В геометрията под вектор се разбира насочен сегмент и векторите, получени един от друг чрез паралелна транслация, се считат за равни. Всички равни вектори се третират като един и същ вектор. Началото на вектора може да бъде поставено във всяка точка на пространството или равнината.

Ако координатите на краищата на вектора са дадени в пространството: А(х 1 , г 1 , z 1), Б(х 2 , г 2 , z 2), тогава

= (х 2 – х 1 , г 2 – г 1 , z 2 – z 1). (1)

Подобна формула е валидна и в равнината. Това означава, че векторът може да бъде записан като координатен низ. Операции върху вектори, - събиране и умножение по число, върху низове се извършват компонент по компонент. Това дава възможност да се разшири концепцията за вектор, разбирайки вектор като всеки низ от числа. Например системното решение линейни уравнения, както и всеки набор от стойности на системни променливи, може да се разглежда като вектор.

При струни с еднаква дължина операцията по събиране се извършва съгласно правилото

(а 1, а 2, …, а н) + (b 1 , b 2 , … , b н) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a н+b н). (2)

Умножението на низ по число се извършва според правилото

l(a 1 , a 2 , … , a н) = (la 1, la 2, …, la н). (3)

Набор от вектори-редове с дадена дължина нс посочените операции на векторно събиране и умножение по число образува алгебрична структура, наречена n-мерно линейно пространство.

Линейна комбинация от вектори е вектор , където λ 1 , ... , λ мса произволни коефициенти.

Система от вектори се нарича линейно зависима, ако съществува нейната линейна комбинация, равна на , която има поне един ненулев коефициент.

Система от вектори се нарича линейно независима, ако в някоя от нейните линейни комбинации, равна на , всички коефициенти са нула.

По този начин решението на въпроса за линейната зависимост на системата от вектори се свежда до решението на уравнението

х 1 + х 2 + … + х м = . (4)

Ако това уравнение има различни от нула решения, тогава системата от вектори е линейно зависима. Ако нулевото решение е уникално, тогава системата от вектори е линейно независима.

За да се реши система (4), за по-голяма яснота, векторите могат да бъдат записани не под формата на редове, а под формата на колони.

След това, след извършване на трансформации от лявата страна, стигаме до система от линейни уравнения, еквивалентни на уравнение (4). Основната матрица на тази система се формира от координатите на оригиналните вектори, подредени в колони. Колоната със свободни членове не е необходима тук, тъй като системата е хомогенна.

Основана система от вектори (крайна или безкрайна, в частност цялото линейно пространство) е нейната непразна линейно независима подсистема, чрез която може да бъде изразен всеки вектор от системата.

Пример 1.5.2.Намерете основата на системата от вектори = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) и изразяват други вектори чрез основата.

Решение. Изграждаме матрица, в която координатите на тези вектори са подредени в колони. Това е матрицата на системата х 1 + х 2 + х 3 + х 4 =. . Привеждаме матрицата в стъпаловидна форма:

~ ~ ~

Основата на тази система от вектори се формира от векторите , , , които съответстват на водещите елементи на редовете, отбелязани с кръгове. За да изразим вектора, решаваме уравнението х 1 + х 2 + х 4 = . Тя се свежда до система от линейни уравнения, чиято матрица се получава от оригинала чрез пренареждане на колоната, съответстваща на , на мястото на колоната от свободни членове. Следователно, когато се свежда до стъпаловидна форма, върху матрицата ще бъдат направени същите трансформации, както по-горе. Това означава, че можем да използваме получената матрица в стъпаловидна форма, като направим необходимите пермутации на колоните в нея: колоните с кръгове се поставят отляво на вертикалната лента, а колоната, съответстваща на вектора, се поставя вдясно на бара.

Последователно намираме:

х 4 = 0;

х 2 = 2;

х 1 + 4 = 3, х 1 = –1;

Коментирайте. Ако се изисква да се изразят няколко вектора чрез базата, тогава за всеки от тях се изгражда съответната система от линейни уравнения. Тези системи ще се различават само в колоните със свободни членове. В този случай всяка система се решава независимо от другите.

