Под формата на приложение сега можем да се заемем с решението на един популярен математически проблем, който вече беше засегнат, а именно проблемът за разделянето на всеки ъгъл на равни части, по-специално за проблема за трисекцията на ъгъл. Проблемът е да се намери точна конструкция с помощта на пергел и линейка, която да разделя всеки ъгъл на три равни части. За редица специални ъглови стойности можете лесно да намерите такива конструкции. Искам да ви запозная с хода на мислите при доказване на невъзможността да се раздели ъгъл на три части в посочения смисъл; в същото време ви моля да си припомните доказателството за невъзможността да се построи правилен седмоъгълник с пергел и линейка. Както в това доказателство, ние ще намалим проблема до нередуцируемо кубично уравнение и след това ще покажем, че той не може да бъде решен само чрез извличане на корен квадратен. Но едва сега уравнението ще включва параметър - ъгълът - докато преди коефициентите бяха цели числа; в съответствие с това сега, вместо числена, трябва да има функционална несводимост.

За да получим уравнение, което записва нашия проблем, представете си това на положителната полуос реални числаизграден е ъгълът (фиг. 41); тогава втората му страна ще пресича окръжност с радиус 1 в точката

Нашата задача е да намерим такава конструкция, независимо от големината на ъгъла, състояща се от краен брой операции с пергел и линийка, която всеки път да дава точката на пресичане на тази окръжност със страната на ъгъла, т.е. точката

Тази стойност на z удовлетворява уравнението

и аналитичният еквивалент на нашия геометричен проблем е да решим това уравнение, като вземем краен брой квадратни корени от рационални функции на за това са координатите на точката w, от която трябва да започнем в нашата конструкция.

На първо място, трябва да се уверим, че уравнение (3) е нередуцируемо от гледна точка на теорията на функциите. Вярно е, че това уравнение не отговаря съвсем на типа уравнения, които имахме предвид в предишните общи дискусии: вместо рационално въведен комплексен параметър w, тук има две функции тук рационално - косинус и синус - на реален параметър. Ще наричаме полином тук редуцируем, при условие че той се разлага на полиноми по отношение на , чиито коефициенти също са рационални функции на. Можем да дадем критерий за редуцируемост, разбиран в този смисъл, доста подобен на предишния. А именно, ако в равенство (3) се преминава през всички реални стойности, то в същото време се преминава през окръжност с радиус 1 в равнината w, която поради стереографската проекция съответства на екватора върху сферата w. Линия, лежаща над тази окръжност върху риманова повърхност на уравнението и минаваща едновременно през всичките три листа, е, използвайки (3), картографирана едно към едно върху окръжност с радиус 1 на сферата и следователно може до известна степен да се нарече неговият „едноизмерен риманов образ“. Ясно е, че по подобен начин е възможно да се изгради такъв риманов образ за всяко уравнение от формата; За да направите това, трябва да вземете толкова копия на кръгове с радиус 1 и дължина на дъгата, колкото са корените на уравнението, и да ги закрепите според свързаността на корените.

След това заключаваме, доста подобно на предишното, че уравнението може да бъде редуцируемо само ако неговият едномерен риманов образ се раздели на отделни части, но в този случай това не е така и следователно нередуцируемостта на нашето уравнение ( 3) е доказано.

Предишното доказателство, че всяко кубично уравнение с рационални числени коефициенти, разрешимо чрез поредица от квадратни корени, е редуцируемо, може да се пренесе дословно в настоящия случай на уравнение (3), което е нередуцируемо във функционален смисъл; всичко, което трябва да направите, е вместо думите „рационални числа“ всеки път, когато кажете „рационални функции от След това нашето твърдение е напълно доказано, че е невъзможно да се извърши чрез краен брой операции (с пергел и линийка ), разделяйки произволен ъгъл на три части по този начин, всички усилия на хората, които се занимават с трисечение на ъгъл, са обречени на вечна безполезност!

Сега нека да разгледаме малко по-сложен пример.

Проблемите, включващи конструиране с пергел и линийка, все още се смятат за много интересни от математическа гледна точка днес. Това е традиционен материал от повече от сто години училищен курсгеометрия. Един от най-ценните аспекти на такива задачи е, че развиват умения за търсене при решаване на практически проблеми, въвеждат ги в самостоятелно изследване и допринасят за развитието на конкретни геометрични понятия. Конструктивните задачи предизвикват интерес и допринасят за активизиране на умствената и познавателна дейност. При решаването им активно се използват знания за свойствата на фигурите и се усъвършенстват уменията за геометрични конструкции. В резултат на това се развиват конструктивни способности, което е една от целите на изучаването на геометрията.

Обхватът на проблемите, разглеждани в геометрията, е много широк. Сред тях особено място заемат задачите за конструиране, които допринасят за развитието на увереност, последователност и обоснованост на мисленето. От тези задачи можете да научите методи на познание като анализ и синтез.

Тема на урока:Деление на ъгъл с пергел и линийка.

клас: 7 (задълбочено проучване)

Тип урок:урок за изучаване на нов материал. Методи и техники за преподаване на урок:

• фронтална работа с класа;
• консолидация: учениците работят по двойки с карти.

Цели на урока:

Образователни: осигурете усвояването на нов материал, проверявайки знанията на учениците за фактическия материал по темата „Проблеми за конструиране с компас и линийка“; умения на учениците самостоятелно да прилагат знания в модифицирани нестандартни условия.

Разработване: Развийте мисленето на учениците при решаване на проблеми, които надхвърлят обхвата на училищния курс; развиват способността да анализират, сравняват, правят заключения; развиват паметта на учениците.

Образователни: възпитаване у учениците на интерес към предмета, добронамереност, умение за работа в екип и по двойки.

Оборудване:

• интерактивна дъска или проектор;
• работна карта за всеки ученик (Приложение);
• презентация Деление на ъгъл с пергел и линийка.

