Системи линейни еднородни уравнения
Формулиране на проблема. Намерете някакъв базис и определете размерността на линейното пространство на решенията на системата
План за решение.
1. Запишете матрицата на системата:
и с помощта на елементарни трансформации трансформираме матрицата в триъгълна форма, т.е. до такава форма, когато всички елементи под главния диагонал са равни на нула. Ранг на системната матрица е равно на числотолинейно независими редове, т.е. в нашия случай броят на редовете, в които остават ненулеви елементи:
Размерът на пространството на решението е . Ако , то хомогенната система има единствено нулево решение, ако , то системата има безкраен брой решения.
2. Изберете основни и безплатни променливи. Свободните променливи се означават с . След това изразяваме основните променливи чрез свободните, като по този начин получаваме общото решение на хомогенната система линейни уравнения.
3. Записваме основата на пространството на решенията на системата, като последователно поставяме една от свободните променливи равна на единица, а останалите на нула. Размерността на пространството на линейното решение на системата е равна на броя на базисните вектори.
Забележка. Елементарните матрични трансформации включват:
1. умножение (деление) на низ с множител, различен от нула;
2. добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по произволно число;
3. разместване на линии на места;
4. трансформации 1–3 за колони (в случай на решаване на системи от линейни уравнения не се използват елементарни трансформации на колони).
Задача 3.Намерете някакъв базис и определете размерността на линейното пространство на решенията на системата.
Изписваме матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в триъгълна форма:
Предполагаме тогава
Подмножество на линейно пространство образува подпространство, ако е затворено спрямо векторно събиране и умножение със скалари.
ПРИМЕР 6.1. Подпространството в една равнина образува ли множество от вектори, чиито краища лежат: а) в първи квадрант; б) на права, минаваща през началото? (началото на вектора е в началото)
Решение.
а) не, тъй като множеството не е затворено при умножение по скалар: когато се умножи по отрицателно число, краят на вектора попада в третата четвърт.
б) да, тъй като при събиране на вектори и умножаването им по произволно число краищата им остават на една и съща права линия.
УПРАЖНЕНИЕ 6.1. Дали следните подмножества на съответните линейни пространства образуват подпространство:
а) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат в първи или трети квадрант;
б) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат на права линия, която не минава през началото;
в) набор от координатни линии ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0);
г) набор от координатни линии ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 1);
д) набор от координатни прави ((x 1 , x 2 , x 3) x 1 = x 2 2 ).
Размерността на линейно пространство L е броят dim L на векторите, включени във всяка негова основа.
Размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата са свързани с релацията
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U V).
ПРИМЕР 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:
РЕШЕНИЕ: Всеки от векторни системи, генерираща подпространствата U и V, е линейно независима, следователно е база на съответното подпространство. Нека изградим матрица от координатите на тези вектори, като ги подредим в колони и разделим една система от друга с линия. Нека приведем получената матрица в стъпаловидна форма.
~
~
~
.
Базисът U + V се образува от векторите 
,
,
, които съответстват на водещите елементи в стълбовата матрица. Следователно dim (U + V) = 3. Тогава
dim (UV) \u003d dim U + dim V - dim (U + V) = 2 + 2 - 3 \u003d 1.
Пресечната точка на подпространствата образува набор от вектори, които удовлетворяват уравнението (стоящи от лявата и дясната страна на това уравнение). Получаваме базата на пресичане, използвайки фундаменталната система от решения на системата от линейни уравнения, съответстващи на това векторно уравнение. Матрицата на тази система вече е сведена до стъпаловидна форма. Въз основа на това заключаваме, че y 2 е свободна променлива и задаваме y 2 = c. Тогава 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. и пресичането на подпространства образува набор от вектори на формата 
= c(3, 6, 3, 4). Следователно базисът UV образува вектора (3, 6, 3, 4).
Забележки. 1. Ако продължим да решаваме системата, намирайки стойностите на променливите x, тогава получаваме x 2 \u003d c, x 1 \u003d c, а от лявата страна на векторното уравнение получаваме вектор 
равно на полученото по-горе.
2. Използвайки този метод, може да се получи основата на сумата, независимо дали генериращите системи от вектори са линейно независими. Но базата на пресичане ще бъде получена правилно само ако поне системата, генерираща второто подпространство, е линейно независима.
3. Ако се установи, че размерността на пресечната точка е 0, тогава пресечната точка няма основа и няма нужда да я търсите.