УПРАЖНЕНИЕ 1.4.Намерете основата на системата от вектори и изразете останалите вектори по отношение на основата:

а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

В дадена система от вектори основата обикновено може да бъде разграничена различни начини, но всички бази ще имат еднакъв брой вектори. Броят на векторите в основата на линейно пространство се нарича размерност на пространството. За н-размерно линейно пространство не размерността на пространството, тъй като това пространство има стандартна основа = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Чрез тази основа всеки вектор = (a 1 , a 2 , … , a н) се изразява по следния начин:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a н) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a н(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a н .

По този начин компонентите в реда на вектора = (a 1 , a 2 , … , a н) са неговите коефициенти в разширението по отношение на стандартната база.

Прави линии в равнина

Задача аналитична геометрия– прилагане на координатния метод към геометрични задачи. Така задачата се превежда в алгебрична форма и се решава с помощта на алгебра.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В публиката има количка с шоколадови бонбони, а днес всеки посетител ще получи сладка двойка – аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще обхване два раздела наведнъж. висша математика, и ще видим как ще се разберат в една обвивка. Направете почивка, яжте Twix! ... по дяволите, добре, спорещи глупости. Макар че добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да има положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна независимост на векторите, векторна основаи други термини имат не само геометрична интерпретация, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие "вектор" от гледна точка на линейната алгебра не винаги е "обикновеният" вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте да нарисувате вектор от петизмерно пространство . Или метеорологичния вектор, за който току-що ходих в Gismeteo: - температура и съответно атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен по отношение на свойствата векторно пространство, но въпреки това никой не забранява формализирането на тези параметри като вектор. Дъхът на есента...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и др.) са приложими за всички вектори от алгебрична гледна точка, но примерите ще бъдат дадени геометрично. Така всичко е просто, достъпно и визуално. Освен проблемите на аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи на алгебрата. За овладяване на материала е препоръчително да се запознаете с уроците Вектори за манекении Как да изчислим детерминанта?

Линейна зависимост и независимост на плоските вектори.
Равнина и афинна координатна система

Помислете за равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че интуитивно е ясно, че са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа задайте координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички елементи в таблицата.

Не се учудвайте, отначало обясненията ще са на пръсти. Освен това на твоя. Моля, поставете показалец на лявата ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място малкия пръст на дясната ръкана ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво може да се каже за векторите? Вектори на данни колинеарна, което означава линейноизразени един през друг:
, добре, или обратно: , където е ненулево число.

Можете да видите снимка на това действие в урока. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножаване на вектор по число.

Ще поставят ли пръстите ви основата върху равнината на компютърната маса? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред-назад сампосока, докато равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения, изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и т.н. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Кръстосайте пръстите си върху масата, така че да има някакъв ъгъл между тях, освен 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинейно неса зависими само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа "наклонена" с неперпендикулярни вектори с различни дължини. Съвсем скоро ще видим, че за изграждането му е подходящ не само ъгъл от 90 градуса, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинразширено по отношение на основата:
, където са реалните числа . Извикват се числа векторни координатина тази основа.

Те също така казват векторпредставени във формата линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганеосноваили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, може да се каже, че вектор е разширен в ортонормирана основа на равнината или може да се каже, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме основна дефиницияформално: плоска основае двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиравнинният вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Същественият момент на дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. бази Това са две напълно различни бази! Както се казва, малкият пръст на лявата ръка не може да се премести на мястото на малкия пръст на дясната ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатната мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се движат по цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни точки на масата, останали от див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава референтна точка е точка, позната на всички - произходът на координатите. Разбиране на координатната система:

Ще започна с "училищната" система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои от разликите между правоъгълна координатна система и ортонормирана основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават начало, координатни оси и мащаб по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за координатните оси, познати от 5-6 клас и как да начертаете точки в равнина.