Цели на урока:

1. повторете основните конструкции с пергел и линийка;
2. помислете за разделяне на ъгъла на равни ъгли;
3. упражняване на умение за построяване на ъглополовяща на ъгъл и равностранен триъгълник.

По време на часовете

I. Организационен момент

II. Определяне на целите и задачите на урока.

Момчетата трябва

знаят: стандартни конструкции с пергел и линийка,

да може да: 1) конструира ъглополовяща, равностранен триъгълник; 2) прилага стандартни конструкции при решаване на задачи, включващи разделяне на ъгъл с пергел и линийка.

III. Актуализиране на справочните знания

На екрана се появяват слайдове с последователност от стъпки. Учениците трябва да определят кой строителен проблем описва тази последователност от стъпки.

Упражнение 1:

1. AB – права линия.
2. Да начертаем окръжност (A; AB) C – пресечната точка на окръжността и правата AB.
3. Да начертаем окръжност (C;R) и окръжност (B;R) P – пресечната точка на окръжностите.
4. Да направим SR.

Отговор: построяване на прав ъгъл

Задача 2:

1. AB е отсечка.
2. Да начертаем окръжност (A;R) и окръжност (B;R) P, H – пресечните точки на окръжностите.
3. Нека извършим изстрелването и да вземем точка O на AB.

Отговор: построяване на ъглополовящата RN към AB

Задача 3:

1. Да начертаем околността (A;R) P, H – пресечните точки на окръжността и страните на ъгъла.
2. Да извършим заграждане (P; RN) и заграждане (N; RN) K – пресечната точка на окръжностите.
3. Да направим АК.

Отговор: построяване на ъглополовяща на ъгъл

Задача 4:

1. AB е отсечка.
2. Нека начертаем окръжност (A; AB) и окръжност (B; AB).C е пресечната точка на окръжностите.
3. Ще проведем AC и BC

Отговор: построяване на равностранен триъгълник

IV. Учене на нов материал

Учител: Днес трябва да определим дали „Разделянето на даден ъгъл на равни ъгли“ винаги е осъществимо.

Учител: Според вас каква стандартна конструкция ще ни позволи да разделим ъгъл на 2, 4, 8, 16, ... равни ъгли?

Отговор: Конструирането на ъглополовяща ви позволява да разделите всеки ъгъл на 2, 4, 8, ... 2n равни ъгли. Във всеки случай задачата се свежда до построяването на ъглополовящите на получените ъгли, което винаги може да се направи с пергел и линийка. Например, разделете ъгъл ABC на 4 равни ъгъла. Построяваме ъглополовящата BC на ъгъл ABC, получаваме ъгъл ABC = ъгъл SVK = ъгъл ABC:2. Построяваме ъглополовящите BP и BM съответно на ъглите ABC и CDR. Получаваме: ъгли АВР= РВК= MVК= СВМ= АВК:2= АВС:4.

Учител: Възможно ли е произволен ъгъл да се раздели на 3 равни ъгъла?

Историческа справка.Можете да дадете задача на учениците да подготвят кратък доклад по темата за трисекция на ъгъл. Трисекция на ъгъл. Изкуството за конструиране на геометрични фигури с помощта на пергел и линийка беше на пазара висока степенразработен през Древна Гърция. Проблемът за трисекция на ъгъл (разделяне на ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линийка) е известен в древността. Всеки ъгъл не може да бъде разделен на три равни части само с пергел и линийка. Опитите за решаване на проблема с инструменти и средства са направени още през 5 век. пр.н.е. Френският математик П. Ванцел през 1837г е първият, който строго доказва, че е невъзможно да се извърши трисекция с пергел и линийка.

Проблемът за трисекция на ъгъл става разрешим в общия случай, ако човек не се ограничава в геометричните конструкции само с класически инструменти, пергел и линийка. Например Хипий от Елида, известният софист, живял около 420 г. пр. н. е., използвал квадратриса, за да раздели ъгъл на три части. Александрийският математик Никомед (2 век пр. н. е.) решава проблема за трисекция на ъгъл с помощта на една крива, наречена раковина на Никомед, и описва устройство за начертаване на тази крива. Интересно решение на проблема за трисекция на ъгъл е дадено от Архимед в неговата книга Леми.

Проблемът за трисекция на ъгъл се оказва разрешим за някои други конкретни стойности на ъгъла: 90, 45, 135 (в градуси). Питагорейците са успели да разделят прав ъгъл на три равни части въз основа на факта, че в равностранен триъгълник всеки ъгъл е равен на 60 градуса.

Учител: Решението на задачата е показано на интерактивната дъска.

1. Помислете за решението на този проблем.
2. Идентифицирайте основните конструкции.
3. Докажете, че тези стъпки ще доведат до желания резултат.

Задача 1:Трисекция на прав ъгъл.

Да предположим, че искате да разделите правия ъгъл MAN на три равни части. Отлагаме произволна отсечка AK върху лъч AN, върху който построяваме равностранен триъгълник AKB. Тъй като ъгъл KAB е 60 градуса, тогава ъгъл MAB = 30 градуса. Нека построим ъглополовящата на ъгъла KAV и получаваме желаното деление на правия ъгъл MAN на три равни ъгъла.

Отговори:

2. Построяване на равностранен триъгълник, построяване на ъглополовяща.

3. Доказателство: ъгъл MAN=90 градуса. Триъгълникът AKB е равностранен, ъгъл KAB = 60 градуса. Това означава, че ъгъл MAV = ъгъл MAN – ъгъл KAB = 30 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъл KAV, което означава ъгъл KAR = ъгъл RAB = 30 градуса. Получаваме този ъгъл KAR = ъгъл RAB = ъгъл MAV = 30 градуса, т.е. необходимото разделяне на правия ъгъл MAN на три равни ъгъла.