УПРАЖНЕНИЕ 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:
а) 
б) 
Линейното пространство V се нарича n-мерен, ако съдържа система от n линейно независими вектора и всяка система от повече вектори е линейно зависима. Числото n се нарича измерение (брой измерения)линейно пространство V и се обозначава \име на оператора(dim)V. С други думи, измерението на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори в това пространство. Ако такова число съществува, тогава се казва, че пространството е крайномерно. Ако за някакви естествено число n в пространството V има система, състояща се от n линейно независими вектора, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (пише се: \име на оператора(dim)V=\infty). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.
Основа n-мерното линейно пространство е подреден набор от n линейно независими вектора ( базисни вектори).
Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основа на n-мерно линейно пространство V , тогава всеки вектор \mathbf(v)\in V може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
и освен това по уникален начин, т.е. коефициенти \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nсе определят еднозначно.С други думи, всеки пространствен вектор може да бъде разширен в база и освен това по уникален начин.
Действително, размерността на пространството V е равна на n. Векторна система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nлинейно независим (това е основата). След добавяне на произволен вектор \mathbf(v) към основата, получаваме линейно зависима система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(тъй като тази система се състои от (n + 1) вектора на n-мерното пространство). Чрез свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора получаваме заключението на теоремата.
Следствие 1. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основа на пространството V , тогава V=\име на оператор(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), т.е. линейното пространство е линейният обхват на базисните вектори.
Всъщност, за да се докаже равенството V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)два комплекта, достатъчно е да се покаже, че включванията V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)и се изпълняват едновременно. Наистина, от една страна, всяка линейна комбинация от вектори в линейно пространство принадлежи на самото линейно пространство, т.е. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\подмножество V. От друга страна, чрез теорема 8.1 всеки пространствен вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори, т.е. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Това предполага равенство на разглежданите множества.
Следствие 2. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе линейно независима система от вектори в линейното пространство V и всеки вектор \mathbf(v)\in V може да бъде представен като линейна комбинация (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, тогава пространството V има размерност n и системата \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nе нейната основа.
Наистина, в пространството V има система от n линейно независими вектора и произволна система \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nот повече вектори (k>n) е линейно зависим, тъй като всеки вектор от тази система е линейно изразен чрез векторите \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. означава, \име на оператора(dim) V=nи \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- основа V .
Теорема 8.2 за попълването на система от вектори до базис. Всяка линейно независима система от k вектора в n-мерно линейно пространство (1\leqslant k Наистина, нека е линейно независима система от вектори в n-мерно пространство V~(1\leqslant k Забележки 8.4 1. Основата на линейното пространство е дефинирана нееднозначно. Например ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nе основата на пространството V , тогава системата от вектори \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nза всяко \lambda\ne0 също е основа на V . Броят на базисните вектори в различни бази на едно и също крайномерно пространство е, разбира се, еднакъв, тъй като това число е равно на размерността на пространството. 2. В някои пространства, които често се срещат в приложенията, една от възможните основи, най-удобна от практическа гледна точка, се нарича стандартна. 3. Теорема 8.1 ни позволява да кажем, че базисът е пълна система от елементи на линейно пространство, в смисъл, че всеки пространствен вектор е линейно изразен чрез базисни вектори. 4. Ако наборът \mathbb(L) е линеен участък \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), след това векторите \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kсе наричат генератори на множеството \mathbb(L) . Следствие 1 от теорема 8.1, по силата на равенството V=\име на оператор(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)ни позволява да кажем, че основата е минимална генерираща системалинейно пространство V , тъй като е невъзможно да се намали броят на генераторите (премахнете поне един вектор от набора \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) без да се нарушава равенството V=\име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Теорема 8.2 ни позволява да кажем, че основата е максимална линейно независима система от векторилинейно пространство, тъй като основата е линейно независима система от вектори и не може да бъде допълнена от никакъв вектор, без да се загуби линейна независимост. 6. Удобно е да се използва следствие 2 от теорема 8.1 за намиране на базата и размерността на линейно пространство. В някои учебници се приема, че се определя основата, а именно: линейно независима система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nвектори на линейно пространство се нарича базис, ако всеки вектор на пространството е линейно изразен чрез векторите \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Броят на базисните вектори определя размерността на пространството. Разбира се, тези определения са еквивалентни на тези, дадени по-горе. Ние посочваме измерението и основата за примерите за линейни пространства, разгледани по-горе. 1. Нулевото линейно пространство \(\mathbf(o)\) не съдържа линейно независими вектори. Следователно измерението на това пространство се приема за нула: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Това пространство няма основание. 