От друга страна, се създава впечатлението, че правоъгълна координатна система може да бъде добре дефинирана от гледна точка на ортонормирана основа. И почти е така. Формулировката гласи така:

произход, и ортонормалноосновен комплект Декартова координатна система на равнината . Тоест правоъгълна координатна система определеносе дефинира от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо, виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но далеч не винаги) се рисуват както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (произход) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЯКАКЪВ ВЕКТОР на равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Трябва ли координатните вектори да са единични? Не, те могат да имат произволна дължина, различна от нула. Помислете за точка и два ортогонални вектора с произволна дължина, различна от нула:

Такава основа се нарича ортогонална. Началото на координатите с вектори определя координатната мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има свои собствени координати в дадената основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори общо взетоимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормирана основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните бази на равнината и пространството се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по абсцисата съдържа 4 см, една единица по ординатата съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразува „нестандартните“ координати в „обичайните ни сантиметри“, ако е необходимо.

И вторият въпрос, на който всъщност вече е отговорено - необходимо ли е ъгълът между базисните вектори да е равен на 90 градуса? Не! Както се казва в определението, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всякакъв, освен 0 и 180 градуса.

Точка в самолета се обади произход, и неколинеарнивектори, , комплект афинна координатна система на равнината :

Понякога тази координатна система се нарича наклоненасистема. Точките и векторите са показани като примери на чертежа:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна, формулите за дължините на векторите и сегментите, които разгледахме във втората част на урока, не работят в нея. Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларен продукт на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножение на вектор по число са валидни, формулите за разделяне на сегмент в това отношение, както и някои други видове проблеми, които скоро ще разгледаме.

И заключението е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Затова тя, нейната, най-често трябва да се вижда. ... Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които е подходящо да има наклон (или някакъв друг, напр. полярни) координатна система. Да, и хуманоидите такива системи могат да дойдат на вкус =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълна координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на плоските вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.По същество това е прецизиране по координати на очевидната връзка.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
b) Векторите формират ли основа? ?

Решение:
а) Разберете дали съществува за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенства:

Със сигурност ще ви разкажа за „фописката“ версия на прилагането на това правило, която работи доста добре на практика. Идеята е веднага да начертаете пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Съкращаваме:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да се направи и обратно, това е еквивалентен вариант:

За самостоятелно тестване може да се използва фактът, че колинеарните вектори се изразяват линейно един през друг. В този случай има равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два плоски вектора образуват основа, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме вектори за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , което означава, системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват база.

Опростената версия на решението изглежда така:

Съставете пропорцията от съответните координати на векторите :
, следователно тези вектори са линейно независими и образуват база.

Обикновено рецензентите не отхвърлят тази опция, но проблем възниква в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . или така: . или така: . Как да работите чрез пропорцията тук? (Наистина, не можете да разделите на нула). Именно поради тази причина нарекох опростеното решение "foppish".

Отговор:а) , б) форма.

Малък творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на векторите на параметрите ще бъде колинеарен?

В разтвора на пробата параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме нашите знания и просто ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите формират основа;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

респективно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват основа;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, нула .

Много, много се надявам, че в момента вече разбирате всички термини и твърдения, които сте срещали.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да използвате тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

ние ще решимПример 1 по втория начин:

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, така че тези вектори са колинеарни.

б) Два плоски вектора образуват основа, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, следователно векторите са линейно независими и образуват база.

Отговор:а) , б) форма.

Изглежда много по-компактен и по-красив от решението с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже успоредността на сегменти, прави линии. Помислете за няколко проблема с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да се изгражда чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Запомнете определението на паралелограма:
Паралелограм Четириъгълник се нарича, в който противоположните страни са по двойки успоредни.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) успоредност на противоположните страни и .

Ние доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училище“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре да вземете решението правилно, с подредбата. Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:
, така че тези вектори са колинеарни, и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълника са успоредни по двойки, така че това е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да се получи определението за трапец, но е достатъчно само да си спомним как изглежда.