Учител: IN работна книгапостроете трисекция на прав ъгъл, описвайки всички етапи на „Конструиране“. Не забравяйте да напишете „Доказателство“.

Учител: Какви ъгли винаги могат да бъдат конструирани с пергел и линийка?

Отговор: ъгли: 60 градуса - ъгъл в равностранен триъгълник, 30 градуса - ъглополовяща на ъгъл в равностранен триъгълник, 45 градуса - ъглополовяща на прав ъгъл, 15 градуса - ъглополовяща на ъгъл от 30 градуса, 90 градуса - a перпендикуляр на права, 180 градуса - точка на права.

Учител: Възможно ли е произволен ъгъл да се раздели на 5, 7, 11, ... равни ъгли?

Учител: Този проблем се оказва разрешим за някои конкретни стойности на ъгъл. Например: с помощта на компас и линийка можете да извършите следната конструкция (при условие, че дадените ъгли вече са конструирани и техните стойности са известни):

Задача 2:Разделете ъгъл от 66 градуса на 11 равни части (при условие, че този ъгъл е конструиран и стойността му е известна).

Решение:защото 66 градуса: 11 = 6 градуса, тогава за решаване на тази задача отново ще използваме ъгъл от 60 градуса - равностранен триъгълник. Когато конструираме равностранен триъгълник, получаваме 66 градуса–60 градуса = 6 градуса, изграждаме два пъти под ъгъл от 6 градуса (60–6–6 = 48 градуса), след което разделяме ъгъла от 48 градуса на 8 равни ъгъла (т.е. чертаем ъглополовящи). В този случай получаваме 11 ъгъла от 6 градуса.

При разглеждането на този проблем учителят задава насочващи въпроси и насочва децата към решаване на проблема. Решението на задачата е записано в работна тетрадка.

V. Физкултурна минуткаУчителят провежда упражнения с учениците за отпускане на очите им.

V. Затвърдяване на изучения материал – самостоятелна работапо двойки

Учител: Всеки ученик получава карта със задачи (Приложение). Учениците, които седят на една и съща маса, имат една и съща версия на задачите. Учениците работят по двойки, но всеки записва решението на своята карта.

Резултат за работата върху картата (учителят го обявява преди започване на работа):

“5” - за 3 правилно попълнени и оформени задачи.

“4” - за 2 правилно попълнени и оформени задачи или за 3 задачи с недостатъци в дизайна.

“3” - за 1 правилно попълнена и оформена задача или за 2 задачи с недостатъци в дизайна.

Решаване на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1:Трисекция на ъгъл от 45 градуса.

РешениеТази задача се свежда до построяването на равностранен триъгълник. Нека ъгълът MAN=45 градуса бъде разделен на три равни части. Отлагаме произволна отсечка AK върху лъча AN, върху която построяваме равностранен триъгълник AKB в същата полуравнина с точка M спрямо правата AK. Построяваме ъглополовящата AP на ъгъла KAV, след това ъглополовящата AC на ъгъла RAC и получаваме желаното деление на ъгъл MAN на три равни ъгъла: ъгли MAP=PAC=SAK=15 градуса.

Доказателство:защото триъгълник AKB е равностранен, тогава ъгъл CAV = 60 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъла KAV, което означава ъглите VAR = RAK = 30 градуса и ъгъл MAP = ъгъл MAC - ъгъл RAK = 45 градуса - 30 градуса = 15 градуса. AC е ъглополовящата на ъгъла RAC, което означава ъглите RAC = NAC = 15 градуса. Това означава, че ъглите MAP=PAC=SAK=15 градуса.

Задача 2 (вариант 1):Разделете ъгъл от 50 градуса на 10 равни ъгъла.

Решение:защото 50: 5 = 10, тогава за решаване на тази задача ще използваме ъгъл от 60 градуса - равностранен триъгълник. Получаваме 1) 60–50 = 10, 2) 50–10= 40, 3) 40: 4=10 (в градуси).

Задача 2 (вариант 2):Разделете ъгъл 720 на 6 равни ъгъла.

Решение:защото 72: 6=12, тогава за решаване на тази задача ще използваме ъгъл от 60 - равностранен триъгълник. Получаваме 1) 72–60 = 12, 2) 60–12= 48, 3) 48: 4=12 (в градуси).

Задача 3:Разделете ъгъла на 4 равни ъгъла.

Решение:Разделете ъгъл ABC на 4 равни ъгъла. Построяваме ъглополовящата BC на ъгъла ABC, получаваме ъглите ABC = SVK = ъгъл ABC: 2. Построяваме ъглополовящите BP и BM съответно на ъглите ABC и CDR. Получаваме: ъгли АВР=РВК=МВК=СВМ= ъгъл АВК:2= ъгъл АВС:4.

VI. Домашна работа

Вкъщи. Решавам проблеми:

1. Трисекция на ъгъл от 135 градуса.

2. Построете ъгъл от 53 градуса, ако е построен ъгъл от 104 градуса.

VII. Обобщение на урока

Отговори на въпросите:

1. Винаги ли е осъществимо трисекцията на ъгъл?

Само в някои специални случаи: 450, 900.

2.Какво ново научихте в урока?

Винаги можете да строите с пергел и линийка:

1) ъгълът е n пъти по-голям от дадения ъгъл.

2) разделете всеки ъгъл на 2, 4, 8, ... 2n равни ъгли.

3) ъгли: 60, 30, 45, 15, 90, 180 (в градуси).

4) можете да разделите някои дадени ъгли на даден брой равни ъгли или да построите ъгъл с необходимия размер.

3. Може ли произволен ъгъл да се раздели на 5, 7, 11, ... равни ъгли?

Не. Само в някои специални случаи.

Домашна работа:

Задача 1:Трисекция на ъгъл от 135 градуса.

