си!
Офицерът махна с ръка и бързо се отдалечи.
„Всичко от тях, от персонала, цялата каша“, измърмори той. - Прави както искаш.
Княз Андрей бързо, без да вдига очи, се отдалечи от жената на лекаря, която го нарече спасител, и, припомняйки с отвращение и най-малките подробности от тази унизителна сцена, препусна в галоп към селото, където, както му казаха, командирът- главен беше.
Влязъл в селото, той слезе от коня си и отиде в първата къща с намерението да си почине поне за минута, да хапне нещо и да изчисти всички тези обидни мисли, които го измъчваха. „Това е тълпа негодници, а не армия“, помисли си той, качвайки се до прозореца на първата къща, когато познат глас го извика по име.
Той погледна назад. Красивото лице на Несвицки стърчеше от малък прозорец. Несвицки, дъвчейки нещо със сочната си уста и размахвайки ръце, го извика при себе си.
- Болконски, Болконски! Не чуваш ли, нали? Вървете по-бързо, извика той.
Влизайки в къщата, княз Андрей видя Несвицки и друг адютант да ядат нещо. Те набързо се обърнаха към Болконски с въпрос дали знае нещо ново. На толкова познатите му лица княз Андрей прочете израз на тревога и безпокойство. Това изражение беше особено забележимо на винаги смеещото се лице на Несвицки.
Къде е главнокомандващият? — попита Болконски.
— Тук, в тази къща — отговори адютантът.
- Добре, вярно ли е, че мирът и капитулацията? — попита Несвицки.
- Питам те. Не знам нищо, освен че стигнах до теб насила.
- Ами ние, братко? Ужас! Съжалявам, братко, те се изсмяха на Мак, но това е още по-лошо за тях “, каза Несвицки. - Седни и хапни нещо.
„Сега, княже, няма да намерите вагони, а вашият Петър Бог знае къде“, каза друг адютант.
- Къде е основният апартамент?
- Ще нощуваме в Знайм.
„И така опаковах всичко необходимо за себе си на два коня“, каза Несвицки, „и те направиха страхотни пакети за мен. Макар и през бохемските планини да избяга. Лошо, братко. Какво ти е, наистина зле, защо така трепериш? — попита Несвицки, като забеляза как княз Андрей потрепна, сякаш докосна лейденски буркан.
„Нищо“, отговори княз Андрей.
В този момент си спомни скорошната си среща с жената на лекаря и фурщатския офицер.
Какво прави тук главнокомандващият? - попита той.
„Нищо не разбирам“, каза Несвицки.
„Разбирам само, че всичко е подло, подло и подло“, каза княз Андрей и отиде до къщата, където стоеше главнокомандващият.
Минавайки покрай каретата на Кутузов, измъчените яздени коне на свитата и казаците, които говореха силно помежду си, княз Андрей влезе в прохода. Самият Кутузов, както беше казано на княз Андрей, беше в хижата с принц Багратион и Вейротер. Вейротер беше австрийският генерал, който замени убития Шмит. В прохода малкият Козловски беше клекнал пред чиновника. Служителят на обърната вана вдигна белезите на униформата си, написа набързо. Лицето на Козловски беше изтощено - той, очевидно, също не спи през нощта. Той хвърли поглед към княз Андрей и дори не му кимна с глава.
- Вторият ред... Ти писа ли? - продължи той, диктувайки на чиновника, - Киевски гренадир, Подолски ...
„Няма да успеете, ваша чест“, отвърна непочтително и ядосано чиновникът, поглеждайки назад към Козловски.
В това време зад вратата се чу оживено недоволният глас на Кутузов, прекъснат от друг, непознат глас. По звука на тези гласове, по невниманието, с което Козловски го гледаше, по непочтението на изтощения чиновник, по факта, че чиновникът и Козловски седяха толкова близо до главнокомандващия на пода близо до ваната , и от факта, че казаците, държащи конете, се смееха силно под прозореца на къщата - за всичко това княз Андрей чувстваше, че ще се случи нещо важно и нещастно.
Княз Андрей призова Козловски с въпроси.
— Сега, принце — каза Козловски. - Разположение към Багратион.
Ами предаването?
- Няма такъв; бяха направени заповеди за битка.
Принц Андрей отиде до вратата, през която се чуха гласове. Но тъкмо когато се канеше да отвори вратата, гласовете в стаята замлъкнаха, вратата се отвори сама и на прага се появи Кутузов с орлиния си нос на закръгленото си лице.
Точно срещу Кутузов застана княз Андрей; но от изражението на единственото зрящо око на главнокомандващия се виждаше, че мисълта и грижата го занимаваха толкова много, че изглеждаше, че зрението му беше замъглено. Той погледна право в лицето на своя адютант и не го позна.
- Е, свърши ли? — обърна се той към Козловски.
„Само секунда, Ваше превъзходителство.
Багратион, нисък, с ориенталски тип твърдо и неподвижно лице, сух, още невъзрастен мъж, последва главнокомандващия.
„Имам честта да се явя“, повтори доста високо княз Андрей, подавайки плика.
— А, от Виена? Добре. След, след!
Кутузов излезе с Багратион на верандата.
— Е, довиждане, принце — каза той на Багратион. „Христос е с вас. Благославям ви за голямо постижение.
Лицето на Кутузов изведнъж омекна, а в очите му се появиха сълзи. Той придърпа Багратион към себе си с лявата си ръка, а с дясната си ръка, на която имаше пръстен, очевидно го кръстоса с обичаен жест и му предложи пухкава буза, вместо която Багратион го целуна по врата.