Това е задача за самостоятелно решение. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се придвижите от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да са колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални на.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

а) ;
б)
в)

Решение:
а) Проверете дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се прави чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Има метод за проверка на пространствените вектори за колинеарност и чрез детерминанта от трети порядък този метод е разгледан в статията Кръстосано произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелизма на пространствените сегменти и линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на триизмерните пространствени вектори.
Пространствена основа и афинна координатна система

Много от закономерностите, които разгледахме в самолета, ще важат и за космоса. Опитах се да направя резюмето на теорията възможно най-кратко, т.к лъвският дялинформацията вече е сдъвкана. Въпреки това ви препоръчвам да прочетете внимателно. уводна част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърната маса, нека разгледаме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да се измъкнем от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за изграждане на основата са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разперете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, не е нужно да демонстрирате това на учителите, без значение как извивате пръстите си, но не можете да се измъкнете от дефинициите =)

След това задаваме важен въпрос, дали някакви три вектора образуват основа на триизмерно пространство? Моля, натиснете здраво три пръста върху плота на компютъра. Какво стана? Три вектора са разположени в една и съща равнина и, грубо казано, загубихме едно от измерванията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че компланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (само не правете това с пръсти, само Салвадор Дали излезе така =)).

Определение: се наричат ​​вектори компланаренако съществува равнина, на която те са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са компланарни.

Три компланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те се изразяват линейно един през друг. За простота отново си представете, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите са не само компланарни, но могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (и защо е лесно да се отгатне от материалите от предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест те по никакъв начин не се изразяват един през друг. И, очевидно, само такива вектори могат да формират основата на триизмерно пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен ред, докато всеки вектор на пространството единствения начинразширява се в дадената основа , където са координатите на вектора в дадената основа

Като напомняне, можете също да кажете, че векторът е представен като линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за равнинния случай, една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, и некомпланаренвектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на триизмерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е "наклонена" и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява да определеноопределя координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка от пространството. Подобно на равнината, в афинната координатна система на пространството някои формули, които вече споменах, няма да работят.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всеки може да се досети, е правоъгълна пространствена координатна система:

точка в пространството, наречена произход, и ортонормалноосновен комплект Декартова координатна система на пространството . позната снимка:

Преди да пристъпим към практическите задачи, отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите формират основа;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Противоположните твърдения, мисля, са разбираеми.

Линейната зависимост/независимостта на пространствените вектори традиционно се проверява с детерминанта (т. 5). Останалите практически задачи ще имат ясно изразен алгебричен характер. Време е да окачите геометрична пръчка на пирон и да размахате бейзболна бухалка по линейна алгебра:

Три космически вектораса компланарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам вниманието ви на малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминанта няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които са забравили малко методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо са зле ориентирани, препоръчвам един от най-старите си уроци: Как да изчислим детерминанта?

Пример 6

Проверете дали следните вектори образуват основа на триизмерно пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминанта.

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата се разширява на първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не компланарни) и формират основата на триизмерно пространство.

Отговор: тези вектори формират основата

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат компланарни?

Решение: Векторите са компланарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:

По същество се изисква да се реши уравнение с детерминант. Ние летим в нули като хвърчила в джербои - най-изгодно е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: в

Лесно е да се провери тук, за това трябва да замените получената стойност в оригиналния детерминант и да се уверите, че като го отворите отново.

И накрая, помислете за още един типична задача, който има по-алгебричен характер и традиционно се включва в курса на линейната алгебра. Толкова е разпространено, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора образуват основа на триизмерно пространство
и намерете координатите на 4-ти вектор в дадената основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват основа на триизмерно пространство и намерете координатите на вектора в тази база.

Решение: Нека първо да се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някаква основа. Каква е основата - не ни интересува. И следното нещо представлява интерес: три вектора може да образуват нова основа. И първата стъпка е напълно същата като решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите наистина са линейно независими:

Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:

, следователно векторите са линейно независими и образуват основа на триизмерно пространство.