Нека се изисква да се раздели ъгълът MAN=135 градуса на три равни части. защото 135:3 = 45, тогава от точка А изграждаме перпендикуляр AK към правата AM. След това построяваме ъглополовящата AP на ъгъла KAM. В този случай получаваме желаното разделяне на ъгъла MAN на три равни ъгъла: ъгли KAN = KAR = RAM = 45 градуса.

Доказателство:защото AK е перпендикулярна на права линия AM, тогава ъгъл KAM = 90 градуса, ъгъл NAC = 135 градуса - 90 градуса = 45 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъл KAM, така че ъгъл BAR = ъгъл RAK = 45 градуса. И така, ъглите MAP=RAS=SAK=45 градуса.

Задача 2:Построете ъгъл от 53 градуса, ако е построен ъгъл от 104 градуса.

При решаването използваме конструкцията на прав ъгъл, ъглополовяща и ъгъл от 60 градуса.

Конструкция: 1) 104 градуса - 90 градуса = 14 градуса, 2) 14 градуса: 2 = 7 градуса, 3) строим 60 градуса и 60 градуса -7 градуса = 53 градуса.

Приложение:

Библиография:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М .: Образование, 2005. - 335 с.
2. Dalinger V.A. Планиметрични задачи за конструиране. Омск: Издателство ОГПИ, 1999. - 78 с.
3. Илина Н.И. Геометрични конструкциина повърхността. М.: Училище - преса, 1997. - 172 с.
4. Манин И.Ю. За разрешимостта на строителни задачи с помощта на пергел и линейка // Енциклопедия на елементарната математика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. стр. 205-227.
5. Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Образование, 1992
6. Прасолов В.В. Три класически конструктивни задачи. М.: Наука, 1992. 80 с.
7. Енциклопедия за деца. Т. 11. Математика/Ред. колегия: М. Аксенова, В. Володин и др. - М.: Аванта+, 2005.

Появата на проблема за трисекцията на ъгъл (т.е. разделянето на ъгъл на три равни части) е обусловена от необходимостта да се реши проблемът за изграждане на правилни многоъгълници. Конструкцията на правилен петоъгълник с пергел и линийка би трябвало да направи голямо впечатление на питагорейците, тъй като правилната петолъчна звезда беше техният идентификационен знак (тя символизираше здравето). Известна е следната легенда.

Един питагореец умираше в чужда земя и не можеше да плати на човека, който се грижеше за него. Преди смъртта си той му заповяда да изобрази петолъчна звезда в жилището си: ако някой питагореец някога мине, той определено ще попита за това. Наистина, няколко години по-късно един питагореец видя този знак и възнагради собственика на къщата.

Произходът на проблема с трисекцията на ъгъл също е свързан с практически дейности, по-специално беше необходимо да може да се раздели кръг на равни части при производството на колело със спици, разделящо ъгъл или дъга на кръгът на няколко равни части е бил необходим и в архитектурата, при създаването на орнаменти, в строителната техника и в астрономията.

С помощта на пергел и линейка за n=6 и 8 могат да се построят правилни n-ъгълници, но за n=7 и 9 това е невъзможно. Изграждането на правилен седмоъгълник е интересен проблем: той може да бъде решен с помощта на метода "вмъкване". Конструкцията на правилен седмоъгълник е предложена от Архимед. Но опитите за конструиране на правилен неъгълник просто трябваше да доведат до проблема с трисекцията на ъгъла, тъй като за изграждането на правилен неъгълник беше необходимо да се построи ъгъл от 360 ° / 9 \u003d 120/3, т.е. да се раздели ъгълът на 120° на три равни части.

Защо гърците са предпочитали компаси и линийки пред други инструменти?

На този въпрос учените не могат да отговорят еднозначно и достатъчно убедително. Дали защото пергелите и линийките са най-простите инструменти? Може би така. Могат обаче да бъдат определени много други инструменти, прости като компаси и линейки, или почти толкова прости. С помощта на някои от тях се решават и формулирани проблеми.

В съответната литература могат да се намерят опити да се обясни такава необичайна симпатия на гърците специално към компаса и владетеля. Всякакви геометрична фигурасе състои от два вида линии - прави или криви. И всяка крива се състои от части от кръгове с различни диаметри. Освен това правата линия и окръжността са единствените линии с постоянна кривина в равнината.

Разделяне на прав ъгъл на три равни части.

В някои специални случаи е лесно да се раздели ъгъл. Така питагорейците са успели да разделят прав ъгъл на три равни части въз основа на факта, че в равностранен триъгълник всеки ъгъл е равен на 60º.

Нека е необходимо да се раздели права линия (MAN.

Очертаваме произволен сегмент AC върху лъча AN, върху който построяваме равностранен триъгълник ACB. Тъй като (CAB е равно на 60º, тогава (BAM е равно на 30º. Нека построим ъглополовящата AD на ъгъла CAB, получаваме желаното разделяне на правата линия (MAN) на три равни ъгъла: (NAD, (DAB, (BAM) .

Проблемът с трисекцията на ъгъл се оказва разрешим за някои други конкретни стойности на ъгъла (например за ъгли от 90° / 2n, където n е естествено число). Фактът, че всеки ъгъл не може да бъде разделен на три равни части само с пергел и линийка, е доказан едва през първата половина на 19 век.

Решение с помощта на метода "вмъкване".

Някои методи за трисечение на ъгъл, разглеждани от гърците, използват така наречения метод на вмъкване. Състоеше се в намиране на позицията на линия, минаваща през тази точка O, върху която две дадени прави (или права и окръжност) биха изрязали отсечка с дадена дължина a. Тази конструкция може да се направи с помощта на пергел и линийка с две деления, разстоянието между които е равно на a.