В тази книга сме възприели емпиричен подход към хаотичните колебания и представихме серия от различни физически явления, в който хаотичната динамика играе важна роля. Разбира се, не всички читатели имат достъп до лаборатория или имат склонност към експериментиране, въпреки че повечето от тях могат да използват цифрови компютри. Имайки предвид това, ние представяме в това приложение серия от числени експерименти, които могат да бъдат извършени или на персонален компютър, или на микрокомпютър, с надеждата, че ще помогнат на читателя да изследва динамиката на вече класическите модели на хаоса.

B.1. ЛОГИСТИЧНО УРАВНЕНИЕ: УДВОЯВАНЕ НА ПЕРИОДА

Един от най-простите проблеми, с които да започнете в новата динамика, трябва да бъде моделът за растеж на населението или логистичното уравнение

Явленията на удвояване на периода са наблюдавани от различни изследователи (вижте например работата на Мей) и, разбира се, от Файгенбаум, който открива известните закони за подобие на параметрите (вижте глави 1 и 5). Персоналният компютър прави изключително лесно възпроизвеждането на два числени експеримента.

В първия експеримент имаме графика на зависимост от в диапазона . Режимът на удвояване на периода се наблюдава при стойности по-долу. Започвайки от, можете да видите траектория с период от 1. За да видите по-дълги траектории, маркирайте първите 30-50 итерации с точки, а следващите итерации с различен символ.

Разбира се, като начертаете зависимостта от , ще можете да наблюдавате преходния и стационарния режими. Хаотичните траектории могат да бъдат открити при . В близост може да се открие траектория с период от 3 .

Следващият числен експеримент е свързан с изграждането на бифуркационна диаграма. За да направите това, е необходимо да се начертае цялостната зависимост от контролния параметър. Изберете някакво първоначално условие (например и направете 100 итерации на дисплея. След това начертайте стойностите, получени от следващите 50 итерации по вертикалната ос и съответната стойност по хоризонталната ос (или обратно). Стъпка по стъпка изберете около 0,01 и преминете през диапазона. На диаграмата в точките на удвояване на периода трябва да се получат класически бифуркации от типа на вили. Можете ли да определите числото на Файгенбаум от данните от числен експеримент?

May също така дава списък с числени експерименти с други едномерни отображения, например с картографирането

Той описва това картографиране като модел на растеж на популацията на един вид, регулиран от епидемично заболяване. Разгледайте района. Точката на натрупване на удвояване на периода и началото на хаоса съответстват на . Статията на Мей съдържа и данни за някои други числени експерименти.

B.2. УРАВНЕНИЯ НА ЛОРЕНЦ

Забележителен числен експеримент, несъмнено достоен за повторение, се съдържа в оригиналната работа на Лоренц. Лоренц опрости уравненията, изведени от Залцман от уравненията на термичната конвекция в течност (вж. глава 3). Приоритетът в откриването на непериодични решения на уравненията на конвекцията според Лоренц принадлежи на Залцман. За да изследва хаотичните движения, Лоренц избра вече класическите стойности на параметрите в уравненията

Данните, показани на фиг. 1 и 2 от статията на Лоренц, могат да бъдат възпроизведени, като се изберат началните условия и времевата стъпка и се проектира решението или върху равнина, или върху равнина

За да получи едномерното картографиране, предизвикано от този поток, Лоренц разглежда последователните максимуми на променливата z, която той обозначава. Графикът на зависимостта от показва, че в този случай картографирането се дава от крива, наподобяваща формата на покрива на къща. След това Лоренц изследва опростена версия на тази карта, наречена "карта тип къща", билинейна версия на логистичното уравнение

B.3. Интермитентност и уравненията на Лоренц

Илюстративен пример за интермитентност може да бъде намерен чрез числено интегриране на уравненията на Лоренц с помощта на компютър:

с параметри по метода Runge-Kutta. При , ще получите периодична траектория, но при и повече ще се появят "изблици" или хаотични шумове (вижте работата на Manneville и Pomo). Чрез измерване на средния брой N периодични цикли между пакети (ламинарна фаза), трябва да получите закона за мащабиране

B.4. ОЕНОН АТРАКТОР

Обобщение на квадратната карта на правата за двумерния случай (на равнината) беше предложено от френския астроном Хенон:

Когато , картографирането на Хенон се свежда до логистичното картографиране, изследвано от Мей и Файгенбаум. Стойностите на a и b, при които възниква странен атрактор, включват по-специално . Изградете графика на това картографиране върху равнината, като я ограничите с правоъгълник. След като сте получили атрактор, фокусирайте вниманието си върху някаква малка част от него и увеличете тази част, като използвате трансформация на подобие. Следвайте значително по-голям брой итерации на съпоставянията и се опитайте да разкриете финомащабната фрактална структура. Ако имате търпение или имате бърз компютър под ръка, извършете друга трансформация на подобие и повторете всичко отново за още по-малка площ на атрактора (вижте фиг. 1.20, 1.22).

Ако имате програма за изчисляване на степените на Ляпунов, тогава е полезно да имате предвид, че стойността на степента на Ляпунов е дадена в литературата, а фракталната размерност на атрактора в картата на Хенон е . Чрез промяна на параметрите a и b може да се опита да се определи площта на тези стойности, за които съществува атракторът, и да се намери зоната на удвояване на периода в равнината (a, b).

B.5. УРАВНЕНИЕ НА ДУФИНГ: UEDA ATTRACTOR

Този модел на електрическа верига с нелинейна индуктивност е разгледан в гл. 3. Уравненията на този модел, записани като система от уравнения от първи ред, имат вида

Хаотичните трептения в този модел са изследвани много подробно от Уеда. Използвайте някакъв стандартен алгоритъм за числено интегриране, като например схема Runge-Kutta от четвърти порядък, и разгледайте случая. При , трябва да получите периодична траектория с период от 3. (Поставете секцията на Поанкаре в ) В близост до стойността, траектория с период от 3 трябва, след разклонение, да се превърне в хаотично движение.

При , периодичността се възстановява отново с преходен хаотичен режим (виж фиг. 3.13).

Сравнете фракталната природа на атрактора при намаляване на затихването, като приемем и 0,05. Забележете, че при , остава само малка част от атрактора, докато при , движението става периодично.

B.6. УРАВНЕНИЕ НА ДУФИНГ С ДВА ПОТЕНЦИАЛНИ кладенеца: АТРАКТОР ХОЛМС

Този пример беше разгледан в нашата книга. Няколко числени експеримента заслужават да бъдат повторени. Безразмерните уравнения в този случай имат формата

(Като приемем и въведем допълнително уравнение z = w, те могат да бъдат записани като автономна система от трети ред.) Коефициентът 1/2 прави собствената честота на малките трептения във всяка потенциална ямка равна на единица. Критерият за хаос за фиксиран коефициент на затихване и променливи беше разгледан от нас в гл. 5. Областта на интерес за изследване е . В този регион трябва да има преход от периодичния режим към хаотичния, периодични прозорци в хаотичния режим и излизане от хаотичния режим при . Има още една област на интерес: във всички проучвания силно препоръчваме на читателя да използва картографирането на Поанкаре. При използване на персонален компютър може да се постигне висока скорост на обработка на информация чрез специални трикове при компилиране на програма (виж фиг. 5.3).

Друг интересен числен експеримент е да се фиксират параметрите, например, за да се зададе и променя фазата на картографирането на Поанкаре, т.е. да се начертаят точките в чрез промяна от 0 на Отбележете обръщането на картографирането при Това свързано ли е със симетрията на уравнението ? (Вижте Фигура 4.8.)

B.7. КУБИЧНО КАРТИРОВАНИЕ (ХОЛМС)

Ние илюстрирахме много концепции от теорията на хаотичните трептения с примера на атрактор в модел с две потенциални ямки. Динамиката на такъв модел се описва с обикновено нелинейно диференциално уравнение от втори ред (вижте гл.

2 и 3), но явна формула за картата на Поанкаре на такъв атрактор не е известна. Холмс предложи двуизмерно кубично картографиране, което има някои от свойствата на осцилатор на Duffing с отрицателна твърдост:

Хаотичният атрактор може да се намери близо до стойностите на параметрите

B.8. ДИСПЛЕЙ С СКАЧАЩА ТОПКА (СТАНДАРТЕН ДИСПЛЕЙ)

(Вижте статията на Холмс и книгата на Лихтенберг и Либерман.) Както е отбелязано в гл. 3, картата на Поанкаре за топка, подскачаща върху вибрираща маса, може да бъде написана точно по отношение на безразмерната скорост на топката, удряща масата, и фазата на движение на масата.