! Важно : векторни координати задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не низове. В противен случай ще има объркване в алгоритъма за по-нататъшно решение.

Линейна комбинация от вектори е вектор
, където λ 1 , ... , λ m са произволни коефициенти.

Векторна система
се нарича линейно зависима, ако съществува нейната линейна комбинация, равна на , който има поне един ненулев коефициент.

Векторна система
се нарича линейно независим, ако в някоя от линейните си комбинации е равен на , всички коефициенти са нула.

Основата на системата от вектори
се извиква нейната непразна линейно независима подсистема, чрез която може да бъде изразен всеки вектор от системата.

Пример 2. Намерете основата на системата от вектори = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) и изразете останалите вектори по отношение на основата.

Решение Изграждаме матрица, в която подреждаме координатите на тези вектори в колони. Довеждаме го до стъпаловидна форма.

~
~
~
.

Основата на тази система се формира от векторите ,,, които съответстват на водещите елементи на редовете, отбелязани с кръгове. За векторен израз Решете уравнението x 1 +x2 +x4 =. Той се свежда до система от линейни уравнения, чиято матрица се получава от оригинала чрез пермутиране на колоната, съответстваща на , на мястото на колоната със свободни условия. Следователно, за да решим системата, ние използваме получената матрица в стъпаловидна форма, като правим необходимите пермутации в нея.

Последователно намираме:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Забележка 1. Ако се изисква да се изразят няколко вектора чрез базата, то за всеки от тях се изгражда съответната система от линейни уравнения. Тези системи ще се различават само в колоните със свободни членове. Следователно, за да се решат, може да се състави една матрица, в която ще има няколко колони от свободни членове. В този случай всяка система се решава независимо от другите.

Забележка 2. За изразяване на всеки вектор е достатъчно да се използват само базисните вектори на системата, които го предхождат. В този случай няма нужда от преоформяне на матрицата, достатъчно е да поставите вертикална линия на правилното място.

Упражнение 2. Намерете основата на системата от вектори и изразете останалите вектори чрез основата:

а) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Система за фундаментални решения

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всичките й свободни членове са равни на нула.

Основната система от решения на хомогенна система от линейни уравнения е в основата на множеството от нейните решения.

Нека е дадена нехомогенна система от линейни уравнения. Хомогенна система, свързана с дадена, е система, получена от дадена чрез замяна на всички свободни членове с нули.

Ако една нехомогенна система е последователна и неопределена, тогава нейното произволно решение има формата f o1 +  1 f o1 + ... +  k f o k , където f o е конкретно решение на нехомогенната система и f o1 , ... , f o k е фундаменталните системни решения на свързаната хомогенна система.

Пример 3. Намерете конкретно решение на нехомогенната система от пример 1 и основната система от решения на свързаната хомогенна система.

Решение. Записваме решението, получено в Пример 1, във векторна форма и разгръщаме получения вектор в сума върху свободните параметри, които съдържа, и фиксирани числови стойности:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Получаваме f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Коментирайте. Проблемът за намиране на фундаментална система от решения за хомогенна система се решава по подобен начин.

Упражнение 3.1 Намерете основната система от решения на хомогенна система:

а)

б)

в) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

УПРАЖНЕНИЕ 3.2. Намерете конкретно решение на нехомогенната система и основната система от решения на свързаната хомогенна система:

а)

б)

Намерете основата на системата от вектори и вектори, които не са включени в основата, разширете на базата:

а 1 = {5, 2, -3, 1}, а 2 = {4, 1, -2, 3}, а 3 = {1, 1, -1, -2}, а 4 = {3, 4, -1, 2}, а 5 = {13, 8, -7, 4}.

Решение. Да разгледаме хомогенна система от линейни уравнения

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 + а 4 х 4 + а 5 х 5 = 0

или разширено .