2. Пространствата V_1,\,V_2,\,V_3 имат размери съответно 1, 2, 3. Наистина, всеки ненулев вектор от пространството V_1 образува линейно независима система (вижте точка 1. от Забележки 8.2), а всеки два ненулеви вектора от пространството V_1 са колинеарни, т.е. са линейно зависими (вижте пример 8.1). Следователно \dim(V_1)=1 и основата на пространството V_1 е всеки ненулев вектор. По подобен начин доказваме, че \dim(V_2)=2 и \dim(V_3)=3 . Базата на пространството V_2 е всеки два неколинеарни вектора, взети в определен ред (единият от тях се счита за първи базисен вектор, другият - за втори). Основата на пространството V_3 са всеки три некомпланарни (нележащи в една и съща или успоредни равнини) вектора, взети в определен ред. Стандартната основа във V_1 е единичният вектор \vec(i) на линията. Стандартната основа във V_2 е основата \vec(i),\,\vec(j), състоящ се от два взаимно перпендикулярни единични вектора на равнината. Стандартната основа в пространството V_3 е основата \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), съставен от три единични по двойки перпендикулярни вектора, образуващи дясната тройка. 3. Пространството \mathbb(R)^n съдържа не повече от n линейно независими вектора. Наистина, нека вземем k колони от \mathbb(R)^n и направим матрица с размери n\пъти k от тях. Ако k>n, тогава колоните са линейно зависими от теорема 3.4 от ранга на матрица. Следователно, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. В пространството \mathbb(R)^n не е трудно да се намерят n линейно независими колони. Например колоните на матрицата за идентичност \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. са линейно независими. Следователно, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Извиква се пространството \mathbb(R)^n n-мерно реално аритметично пространство. Посоченият набор от вектори се счита за стандартен базис на пространството \mathbb(R)^n. По същия начин е доказано, че \dim(\mathbb(C)^n)=n, така че се извиква пространството \mathbb(C)^n n-мерно комплексно аритметично пространство. 4. Припомнете си, че всяко решение на хомогенната система Ax=o може да бъде представено като x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), където r=\име на оператор(rg)A, а \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- фундаментална система за вземане на решения. Следователно, \(Ax=o\)=\име на оператор(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), т.е. основата на пространството \(Ax=0\) от решения на хомогенна система е нейната фундаментална система от решения, а размерността на пространството е \dim\(Ax=o\)=n-r , където n е броят на неизвестни, а r е рангът на системната матрица. 5. В пространството M_(2\times3) от матрици с размер 2\times3 могат да бъдат избрани 6 матрици: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) е равна на нулевата матрица само в тривиалния случай \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Четейки равенство (8.5) отдясно наляво, заключаваме, че всяка матрица от M_(2\times3) е линейно изразена по отношение на избраните 6 матрици, т.е. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Следователно, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, и матрици \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6са (стандартната) основа на това пространство. По същия начин е доказано, че \dim(M_(m\пъти n))=m\cdot n. 6. За всяко естествено число n в пространството P(\mathbb(C)) от полиноми с комплексни коефициенти могат да се намерят n линейно независими елемента. Например полиномите \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)са линейно независими, тъй като тяхната линейна комбинация a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) е равно на нулевия полином (o(z)\equiv0) само в тривиалния случай a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Тъй като тази система от полиноми е линейно независима за всяко естествено n, пространството P(\mathbb(C)) е безкрайномерно. По подобен начин заключаваме, че пространството P(\mathbb(R)) от полиноми с реални коефициенти има безкрайно измерение. Пространството P_n(\mathbb(R)) от полиноми със степен най-висока n е крайномерно. Наистина, векторите \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nформират (стандартна) основа за това пространство, тъй като те са линейно независими и всеки полином в P_n(\mathbb(R)) може да бъде представен като линейна комбинация от тези вектори: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Примери за основи за линейни пространства
които са линейно независими. Всъщност тяхната линейна комбинация
7. Пространството C(\mathbb(R)) от непрекъснати функции е безкрайномерно. Наистина, за всяко естествено n полиномите 1,x,x^2,\lточки, x^(n-1), разглеждани като непрекъснати функции, образуват линейно независими системи (вижте предишния пример).
В космоса T_(\omega)(\mathbb(R))тригонометрични биноми (честоти \omega\ne0 ) с реални базисни коефициенти образуват мономи \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Те са линейно независими, тъй като равенството на идентичността a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0възможно само в тривиалния случай (a=b=0) . Всяка функция на формата f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tлинейно изразени по отношение на основните: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Пространството \mathbb(R)^X на реални функции, дефинирани върху множеството X, в зависимост от домейна на X, може да бъде крайномерно или безкрайномерно. Ако X е крайно множество, тогава пространството \mathbb(R)^X е крайномерно (например, X=\(1,2,\lточки,n\)). Ако X е безкрайно множество, тогава пространството \mathbb(R)^X е безкрайномерно (например пространството \mathbb(R)^N от последователности).
