Факторизация. Прости и съставни числа Разлагане на прости числа 6

Какво означава факторизация? Как да го направя? Какво може да се научи от разлагането на число на прости множители? Отговорите на тези въпроси са илюстрирани с конкретни примери.

Определения:

Простото число е число, което има точно два различни делителя.

Съставното число е число, което има повече от два делителя.

разлагам естествено числокъм фактори означава да го представим като произведение на естествени числа.

Да разбиеш естествено число на прости множители означава да го представиш като произведение на прости числа.

бележки:

• При разширяването на просто число единият от факторите е равен на един, а другият е равен на самото това число.
• Няма смисъл да говорим за разлагането на единството на фактори.
• Съставното число може да бъде разложено на фактори, всеки от които е различен от 1.

При разлагане на големи числа в прости фактори се използва запис в колона:

	Най-малкото просто число, на което 216 се дели, е 2. Разделете 216 на 2. Получаваме 108.
	Полученото число 108 се дели на 2. Да направим делението. В резултат получаваме 54.
	Според теста за делимост на 2, числото 54 се дели на 2. След разделянето получаваме 27.
	Числото 27 завършва с нечетно число 7. То Не се дели на 2. Следващото просто число е 3. Разделете 27 на 3. Получаваме 9. Най-малкото просто число Числото, на което 9 се дели, е 3. Три е самото себе си просто число, то се дели на себе си и на единица. Нека разделим 3 на себе си. В резултат получихме 1.

• Едно число се дели само на онези прости числа, които са част от неговото разширение.
• Едно число се дели само на онези съставни числа, чието разлагане на прости множители се съдържа изцяло в него.

Помислете за примери:

Намерете частното на деленето на числото a на числото b, ако тези числа се разложат на прости множители, както следва a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Физкултурен салон. 2006 г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин A.N., Чайковски I.V. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас на задочно училище МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Математика: Учебник събеседник за 5-6 клас гимназия. - М .: Образование, Библиотека за учители по математика, 1989.

1. Интернет портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет портал Math-portal.ru ().

Домашна работа

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. No 127, No 129, No 141.
2. Други задачи: No133, No144.

Всяко естествено число, различно от едно, има два или повече делителя. Например числото 7 се дели само на 1 и 7 без остатък, тоест има два делителя. И числото 8 има делители 1, 2, 4, 8, тоест цели 4 делители наведнъж.

Каква е разликата между простите и съставните числа

Числата, които имат повече от два фактора, се наричат ​​съставни числа. Числата, които имат само два делителя, един и самото число, се наричат ​​прости числа.

Числото 1 има само едно деление, а именно самото число. Единицата не се прилага за прости или съставни числа.

• Например числото 7 е просто, а числото 8 е съставно.

Първите 10 прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Числото 2 е единственото четно просто число, всички останали прости числа са нечетни.

Числото 78 е съставно, тъй като освен 1 и самото себе си, то се дели и на 2. При разделяне на 2 получаваме 39. Тоест 78 = 2 * 39. В такива случаи се казва, че числото е разложено на 2 и 39.

Всяко съставно число може да бъде разложено на два фактора, всеки от които е по-голям от 1. С просто число такъв трик няма да работи. Така стоят нещата.

Разлагане на число на прости множители

Както бе отбелязано по-горе, всяко съставно число може да бъде разложено на два фактора. Вземете например числото 210. Това число може да се разложи на два фактора 21 и 10. Но числата 21 и 10 също са съставни, нека ги разложим на два фактора. Получаваме 10 = 2*5, 21=3*7. И в резултат на това числото 210 вече се е разложило на 4 фактора: 2,3,5,7. Тези числа вече са прости и не могат да бъдат разложени. Тоест, ние разложихме числото 210 на прости множители.

Когато се разлагат съставни числа на прости множители, те обикновено се записват във възходящ ред.

Трябва да се помни, че всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители и освен това по уникален начин, до пермутация.

• Обикновено при разлагането на число на прости множители се използват знаците за делимост.

Нека разложим числото 378 на прости множители

Ще напишем числа, като ги разделим с вертикална черта. Числото 378 се дели на 2, тъй като завършва на 8. При разделянето получаваме числото 189. Сборът от цифрите на числото 189 се дели на 3, което означава, че самото число 189 се дели на 3. Както в резултат получаваме 63.

Числото 63 също се дели на 3 на базата на делимост. Получаваме 21, числото 21 отново може да се раздели на 3, получаваме 7. Седемте се дели само на себе си, получаваме едно. Това завършва разделянето. Вдясно след реда имаме прости множители, на които се разлага числото 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Всичко започва с геометрична прогресия. На първата лекция за сериите (вижте раздел 18.1. Основни определения) доказахме, че тази функция е сумата от редицата , и редът се сближава до функция при
. Така,

.

Нека запишем няколко разновидности на тази серия. Замяна х на - х , получаваме

при смяна х на
получаваме

и др.; областта на сближаване на всички тези серии е една и съща:
.

2.
.