Ще решим тази система по метода на Гаус, без да сменяме редове и колони и освен това да избираме основния елемент не в горния ляв ъгъл, а в целия ред. Задачата е да изберете диагоналната част на трансформираната система от вектори.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешената система от вектори, която е еквивалентна на оригиналната, има формата

а 1 1 х 1 + а 2 1 х 2 + а 3 1 х 3 + а 4 1 х 4 + а 5 1 х 5 = 0 ,

където а 1 1 = , а 2 1 = , а 3 1 = , а 4 1 = , а 5 1 = . (1)

вектори а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 образуват диагонална система. Оттук и векторите а 1 , а 3 , а 4 формират основата на системата от вектори а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Сега разширяваме векторите а 2 и а 5 на база а 1 , а 3 , а четири . За да направим това, първо разширяваме съответните вектори а 2 1 и а 5 1 диагонална система а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 , като се има предвид, че коефициентите на векторното разширение в диагоналната система са неговите координати x i.

От (1) имаме:

а 2 1 = а 3 1 (-1) + а 4 1 0 + а 1 1 1 а 2 1 = а 1 1 – а 3 1 .

а 5 1 = а 3 1 0 + а 4 1 1+ а 1 1 2 а 5 1 = 2а 1 1 + а 4 1 .

вектори а 2 и а 5 разширяване в основата а 1 , а 3 , а 4 със същите коефициенти като векторите а 2 1 и а 5 1 диагонална система а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 (тези коефициенти x i). следователно,

а 2 = а 1 – а 3 , а 5 = 2а 1 + а 4 .

Задачи. един.Намерете основата на системата от вектори и векторите, които не са включени в основата, разширете според основата:

1. а 1 = { 1, 2, 1 }, а 2 = { 2, 1, 3 }, а 3 = { 1, 5, 0 }, а 4 = { 2, -2, 4 }.

2. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 0, 1, 2 }, а 3 = { 2, 1, -4 }, а 4 = { 1, 1, 0 }.

3. а 1 = { 1, -2, 3 }, а 2 = { 0, 1, -1 }, а 3 = { 1, 3, 0 }, а 4 = { 0, -7, 3 }, а 5 = { 1, 1, 1 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Намерете всички бази на система от вектори:

1. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 3, 1, 2 }, а 3 = { 1, 2, 1 }, а 4 = { 2, 1, 2 }.

2. а 1 = { 1, 1, 1 }, а 2 = { -3, -5, 5 }, а 3 = { 3, 4, -1 }, а 4 = { 1, -1, 4 }.

Когато анализирахме концепциите за n-мерен вектор и въведохме операции с вектори, установихме, че множеството от всички n-мерни вектори генерира линейно пространство. В тази статия ще говорим за най-важните свързани понятия - за измерението и основата на векторното пространство. Разглеждаме също теоремата за разширяването на произволен вектор по отношение на база и връзката между различни бази на n-мерно пространство. Нека анализираме подробно решенията на типични примери.

Навигация в страницата.

Концепция за измерение и основа на векторното пространство.

Понятията за размерност и основа на векторно пространство са пряко свързани с концепцията за линейно независима система от вектори, така че препоръчваме, ако е необходимо, да се обърнете към статията линейна зависимост на система от вектори, свойства на линейна зависимост и независимост.

Определение.

Измерение на векторното пространствосе нарича числото, равно на максималния брой линейно независими вектори в това пространство.

Определение.

Векторна космическа основае подреден набор от линейно независими вектори на това пространство, чийто брой е равен на размерността на пространството.

Представяме някои аргументи, базирани на тези определения.

Разгледайте пространството на n-мерните вектори.

Нека покажем, че размерността на това пространство е равна на n.

Да вземем система от n единични вектора от вида

Да вземем тези вектори като редове на матрицата A. В този случай матрица A ще бъде n по n идентична матрица. Рангът на тази матрица е n (ако е необходимо, вижте статията). Следователно системата от вектори е линейно независим и нито един вектор не може да бъде добавен към тази система, без да се наруши нейната линейна независимост. Тъй като броят на векторите в системата равно на n, тогава размерността на пространството на n-мерните вектори е n, а единичните вектори са в основата на това пространство.