9. В пространството \mathbb(R)^(+) за основа може да служи всяко положително число \mathbf(e)_1, което не е равно на 1. Вземете например числото \mathbf(e)_1=2 . Всяко положително число r може да бъде изразено чрез \mathbf(e)_1, т.е. присъства във формата \alpha\cdot \mathbf(e)_1\колония r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, където \alpha_1=\log_2r . Следователно измерението на това пространство е 1, а числото \mathbf(e)_1=2 е основа.
10. Нека \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основа на реалното линейно пространство V . Дефинираме линейни скаларни функции върху V, като зададем:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
В същото време, поради линейността на функцията \mathcal(E)_i , за произволен вектор получаваме \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
И така, дефинирани са n елемента (ковектори). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nдвойно пространство V^(\ast) . Нека докажем това \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- основа V^(\ast) .
Първо, показваме, че системата \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nлинейно независими. Наистина, вземете линейна комбинация от тези ковектори (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=и го приравняваме към нулевата функция
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\колон~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\във V.
Замествайки в това равенство \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, получаваме \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Следователно системата от елементи \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nпространството V^(\ast) е линейно независимо, тъй като равенството \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)възможно само в тривиалния случай.
Второ, доказваме, че всяка линейна функция f\in V^(\ast) може да бъде представена като линейна комбинация от ковектори \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Всъщност за всеки вектор \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nпоради линейността на функцията f, получаваме:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(подравнено)
тези. функцията f е представена като линейна комбинация f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nфункции \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(числа \beta_i=f(\mathbf(e)_i)са коефициентите на линейната комбинация). Следователно системата от ковектори \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nе основа на дуалното пространство V^(\ast) и \dim(V^(\ast))=\dim(V)(за крайномерно пространство V ).
Ако забележите грешка, правописна грешка или имате предложения, пишете в коментарите.
1. Нека подпространството Л = Л(а 1 , а 2 , …, a m) , това е Ле линейната обвивка на системата а 1 , а 2 , …, a m; вектори а 1 , а 2 , …, a mе системата от генератори на това подпространство. След това основата Ле в основата на системата от вектори а 1 , а 2 , …, a m, тоест основата на системата от генератори. Измерение Ле равен на ранга на системата от генератори.
2. Нека подпространството Ле сумата от подпространствата Л 1 и Л 2. Системата от генериращи подпространства може да се получи чрез комбиниране на системите от генериращи подпространства, след което се намира основата на сумата. Размерността на сумата се намира по следната формула:
дим(Л 1 + Л 2) = dimL 1 + dimL 2 – дим(Л 1 Z Л 2).
3. Нека сумата от подпространствата Л 1 и Л 2 права линия, т.е Л = Л 1 Å Л 2. При което Л 1 Z Л 2 = {относно) и дим(Л 1 Z Л 2) = 0. Основата на прекия сбор е равна на обединението на основите на събираемите. Размерността на пряката сума е равна на сумата от размерностите на членовете.
4. Нека дадем важен пример за подпространство и линейно многообразие.
Помислете за хомогенна система млинейни уравнения с ннеизвестен. Много решения М 0 на тази система е подмножество на множеството R nи е затворен спрямо събирането на вектори и тяхното умножение по реално число. Това означава, че това е комплект М 0 - подпространство на пространството R n. Основата на подпространството е фундаменталното множество от решения на хомогенната система, размерността на подпространството е равна на броя на векторите във фундаменталното множество от решения на системата.
Много Мобщи системни решения млинейни уравнения с н unknown също е подмножество на множеството R nи е равно на сбора от множеството М 0 и вектор а, където ае някакво конкретно решение на оригиналната система и комплекта М 0 е набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения, придружаващи тази система (тя се различава от оригиналната само в свободни условия),
М = а + М 0 = {а = м, м Î М 0 }.
Това означава, че много Ме линейно многообразие на пространството R nс изместващ вектор аи посока М 0 .
Пример 8.6.Намерете основата и размерността на подпространство, дадено от хомогенна система от линейни уравнения:
Решение. Нека намерим общото решение на тази система и нейния фундаментален набор от решения: 
с 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), с 2 = (12, –8, 0, 1, 0), с 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Базисът на подпространството се формира от вектори с 1 , с 2 , с 3, измерението му е три.
Край на работата -
Тази тема принадлежи на:
Линейна алгебра
Костромски държавен университет на името на Н. А. Некрасов.
Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:
Какво ще правим с получения материал:
Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:
| туит |
Всички теми в този раздел:
ББК 22.174я73-5
M350 Отпечатано по решение на редакционно-издателския съвет на KSU. Н. А. Некрасова Рецензент А. В. Чередников
ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина 2013 ã КСУ им. Н. А. Некрасова, 2013
съюз (или сума)
Определение 1.9 Обединението на множества A и B е множеството A È B, състоящо се от онези и само онези елементи, които принадлежат на
Пресечна точка (или продукт)
Определение 1.10. Пресечната точка на множества A и B е множеството A Ç B, което се състои от тези и само тези елементи, принадлежащи на едно и също
Разлика
Определение 1.11 Разликата между множествата A и B е множеството A B, състоящо се от онези и само онези елементи, които принадлежат на множеството A
Декартов продукт (или директен продукт)
Определение 1.14. Подредена двойка (или двойка) (a, b) са два елемента a, b, взети в определен ред. Двойки (a1
Свойства на операциите с множество
Свойствата на операциите обединение, пресичане и допълване понякога се наричат закони на алгебрата на множествата. Нека изброим основните свойства на операциите върху множества. Нека универсално множество U
Метод на математическата индукция
Методът на математическата индукция се използва за доказване на твърдения, в които участва естественият параметър n. Методът на математическата индукция - методът за доказване на математиката
Комплексни числа
Концепцията за число е едно от основните постижения на човешката култура. Първо се появиха естествени числа N = (1, 2, 3, …, n, …), след това цели Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), рационално Q
Геометрична интерпретация на комплексни числа
Известно е, че отрицателните числа са въведени във връзка с решаването на линейни уравнения с една променлива. В конкретни задачи отрицателният отговор се интерпретира като стойността на насоченото количество (
Тригонометрична форма на комплексно число
Векторът може да бъде зададен не само чрез координати в правоъгълна координатна система, но и чрез дължина и
Операции с комплексни числа в тригонометрична форма
По-удобно е да се извършва събиране и изваждане на комплексни числа в алгебрична форма, а умножение и деление в тригонометрична форма. 1. Умножения Нека две k
степенуване
Ако z = r(cosj + i×sinj), тогава zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), където n Î
Експоненциалната форма на комплексно число
От математическия анализ е известно, че e = , e е ирационално число. Ейл
Концепция за връзка
Определение 2.1. n-арна (или n-арна) връзка P върху множества A1, A2, …, An е всяко подмножество
Свойства на двоичните отношения
Нека двоичното отношение P е дадено върху непразно множество A, т.е. P Í A2. Определение 2.9.Двоично отношение P върху множество
Отношение на еквивалентност
Определение 2.15. Бинарна релация върху множество A се нарича релация на еквивалентност, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Еквивалентно съотношение
Функции
Определение 2.20 Бинарна релация ƒ н A ´ B се нарича функция от множество A към множество B, ако за всяко x
Общи понятия
Определение 3.1. Матрицата е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m реда и n колони. Числата m и n се наричат ред (или
Добавяне на матрици от същия тип
Можете да добавяте само матрици от същия тип. Определение 3.12. Сумата от две матрици A = (aij) и B = (bij), където i = 1,
Свойства на добавяне на матрици
1) комутативност: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) асоциативност:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Умножение на матрица по число
Определение 3.13. Произведението на матрицата A = (aij) и реалното число k е матрицата C = (сij), за която
Свойства на умножение на матрица по число
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Матрично умножение
Дефинираме умножението на две матрици; За да направим това, трябва да въведем някои допълнителни понятия. Определение 3.14. Матриците A и B се наричат последователни
Свойства на матрично умножение
1) Матричното умножение не е комутативно: A×B ≠ B×A. Това свойство може да се демонстрира с примери. Пример 3.6. а)
Транспониране на матрица
Определение 3.16. Матрицата Аt, получена от дадената чрез замяна на всеки неин ред с колона със същия номер, се нарича транспонирана към дадената матрица A
Детерминанти на матрици от втори и трети ред
На всяка квадратна матрица A от порядък n е присвоено число, което се нарича детерминанта на тази матрица. Обозначение: D, |A|, det A,
Определение 4.6.