Всички производни на тази функция в една точка х =0 са равни
, така изглежда сериалът

.

Площта на сближаване на тази серия е цялата числова ос (пример 6 от раздел 18.2.4.3. Радиус на сходимост, интервал на сближаване и област на сходимост на степенен ред), Ето защо
в
. Като следствие, остатъкът от формулата на Тейлър
. Така поредицата се сближава до
във всеки един момент х .

3.
.

Тази серия се сближава абсолютно за

, а сумата му наистина е равна на
. Останалият член на формулата на Тейлър има формата
, където
или
е ограничена функция и
(това е общият термин на предишното разширение).

4.
.

Това разширение може да се получи, както и предишните, чрез последователно изчисляване на производни, но ще продължим по различен начин. Нека да разграничим член от предишната серия:

Сходимостта към функция по цялата ос следва от теоремата за диференцирането член по член на степенен ред.

5. Докажете сами, че по цялата ос на числата , .

6.
.

Поредицата за тази функция се извиква биномен ред. Тук ще изчислим производни.

...Серия Maclaurin има формата

Търсим интервал на сближаване: следователно, интервалът на конвергенция е
. Няма да изследваме остатъчния член и поведението на редицата в краищата на интервала на сближаване; оказва се, че когато
редът се сближава абсолютно в двете точки
, при
редът условно се сближава в точка
и се отклонява в точката
, при
се разминава в двете точки.

7.
.

Тук ще използваме факта, че
. Тъй като , след това след интегриране по член,

Областта на конвергенция на тази серия е полуинтервалът
, сходимостта към функцията във вътрешни точки следва от теоремата за почленно интегриране на степенен ред, в точката х =1 - от непрекъснатостта както на функцията, така и на сумата от степенния ред във всички точки, произволно близки до х =1 вляво. Имайте предвид, че приемането х =1, ще намерим сумата от редицата.

8. Интегрирайки серия член по член, получаваме разширение за функцията
. Извършете сами всички изчисления, напишете областта на сближаване.

9. Нека напишем разширението на функцията
според формулата на биномния ред с
: . знаменател
представено като , двоен факториел
означава произведението на всички естествени числа със същия паритет като , не повече . Разширението се сближава до функция за
. Терминално интегрирането му от 0 до х , получаваме . Оказва се, че тази серия се сближава до функцията на целия интервал
; в х =1 получаваме още едно красиво представяне на числото :
.

18.2.6.2. Решаване на задачи за разширяване на функциите в серия.Повечето задачи, при които се изисква елементарна функция да се разшири в степенен ред
, се решава с помощта на стандартни разширения. За щастие всяка основна елементарна функция има свойство, което ви позволява да направите това. Нека разгледаме някои примери.

1. Разложете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава при
.

2. Разширете функцията
по степени
.

Решение.
. Площ на конвергенция:
.

3. Разширете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава при
.

4. Разложете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава при
.

5. Разложете функцията
по степени
.

Решение. . Зона на конвергенция
.

6. Разширете функцията
по степени
.

Решение. Разлагането в поредица от прости рационални дроби от втория тип се получава чрез почленно диференциране на съответните разложения на дроби от първия тип. В този пример. Освен това, чрез диференциране член по член, може да се получат разширения на функциите
,
и т.н.

7. Разложете функцията
по степени
.

Решение. Ако рационална дробне е просто, първо се представя като сбор от прости дроби:
, и след това продължете както в пример 5: , където
.

Естествено, такъв подход е неприложим например за разлагането на функцията по степени х . Тук, ако трябва да получите първите няколко члена от серията на Тейлър, най-лесният начин е да намерите стойностите в точката х =0 необходимия брой първи производни.

Този онлайн калкулатор е предназначен за разлагане на функция.

Например, разложете на множители: x 2 /3-3x+12 . Нека го запишем като x^2/3-3*x+12 . Можете също да използвате това обслужване, където всички изчисления се записват във формат Word.

Например, разложете на термини. Нека го запишем като (1-x^2)/(x^3+x) . За да видите напредъка на решението, щракнете върху Покажи стъпките. Ако трябва да получите резултата във формат Word, използвайте това обслужване.

Забележка: числото "pi" (π) се записва като pi ; квадратен корен като sqrt , например sqrt(3) , тангенсът на tg се записва като tan . Вижте раздела Алтернативи за отговор.

1. Ако е даден прост израз, например 8*d+12*c*d, тогава разлагането на израза на множители означава разлагане на израза. За да направите това, трябва да намерите общи фактори. Записваме този израз като: 4*d*(2+3*c) .
2. Изразете произведението като два бинома: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Тук вече трябва да намерим няколко общи фактора: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Изваждаме (x+7z) и получаваме: (x+7z)(x + 3y) .

Вижте също Деление на полиноми с ъгъл(показани са всички стъпки на разделяне по колона)

Полезни при изучаването на правилата за факторизация са съкратени формули за умножение, с който ще стане ясно как се отварят скоби с квадрат:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи на факторинг

1. Използване на съкратени формули за умножение.
2. Търсене на общ фактор.