където е загубата на енергия по време на сблъсъка.

Случай (консервативен хаос). Този случай е изследван в книгата на Лихтенберг и Либерман като модел на ускорение на електрони в електромагнитни полета. След повторение на дисплея, приложете получените точки към равнината.За изчисляване използвайте израза

в подобрена версия на BASIC. За да получите добра картина, трябва да промените първоначалните условия. Например, изберете и следвайте няколкостотин итерации на картографиране в различни v от интервала -

Ще намерите интересни случаи с. При , могат да се наблюдават квазипериодични затворени траектории около периодични фиксирани точки на картата. При , области на консервативен хаос трябва да се появят близо до точките на сепаратрисите (виж фиг. 5.21).

случай. Този случай съответства на разсейващо картографиране, при което енергията се губи при всеки сблъсък между топката и масата. Започни с . Имайте предвид, че въпреки че първите итерации изглеждат хаотични, както в случай 1, движението става периодично. За да се получи фрактален хаос, стойностите на K трябва да бъдат увеличени до . Странен атрактор, още повече напомнящ на фрактал, получавате, като зададете .

B.9. КАРТИРАНЕ НА КРЪГА ВЪРХУ СЕБЕ СИ: СИНХРОНИЗАЦИЯ НА БРОЯ НА ОБЪРТАНИЯТА И ПРИКАЗНИ ДЪРВЕТА

Точка, движеща се по повърхността на тор, може да служи като абстрактен математически модел на динамиката на два свързани осцилатора. Амплитудите на движение на осцилатора служат като малки и големи радиуси на тора и често се приемат за фиксирани. Фазите на осцилаторите съответстват на два ъгъла, които определят позицията на точка по малък кръг (меридиан) и голям кръг (успоредно) на повърхността на тора. Разрезът на Поанкаре по малките кръгове на тора генерира едномерно диференциално уравнение, наречено самокартографиране на окръжността:

където е периодична функция.

Всяка итерация на това картографиране съответства на траекторията на един осцилатор по големия кръг на тора. Популярен обект на изследване е така нареченото стандартно кръгово картографиране (нормализирано до )

Възможните движения, наблюдавани при това картографиране, са: периодични, квазипериодични и хаотични режими. За да видите периодични цикли, начертайте точки в кръг с правоъгълни координати

Когато параметърът е 0, няма нищо друго освен броя на завъртанията - съотношението на две честоти на несвързани осцилатори.

Кога картографирането може да бъде периодично и кога е ирационално число. В този случай се казва, че осцилаторите са заключени или че е настъпило издърпване на режима. При , могат да се наблюдават синхронизирани или периодични движения в области с крайна ширина по оста O, които, разбира се, съдържат ирационални стойности на параметъра . Например, когато цикъл с период 2 може да бъде намерен в интервала и цикъл с период 3 може да бъде намерен в интервала. броя на завъртанията, ако отхвърлим действието на сравнение с и преминем към границата

На практика, за да получите броя на завъртанията с достатъчна точност, трябва да вземете N > 500. Начертавайки W срещу , ще видите серия от плата, съответстващи на областите на синхронизация. За да видите повече региони за синхронизация, трябва да изберете малък AP регион и да построите W за голям брой точки в този малък регион.

Всяко плато за синхронизация на графиката ) съответства на рационално число - съотношението на циклите на един осцилатор към q цикъла на друг осцилатор. Връзките са подредени в последователност, известна като приказното дърво. Ако за стойностите на параметрите са посочени два региона на синхронизация на режима, тогава между тях в интервала със сигурност ще има още един регион на синхронизация с броя на завъртанията

Започвайки с 0/1 at и 1/1 at , може да се конструира цялата безкрайна последователност от синхронизиращи области. Повечето от тях са много тесни.

Имайте предвид, че ширината на тези региони клони към нула при и става по-голяма при Синхронизация. Областите в равнината () са под формата на дълги издатини и понякога се наричат ​​езици на Арнолд.

B.10. Rössler ATTRACTOR: ХИМИЧНИ РЕАКЦИИ, ЕДНОИЗМЕРНО ПРИБЛИЖЕНИЕ НА МНОГОИЗМЕРНИ СИСТЕМИ

Всяка от основните области на класическата физика е създала свой собствен модел на хаотична динамика: хидромеханика - уравненията на Лоренц, структурна механика - атракторът на Дъфинг-Холмс с две потенциални ямки, електротехника - атракторът на Дъфинг-Уеда. Друг прост модел възниква в динамиката на химичните реакции, протичащи в определен съд при разбъркване. Rbssler го предложи.