С помощта на „вложки“ е много лесно да разделите ъгъла на три равни части. Нека вземем произволна точка A от страната на ъгъла с върха B и пуснем перпендикуляр AC от нея на другата страна.

Нека начертаем лъч през точка A, съпосочен с лъч BC. Нека сега вмъкнем между лъчите AC и l отсечка DE с дължина 2AB, така че нейното продължение да минава през точка B. Тогава (EBC = (ABC/3. Всъщност нека G е средата на отсечката DE. Точка A лежи върху кръг с диаметър DE, следователно AG = GE = DE/2 = AB. Триъгълниците BAG и AGE са равнобедрени, следователно (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Папус от Александрия показа, че проблемът за „вмъкване“ на сегмент между дадени перпендикулярни прави l1 и l2 се свежда до конструиране на пресечната точка на окръжност и хипербола. Да разгледаме правоъгълник ABCD, продълженията на страните BC и CD на който са дадени прави, а връх A е дадена точка, през която трябва да начертаем права, пресичаща прави l1 и l2 в точки E и F, така че сегментът EF да има a дадена дължина.

Нека завършим триъгълника DEF до успоредника DEFG. За да построите желаната линия, достатъчно е да построите точка G и след това през точка A да начертаете линия, успоредна на права линия DG. Точка G е отдалечена от точка D на дадено разстояние DG = EF, така че точка G лежи върху окръжност, която може да бъде конструирана.

От друга страна, от подобието на триъгълници ABF и EDA получаваме AB: ED = BF: AD, т.е. ED*BF=AB*AD. Следователно FG*BF=AB*AD = SABCD, т.е. точка G лежи върху хиперболата (ако насочите осите Ox и Oy по лъчите BF и BA, тогава тази хипербола се дава от уравнението xy = SABCD)

Решение с помощта на квадратриса

„Граматическите“ проблеми включват проблема с разделянето на ъгъл в произволно съотношение. Първата крива за решаване на такъв проблем е изобретена от Хипий от Елида. По-късно (започвайки с Динострат) тази крива се използва и за решаване на квадратурата на окръжност. Лайбниц нарича тази крива квадратриса.

Получава се по следния начин. Нека краищата на отсечката B′C′ се движат равномерно по страните съответно BA и CD в квадрата ABCD, а отсечката AN се върти равномерно около точка A. Отсечката B′C′ в началния момент съвпада с отсечка BC, а отсечката AN съвпада с отсечката AB ; двата сегмента едновременно достигат крайната си позиция AD. Квадратрисата е крива, която се описва от пресечната точка на сегментите B′C′ и AN.

За да се раздели острия ъгъл φ в някакво отношение, е необходимо да се начертае ъгълът DAL = φ на горния чертеж, където L лежи на квадратрисата. Нека пуснем перпендикуляра LH върху отсечката AD. Нека разделим този перпендикуляр на правилното отношениеточка P. Начертайте отсечка, успоредна на AD през P, докато се пресече с квадратрисата в точка Q; лъч AQ разделя ъгъл LAD в необходимото съотношение, тъй като по дефиницията на квадратриса (LAQ: (QAD = (LP: (LH.)

Практическа работа по построяване на трисектори на ъгли

По метода на "вмъкване".

Използване на квадратриса

Решение с помощта на теоремата на Морли

Тъй като всеки ъгъл не може да бъде разделен на три равни части, можем да решим проблема с трисекцията на ъгъл в обратен ред, като използваме теоремата на Морли.

Теорема. Нека трисекторите на ъгли B и C, най-близки до страната BC, се пресичат в точка A1; точки B1 и C1 се определят по подобен начин. Тогава триъгълникът A1B1C1 е равностранен, а отсечката C1C е перпендикулярна на основата на правилния триъгълник.

Нека да решим следната задача: да построим триъгълник с трисектори, начертани от всичките му ъгли.

План за застрояване.

1) Да построим два произволни ъгъла (BAC1 и (ABC1), едната страна на които е обща.

Построените ъгли трябва да удовлетворяват неравенството:

2) Нека лъч AC1 е оста на симетрия. Нека отразим (BAC1 спрямо оста AC1. По същия начин ще го отразим спрямо оста BC1 (ABC1.

3) Нека лъч AC2 е оста на симетрия. Нека отразяваме (C1AC2 спрямо оста AC2. По същия начин отразяваме спрямо оста BC2 (C1ВC2.

4) Свържете пресечните точки на трисекторите C1 и C2 с отсечката C1C2.

5) Теоремата на Морли гласи, че когато трисекторите на триъгълник се пресичат, се получава правилен триъгълник, а сегментът C1C2 е перпендикулярен на основата на правилен триъгълник и минава през върха на този триъгълник. За да се изгради правилен триъгълник, знаейки неговата височина, е необходимо: а) да се конструират лъчи, излизащи от точка C1 под ъгъл 30º спрямо сегмента C1C2; б) маркирайте пресечните точки на построените лъчи с трисектори с буквите B1 и A1; в) свържете точки A1, B1, C1. Получаваме равностранен триъгълник A1B1C1.

6) Нека начертаем лъчи от точка C, минаващи през върховете на правилен триъгълник B1 и A1.

Нека оставим на фигурата отсечките на трисекторите на триъгълника.

Построихме триъгълник ABC с трисектори, начертани от всичките му ъгли.

Нерешимост на трисекция на ъгъл с помощта на пергел и линийка

За да се докаже невъзможността да се раздели всеки ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линийка, е достатъчно да се докаже, че е невъзможно да се раздели определен конкретен ъгъл по този начин. Ще докажем, че с помощта на пергел и линийка е невъзможно да се раздели на три части ъгъл от 30°. Нека въведем координатната система Oxy, като изберем върха на този ъгъл AOB като начало на координатите и насочим оста Ox по страната OA. Можем да приемем, че точките A и B са отдалечени от точка O на разстояние 1. Тогава в задачата за трисекция на ъгъл се изисква да се построи точка (cosφ, sinφ) от точка с координати (cos 3φ, sin 3φ). В случай, че φ=10°, началната точка има координати. И двете му координати са изразени в квадратни радикали. Следователно е достатъчно да се докаже, че числото sin 10° не се изразява в квадратни радикали.