1. За n = 1 матрицата A се състои от едно число: |A| = a11. 2. Нека е известна детерминантата за матрица от ред (n – 1). 3. Дефинирайте
Свойства на квалификатора
За да се изчислят детерминанти от порядъци по-големи от 3, се използват свойствата на детерминантите и теоремата на Лаплас. Теорема 4.1 (Лаплас). Детерминанта на квадратна матрица
Практическо изчисляване на детерминанти
Един от начините за изчисляване на детерминантите на ред над три е да го разширите в някаква колона или ред. Пример 4.4 Изчислете детерминантата D =
Концепцията за ранг на матрицата
Нека A е m´n матрица. Избираме произволно k реда и k колони в тази матрица, където 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Намиране на ранга на матрица по метода на граничещите минори
Един от методите за намиране на ранга на матрица е изброяването на непълнолетни. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата. Същността на метода е следната. Ако има поне един елемент
Намиране на ранга на матрица чрез елементарни трансформации
Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица. Определение 5.4. Следните трансформации се наричат елементарни матрични трансформации: 1. умножаване
Концепцията за обратна матрица и как да я намерите
Нека е дадена квадратна матрица A. Определение 5.7. Матрица A–1 се нарича обратна на матрица A, ако A×A–1
Алгоритъм за намиране на обратната матрица
Помислете за един от начините да намерите обратното на дадена матрица с помощта на алгебрични добавки. Нека е дадена квадратна матрица A. 1. Намерете детерминантата на матрицата |A|. ЕС
Намиране на обратната матрица чрез елементарни трансформации
Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица с помощта на елементарни трансформации. Нека формулираме необходимите понятия и теореми. Дефиниция 5.11 Име на матрица B
Метод на Крамер
Да разгледаме система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, тоест m = n и системата изглежда така:
Метод на обратната матрица
Методът на обратната матрица е приложим за системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и детерминантата на основната матрица не е равна на нула. Матрична нотационна система
Метод на Гаус
За да се опише този метод, който е подходящ за решаване на произволни системи от линейни уравнения, са необходими някои нови концепции. Определение 6.7. 0 × уравнение
Описание на метода на Гаус
Методът на Гаус - методът за последователно елиминиране на неизвестни - се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации първоначалната система се свежда до еквивалентна система от стъпкови или t
Изучаване на система от линейни уравнения
Да се изследва система от линейни уравнения означава, без да се решава системата, да се отговори на въпроса: последователна ли е системата или не и ако е така, колко решения има? Отговорете на това в
Хомогенни системи линейни уравнения
Определение 6.11 Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако нейните свободни членове са равни на нула. Хомогенна система от m линейни уравнения
Свойства на решенията на хомогенна система от линейни уравнения
1. Ако векторът а = (a1, a2, …, an) е решение на хомогенна система, то векторът k×а = (k×a1, k&t
Фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения
Нека M0 е множеството от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения. Определение 6.12 Вектори c1, c2, ..., c
Линейна зависимост и независимост на система от вектори
Нека a1, a2, …, am е набор от m части от n-мерни вектори, който обикновено се нарича система от вектори, и k1
Свойства на линейна зависимост на система от вектори
1) Системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима. 2) Система от вектори е линейно зависима, ако някоя от нейните подсистеми е линейно зависима. Последица. Ако си
Система на единични вектори
Определение 7.13. Система от единични вектори в пространството Rn е система от вектори e1, e2, …, en
Две теореми за линейна зависимост
Теорема 7.1. Ако една по-голяма система от вектори е линейно изразена чрез по-малка, тогава по-голямата система е линейно зависима. Нека формулираме тази теорема по-подробно: нека a1
Базис и ранг на система от вектори
Нека S е система от вектори в пространството Rn; може да бъде ограничен или безкраен. S" е подсистема на системата S, S" Ì S. Нека дадем две
Ранг на векторната система
Нека дадем две еквивалентни определения за ранга на система от вектори. Определение 7.16. Рангът на система от вектори е броят на векторите във всеки базис на тази система.
Практическо намиране на ранга и основата на система от вектори
От дадената система от вектори съставяме матрица, като подреждаме векторите като редове на тази матрица. Привеждаме матрицата до стъпаловидна форма, като използваме елементарни трансформации върху редовете на тази матрица. При
Дефиниция на векторно пространство над произволно поле
Нека P е произволно поле. Примери за познати ни полета са полето на рационалните, реалните, комплексните числа. Определение 8.1. Наборът V се извиква
Най-простите свойства на векторните пространства
1) o е нулев вектор (елемент), уникално дефиниран в произволно векторно пространство над полето. 2) За всеки вектор a О V съществува уникален
Подпространства. Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L Ì V (L е подмножество на V). Определение 8.2. Подмножество L на вектора pro
Пресечна точка и сума на подпространства
Нека V е векторно пространство над поле P, L1 и L2 са неговите подпространства. Определение 8.3. Подзаявка за пресичане
Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L е подпространство и нека a е произволен вектор от пространството V. Определение 8.6 Чрез линейно многообразие
Крайномерни векторни пространства
Определение 8.7 Векторно пространство V се нарича n-мерно, ако съдържа линейно независима система от вектори, състояща се от n вектора, и за
Базис на крайномерно векторно пространство
V е крайномерно векторно пространство над полето P, S е система от вектори (крайна или безкрайна). Определение 8.10. Основата на системата S
Координати на вектора спрямо дадения базис
Да разгледаме крайномерно векторно пространство V с размерност n, като векторите e1, e2, …, en образуват неговата основа. Нека бъде продукт
Векторни координати в различни бази
Нека V е n-мерно векторно пространство, в което са дадени две бази: e1, e2, ..., en е старата база, e "1, e
Евклидови векторни пространства
Дадено е векторно пространство V над полето от реални числа. Това пространство може да бъде или крайномерно векторно пространство с размерност n, или безкрайномерно.