От последното твърдение и дефиницията на основата можем да заключим, че всяка система от n-мерни вектори, чийто брой вектори е по-малък от n, не е база.

Сега нека разменим първия и втория вектор на системата . Лесно е да се покаже, че получената система от вектори също е основа на n-мерно векторно пространство. Нека съставим матрица, като я приемем като вектори-редове на тази система. Тази матрица може да бъде получена от матрицата за идентичност чрез размяна на първия и втория ред, следователно нейният ранг ще бъде n . По този начин, система от n вектори е линейно независима и е основа на n-мерно векторно пространство.

Ако разменим други вектори на системата , получаваме друга основа.

Ако вземем линейно независима система от неединични вектори, тогава тя също е основа на n-мерно векторно пространство.

По този начин, векторно пространство с размерност n има толкова бази, колкото има линейно независими системи от n n -мерни вектори.

Ако говорим за двумерно векторно пространство (тоест за равнина), тогава неговата основа са всеки два неколинеарни вектора. Основата на едно триизмерно пространство са всеки три некомпланарни вектора.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример.

Дали векторите са основата на 3D векторно пространство?

Решение.

Нека разгледаме тази система от вектори за линейна зависимост. За да направим това, ще съставим матрица, чиито редове ще бъдат координатите на векторите, и ще намерим нейния ранг:


По този начин векторите a , b и c са линейно независими и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно те са основата на това пространство.

Отговор:

Да те са.

Пример.

Може ли система от вектори да бъде основа на векторно пространство?

Решение.

Тази система от вектори е линейно зависима, тъй като максималният брой линейно независими триизмерни вектори е три. Следователно тази система от вектори не може да бъде основа на триизмерно векторно пространство (въпреки че една подсистема на оригиналната система от вектори е основа).

Отговор:

Не той не може.

Пример.

Уверете се, че векторите

може да бъде основа на четириизмерно векторно пространство.

Решение.

Нека направим матрица, като я вземем като редове от оригиналните вектори:

Да намерим:

Така системата от вектори a, b, c, d е линейно независима и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно a, b, c, d са нейната основа.

Отговор:

Оригиналните вектори наистина са основата на четириизмерно пространство.

Пример.

Векторите формират ли основата на 4-мерно векторно пространство?

Решение.

Дори ако оригиналната система от вектори е линейно независима, броят на векторите в нея не е достатъчен, за да бъде основа на четиримерно пространство (базата на такова пространство се състои от 4 вектора).

Отговор:

Не, не става.

Разлагане на вектор от гледна точка на векторна пространствена база.

Нека произволни вектори са основата на n-мерно векторно пространство. Ако към тях добавим някакъв n-мерен вектор x, тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима. От свойствата на линейната зависимост знаем, че поне един вектор от линейно зависима система е линейно изразен през останалите. С други думи, поне един от векторите на линейно зависима система се разлага на останалите вектори.

Така стигаме до една много важна теорема.

Теорема.

Всеки вектор от n-мерно векторно пространство е еднозначно разложен по отношение на база.

Доказателство.

Позволявам - основа на n -мерно векторно пространство. Нека добавим n-мерен вектор x към тези вектори. Тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима и векторът x може да бъде линейно изразен чрез векторите : , къде са някои числа. Така че получихме разширението на вектора x по отношение на основата. Остава да се докаже, че това разлагане е уникално.

Да приемем, че има друго разлагане , където - някои цифри. Извадете от лявата и дясната част на последното равенство, съответно, лявата и дясната част на равенството:

Тъй като системата от базисни вектори е линейно независимо, тогава според дефиницията на линейната независимост на система от вектори, полученото равенство е възможно само когато всички коефициенти са равни на нула. Следователно, , което доказва уникалността на разширението на вектора по отношение на основата.

Определение.

Коефициентите се наричат координати на вектора x в основата .