Тъй като sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, тогава числото x = sin 10° удовлетворява кубичното уравнение

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Достатъчно е да докажем, че това уравнение няма рационални корени. Да приемем, че 2x=p/q, където p и q са цели числа, които нямат общи множители. Тогава p3 – 3pq2 + q3 = 0, т.е. q3=p(3q2-p2). Следователно числото q се дели на p, което означава p=±1. Следователно ±13q2 + q3 =0, т.е. q2(q±3)= ±1. Числото 1 се дели на q, така че q=±1. В резултат на това получаваме, че x = ±1/2. Лесно е да се провери, че стойностите ±1/2 не са корените на уравнението. Получава се противоречие, следователно уравнението няма рационални корени, което означава, че числото sin10° не може да се изрази в квадратни радикали.

Приложение

Ъгловата трисекция е необходима при конструирането на правилни многоъгълници. Ще разгледаме процеса на изграждане на примера на правилен нонагон, вписан в окръжност.

Ние строим правоъгълен триъгълник ABC. Построяваме трисектори BC1 и BC2. Получените ъгли бяха 30º. Разделяме един от получените ъгли на две 15º ъглополовящи. ДА СЕ прав ъгъл„добавете“ 15º от всяка страна. Отново построяваме трисекторите на получения ъгъл DBE. Повтаряме това още два пъти, като завъртаме триъгълника в точка B, така че DB да съвпадне с предишната позиция BE. Свържете получените точки.

Успяхме да построим правилен деветоъгълник, използвайки конструкцията на трисектори.

Трисектор

Задачата за трисекция на ъгъл в общия случай не може да бъде решена с помощта на пергел и линийка, но това не означава, че тази задача не може да бъде решена с други спомагателни средства.

За постигането на тази цел са изобретени много механични устройства, наречени трисектори. Най-простият трисектор може лесно да бъде направен от дебела хартия, картон или тънък калай. Той ще служи като помощен инструмент за рисуване.

Трисектор и схема на неговото приложение.

Ивицата AB, съседна на полукръга, е равна по дължина на радиуса на полукръга. Ръбът на лентата BD прави прав ъгъл с правата AC; докосва полукръга в точка В; Дължината на тази лента е произволна. Същата фигура показва използването на трисектор. Нека, например, искате да разделите ъгъла KSM на три равни части

Трисекторът е поставен така, че върхът на ъгъл S да е на правата BD, като едната страна на ъгъла минава през точка A, а другата страна докосва полуокръжността. След това се начертават прави линии SB и SO и разделянето на този ъгъл на три равни части е завършено. За да докажем това, нека с помощта на отсечка свържем правия център на полуокръжността O с допирателната точка N. Лесно се проверява, че триъгълник ASB е равен на триъгълник SBO, а триъгълник SBO е равен на триъгълник OSN. От равенството на тези три триъгълника следва, че ъглите ASB, BS0 и 0SN са равни помежду си, което и трябваше да се докаже.

Този метод на трисечение на ъгъл не е чисто геометричен; по-скоро може да се нарече механичен.

Трисекторен часовник

(инструкции за употреба)

Оборудване: компас, линийка, часовник със стрелки, молив, прозрачна хартия.

Напредък:

Прехвърлете фигурата на този ъгъл върху прозрачна хартия и в момента, когато стрелките на часовника са подравнени, поставете рисунката върху циферблата така, че горната част на ъгъла да съвпадне с центъра на въртене на стрелките и едната страна на ъгъла да върви покрай ръцете.

В момента, когато минутната стрелка на часовника се премести, за да съвпадне с посоката на втората страна на този ъгъл, начертайте лъч от върха на ъгъла по посока на часовниковата стрелка. Образува се ъгъл, равен на ъгъла на завъртане на стрелката по посока на часовниковата стрелка. Сега, използвайки компас и линийка, удвоете този ъгъл и отново удвоете удвоения ъгъл. Ъгълът, получен по този начин, ще бъде ⅓ от този.

Наистина, когато минутната стрелка описва определен ъгъл, часовата стрелкапрез това време се премества на ъгъл 12 пъти по-малък и след увеличаване на този ъгъл 4 пъти се получава ъгълът (a/12)*4=⅓ a.

Заключение

И така, неразрешимите конструктивни проблеми са изиграли специална роля в историята на математиката. В крайна сметка беше доказано, че тези проблеми не могат да бъдат решени само с пергел и линийка. Но самата формулировка на задачата - „да се докаже неразрешимост“ - беше смела стъпка напред.

В същото време бяха предложени много решения с помощта на нетрадиционни инструменти. Всичко това доведе до появата и развитието на напълно нови идеи в геометрията и алгебрата.

След като приключите и анализирате вашите изследователска работа, направих следните изводи:

✓ появата на такива проблеми се определя от тяхното практическо значение (по-специално, изграждането на правилни многоъгълници);

✓ такива проблеми пораждат развитието на нови методи и теории (методът на „вмъкване“, появата на квадратрисата, теоремата на Морли);

✓ неразрешимите проблеми привличат повече внимание към науката: намирането на решение или доказването на невъзможност е голяма чест.

И аз също научих:

✓ за математиците, които са изучавали този проблем;

✓ нови понятия, термини (трисекция, трисектор, квадратриса) и теореми (Морли) и научено:

✓ ефективно намиране и подбиране на необходимия материал;

✓ систематизира усвоените знания;

✓ правилно форматирайте изследователската работа.

Разделяне на ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линийка (трисечение на ъгъл).