Точково произведение в координати
В n-мерно евклидово векторно пространство V е даден базис e1, e2, …, en. Векторите x и y, разложени на вектори
Метрични понятия
В евклидовите векторни пространства може да се премине от въведеното скаларно произведение към понятията за норма на вектор и ъгъл между векторите. Определение 8.16. норма (
Нормални свойства
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||ла|| = |l|×||a||, тъй като ||la|| =
Ортонормална основа на евклидово векторно пространство
Определение 8.21. Базис на евклидово векторно пространство се нарича ортогонален, ако векторите на базиса са по двойки ортогонални, т.е. ако a1, a
Процес на ортогонализиране
Теорема 8.12. Всяко n-мерно евклидово пространство има ортонормална основа. Доказателство. Нека a1, a2
Точково произведение в ортонормална основа
Дадена е ортонормална база e1, e2, …, en на евклидовото пространство V. Тъй като (ei, ej) = 0 за i
Ортогонално подпространствено допълнение
V е евклидово векторно пространство, L е неговото подпространство. Определение 8.23. Казва се, че вектор a е ортогонален на подпространство L, ако векторът
Връзка между координатите на вектор и координатите на неговия образ
Линеен оператор j е даден в пространството V и неговата матрица M(j) се намира в някакъв базис e1, e2, …, en. Нека това е основата
Подобни матрици
Нека разгледаме множеството Pn´n от квадратни матрици от ред n с елементи от произволно поле P. В това множество въвеждаме относителната
Свойства на отношението на подобие на матрицата
1. Рефлексивност. Всяка матрица е подобна на себе си, т.е. A ~ A. 2. Симетрия. Ако матрица A е подобна на B, тогава B е подобна на A, т.е.
Свойства на собствените вектори
1. Всеки собствен вектор принадлежи само на една собствена стойност. Доказателство. Нека x е собствен вектор с две собствени стойности
Характеристичен полином на матрица
Дадена е матрица A Î Pn´n (или A Î Rn´n). Дефинирайте
Условия, при които една матрица е подобна на диагонална матрица
Нека A е квадратна матрица. Можем да приемем, че това е матрицата на някакъв линеен оператор, даден в някакъв базис. Известно е, че в друга основа матрицата на линейния оператор
Йордан нормална форма
Определение 10.5. Йорданова клетка от ред k, свързана с числото l0, е матрица от ред k, 1 ≤ k ≤ n,
Привеждане на матрица до йорданова (нормална) форма
Теорема 10.3. Йордановата нормална форма е уникално дефинирана за матрица до реда, в който клетките на Джордан са разположени на главния диагонал. и т.н
Билинейни форми
Определение 11.1. Билинейна форма е функция (преобразуване) f: V ´ V ® R (или C), където V е произволен вектор n
Свойства на билинейните форми
Всяка билинейна форма може да бъде представена като сбор от симетрични косо-симетрични форми. С избраната основа e1, e2, …, en във вектора
Трансформация на матрица с билинейна форма при преминаване към нов базис. Ранг на билинейна форма
Нека две основи e = (e1, e2, …, en) и f = (f1, f2,
Квадратни форми
Нека A(x, y) е симетрична билинейна форма, дефинирана върху векторно пространство V. Дефиниция 11.6 Чрез квадратична форма
Намаляване на квадратна форма до канонична форма
Дадена е квадратна форма (2) A(x, x) = , където x = (x1
Закон за инерцията на квадратичните форми
Установено е, че броят на ненулевите канонични коефициенти на квадратична форма е равен на нейния ранг и не зависи от избора на неизродена трансформация, чрез която формата A(x
Необходимо и достатъчно условие една квадратна форма да бъде знакоопределена
Твърдение 11.1. За да бъде знакоопределена квадратичната форма A(x, x), дадена в n-мерното векторно пространство V, е необходимо
Необходимо и достатъчно условие за квазипроменливи квадратни форми
Твърдение 11.3. За да може квадратичната форма A(x, x), дефинирана в n-мерното векторно пространство V, да бъде квазипроменлива (т.е.
Критерий на Силвестър за знакоопределеност на квадратна форма
Нека формата A(x, x) в основата e = (e1, e2, …, en) се дефинира от матрицата A(e) = (aij)
Заключение
Линейната алгебра е задължителна част от всяка програма по математика за напреднали. Всеки друг раздел предполага наличието на знания, умения и способности, заложени по време на преподаването на тази дисциплина.