След като се запознаем с теоремата за разширяването на вектор по база, ние започваме да разбираме същността на израза „да ни е даден n-мерен вектор ". Този израз означава, че разглеждаме вектор x от n-мерно векторно пространство, чиито координати са дадени в някаква база. В същото време разбираме, че същият вектор x в друга основа на n-мерното векторно пространство ще има координати, различни от .

Помислете за следния проблем.

Нека в някаква основа на n-мерно векторно пространство ни е дадена система от n линейно независими вектори

и вектор . След това векторите са също в основата на това векторно пространство.

Нека трябва да намерим координатите на вектора x в основата . Нека означим тези координати като .

Вектор x в основата има идея. Записваме това равенство в координатна форма:

Това равенство е еквивалентно на система от n линейни алгебрични уравненияс n неизвестни променливи :

Основната матрица на тази система има формата

Нека го означим като А. Колоните на матрица A са вектори на линейно независима система от вектори , така че рангът на тази матрица е n, следователно нейният детерминант е различен от нула. Този факт показва, че системата от уравнения има единствено решение, който може да бъде намерен по всеки метод, например, или .

Така ще бъдат намерени желаните координати вектор x в основата .

Нека анализираме теорията с примери.

Пример.

В някаква основа на триизмерното векторно пространство, векторите

Уверете се, че векторната система също е основа на това пространство и намерете координатите на вектора x в тази база.

Решение.

За да бъде система от вектори в основата на триизмерно векторно пространство, тя трябва да бъде линейно независима. Нека разберем, като определим ранга на матрицата A, чиито редове са вектори. Откриваме ранга по метода на Гаус


следователно, Rank(A) = 3, което показва линейната независимост на системата от вектори.

Така че векторите са основата. Нека векторът x има координати в тази основа. Тогава, както показахме по-горе, връзката на координатите на този вектор се дава от системата от уравнения

Замествайки в него стойностите, известни от условието, получаваме

Нека го решим по метода на Крамер:

По този начин векторът x в основата има координати .

Отговор:

Пример.

На някаква основа на четиримерното векторно пространство е дадена линейно независима система от вектори

Известно е, че . Намерете координатите на вектора x в основата .

Решение.

Тъй като системата от вектори е линейно независим по предположение, то е основа на четиримерно пространство. Тогава равенството означава, че векторът x в основата има координати. Означете координатите на вектора x в основата как .

Системата от уравнения, която определя връзката на координатите на вектора x в основи и има формата

Заместваме в него известните стойности и намираме желаните координати:

Отговор:

.

Комуникация между базите.

Нека в някаква база на n-мерно векторно пространство са дадени две линейно независими системи от вектори

и

тоест те също са бази на това пространство.

Ако - векторни координати в основата , след това връзката на координатите и се дава от система от линейни уравнения (говорихме за това в предишния параграф):

, което в матрична форма може да се запише като

По същия начин, за вектор можем да пишем

Предишните матрични равенства могат да бъдат комбинирани в едно, което по същество определя връзката на векторите на две различни бази

По подобен начин можем да изразим всички базисни вектори през основата :

Определение.

Матрица Наречен преходна матрица от основата към основа , след това равенството

Умножаване на двете страни на това уравнение вдясно по

получаваме

Нека намерим преходната матрица, докато няма да се спираме на намирането на обратната матрица и умножаващите матрици (вижте, ако е необходимо, статии и):

Остава да се установи връзката на координатите на вектора x в дадените бази.

Тогава нека векторът x има координати в основата

и в основата векторът x има координати , тогава

Тъй като левите части на последните две равенства са еднакви, можем да приравним десните части:

Ако умножим двете страни отдясно по

тогава получаваме


От друга страна

(намирам обратна матрицасамостоятелно).
Последните две равенства ни дават желаната връзка на координатите на вектора x в основите и .

Отговор:

Преходната матрица от база към база има формата
;
координатите на вектора x в бази и са свързани с отношенията

или
.

Разгледахме концепциите за размерност и основа на векторно пространство, научихме как да декомпозираме вектор според база и открихме връзка между различни бази на n-мерно векторно пространство чрез преходна матрица.