Жарков Вячеслав Сергеевич

Отсъстващ

интернет

Анотация:

Предложен е общ подход за решаване на задачи за разделяне на ъгъл на равни части с помощта на пергел и линийка. Като пример е показано разделянето на ъгъл на три равни части (трисечение на ъгъл).

Предлага се общият подход за решаване на проблеми да се раздели ъгъл на равни части с помощта на пергел и линийка. Като пример ъгълът показва разделянето на три равни части (трисечение на ъгъла).

Ключови думи:

ъгъл; деление на ъгъла; трисекция на ъгъла.

ъгъл; разделителен ъгъл; трисекция на ъгъл.

UDC 51

Въведение.

Трисекция на ъгъл е задачата за разделяне на даден ъгъл на три равни части чрез конструиране на пергел и линийка. С други думи, необходимо е да се построят ъглови трисектори - лъчи, разделящи ъгъла на три равни части. Наред със задачите за квадратура на окръжността и удвояване на куба, това е една от класическите неразрешими задачи за конструиране, познати още от времето на Древна Гърция.

ПредназначениеТази статия е доказателство за погрешността на горното твърдение за неразрешимост, поне по отношение на задачата за трисекция на ъгъл.

Предложеното решение не изисква сложни образувания, почти универсален и ви позволява да разделяте ъглите на произволен брой равни части, което от своя страна ви позволява да конструирате всякакви правилни многоъгълници.

Уводна част.

Нека начертаем права линия аи построете ∆CDE върху него. Нека го наречем "базов" (фиг. 1).

Изберете онлайн апроизволна точка F и начертайте друга права линия bпрез точка F и връх D на триъгълника. На линия bНека вземем две произволни точки G и H и ги свържем с точки C и E, както е показано на фиг. 1. Анализът на фигурата ни позволява да запишем следните очевидни връзки между ъглите:

1. α 1 -α 3 =y 1; а3-а5=y3; α1 -α5 =y1 +y3;

2. α2-α4=y2; α4-α6=y4; а 2 - а 6 = у 2 + у 4;

3. y 1 /y 2 =y 3 /y 4;

Обяснение1.към точка 3: Нека ъглите са ∟° С,∟ д,∟ дса ъглите при съответните върхове на основния триъгълник ∆CDE. Тогава можем да напишем:

∟ ° С+∟ д+∟ д=180 0 - сбор от ъгли ∆CDE;

∟ ° С+ г 2 +∟ д-(г 2 + г 1 )+∟ д+ г 1 =180 0 - сбор от ъгли ∆C.G.E.;

Позволявамг 1 / г 2 = нилиг 1 = н* г 2 , Тогава,

∟ ° С+ г 2 +∟ д-(г 2 + г 1 )+∟ д+ н* г 2 =180 0

Сума от ъгли ∆ЧЕ:

∟ ° С+(г 2 + г 4 )+∟ д-(г 2 + г 4 + г 1 + г 3 )+∟ д+ н*(г 2 + г 4 )=180 0 , откъдето

г 1 + г 3 = н*(г 2 + г 4 ) илиг 1 + г 3 = н* г 2 + н* г 4 , и оттогаваг 1 = н* г 2 ,Че

г 3 = н* г 4 и следователно y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

След това вземете две произволни точки на линията а- N и M, и начертайте две прави през тях ° СИ дкакто е показано на фиг.2. Очевидно е, включително от казаното по-рано, че съотношението на промените в съответните ъгли на права c и d е постоянна стойност, т.е.: (β 1 -β 3)/(β 3 -β 5) = (β 2 -β 4) /(β 4 -β 6)= y 1 / y 3 = y 2 / y 4;

Разделяне на ъгъл на три равни части.

Върху окръжност с център в точка A начертаваме ъгъла E 1 AE 2 =β (виж фиг. 3.1). От противоположната страна на кръга, нека поставим три ъгъла симетрично - CAC 1, C 1 AC 2, C 2 AC 3, всеки равен на β. Нека разделим ъгъла E 1 AE 2 , в точките K 1 , K 3 , на три равни ъгъла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равни на β/3. Нека начертаем прави линии през точки на окръжността, както е показано на фиг. 3.1. Свържете с прави линии точки C, E 1 и C2,E. (Вижте Фиг. 3.2)

Чрез точка K - пресечната точка на линиите и точка K 1, начертайте права линия. Нека изберем произволна точка K 2 на тази права и да прекараме през нея две прави от точките C и C 2 .

Не е трудно да се забележи, че фиг. 3.2, ако премахнете кръговата линия, е почти идентичен с фиг. 2. (За по-голяма яснота е добавена пунктирана линия CC 2). Това означава, че всички отношения, споменати по-горе, са приложими тук, а именно за ъгли, които трябва да бъдат разделени на три равни части, е валидна следната връзка: y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (вижте Обяснението 1 в уводните части). От фигура 3.2 става ясно как да разделим ъгъл на три равни части.

Да разгледаме като пример разделянето на ъгъл β=50 0 на три равни части.

Опция 1.

Върху окръжност с център A начертаваме с компас симетрично една спрямо друга и диаметъра CB (виж фиг. 4.1) дъги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4, равни на β = 50 0 - спрямо центъра на окръжността. Разделяме половината от дъгата C 1 C 2 - CC 1 наполовина (точка D). Начертаваме прави линии през точки B 1 и D и точки B 3 и C. Свързваме точки B 1 и C, B 3 и C 1. Свързваме пресечните точки - F и E, на предварително начертани линии, една с друга. Полученият ъгъл α=C 1 AG, ​​​​където G е пресечната точка на правата FE с окръжността, е равен на β/3.

Вариант 2.