Библиографски списък
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейна алгебра с елементи на аналитичната геометрия. - М .: Издателство на Висшето училище по икономика, 2007. Беклемишев Д.В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра.
Линейна алгебра
Учебно помагало Редактор и коректор Г. Д. Неганова Компютърен набор от Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина
Според определението за линейно пространство, така че Абеше подпространство за проверка на осъществимостта Аоперации:
1) : 
;
2) 
: 
;
и проверете дали операциите в Аподчинени на осем аксиоми. Последното обаче ще бъде излишно (поради факта, че тези аксиоми важат в L), т.е. следното
Теорема.Нека L е линейно пространство над поле P и 
. Набор A е подпространство на L тогава и само ако са изпълнени следните изисквания:
Изявление.Ако Л – н-мерно линейно пространство и Анеговото подпространство, тогава Асъщо е крайномерно линейно пространство и неговата размерност не надвишава н.
П 
пример 1.
Дали подпространството на пространството на сегментните вектори V 2 е множеството S от всички вектори на равнината, всеки от които лежи на една от координатните оси 0x или 0y?
Решение: Позволявам 
, 
и 
, 
. Тогава 
. Следователно S не е подпространство 
.
Пример 2Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 набор от векторни сегменти на равнината Свсички равнинни вектори, чиито начало и край лежат на дадена права лтози самолет?
Решение.
д 
sli вектор 
умножете по реално число к, тогава получаваме вектора 
, също принадлежащи на С. Иф 
и 
са два вектора от S, тогава 
(според правилото за събиране на вектори на права линия). Следователно S е подпространство 
.
Пример 3Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 Много Авсички вектори на равнината, чиито краища лежат на дадената права л, (да приемем, че началото на всеки вектор съвпада с началото)?
Р 
решение.
В случай, че прекият лне минава през произхода НОлинейно подпространство на пространството V 2
не е, защото 
.
В случай, че прекият л
преминава през началото, множеството НОе линейно подпространство на пространството V 2
,
защото 
и при умножаване на всеки вектор 
до реално число α
извън терена Рполучаваме 
. По този начин изискванията за линейно пространство за комплекта НОзавършен.
Пример 4Нека е дадена система от вектори 
от линейното пространство Лнад полето П. Докажете, че множеството от всички възможни линейни комбинации 
с коефициенти 
от Пе подпространство Л(това е подпространство Асе нарича подпространство, генерирано от система от вектори или линейна обвивка тази система от вектори, и се означават както следва: 
или 
).
Решение. Наистина, тъй като , Тогава за всякакви елементи х,
г
Ание имаме: 
, 
, където 
, 
. Тогава
От тогава 
, Ето защо 
.
Нека проверим осъществимостта на второто условие на теоремата. Ако хе всеки вектор от Аи T- всяко число от П, тогава . Тъй като 
и 
,, тогава 
, , Ето защо 
. Така, според теоремата, множеството Ае подпространство на линейно пространство Л.
За крайномерните линейни пространства обратното също е вярно.
Теорема.Всяко подпространство НОлинейно пространство Лнад полето 
е линейният обхват на някаква система от вектори.
При решаването на задачата за намиране на основата и размерите на линейната обвивка се използва следната теорема.
Теорема.Основа на линейна обвивка 
съвпада с основата на системата от вектори . Размерността на линейния участък съвпада с ранга на системата от вектори.
Пример 4Намерете основата и размерността на подпространство 
линейно пространство Р 3
[
х]
, ако 
, 
, 
, 
.
Решение. Известно е, че векторите и техните координатни редове (колони) имат еднакви свойства (по отношение на линейната зависимост). Ние правим матрица А=
от координатни колони от вектори 
в основата 
.
Намерете ранга на матрица А.
. М 3
=
. 
.
Следователно ранг r(А)=
3. И така, рангът на системата от вектори е 3. Следователно размерността на подпространството S е 3 и неговата основа се състои от три вектора 
(защото в основния минор 
включени са само координатите на тези вектори).
Пример 5Докажете, че множеството заритметични пространствени вектори 
, чиято първа и последна координати са 0, съставлява линейно подпространство. Намерете неговата основа и измерение.
Решение. Позволявам 
.
След това и . Следователно, 
за всякакви. Ако 
, 
, тогава . Така, съгласно теоремата за линейното подпространство, множеството зе линейно подпространство на пространството . Да намерим основата з. Разгледайте следните вектори от з: 
, 
, . Тази система от вектори е линейно независима. Наистина, нека.