На окръжност с център A начертаваме с компас симетрично една спрямо друга и диаметъра CB (виж фиг. 4.2) дъги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β= 50 0 - спрямо центъра на кръга. Свързваме точки B 1 и C, B 3 и C 1. Нека начертаем ъглите y 2 =2y 1 (вижте фиг. 4.2) от правите B 1 C и B 3 C 1 и начертайте прави линии, съответстващи на тези ъгли. Свързваме пресечните точки - F и E, на предварително начертани линии, една с друга. Полученият ъгъл α=C 1 AG≈16.67 0, където G е пресечната точка на правата FE с окръжността, е равен на β/3.

Пълната конструкция на разделяне на ъгъл на три равни части (използвайки примера на ъгъл β=50 0) е показана на фиг. 5

Разделяне на ъгъл на нечетен брой (>3) равни ъгли.

Като пример, разгледайте разделянето на ъгъл β=35 0 на пет равни ъгъла.

Метод номер 1.

На окръжност с център A начертаваме с пергел симетрично един спрямо друг и диаметъра CB ъглите C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0. (Виж Фиг.6)

Разделете ъгъла C 2 AC равен на половинатаъгъл C 2 AC 1 наполовина в точка E. Свържете точките

E, C 2 , B 1 , B 2 , B 3 помежду си, както е показано на Фигура 6. След това, за да разделим ъгъла, използваме Вариант 2 от предишния пример, тъй като Вариант 1 за разделяне на ъгли на нечетен брой > 3 - x равни ъгли очевидно не е приложимо. От правите B 3 E и B 1 C 2 съответно в точки B 3 и B 1 нанасяме ъглите y 1 и y 2 в съотношение 1:4. От точки B 3 и B 1 начертаваме прави линии, съответстващи на тези ъгли, докато се пресекат в точка N. Ъгъл C 2 AK=α=7 0 ще бъде търсеният.

Метод номер 2.

Този метод (виж фиг. 7) е подобен на първия с единствената разлика, че ¼ от ъгъла C2AC1 се използва за конструиране - ъгълът EAC, съседен на централната линия на окръжността BC. Предимството на този метод е, че улеснява разделянето на ъгъла на голям бройъгли - 7, 9, 11 и т.н.

Построяване на правилен седмоъгълник.

Да приемем, че n е броят на дяловете (броят на секторите, на които е разделен ъгълът).

Тогава ако н-1=2 к(1), където к- всяко цяло число, тогава ъгълът се разделя на един етап, който беше показан по-рано. Ако н-1 ≠ 2 к(2) - тогава ъгълът се разделя на два етапа, първо от н-1 , и след това нататък н. Във всички случаи се наблюдава следното съотношение: г 1 / г 2 = 1/ н-1 (3).

Нека обясним това с примера за конструиране на правилен седмоъгълник.

За да построите седмоъгълник, трябва да намерите 1/7 част от ъгъла 60 0, да го умножите по шест и да начертаете получения ъгъл седем пъти около кръга (това е една от възможните опции). Тъй като 7-1=6, в съответствие с формула (2), ще разделим ъгъла 60 0 на два етапа. На първия етап делим на шест, а след това на втория етап на седем. За целта разделяме ъгъла от 30 0 на три равни сектора по 10 0 (виж фиг. 8), използвайки като най-прост вариант 1, описан в началото на статията. Полученият ъгъл ECL=10 0 ще бъде отделен от централната линия на окръжността (виж фиг.9). Ще приемем, че ъгълът ECL принадлежи на ъгъла 60 0, разположен симетрично спрямо средната линия.

След това, за да намерим 1/7-та част от ъгъл от 60 0, използваме метод № 2, описан по-рано. За целта ще начертаем ъгъла D 1 CD 2 =60 0 симетрично на средната линия и прилежащия към нея ъгъл D 2 CD 3 =60 0. В точки D 1 и D 3 изграждаме ъгли y 1 и y 2 към линиите D 1 E и D 3 L, съответно, спазвайки пропорциите в съответствие с формула (3) - т.е. 1 до 6.

Нека начертаем прави линии под ъгли y 1 и y 2. Нека свържем пресечните точки G и F на съответните прави. Ъгъл LCH=60 0 /7. Нека отделим този ъгъл шест пъти от точка L до точка B. Нека отделим получения ъгъл BCL още шест пъти и в резултат получаваме седмоъгълника LBKFMNA.

Заключение.

Методът за разделяне на ъгъл на равни части, предложен в тази статия, има ограничение - невъзможността да се прилага директно за ъгли> 60 0, което обаче не е толкова важно от гледна точка на фундаменталната разрешимост на проблема.

Библиография:

1. Метелски Н.В. Математика. добре гимназияза постъпващите в университети и техникуми. Изд. 3-то, стереотип. Мн., „Най-висок. училище”, 1975, 688 с. от болен.

Отзиви:

20.03.2016, 14:39 Назарова Олга Петровна
Преглед: Интересни изчисления, препоръчваме за публикуване

22.03.2016 г., 11:09 ч. Мирмович-Тихомиров Едуард Григориевич
Преглед: Интересно, информативно, сбито. Вижда се инженерен подход. Но този материал не трябва да се публикува тук, а в което и да е образователно списание. Ако вече е публикувано от автора в друга публикация, още повече. В допълнение, тази платформа е много удобна за формули. Рецензентът не би искал никакви образователни, дидактически и учебни материали. Но няма да споря с уважаемата Олга Петровна. Може би самите редактори ще решат нещо!?. Трудно е да се даде ясна препоръка „да-не“.

22.03.2016 16:16 Отговор на рецензията на автора Жарков Вячеслав Сергеевич:
Даденото решение, което очевидно не предполага приблизително решение на задачата!!!. Невярно е само в един случай, който също е съвсем очевиден, ако сборът от ъглите на триъгълника върху равнината е ≠1800. Което е глупост. Някои основи, включително по математика, понякога изискват корекция. И дидактиката няма нищо общо.